Exercice 2 - Partie B · Bac Mathématiques Antilles-Guyane 2026 (jour 1)

Exercice 2 (6 points)

Un médicament est administré à un patient par voie intraveineuse.

La notice du médicament indique que:

le traitement doit durer au moins 7 h;

lorsque sa quantité, en mg, présente dans le sang est supérieure ou égale à 3 mg, il y a un risque de toxicité.

On s'intéresse à la quantité de médicament présente dans le sang au cours du temps sachant que le patient reçoit une première dose de 1 mg.

Deux protocoles sont étudiés dans les deux parties qui sont indépendantes.

Partie B: étude du second protocole

On injecte au patient une première dose de médicament de 1 mg. On admet que la quantité de médicament présente dans le sang du patient baisse de 30 % toutes les heures. Pour compenser cette baisse, on injecte une dose supplémentaire de 0,75 mg de médicament toutes les heures.

On modélise la situation par une suite $(u_n)$, où, pour tout entier naturel $n$, $u_n$ représente la quantité, en mg, de médicament présente dans le sang du patient au bout de $n$ heures écoulées depuis l'injection initiale.

Sous ces conditions, on a $u_0 = 1$.

1.

Justifier que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = 0,7 \times u_n + 0,75$.

2.

a.

Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $u_n \le u_{n+1} \le 4$.

b.

En déduire que la suite $(u_n)$ est convergente.

c.

Déterminer la limite $\ell$ de la suite $(u_n)$.

d.

D'après ce modèle, le traitement présente-t-il un risque pour le patient ? Justifier.

3.

On considère la suite $(v_n)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par $v_n = u_n - 2,5$.

a.

Montrer que $(v_n)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le terme initial.

b.

Montrer que pour tout entier naturel $n$, $u_n = 2,5 - 1,5 \times 0,7^n$.

4.

D'après ce modèle, au bout de combien d'injections supplémentaires la quantité de médicament présente dans le sang de ce patient dépasse-t-elle 2,4 mg ?