Exercice 2 - Partie A · Bac Mathématiques Antilles-Guyane 2026 (jour 1)

Exercice 2 (6 points)

Un médicament est administré à un patient par voie intraveineuse.

La notice du médicament indique que:

le traitement doit durer au moins 7 h;

lorsque sa quantité, en mg, présente dans le sang est supérieure ou égale à 3 mg, il y a un risque de toxicité.

On s'intéresse à la quantité de médicament présente dans le sang au cours du temps sachant que le patient reçoit une première dose de 1 mg.

Deux protocoles sont étudiés dans les deux parties qui sont indépendantes.

Partie A: étude du premier protocole

Après l'injection de la première dose, une quantité supplémentaire de médicament est administrée régulièrement et de façon continue à un patient mis sous perfusion.

Dans cette partie, on modélise la quantité de médicament présente dans le sang du patient par une fonction $q$ définie sur $[0; +\infty[$, où $q(t)$ désigne la quantité, en mg, de médicament présente dans le sang du patient, et $t$ représente le temps, en heure, écoulé depuis l'injection initiale. On a ainsi $q(0) = 1$.

On admet que:

la fonction $q$ est dérivable sur $[0; +\infty[$ et on note $q'$ sa fonction dérivée;

la fonction $q$ est solution sur $[0; +\infty[$ de l'équation différentielle $(E)$:

$$y' = -\frac{3}{10}y + 1$$

où $y$ est une fonction de la variable réelle $t$, définie et dérivable sur l'intervalle $[0; +\infty[$, et $y'$ sa fonction dérivée.

1.

Donner les solutions sur $[0; +\infty[$ de l'équation différentielle $(E)$.

2.

Montrer que pour tout réel $t$ appartenant à $[0; +\infty[$, $q(t) = \frac{10}{3} - \frac{7}{3}\mathrm{e}^{-\frac{3}{10}t}$.

3.

Déterminer la limite de la fonction $q$ en $+\infty$. Interpréter cette valeur dans le contexte de l'exercice.

4.

Étudier les variations de la fonction $q$ sur $[0; +\infty[$.

5.

Déterminer, en résolvant une inéquation, au bout de combien de temps après l'injection initiale le médicament présente un risque pour le patient. On donnera la valeur exacte puis une valeur approchée à $10^{-1}$.

6.

D'après ce modèle, le protocole présente-t-il un risque pour le patient ? Justifier.