Exercice 1 - Partie B.2 · Bac Mathématiques Antilles-Guyane 2026 (jour 2)

Exercice 1 (6 points)

Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées indépendamment.

On s'intéresse à un réseau de communication constitué d'une chaîne de relais (satellites, antennes, opérateurs...) pour transmettre des messages.

À chaque transmission entre deux relais successifs, des erreurs peuvent apparaître dans le message. Une étude statistique a permis d'établir que pour chaque relai:

si le message reçu est sans erreur, il a 94 % de chances d'être transmis sans erreur au relai suivant;

si le message reçu comporte des erreurs, il y a 35 % de chances que les erreurs soient corrigées et donc que le message soit transmis sans erreur au relai suivant.

On choisit au hasard un message envoyé au cours d'une journée.

Pour un événement $E$ quelconque, on désigne par $\overline{E}$ son événement contraire et par $P(E)$ sa probabilité.

Partie B

2. On étudie une chaîne de transmission de l'information composée de 25 relais.

On considère la variable aléatoire $X_1$ qui à chaque échantillon de 50 tests pratiqués sur le relai 1 associe le nombre de tests positifs.

On définit de la même manière les variables aléatoires $X_2$ pour le relai 2,..., $X_{25}$ pour le relai 25.

On admet que ces 25 variables aléatoires sont indépendantes entre elles et qu'elles admettent la même espérance égale à 2 et la même variance égale à 1,92.

On note $M$ la variable aléatoire donnant la moyenne du nombre de tests positifs lors des contrôles effectués sur les 25 relais.

On a donc $M = \frac{X_1 + X_2 + \dots + X_{25}}{25}$.

a.

Vérifier que $E(M) = 2$ et montrer que $V(M) = 0{,}0768$.

b.

À l'aide de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, montrer que la probabilité que la moyenne des tests positifs soit strictement inférieure à 7 est supérieure à 0,99.

Indication: on pourra utiliser, sans justification, le fait que: $P(M < 7) = P(-3 < M < 7)$.