Exercice 4 - Parties A et B · Bac Mathématiques Antilles-Guyane 2026 (jour 2)

Exercice 4 (5 points)

On considère la fonction $f_k$ définie sur $]0\,;\,+\infty[$ par:

$$f_k(x) = 1 - x + \frac{k(1 + \ln x)}{x}$$

où $k$ est un réel strictement positif et $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien.

On désigne par $C_k$ la représentation graphique de la fonction $f_k$ dans un repère orthonormé.

On admet que la fonction $f_k$ est deux fois dérivable sur $]0\,;\,+\infty[$. On note $f_k'$ sa dérivée première et $f_k''$ sa dérivée seconde.

Partie A: étude d'un premier cas particulier

Dans cette partie, on se place dans le cas $k = 2$.

La courbe $C_2$ est représentée sur le graphique ci-dessous. On précise que:

Le point $A$ est un point d'inflexion de la courbe $C_2$;

$T_2$ est la tangente à la courbe $C_2$ au point $A$.

1.

On considère une primitive $F_2$ de la fonction $f_2$ sur $]0; +\infty[$. Avec la précision permise par le graphique, donner les variations de la fonction $F_2$ sur l'intervalle $]0; 3]$.

2.

Parmi les trois courbes ci-dessous, indiquer celle qui représente $f_2'$ et celle qui représente $f_2''$. Justifier.

Partie B: étude d'un second cas particulier

Dans cette partie on se place dans le cas $k = 1$.

On considère la fonction $f_1$ définie sur $]0; +\infty[$ par:

$$f_1(x) = 1 - x + \frac{1 + \ln x}{x}$$

1.

a.

Montrer que pour tout réel $x > 0$:

$$f_1'(x) = -1 - \frac{\ln x}{x^2}$$

b.

Déterminer la limite de $f_1'(x)$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$.

2.

On admet que:

l'axe des ordonnées est une asymptote de la courbe de $f_1'$;

pour tout réel $x > 0$, $f_1''(x) = \frac{2\ln x - 1}{x^3}$.

On donne ci-dessous le tableau de variations de $f_1'$ sur l'intervalle $]0; +\infty[$.

a.

Justifier les variations de la fonction $f_1'$ sur l'intervalle $]0; +\infty[$ et la valeur de l'extremum.

b.

Justifier la limite de la fonction $f_1'$ en 0.

c.

Montrer qu'il existe une unique solution $\alpha$ à l'équation $f_1'(x) = 0$ sur $]0; +\infty[$. En déduire que $f_1$ admet un maximum sur l'intervalle $]0; +\infty[$.

d.

Recopier et compléter les pointillés du programme écrit en langage Python ci-dessous, afin qu'il renvoie une valeur approchée à $10^{-2}$ près de la solution $\alpha$ de l'équation $f_1'(x) = 0$ sur $]0; +\infty[$.

def d(x):

return -1-ln(x)/x**2

Complétez la fonction alpha():

On rappelle que x**2 désigne $x^2$.