Exercice 4 - Dérivation et convexité · Bac Mathématiques Antilles-Guyane 2026 (jour 1)

Partie A: lecture graphique

On considère une fonction $f$ définie et deux fois dérivable sur l'intervalle $\left]\frac{1}{2}; +\infty\right[$.

On note $f'$ sa fonction dérivée et $f''$ sa fonction dérivée seconde.

On a tracé, dans un repère orthogonal, la courbe de la fonction $f$, notée $\mathcal{C}$, ainsi que la tangente $T$ à $\mathcal{C}$ au point $A(1; 0)$. On précise que $T$ passe par le point $B(0; -2)$.

On répondra aux questions suivantes en les justifiant à l'aide du graphique.

1.

Déterminer $f'(1)$.

2.

La fonction $f$ est-elle concave sur $\left]\frac{1}{2}; +\infty\right[$ ?

3.

Déterminer $f''(1)$.

Partie B: étude de fonction

Partie B: étude de fonction

On admet que la fonction représentée graphiquement dans la partie A est définie sur l'intervalle $\left]\frac{1}{2}\,;\,+\infty\right[$ par:

$$f(x) = x \ln(2x - 1)$$

où $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien.

On rappelle que:

la fonction $f$ est deux fois dérivable sur l'intervalle $\left]\frac{1}{2}\,;\,+\infty\right[$, que $f'$ désigne sa fonction dérivée et $f''$ sa fonction dérivée seconde;

$\mathcal{C}$ désigne la courbe représentative de la fonction $f$ sur l'intervalle $\left]\frac{1}{2}\,;\,+\infty\right[$.

2.

Résoudre l'équation $f(x) = 0$ sur l'intervalle $\left]\frac{1}{2}; +\infty\right[$.

3.

On admet que pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle $\left]\frac{1}{2}; +\infty\right[$:

$$f'(x) = \ln(2x - 1) + \frac{2x}{2x - 1}$$

a. Montrer que pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle $\left]\frac{1}{2}; +\infty\right[$:

$$f''(x) = \frac{4(x - 1)}{(2x - 1)^2}$$

b. Montrer que $\mathcal{C}$ admet un unique point d'inflexion et que ce point est l'intersection de $\mathcal{C}$ avec l'axe des abscisses.

Partie C: généralisation

On désigne par $a$ un réel strictement positif et par $f_a$ la fonction définie sur l'intervalle $\left]\frac{1}{a}; +\infty\right[$ par:

$$f_a(x) = x \ln(ax - 1)$$

On admet que $f_a$ est deux fois dérivable sur l'intervalle $\left]\frac{1}{a}; +\infty\right[$. On note $f_a'$ sa fonction dérivée, $f_a''$ sa fonction dérivée seconde, et $\mathcal{C}_a$ sa représentation graphique.

On admet que pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $\left]\frac{1}{a}; +\infty\right[$:

$$f_a''(x) = \frac{a(ax - 2)}{(ax - 1)^2}$$

1.

Montrer que pour tout réel $a$ strictement positif, la courbe $\mathcal{C}_a$ admet un unique point d'inflexion $A_a$.

2.

Montrer que les points $A_a$ sont alignés, $a$ appartenant à l'intervalle $]0; +\infty[$.