Exercice 4 - Combinatoire et dénombrement · Bac Mathématiques Amérique du Sud 2025 (jour 2)

Partie C: étude de fonction

On propose d'étudier dans cette partie la fonction $f$ rencontrée à la question partie B.2 On rappelle que, pour tout réel $x$, $f(x) = (6x^2 + 2x - 2)\mathrm{e}^{-5x+1}$.

On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$. On appelle $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de $f$ dans un repère du plan.

Partie A: dénombrement

On considère l'ensemble des nombres entiers relatifs non nuls compris entre $-30$ et $30$; cet ensemble peut s'écrire ainsi: $\{-30\,;\,-29\,;\,-28\,;\,\dots\,;\,-1\,;\,1\,;\,\dots\,;\,28\,;\,29\,;\,30\}$. Il comporte 60 éléments.

On choisit dans cet ensemble successivement et sans remise un entier relatif $a$ puis un entier relatif $c$.

1.

Combien de couples $(a\,;\,c)$ différents peut-on ainsi obtenir ?

2.

On considère l'évènement $M$: « l'équation $ax^2 + 2x + c = 0$ possède deux solutions réelles distinctes », où $a$ et $c$ sont les entiers relatifs précédemment choisis.

Montrer que l'évènement $M$ a lieu si et seulement si $ac < 1$.

3.

Expliquer pourquoi l'évènement contraire $\overline{M}$ comporte 1740 issues.

4.

Quelle est la probabilité de l'évènement $M$ ? On arrondira le résultat à $10^{-2}$.