Exercice 2 - Modèle continu et équations différentielles · Bac Mathématiques Amérique du Nord 2026 (jour 1)

La perche-soleil est une espèce de poisson envahissante. Un plan de lutte contre la prolifération de cette espèce est mis en place et on étudie dans cet exercice deux modèles d'évolution de la population de perches-soleil dans un étang naturel. On estime que, dans cet étang, le nombre de perches-soleil s'élève à 4 000 individus au 1 er janvier 2025.

Partie B: étude d'un modèle continu

On note $t$ le temps écoulé, exprimé en année, à partir du 1 er janvier 2025. L'évolution du nombre de perches-soleil, exprimé en millier, est modélisée par la fonction $p$ telle que: la fonction $p$ est définie et dérivable sur l'intervalle $[0; +\infty[$;

$p(0) = 4$;

la fonction $p$ est solution de l'équation différentielle (E) $y' + y = 2$ où $y$ est une fonction de la variable réelle $t$.

1.

Donner l'ensemble des solutions de l'équation (E).

2.

En déduire que l'expression de la fonction $p$ sur l'intervalle $[0; +\infty[$ est $p(t) = 2e^{-t} + 2$.

3.

Ce modèle prévoit-il une élimination à long terme de l'espèce envahissante ?