Exercice 4 - Équations différentielles · Bac Mathématiques Amérique du Nord 2025 (jour 1)

Exercice 4 (5 points)

La partie C est indépendante des parties A et B.

Partie A

On donne ci-dessous, dans un repère orthogonal, les courbes $\mathcal{C}_1$ et $\mathcal{C}_2$, représentations graphiques de deux fonctions définies et dérivables sur $\mathbb{R}$. L'une des deux fonctions représentées est la fonction dérivée de l'autre. On les notera $g$ et $g'$.

On précise également que:

La courbe $\mathcal{C}_1$ coupe l'axe des ordonnées au point de coordonnées $(0; 1)$.

La courbe $\mathcal{C}_2$ coupe l'axe des ordonnées au point de coordonnées $(0; 2)$ et l'axe des abscisses aux points de coordonnées $(-2; 0)$ et $(1; 0)$.

Partie B

On considère $(E)$ l'équation différentielle $y + y' = (2x + 3)\mathrm{e}^{-x}$, où $y$ est une fonction de la variable réelle $x$.

1.

Montrer que la fonction $f_0$ définie pour tout nombre réel $x$ par $f_0(x) = (x^2 + 3x)\mathrm{e}^{-x}$ est une solution particulière de l'équation différentielle $(E)$.

2.

Résoudre l'équation différentielle $(E_0): y + y' = 0$.

3.

Déterminer les solutions de l'équation différentielle $(E)$.

4.

On admet que la fonction $g$ décrite dans la partie A est une solution de l'équation différentielle $(E)$. Déterminer alors l'expression de la fonction $g$.

5.

Déterminer les solutions de l'équation différentielle $(E)$ dont la courbe admet exactement deux points d'inflexion.