Abitur Sachsen-Anhalt Mathematik 2023 · LK · Teil B · Lineare Algebra (WTR)

Aufgabe 1

Aus den Rohstoffen $R_1$, $R_2$ und $R_3$ werden die Zwischenprodukte $Z_1$ und $Z_2$ und daraus die Endprodukte $E_1$, $E_2$ und $E_3$ hergestellt. Die Abbildung 1 veranschaulicht den Herstellungsprozess, wobei für jeweils eine Mengeneinheit (ME) eines Zwischen- oder Endprodukts der Bedarf an jedem benötigten Rohstoff bzw. Zwischenprodukt in Mengeneinheiten angegeben ist.

Entsprechend gibt die Matrix $A = \begin{pmatrix} 0{,}5 & 0 \\ 0 & 0{,}8 \\ 0{,}04 & 0{,}04 \end{pmatrix}$ zu jedem Zwischenprodukt die erforderlichen Mengeneinheiten der Rohstoffe an, die Matrix $B = \begin{pmatrix} 1 & 0{,}4 & 0 \\ 0 & 0{,}7 & 1{,}2 \end{pmatrix}$ zu jedem Endprodukt die erforderlichen Mengeneinheiten der Zwischenprodukte und die Matrix $C = \begin{pmatrix} 0{,}5 & 0{,}2 & 0 \\ 0 & 0{,}56 & 0{,}96 \\ 0{,}04 & 0{,}044 & 0{,}048 \end{pmatrix}$ zu jedem Endprodukt die erforderlichen Mengeneinheiten der Rohstoffe.

a)

Geben Sie den Wert von $s$ (siehe Abbildung 1) und die Bedeutung von $s$ im Sachzusammenhang an.

b)

Hergestellt werden sollen eine bestimmte Menge von $E_1$, $10\text{ ME}$ von $E_2$ und $25\text{ ME}$ von $E_3$. Dabei sollen $6\text{ ME}$ von $R_1$ verbraucht werden. Ermitteln Sie, wie viele Mengeneinheiten von $R_3$ dazu benötigt werden.

ME

c)

Die Matrix $C$ ist nicht invertierbar. Geben Sie eine Bedeutung dieser Tatsache im Sachzusammenhang an.

d)

Aus den beiden Zwischenprodukten wird ein weiteres Endprodukt $E_4$ hergestellt. Die Matrix $$C^* = \begin{pmatrix} 0{,}5 & 0{,}2 & 0 & u \\ 0 & 0{,}56 & 0{,}96 & v \\ 0{,}04 & 0{,}044 & 0{,}048 & 0{,}06 \end{pmatrix}$$ gibt zu jedem der vier Endprodukte die erforderlichen Mengeneinheiten der Rohstoffe an. Ermitteln Sie die Summe der Mengeneinheiten der Zwischenprodukte, die zur Herstellung einer Mengeneinheit von $E_4$ erforderlich ist.

ME

e)

Im Folgenden spielt $E_4$ keine Rolle. Die Herstellung von $E_2$ wird verändert; die Matrix $B_t = \begin{pmatrix} 1 & t & 0 \\ 0 & 1{,}1-t & 1{,}2 \end{pmatrix}$ mit $t \in [0; 1{,}1]$ gibt zu jedem der Endprodukte $E_1$, $E_2$ und $E_3$ die erforderlichen Mengeneinheiten der Zwischenprodukte an.

Es werden $10\text{ ME}$ von $E_1$, $15\text{ ME}$ von $E_2$ und $25\text{ ME}$ von $E_3$ hergestellt. Stellen Sie in der Abbildung 2 den zugehörigen Bedarf von $R_2$ in Abhängigkeit von $t$ grafisch dar und erläutern Sie Ihren Gedankengang.

Der Koordinatenursprung $O$ sowie die Punkte $P(-2|4|-2)$ und $Q(-4|2|2)$ sind die Eckpunkte eines Dreiecks.

a

Der Innenwinkel des Dreiecks im Punkt $Q$ beträgt $60^\circ$. Bestimmen Sie die Größen der beiden anderen Innenwinkel.

$^\circ$

$^\circ$

b

Ein anderes Dreieck $OTQ$ hat den gleichen Flächeninhalt und den gleichen Umfang wie das Dreieck $OPQ$. Bestimmen Sie die Koordinaten von $T$.

c

Für einen Punkt $K$ gilt $\vec{OK} = \vec{OP} + 2 \cdot \vec{PQ}$. Begründen Sie, ohne zu rechnen, anhand einer geeigneten Skizze, dass die Flächeninhalte der Dreiecke $OPQ$ und $OQK$ übereinstimmen.