Abitur Sachsen-Anhalt Mathematik 2023 · GK · Teil B · Lineare Algebra (CAS)

Das Viereck $EFGH$ mit $E(-6|6|1)$, $F(-10|10|4)$ und $H(-2|2|4)$ ist eine Raute. Die Diagonalen schneiden sich im Punkt $J(-6|6|4)$.

a)

Bestimmen Sie die Seitenlänge der Raute sowie die Koordinaten des Punkts $G$.

[3 BE]

b)

Mit $\cos\varphi_1 = \frac{\vec{EF}\circ\vec{EH}}{|\vec{EF}|\cdot|\vec{EH}|}$ ergibt sich $\varphi_2 = 180^\circ - \varphi_1 \approx 56^\circ$. Geben Sie eine Bedeutung von $\varphi_2$ im Zusammenhang mit der Raute an und begründen Sie Ihre Angabe.

[3 BE]

c)

Betrachtet wird die Pyramide mit der Grundfläche $EFGH$ und der Spitze $S(-6+k \mid 6+k \mid 4)$. Für jeden Wert von $k \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$ steht die Strecke $\overline{JS}$ senkrecht zur Grundfläche. Bestimmen Sie diejenigen Werte von $k$, für die das Volumen der Pyramide 112 ist.

[3 BE]

2 In einem Tierpark werden an drei verschiedenen Stationen A, B und C Handwagen vermietet, in denen Besucher beispielsweise mitgebrachte Taschen transportieren können. Ein Wagen, der an einer der drei Stationen ausgegeben wurde, kann an einer beliebigen der drei Stationen zurückgegeben werden.

Die Verteilung der Wagen am Morgen jedes Tages kann durch einen Vektor der Form $\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}$ beschrieben werden, wobei $a$, $b$ und $c$ die Anzahlen der Wagen an den Stationen A, B bzw. C sind. Die Entwicklung der Verteilung von einem Morgen $n$ zum nächsten wird modellhaft durch die Gleichung $\vec{v}_{n+1} = M \cdot \vec{v}_n$ mit $M = \begin{pmatrix} 0{,}8 & 0{,}2 & 0{,}2 \\ 0{,}1 & 0{,}6 & 0{,}1 \\ 0{,}1 & 0{,}2 & 0{,}7 \end{pmatrix}$ beschrieben.

a)

Stellen Sie die beschriebene Entwicklung der Verteilung der Wagen in einem Übergangsdiagramm dar. [3 BE]

b)

Insgesamt stehen 160 Wagen zur Verfügung. An einem Samstagmorgen befanden sich an den Stationen A und B zusammen ebenso viele Wagen wie an der Station C. Am folgenden Morgen befanden sich 70 Wagen an der Station C. Ermitteln Sie die Anzahl der Wagen an der Station A für den genannten Samstagmorgen. [3 BE]

c)

Die Wagen werden regelmäßig gewartet. Dazu werden einige der Wagen morgens abgeholt und am Abend des folgenden Tags zurückgebracht.

An einem Morgen befanden sich 50 Wagen an der Station A, 46 an der Station B und 64 an der Station C. An diesem Morgen wurde an jeder der drei Stationen die gleiche Anzahl $x$ von Wagen zur Wartung abgeholt. Sowohl unmittelbar danach als auch am folgenden Morgen standen an der Station A weniger als 47 Wagen zur Verfügung, zu beiden Zeitpunkten an jeder der drei Stationen aber mindestens 26 Wagen. Bestimmen Sie alle Werte, die für $x$ infrage kommen. [5 BE]