Abitur Sachsen Mathematik 2026 · GK · Teil B · Analytische Geometrie (CAS)

Betrachtet wird das in Abbildung 1 dargestellte gerade Prisma $ABCDEF$ mit der dreieckigen Grundfläche $ABC$. Im verwendeten Koordinatensystem gilt: $A(10|0|0)$, $B(10|5|20)$, $C(10|-5|20)$ und $D(0|0|0)$.

Das Prisma beschreibt einen Behälter, in den Wasser gefüllt werden kann. Die zugehörige Öffnung des Behälters wird durch das Viereck $BEFC$ dargestellt. Die $xy$-Ebene beschreibt die Horizontale. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Zentimeter in der Wirklichkeit. Die Materialstärke des Behälters wird im Folgenden vernachlässigt.

Im Behälter befindet sich Wasser, dessen Volumen halb so groß wie das Fassungsvermögen des Behälters ist. Der Behälter wird um eine Achse, die durch die Gerade $AD$ beschrieben wird, langsam um einen Winkel der Größe $120^\circ$ gedreht (vgl. Abbildung 2). Die Ausgangsposition entspricht einem Drehwinkel der Größe $0^\circ$.

Der in Abbildung 3 mit durchgezogener Linie dargestellte Graph beschreibt modellhaft das Volumen des Wassers im Behälter in Abhängigkeit von der Größe des Drehwinkels für den Bereich $[\alpha; \beta]$.

a

Begründen Sie, dass die Grundfläche ABC parallel zur yz-Ebene und symmetrisch bezüglich der xz-Ebene liegt.

[3 BE]

c

Bestimmen Sie eine Gleichung der Ebene, in der die Punkte A, B und D liegen, in Koordinatenform.

[3 BE]

(zur Kontrolle: $4y - z = 0$)

Betrachtet wird das in Abbildung 1 dargestellte gerade Prisma $ABCDEF$ mit der dreieckigen Grundfläche $ABC$. Im verwendeten Koordinatensystem gilt: $A(10|0|0)$, $B(10|5|20)$, $C(10|-5|20)$ und $D(0|0|0)$.

Das Prisma beschreibt einen Behälter, in den Wasser gefüllt werden kann. Die zugehörige Öffnung des Behälters wird durch das Viereck $BEFC$ dargestellt. Die $xy$-Ebene beschreibt die Horizontale. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Zentimeter in der Wirklichkeit. Die Materialstärke des Behälters wird im Folgenden vernachlässigt.

Im Behälter befindet sich Wasser, dessen Volumen halb so groß wie das Fassungsvermögen des Behälters ist. Der Behälter wird um eine Achse, die durch die Gerade $AD$ beschrieben wird, langsam um einen Winkel der Größe $120^\circ$ gedreht (vgl. Abbildung 2). Die Ausgangsposition entspricht einem Drehwinkel der Größe $0^\circ$.

Der in Abbildung 3 mit durchgezogener Linie dargestellte Graph beschreibt modellhaft das Volumen des Wassers im Behälter in Abhängigkeit von der Größe des Drehwinkels für den Bereich $[\alpha; \beta]$.

b

Zeigen Sie, dass das Volumen des Prismas $1000$ beträgt.

[2 BE]

d

Zeichnen Sie den Graphen für den Bereich $[0^\circ; \alpha[$ ein.

[3 BE]

Bei der Drehung des Behälters hat der Drehwinkel, dessen Größe mit $\alpha$ bezeichnet wird, bezüglich der Wasserfüllung des Behälters eine bestimmte Bedeutung. Geben Sie diese Bedeutung an.

e

Bestimmen Sie rechnerisch einen geeigneten Wert für $\beta$ und erläutern Sie Ihren Ansatz.

[4 BE]

In einem Koordinatensystem ist ein Quader mit den Eckpunkten $O(0|0|0)$, $A(4|0|0)$, $B(4|4|0)$, $C$, $D$, $E$, $F$ und $G(0|4|5)$ gegeben (vgl. Abbildung 1). Die Fläche $OABC$ ist quadratisch.

Der Punkt $S(2|2|3)$ ist die Spitze der Pyramide $OABCS$ (vgl. Abbildung 2).

a)

Der Ortsvektor des Punktes $R$ ist durch $\vec{OR} = \frac{1}{2} \vec{OA} + \frac{1}{2} \vec{AB} + \vec{BF}$ gegeben. Zeichnen Sie den Punkt $R$ in Abbildung 1 ein.

b)

Genau eine der folgenden Gleichungen I bis III beschreibt eine Symmetrieebene des Quaders.

I $x + y = 0$

II $x - y = 0$

III $z = 2$

Entscheiden Sie, welche Gleichung dies ist, und begründen Sie für eine der anderen Gleichungen, dass die durch sie beschriebene Ebene keine Symmetrieebene des Quaders ist.

Der Punkt $S(2|2|3)$ ist die Spitze der Pyramide $OABCS$ (vgl. Abbildung 2).

c)

Berechnen Sie die Größe des Winkels, den die Kanten $\overline{AS}$ und $\overline{AB}$ einschließen.

°

e)

Für $0 \le k < 2$ werden die Pyramiden $OABCS_k$ mit Spitze $S_k(2|2|3-k)$ und $DEFGQ_k$ mit Spitze $Q_k(2|2|3+k)$ betrachtet. Bestimmen Sie den Wert von $k$, für den die Summe der Volumen der beiden zugehörigen Pyramiden $25\,\%$ des Volumens des Quaders beträgt.

In einem Koordinatensystem ist ein Quader mit den Eckpunkten $O(0|0|0)$, $A(4|0|0)$, $B(4|4|0)$, $C$, $D$, $E$, $F$ und $G(0|4|5)$ gegeben (vgl. Abbildung 1). Die Fläche $OABC$ ist quadratisch.

Der Punkt $S(2|2|3)$ ist die Spitze der Pyramide $OABCS$ (vgl. Abbildung 2).

Der Punkt $S(2|2|3)$ ist die Spitze der Pyramide $OABCS$ (vgl. Abbildung 2).

d)

Geben Sie eine Gleichung der Gerade an, die durch die Punkte $A$ und $G$ verläuft. Zeigen Sie, dass $S$ nicht auf dieser Gerade liegt.