Abitur Sachsen Mathematik 2026 · GK · Teil B · Analysis (CAS)

Ein Bergbauunternehmen plant, in einer Region Kupfererz abzubauen. Der Abbau wird für $x \ge 0$ durch die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $k$ mit

$$k(x) = 80e^{1{,}5} - (4x + 80) \cdot e^{-0{,}05x + 1{,}5}$$

beschrieben. Dabei ist $x$ die ab Beginn des Abbaus vergangene Zeit in Jahren und $k(x)$ die Gesamtmenge des bis zu diesem Zeitpunkt abgebauten Kupfererzes in Millionen Tonnen.

Im Modell beschreibt die erste Ableitungsfunktion $k'$ von $k$ für $x \ge 0$ die momentane Rate des Abbaus von Kupfererz (momentane Abbaurate) in Millionen Tonnen pro Jahr. Der Graph von $k'$ ist in Abbildung 1 dargestellt.

a)

Zeigen Sie, dass im Modell nach 8 Jahren etwa 22 Millionen Tonnen Kupfererz abgebaut sind. Ermitteln Sie den Zeitpunkt, bis zu dem 100 Millionen Tonnen Kupfererz abgebaut sind. [3 BE]

Mio. t

Jahre

b)

Die Gleichung $\frac{k(c)-k(0)}{c} = 1{,}9$ mit $c \in \mathbb{R}$ besitzt genau zwei Lösungen. Geben Sie die kleinere der beiden Lösungen an. Deuten Sie die Gleichung und diese Lösung im Sachzusammenhang. [3 BE]

Ein Bergbauunternehmen plant, in einer Region Kupfererz abzubauen. Der Abbau wird für $x \ge 0$ durch die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $k$ mit

$$k(x) = 80e^{1{,}5} - (4x + 80) \cdot e^{-0{,}05x + 1{,}5}$$

beschrieben. Dabei ist $x$ die ab Beginn des Abbaus vergangene Zeit in Jahren und $k(x)$ die Gesamtmenge des bis zu diesem Zeitpunkt abgebauten Kupfererzes in Millionen Tonnen.

Im Modell beschreibt die erste Ableitungsfunktion $k'$ von $k$ für $x \ge 0$ die momentane Rate des Abbaus von Kupfererz (momentane Abbaurate) in Millionen Tonnen pro Jahr. Der Graph von $k'$ ist in Abbildung 1 dargestellt.

c

Berechnen Sie den Zeitpunkt, an dem die momentane Abbaurate ihren größten Wert annimmt, und geben Sie diesen größten Wert an. [3 BE]

d

Ermitteln Sie rechnerisch die Länge des Zeitraums, innerhalb dessen die momentane Abbaurate mindestens fünf Millionen Tonnen Kupfererz pro Jahr beträgt. [3 BE]

Ein Bergbauunternehmen plant, in einer Region Kupfererz abzubauen. Der Abbau wird für $x \ge 0$ durch die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $k$ mit

$$k(x) = 80e^{1{,}5} - (4x + 80) \cdot e^{-0{,}05x + 1{,}5}$$

beschrieben. Dabei ist $x$ die ab Beginn des Abbaus vergangene Zeit in Jahren und $k(x)$ die Gesamtmenge des bis zu diesem Zeitpunkt abgebauten Kupfererzes in Millionen Tonnen.

Im Modell beschreibt die erste Ableitungsfunktion $k'$ von $k$ für $x \ge 0$ die momentane Rate des Abbaus von Kupfererz (momentane Abbaurate) in Millionen Tonnen pro Jahr. Der Graph von $k'$ ist in Abbildung 1 dargestellt.

e

Begründen Sie anhand des Graphen von $k'$ in Abbildung 1, dass die folgende Aussage wahr ist:

In den ersten 20 Jahren nach Beginn des Abbaus gibt es keinen Zeitpunkt, ab dem innerhalb einer Zeitspanne von einem Jahr die momentane Abbaurate um eine Million Tonnen pro Jahr zunimmt.

Gegeben sind die in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f$ mit $f(x) = \mathrm{e}^{-x+2} - 1$ und $h$ mit $h(x) = -2x - 2$. Abbildung 2 zeigt den Graphen $G_f$ von $f$ sowie den Graphen $G_h$ von $h$. $G_h$ ist eine Gerade.

a

Geben Sie die Koordinaten des Schnittpunktes von $G_f$ mit der y-Achse sowie die Steigung von $G_f$ in diesem Punkt an.

$S_y(0 \mid$ $)$

$m =$

b

Die folgenden Schritte stellen eine Lösung einer Aufgabe in einem geometrischen Zusammenhang dar:

$f'(x) = h'(x) \Leftrightarrow x = 2 - \ln 2$

Mit $y = -2x + n$ und $f(2 - \ln 2) = 1$ ergibt sich $n = 5 - 2 \cdot \ln 2$.

Interpretieren Sie das Ergebnis $n = 5 - 2 \cdot \ln 2$ in diesem geometrischen Zusammenhang.

Gegeben sind die in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f$ mit $f(x) = \mathrm{e}^{-x+2} - 1$ und $h$ mit $h(x) = -2x - 2$. Abbildung 2 zeigt den Graphen $G_f$ von $f$ sowie den Graphen $G_h$ von $h$. $G_h$ ist eine Gerade.

c

$G_f$ schließt mit den Koordinatenachsen eine Fläche ein. Eine zu $G_h$ parallele Gerade $g$ halbiert diese Fläche. Bestimmen Sie eine Gleichung der Gerade $g$.

$g: y =$

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x) = \frac{3}{16} \cdot (x^3 + 2x^2 - 4x - 8)$. Der Graph von $f$ wird mit $G$ bezeichnet.

Betrachtet wird ein $3\text{ m}$ langes, geradliniges Stück einer Dachrinne aus Blech. Das Blech ist $0{,}7\text{ mm}$ dick, was in der Abbildung im dargestellten Querschnitt veranschaulicht wird. Die dargestellte Profillinie der Innenseite der Dachrinne kann im verwendeten Koordinatensystem für $-2 \le x \le 2$ durch $G$ beschrieben werden. Dabei entspricht eine Längeneinheit $5\text{ cm}$ in der Realität.

a

Berechnen Sie die Nullstellen von $f$. Geben Sie das Verhalten von $f$ für $x \to -\infty$ an.

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x) = \frac{3}{16} \cdot (x^3 + 2x^2 - 4x - 8)$. Der Graph von $f$ wird mit $G$ bezeichnet.

Betrachtet wird ein $3\text{ m}$ langes, geradliniges Stück einer Dachrinne aus Blech. Das Blech ist $0{,}7\text{ mm}$ dick, was in der Abbildung im dargestellten Querschnitt veranschaulicht wird. Die dargestellte Profillinie der Innenseite der Dachrinne kann im verwendeten Koordinatensystem für $-2 \le x \le 2$ durch $G$ beschrieben werden. Dabei entspricht eine Längeneinheit $5\text{ cm}$ in der Realität.

b)

Der Tiefpunkt von $G$ hat die x-Koordinate $\frac{2}{3}$. Begründen Sie, dass $G$ auch einen Hochpunkt besitzt, und geben Sie dessen Koordinaten an. [3 BE]

c)

$G$ besitzt genau einen Wendepunkt. Zeigen Sie, dass der Wendepunkt die x-Koordinate $-\frac{2}{3}$ besitzt und dass die Tangente an $G$ im Wendepunkt mit der x-Achse einen Winkel der Größe $45^\circ$ einschließt. [3 BE]

d)

Neben dem Wendepunkt gibt es zwei weitere Punkte auf $G$, in denen die jeweilige Tangente an den Graphen mit der x-Achse einen Winkel der Größe $45^\circ$ einschließt. Berechnen Sie die x-Koordinaten dieser zwei weiteren Punkte. [2 BE]

e)

Dieses Stück der Dachrinne soll in einen quaderförmigen Karton verpackt werden, der über $3\text{ m}$ lang ist und innen einen Querschnitt mit den Maßen $21\text{ cm}$ und $9{,}5\text{ cm}$ hat. Untersuchen Sie rechnerisch, ob der Karton als Verpackung für dieses Stück der Dachrinne geeignet ist. [3 BE]

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x) = \frac{3}{16} \cdot (x^3 + 2x^2 - 4x - 8)$. Der Graph von $f$ wird mit $G$ bezeichnet.

Betrachtet wird ein $3\text{ m}$ langes, geradliniges Stück einer Dachrinne aus Blech. Das Blech ist $0{,}7\text{ mm}$ dick, was in der Abbildung im dargestellten Querschnitt veranschaulicht wird. Die dargestellte Profillinie der Innenseite der Dachrinne kann im verwendeten Koordinatensystem für $-2 \le x \le 2$ durch $G$ beschrieben werden. Dabei entspricht eine Längeneinheit $5\text{ cm}$ in der Realität.

f

Die folgenden Rechenschritte stellen einen Lösungsweg für eine Aufgabe im Sachzusammenhang dar:

$\,\bullet\; f(x) = -1 \iff x = x_1 \lor x = x_2 \lor x = x_3 \text{ mit } x_1 \approx -3{,}03,\; x_2 \approx -0{,}56 \text{ und } x_3 \approx 1{,}59$

$\,\bullet\; \int_{x_2}^{x_3} (-1 - f(x))\,dx \approx 1{,}09$

$\,\bullet\; 1{,}09 \cdot 5^2 \cdot 300 = 8175$

$\,\bullet\; \text{also etwa } 8175\text{ cm}^3$

Geben Sie eine dazu passende Aufgabenstellung an und erläutern Sie den dargestellten Lösungsweg. [5 BE]

g

Nun wird ein Stück einer zweiten Dachrinne betrachtet. Im Vergleich zum bisher betrachteten Stück ist es ebenfalls geradlinig, hat die gleiche Länge und besteht aus einem Blech gleicher Dicke. Auch das Volumen des Wassers, das beide Stücke maximal fassen können, ist gleich. Die Profillinie der Innenseite der zweiten Dachrinne hat die Form eines Halbkreises. Ein Kubikzentimeter des verwendeten Materials hat eine Masse von $8{,}96\text{ Gramm}$. Bestimmen Sie für die zweite Dachrinne die Masse des betrachteten Stücks. [6 BE]