Abitur Rheinland-Pfalz Mathematik 2020 · LK · Teil B · Analytische Geometrie (CAS)

Gegeben sind der Punkt $L\left(-\frac{25}{4} \mid -8 \mid 6\right)$ und die Gerade $g\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ -12 \\ 9 \end{pmatrix} + a \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \; a \in \mathbb{R}$.

In der Abbildung ist neben $L$ und $g$ das Viereck $OPQR$ dargestellt, dessen Eckpunkte $O(0|0|0)$, $P\left(-\frac{25}{2}|0|0\right)$, $Q\left(-\frac{21}{2}|-12|9\right)$ und $R(-2|-12|9)$ in einer Ebene $E$ liegen. $Q$ und $R$ liegen außerdem auf $g$.

Das Viereck $OPQR$ stellt modellhaft den geneigten Teil einer Minigolfbahn dar, der Punkt $L$ das Loch dieser Bahn. Im verwendeten Koordinatensystem beschreibt die $x_1x_2$-Ebene den horizontalen Untergrund; eine Längeneinheit entspricht $10\text{ cm}$ in der Realität.

Im Folgenden wird der in der Abbildung gestrichelt dargestellte Teil des Wegs eines Minigolfballs betrachtet. Der Ball soll im Folgenden als punktförmig angenommen werden. Seine Positionen auf dem dargestellten Teil des Wegs können durch Punkte $B_k\left(-5-3k \mid -8+\frac{8}{3}k^2 \mid 6k-2k^2\right)$ mit geeigneten Werten von $k \in \mathbb{R}$ beschrieben werden.

a)

Begründen Sie, dass $g$ parallel zur $x_1$-Achse und dabei nicht durch $L$ verläuft.

b)

$L$ und $g$ liegen in der Ebene $E$. Ermitteln Sie eine Gleichung von $E$ in Koordinatenform.

(zur Kontrolle: $3x_2 + 4x_3 = 0$)

f)

Weisen Sie nach, dass der Ball auf dem betrachteten Teil seines Wegs durchgehend Kontakt zur Minigolfbahn hat.

g)

Berechnen Sie im Modell die Koordinaten des Punkts, in dem der Ball auf die seitliche Begrenzung der Minigolfbahn trifft.

Gegeben sind der Punkt $L\left(-\frac{25}{4} \mid -8 \mid 6\right)$ und die Gerade $g\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ -12 \\ 9 \end{pmatrix} + a \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \; a \in \mathbb{R}$.

In der Abbildung ist neben $L$ und $g$ das Viereck $OPQR$ dargestellt, dessen Eckpunkte $O(0|0|0)$, $P\left(-\frac{25}{2}|0|0\right)$, $Q\left(-\frac{21}{2}|-12|9\right)$ und $R(-2|-12|9)$ in einer Ebene $E$ liegen. $Q$ und $R$ liegen außerdem auf $g$.

Das Viereck $OPQR$ stellt modellhaft den geneigten Teil einer Minigolfbahn dar, der Punkt $L$ das Loch dieser Bahn. Im verwendeten Koordinatensystem beschreibt die $x_1x_2$-Ebene den horizontalen Untergrund; eine Längeneinheit entspricht $10\text{ cm}$ in der Realität.

Im Folgenden wird der in der Abbildung gestrichelt dargestellte Teil des Wegs eines Minigolfballs betrachtet. Der Ball soll im Folgenden als punktförmig angenommen werden. Seine Positionen auf dem dargestellten Teil des Wegs können durch Punkte $B_k\left(-5-3k \mid -8+\frac{8}{3}k^2 \mid 6k-2k^2\right)$ mit geeigneten Werten von $k \in \mathbb{R}$ beschrieben werden.

c)

Begründen Sie, dass $OPQR$ ein achsensymmetrisches Trapez ist.

d)

Ermitteln Sie die Koordinaten des Punkts $S$, für den das Viereck $OPSR$ ein ebenes Drachenviereck ist.

e)

Berechnen Sie die Größe des Winkels, den der geneigte Teil der Bahn mit dem Untergrund einschließt.

h)

Ermitteln Sie rechnerisch, um wie viele Zentimeter der Ball das Loch verfehlt.

Betrachtet wird der abgebildete Würfel mit $A(0|0|0)$, $B(3|-3|3)$, $G(0|0|9)$ und $H(-3|3|6)$.

a)

Berechnen Sie das Volumen des Würfels.

[2 BE]

b)

Begründen Sie, dass das Viereck $ABGH$ ein Rechteck ist, und zeichnen Sie dieses in die Abbildung ein.

[3 BE]

d)

Bestimmen Sie die Größe des Winkels, den die Ebene $L$ mit der $xz$-Ebene einschließt.

[2 BE]

°

e)

Ermitteln Sie die Koordinaten von $F$.

[5 BE]

g)

Die Ebene, die durch die Mittelpunkte der Kanten $\overline{BC}$, $\overline{CG}$, $\overline{AD}$ und $\overline{DH}$ verläuft, teilt den Würfel in zwei Teilkörper. Begründen Sie mithilfe einer Skizze, dass das Volumen des kleineren Teilkörpers ein Achtel des Volumens des Würfels ist.

[5 BE]

Betrachtet wird der abgebildete Würfel mit $A(0|0|0)$, $B(3|-3|3)$, $G(0|0|9)$ und $H(-3|3|6)$.

c)

Das Viereck $ABGH$ liegt in der Ebene $L$. Bestimmen Sie eine Gleichung von $L$ in Koordinatenform.

[3 BE]

f)

Die Gerade durch $B$ und $G$ schneidet die $xy$-Ebene im Punkt $S$. Bestimmen Sie das Verhältnis, in dem $B$ die Strecke $\overline{SG}$ teilt.

[2 BE]

h)

Gegeben ist die Schar der Ebenen $z = k$ mit $k \in \mathbb{R}$. Geben Sie in Abhängigkeit von $k$ die unterschiedlichen Arten der Figuren an, in denen die Ebenen für $0 < k < 9$ den Würfel schneiden.

[3 BE]