Abitur Hamburg Mathematik 2022 · LK · Teil B · Stochastik (CAS)

Unter den Kunden eines Krankenversicherungsunternehmens haben 59 % Datenschutzbedenken. Von den Kunden mit Datenschutzbedenken nutzen 23 % ein Fitnessarmband. 19 % aller Kunden haben keine Datenschutzbedenken und nutzen ein Fitnessarmband.

a

Stellen Sie den Sachverhalt in einem beschrifteten Baumdiagramm dar.

b

Eine unter allen Kunden zufällig ausgewählte Person nutzt ein Fitnessarmband. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sie Datenschutzbedenken hat.

c

Es gilt $0{,}23 \neq 0{,}59 \cdot 0{,}23 + 0{,}19$. Begründen Sie damit, dass die Ereignisse „Eine unter allen Kunden zufällig ausgewählte Person hat Datenschutzbedenken.“ und „Eine unter allen Kunden zufällig ausgewählte Person nutzt ein Fitnessarmband.“ stochastisch abhängig sind.

Unter den Kunden eines Krankenversicherungsunternehmens haben 59 % Datenschutzbedenken. Von den Kunden mit Datenschutzbedenken nutzen 23 % ein Fitnessarmband. 19 % aller Kunden haben keine Datenschutzbedenken und nutzen ein Fitnessarmband.

100 Kunden des Unternehmens werden zufällig ausgewählt.

d

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mehr als 50 % der ausgewählten Kunden Datenschutzbedenken haben.

%

e

Ersetzt man die Platzhalter a und b in geeigneter Weise, so kann mit dem Term

$$1 - \sum_{k=51}^{100} \binom{100}{k} \cdot 0{,}59^k \cdot a^b$$

die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses im Sachzusammenhang berechnet werden. Geben Sie an, wodurch die Platzhalter zu ersetzen sind, und beschreiben Sie das zugehörige Ereignis.

f

Untersuchen Sie, ob es einen Wert von $n$ mit $n > 0$ gibt, für den die folgende Aussage richtig ist:

Werden $2n$ Kunden des Unternehmens zufällig ausgewählt, so ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter diesen niemand Datenschutzbedenken hat, halb so groß wie bei $n$ Kunden.

Ein Händler vermutet, dass die Fitnessarmbänder eines bestimmten Herstellers besonders häufig Fehler aufweisen. Um einen Anhaltspunkt für den Anteil der fehlerhaften Armbänder unter allen Fitnessarmbändern dieses Herstellers zu gewinnen, führt er einen Signifikanztest mit der Nullhypothese „Der Anteil der fehlerhaften Armbänder beträgt mindestens 7 %.“ durch.

Für diesen Test gilt:

Die Nullhypothese wird abgelehnt, wenn höchstens vier Armbänder fehlerhaft sind.

Der Abbildung kann die Wahrscheinlichkeit für den Fehler erster Art in Abhängigkeit vom Anteil $p$ fehlerhafter Armbänder entnommen werden.

a)

Ermitteln Sie den Umfang der für den Test verwendeten Stichprobe.

b)

Geben Sie an, welche Überlegung den Händler dazu veranlasst haben könnte, die gewählte Nullhypothese der Alternative „Der Anteil der fehlerhaften Armbänder beträgt höchstens 7 %.“ vorzuziehen. Begründen Sie Ihre Angabe.

Ein Telefonanbieter bietet die Tarife S, M und L an. Jeder Kunde hat genau einen dieser Tarife. Allen Kunden steht eine Service-Hotline zur Verfügung.

20 % aller Kunden haben den Tarif S, 25 % den Tarif L. 47 % aller Kunden und dabei die Hälfte der Kunden mit dem Tarif M haben bereits die Service-Hotline angerufen. 11 % aller Kunden haben den Tarif S und haben die Service-Hotline noch nicht angerufen.

a

Stellen Sie alle im Sachzusammenhang relevanten Anteile – analog zu einer Vier-Felder-Tafel – in der folgenden Tabelle dar (in Prozent oder als Dezimalzahl):

· Tarif S · Tarif M · Tarif L · Summe

Service-Hotline angerufen

Service-Hotline nicht angerufen

Summe · · · · 100 %

b

Ein zufällig ausgewählter Kunde hat die Service-Hotline noch nicht angerufen. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dieser Kunde den Tarif S hat.

c

Bestimmen Sie den Anteil aller Kunden, die entweder den Tarif L haben oder die Service-Hotline noch nicht angerufen haben.

Ein Telefonanbieter bietet die Tarife S, M und L an. Jeder Kunde hat genau einen dieser Tarife. Allen Kunden steht eine Service-Hotline zur Verfügung.

20 % aller Kunden haben den Tarif S, 25 % den Tarif L. 47 % aller Kunden und dabei die Hälfte der Kunden mit dem Tarif M haben bereits die Service-Hotline angerufen. 11 % aller Kunden haben den Tarif S und haben die Service-Hotline noch nicht angerufen.

Der Anbieter führt eine Befragung unter 600 zufällig ausgewählten Kunden durch. Es kann davon ausgegangen werden, dass unter den Befragten die Anzahl derjenigen mit dem Tarif S binomialverteilt ist.

d

Beschreiben Sie die Bedeutung des Terms $\sum_{i=470}^{490} \binom{600}{i} \cdot 0{,}8^i \cdot 0{,}2^{600-i}$ im Sachzusammenhang. [3 BE]

e

Bestimmen Sie die größte natürliche Zahl $k$, für die die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter den Befragten weniger als $k$ Kunden den Tarif S haben, kleiner als 25 % ist. [4 BE]

Das Telefon einer Kundin ist durch eine sechsstellige Zahlenkombination geschützt. Diese Kombination enthält die Ziffern 1, 5 und 9, aber keine andere Ziffer; eine Ziffer tritt viermal auf. Bestimmen Sie die Anzahl der infrage kommenden Kombinationen. [3 BE]

Die Wartezeit beim Anrufen der Service-Hotline ist normalverteilt mit einer Standardabweichung von 1 Minute und 15 Sekunden.

a

Untersuchen Sie, ob es ein Zeitintervall mit einer Länge von zwei Minuten gibt, in dem die Wartezeit eines zufällig ausgewählten Anrufers mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 60 % liegt. [4 BE]

Gibt es ein solches Zeitintervall?

b

Angenommen, die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig ausgewählter Anrufer höchstens drei Minuten warten muss, beträgt 15 %. Berechnen Sie unter dieser Annahme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig ausgewählter Anrufer mindestens fünf Minuten warten muss. [4 BE]

%

Ein Unternehmen stellt Tischtennisbälle her. $98\,\%$ der hergestellten Bälle weichen nur unwesentlich von der Kugelform ab; diese werden im Weiteren als „rund“ bezeichnet, die übrigen als „unrund“.

1 Aus der großen Menge der hergestellten Bälle werden regelmäßig Stichproben entnommen, wobei die Auswahl der Bälle für jede Stichprobe als zufällig angenommen werden kann. Außerdem kann davon ausgegangen werden, dass die Anzahl der unrunden Bälle in jeder Stichprobe binomialverteilt ist.

a

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Anzahl unrunder Bälle in einer Stichprobe von 200 Bällen kleiner als der Erwartungswert dieser Anzahl ist. [3 BE]

b

Betrachtet werden zwei Stichproben von jeweils 200 Bällen. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in mindestens einer dieser beiden Stichproben mehr als sechs Bälle unrund sind. [3 BE]

Ein Unternehmen stellt Tischtennisbälle her. $98\,\%$ der hergestellten Bälle weichen nur unwesentlich von der Kugelform ab; diese werden im Weiteren als „rund“ bezeichnet, die übrigen als „unrund“.

Nach der Herstellung durchlaufen die Bälle eine Sortieranlage. Dabei wird ein unrunder Ball mit einer Wahrscheinlichkeit von $90\,\%$ aussortiert. Allerdings werden auch $5\,\%$ der runden Bälle aussortiert.

c

Stellen Sie den Prozess der Herstellung und Sortierung der Bälle in einem beschrifteten Baumdiagramm dar.

d

Beschreiben Sie die Bedeutung des Terms $0{,}98 \cdot 0{,}05 \cdot 2000$ im Sachzusammenhang.

e

Angenommen, die nicht aussortierten Bälle würden die gleiche Sortieranlage ein zweites Mal durchlaufen. Ermitteln Sie den Anteil der unrunden Bälle unter denjenigen, die dann nach zweimaligem Durchlaufen der Anlage nicht aussortiert wären.

Aufgabe 2

Das Unternehmen hat zur Herstellung der Bälle eine neue Maschine angeschafft, mit der eine größere Anzahl von Bällen hergestellt werden kann. Für die neue Maschine soll ein Schätzwert für den Anteil unrunder Bälle ermittelt werden, der bei der Herstellung zu erwarten ist. Dazu wird aus Bällen, die mit der neuen Maschine hergestellt wurden, eine Stichprobe entnommen.

Mithilfe der Gleichung $|h - p| = c \cdot \sqrt{\frac{p\cdot (1-p)}{n}}$ wird ein Konfidenzintervall $K$ für den unbekannten Anteil $p$ der unrunden Bälle bestimmt. Dabei ist $n$ der Umfang der Stichprobe, $h$ der Anteil der unrunden Bälle in der Stichprobe und $c$ ein von der gewählten Sicherheitswahrscheinlichkeit abhängiger Faktor.

Die angegebene Gleichung und die Gleichung $n\cdot (h-p)^2 = c^2\cdot p\cdot (1-p)$ liefern die gleichen Lösungen für $p$.

Die Abbildung zeigt die Graphen der Terme $f(p) = n\cdot (h-p)^2$ und $g(p) = c^2\cdot p\cdot (1-p)$.

a)

Begründen Sie, dass die abgebildeten Stellen $p_1$ und $p_2$ die Grenzen des Konfidenzintervalls $K$ sind.

b)

Geben Sie an, ob sich für eine Stichprobe größeren Umfangs bei gleichen Werten von $h$ und $c$ ein im Vergleich zu $K$ kürzeres oder längeres Konfidenzintervall ergeben würde. Begründen Sie Ihre Aussage nur mithilfe der abgebildeten Graphen und der zugehörigen Terme.

kürzer

länger

c)

Für eine Stichprobe von 500 Bällen mit 23 unrunden Bällen ergibt sich das Konfidenzintervall $[0{,}032; p_2]$. Berechnen Sie den Wert von $p_2$.

$p_2 \approx$