Abitur Hamburg Mathematik 2022 · GK · Teil B · Analysis (CAS)

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $$f(x) = -\frac{1}{640}x^4 + \frac{1}{40}x^3 - \frac{9}{80}x^2 + \frac{1}{5}x + 3$$

Die Abbildung zeigt einen Längsschnitt eines Carports für ein Wohnmobil; dabei ist der hintere Bereich des Carports fett dargestellt. Das Dach des Carports ist in Querrichtung nicht geneigt. Im Folgenden sollen die Materialstärken der Bauteile des Carports vernachlässigt werden.

Die Profillinie des Längsschnitts des Dachs kann zwischen den Punkten $\text{A}(x_\text{A} \mid 2{,}5)$ und $\text{B}(0 \mid f(0))$ modellhaft mithilfe der Gerade $g$ mit der Gleichung $y = \frac{1}{5}x + 3$ beschrieben werden, zwischen den Punkten $\text{B}$ und $\text{C}(9 \mid f(9))$ mithilfe der Funktion $f$. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Wirklichkeit. Die $x$-Achse stellt den horizontalen Untergrund dar.

a

Zeigen Sie, dass der Graph von $f$ durch den Punkt $P(12 \mid 0)$ verläuft. Geben Sie eine Gleichung der Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $Q(2 \mid f(2))$ an und beschreiben Sie deren besondere Lage im Koordinatensystem. [3 BE]

b

Die erste Ableitungsfunktion $f'$ von $f$ kann durch eine Gleichung der Form $f'(x) = a \cdot (x - b) \cdot (x - c)^2$ dargestellt werden. Ermitteln Sie die passenden Werte von $a$, $b$ und $c$. [3 BE]

$a =$

$b =$

$c =$

c

Beurteilen Sie jede der beiden folgenden Aussagen mithilfe des Graphen von $f'$: [4 BE]

I Die Funktion $f$ ist monoton.

II Die Tangenten an den Graphen von $f$ in den Punkten $(0 \mid f(0))$ und $(6 \mid f(6))$ sind parallel.

e

Zeigen Sie, dass der Carport $11{,}50\text{ m}$ lang ist, und bestimmen Sie die Höhe des Carports an seiner höchsten Stelle. Untersuchen Sie, ob ein Wohnmobil mit einer Länge von $7{,}05\text{ m}$ und einer Höhe von $3{,}10\text{ m}$ vollständig im Carport untergestellt werden kann. [6 BE]

f

Bestimmen Sie für den gesamten Teil des Dachs, von dem Wasser über den hinteren Bereich des Carports hinweg abläuft, die durchschnittliche Neigung in Längsrichtung in Prozent. [3 BE]

%

h

Ausgehend vom selben Punkt des Untergrunds verlaufen entlang der seitlichen Verkleidung des Carports zwei geradlinige Stützen jeweils bis zum Dach. Die Stützen schließen einen Winkel mit einer Größe von $60^\circ$ ein. Die Endpunkte der ersten Stütze werden im Modell durch $D(6 \mid 0)$ und $E(8 \mid f(8))$ dargestellt.

Zeichnen Sie die beiden Stützen in die Abbildung ein. [2 BE]

i

Berechnen Sie die x-Koordinate des Punkts, der den Endpunkt der zweiten Stütze am Dach darstellt. [5 BE]

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $$f(x) = -\frac{1}{640}x^4 + \frac{1}{40}x^3 - \frac{9}{80}x^2 + \frac{1}{5}x + 3$$

Die Abbildung zeigt einen Längsschnitt eines Carports für ein Wohnmobil; dabei ist der hintere Bereich des Carports fett dargestellt. Das Dach des Carports ist in Querrichtung nicht geneigt. Im Folgenden sollen die Materialstärken der Bauteile des Carports vernachlässigt werden.

Die Profillinie des Längsschnitts des Dachs kann zwischen den Punkten $\text{A}(x_\text{A} \mid 2{,}5)$ und $\text{B}(0 \mid f(0))$ modellhaft mithilfe der Gerade $g$ mit der Gleichung $y = \frac{1}{5}x + 3$ beschrieben werden, zwischen den Punkten $\text{B}$ und $\text{C}(9 \mid f(9))$ mithilfe der Funktion $f$. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Wirklichkeit. Die $x$-Achse stellt den horizontalen Untergrund dar.

d

Der Graph der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $h$ mit $h(x) = f'(x+4) - f'(4)$, wobei $f'(4) = \frac{1}{10}$ gilt, ist symmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs. Geben Sie die Symmetrie des Graphen von $f'$ an und begründen Sie Ihre Angabe ausgehend vom Graphen von $h$.

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $$f(x) = -\frac{1}{640}x^4 + \frac{1}{40}x^3 - \frac{9}{80}x^2 + \frac{1}{5}x + 3$$

Die Abbildung zeigt einen Längsschnitt eines Carports für ein Wohnmobil; dabei ist der hintere Bereich des Carports fett dargestellt. Das Dach des Carports ist in Querrichtung nicht geneigt. Im Folgenden sollen die Materialstärken der Bauteile des Carports vernachlässigt werden.

Die Profillinie des Längsschnitts des Dachs kann zwischen den Punkten $\text{A}(x_\text{A} \mid 2{,}5)$ und $\text{B}(0 \mid f(0))$ modellhaft mithilfe der Gerade $g$ mit der Gleichung $y = \frac{1}{5}x + 3$ beschrieben werden, zwischen den Punkten $\text{B}$ und $\text{C}(9 \mid f(9))$ mithilfe der Funktion $f$. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Wirklichkeit. Die $x$-Achse stellt den horizontalen Untergrund dar.

g)

Abgesehen von einem $20\text{ cm}$ hohen Streifen unmittelbar über dem Untergrund ist der Carport auf einer Seite über seine gesamte Länge vollständig verkleidet. Die Verkleidung ist eben und vertikal angebracht. Berechnen Sie den Inhalt der verkleideten Fläche.

Ein Unternehmen verkauft Fitnessarmbänder. Die momentane Änderungsrate des Absatzes kann modellhaft mithilfe der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f: x \mapsto 4000x \cdot \mathrm{e}^{-0{,}4x}$ beschrieben werden. Dabei ist $x$ die seit der Produkteinführung vergangene Zeit in Monaten und $f(x)$ die momentane Änderungsrate des Absatzes in Stück pro Monat.

Gleichzeitig mit der Einführung des Fitnessarmbands brachte das Unternehmen eine Smartwatch auf den Markt. Die momentane Änderungsrate des Absatzes der Smartwatch in Stück pro Monat lässt sich im Modell mithilfe der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $g: x \mapsto 1600 \cdot x^2 \cdot \mathrm{e}^{-0{,}4x}$ beschreiben.

a

Berechnen Sie den Zeitpunkt, zu dem die momentane Änderungsrate des Absatzes den größten Wert erreicht, und geben Sie diesen Wert an.

b

Zeichnen Sie den Graphen von $f$ für $0 \le x \le 18$ und kennzeichnen Sie diejenigen Punkte des Graphen, die zu einer momentanen Änderungsrate des Absatzes in Höhe von $1000$ Stück pro Monat gehören.

c

Im Zeitraum, der mit der Produkteinführung beginnt und 18 Monate später endet, gibt es einen Zeitpunkt, zu dem die momentane Änderungsrate des Absatzes am stärksten zunimmt, und einen Zeitpunkt, zu dem sie am stärksten abnimmt. Zur Bestimmung dieser beiden Zeitpunkte wurden folgende Berechnungen durchgeführt:

$$f''(x) = 0 \iff x = 5$$

$$f'''(5) > 0$$

Erläutern Sie diese Berechnungen. Geben Sie die beiden gesuchten Zeitpunkte an und begründen Sie Ihre Angabe ohne weitere Rechnung.

d

Vergleichen Sie die momentanen Änderungsraten des Absatzes für das Fitnessarmband und die Smartwatch fünf Monate nach Produkteinführung.

Ein Unternehmen verkauft Fitnessarmbänder. Die momentane Änderungsrate des Absatzes kann modellhaft mithilfe der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f: x \mapsto 4000x \cdot \mathrm{e}^{-0{,}4x}$ beschrieben werden. Dabei ist $x$ die seit der Produkteinführung vergangene Zeit in Monaten und $f(x)$ die momentane Änderungsrate des Absatzes in Stück pro Monat.

Gleichzeitig mit der Einführung des Fitnessarmbands brachte das Unternehmen eine Smartwatch auf den Markt. Die momentane Änderungsrate des Absatzes der Smartwatch in Stück pro Monat lässt sich im Modell mithilfe der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $g: x \mapsto 1600 \cdot x^2 \cdot \mathrm{e}^{-0{,}4x}$ beschreiben.

e

Berechnen Sie die Anzahl der im ersten Jahr nach Produkteinführung insgesamt verkauften Smartwatches.

Stück

f

Untersuchen Sie im Modell, ob es einen Zeitpunkt nach Produkteinführung gibt, bis zu dem ebenso viele Fitnessarmbänder wie Smartwatches verkauft wurden. Geben Sie gegebenenfalls diesen Zeitpunkt an.

Aufgabe 2

Im Folgenden wird zunächst die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $h \colon x \mapsto x \cdot \mathrm{e}^{-\frac{1}{5}x}$ betrachtet. Die Abbildung zeigt den Graphen von $h$.

Die Tangente an den Graphen von $h$ in dessen Wendepunkt $W(10 \mid h(10))$ wird mit $t$ bezeichnet.

Die Funktion $h$ ist eine der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $h_b \colon x \mapsto x \cdot \mathrm{e}^{-\frac{1}{10}b \cdot x}$ mit $b \in \mathbb{R}^+$.

Die Tangente an den Graphen von $h$ in dessen Wendepunkt $W(10\mid h(10))$ wird mit $t$ bezeichnet.

a)

Zeigen Sie, dass $t$ die x-Achse im Punkt $(20\mid 0)$ schneidet und zeichnen Sie $t$ in die Abbildung ein.

Aufgabe 2

Im Folgenden wird zunächst die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $h \colon x \mapsto x \cdot \mathrm{e}^{-\frac{1}{5}x}$ betrachtet. Die Abbildung zeigt den Graphen von $h$.

Die Tangente an den Graphen von $h$ in dessen Wendepunkt $W(10 \mid h(10))$ wird mit $t$ bezeichnet.

Die Funktion $h$ ist eine der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $h_b \colon x \mapsto x \cdot \mathrm{e}^{-\frac{1}{10}b \cdot x}$ mit $b \in \mathbb{R}^+$.

b)

Markieren Sie in der Abbildung das Flächenstück, das der Graph von $h$, die Tangente $t$ und die x-Achse im Bereich $0 \le x \le 20$ einschließen. Berechnen Sie den Inhalt dieses Flächenstücks.

Aufgabe 2

Im Folgenden wird zunächst die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $h \colon x \mapsto x \cdot \mathrm{e}^{-\frac{1}{5}x}$ betrachtet. Die Abbildung zeigt den Graphen von $h$.

Die Tangente an den Graphen von $h$ in dessen Wendepunkt $W(10 \mid h(10))$ wird mit $t$ bezeichnet.

Die Funktion $h$ ist eine der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $h_b \colon x \mapsto x \cdot \mathrm{e}^{-\frac{1}{10}b \cdot x}$ mit $b \in \mathbb{R}^+$.

Die Funktion $h$ ist eine der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $h_b: x \mapsto x \cdot \mathrm{e}^{-\frac{1}{10}b\cdot x}$ mit $b \in \mathbb{R}^+$.

c

Geben Sie denjenigen Wert von $b$ an, der zur Funktion $h$ gehört. Zeigen Sie rechnerisch, dass es genau einen Punkt gibt, durch den alle Graphen von $h_b$ verlaufen, und bestimmen Sie dessen Koordinaten.

$(\,$

$\mid$

$\,$)

d

Für jeden Wert von $b$ ist $E_b\left(\frac{10}{b} \;\middle|\; \frac{10}{b}\mathrm{e}^{-1}\right)$ der Extrempunkt und $W_b\left(\frac{20}{b} \;\middle|\; \frac{20}{b}\mathrm{e}^{-2}\right)$ der Wendepunkt des Graphen von $h_b$. Der Koordinatenursprung wird mit $O$ bezeichnet.

Beurteilen Sie die folgende Aussage:

Alle Dreiecke $OW_bE_b$ mit $b \in \mathbb{R}^+$ sind ähnlich.