Abitur Hamburg Mathematik 2022 · GK · Teil B · Analytische Geometrie (WTR)

Ein Element eines Klettergartens ist eine ebene, viereckige Kletterwand. In einem Koordinatensystem können die Eckpunkte der Kletterwand durch die Punkte $A(6|7|4)$, $B(10|5|5)$, $C(9|5{,}5|8)$ und $D(5|7{,}5|7)$ beschrieben werden. Die $x_1x_2$-Ebene stellt den horizontalen Boden dar. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht $1\text{ m}$ in der Wirklichkeit.

a

Weisen Sie nach, dass die Kletterwand die Form eines Parallelogramms hat, aber nicht rechteckig ist.

[3 BE]

b

Zeigen Sie, dass die Kletterwand vertikal ausgerichtet ist.

[3 BE]

c

Auf der Kletterwand verläuft eine horizontale Linie, die im Modell den Punkt $D$ enthält. Diese Linie teilt die Wand in zwei Teile. Begründen Sie, dass der Flächeninhalt des unteren Teils größer ist als der des oberen Teils.

[3 BE]

Ein anderes Element des Klettergartens ist ein Stahlseil, das zwischen zwei vertikal stehenden, acht Meter hohen Masten gespannt ist. Der Fußpunkt des ersten Masts wird durch $F_1(0|0|0)$ dargestellt, der Fußpunkt des zweiten Masts durch $F_2(2{,}5|6|0)$. Das Seil ist am ersten Mast in einer Höhe von $6\text{ m}$ befestigt, am zweiten Mast in einer Höhe von $4{,}7\text{ m}$. Es soll davon ausgegangen werden, dass das Seil geradlinig verläuft.

d

Stellen Sie die beiden Masten und das Seil in einem dreidimensionalen Koordinatensystem dar.

[3 BE]

e

Bestimmen Sie die Neigung des Seils zwischen den beiden Masten in Prozent.

[3 BE]

%

f

Über das bisher betrachtete Seil hinweg ist ein zweites Stahlseil gespannt. Dieses obere Seil verläuft im Modell entlang der Gerade

$$h: \vec{x} = \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 8 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \quad \text{mit } t \in \mathbb{R}.$$

Ein Punkt des oberen Seils liegt vertikal über einem Punkt des unteren Seils. Ermitteln Sie den Abstand dieser beiden Punkte.

[5 BE]

Die Abbildung zeigt modellhaft das Dach eines Kirchturms. Die Eckpunkte der dreieckigen Giebelflächen (grau markiert) und der viereckigen Dachflächen werden durch die Punkte A, $B(8|0|0)$, $C(8|8|0)$, D, $E(4|0|6)$, $F(8|4|6)$, $G(4|8|6)$, H und $S(4|4|12)$ dargestellt. Die vier Dachflächen haben die gleiche Form und die gleiche Größe. Im verwendeten Koordinatensystem entspricht eine Längeneinheit einem Meter in der Realität. Die Materialstärken der Bauteile des Dachs sollen im Folgenden vernachlässigt werden.

a)

Die Ebene $L$ enthält die Punkte $C$, $G$ und $F$. Geben Sie eine Gleichung von $L$ in Parameterform an und zeigen Sie, dass auch $S$ in $L$ liegt.

[3 BE]

Die Abbildung zeigt modellhaft das Dach eines Kirchturms. Die Eckpunkte der dreieckigen Giebelflächen (grau markiert) und der viereckigen Dachflächen werden durch die Punkte A, $B(8|0|0)$, $C(8|8|0)$, D, $E(4|0|6)$, $F(8|4|6)$, $G(4|8|6)$, H und $S(4|4|12)$ dargestellt. Die vier Dachflächen haben die gleiche Form und die gleiche Größe. Im verwendeten Koordinatensystem entspricht eine Längeneinheit einem Meter in der Realität. Die Materialstärken der Bauteile des Dachs sollen im Folgenden vernachlässigt werden.

b)

Weisen Sie nach, dass das Viereck CGSF eine Raute ist.

c)

Gegeben sind drei Ebenen mit den folgenden Gleichungen:

$$M_1: x_1 = 8 \qquad M_2: x_1 - x_2 = 0 \qquad M_3: x_3 = 6$$

Eine dieser Ebenen stellt eine Symmetrieebene des Kirchendachs dar. Geben Sie diese Ebene an und beschreiben Sie ihre Lage.

d)

Berechnen Sie die Größe des Innenwinkels des Vierecks CGSF im Punkt S sowie den gesamten Flächeninhalt der Dachflächen.

°

e)

Die Gerade $q_1$ verläuft durch S und F, die Gerade $q_2$ durch S und G. Die beiden Geraden schneiden die $x_1x_2$-Ebene in den Punkten $Q_1$ bzw. $Q_2$. Geben Sie das Verhältnis des Abstands von $Q_1$ und $Q_2$ zum Abstand von F und G an. Begründen Sie Ihre Angabe, ohne die Koordinaten von $Q_1$ und $Q_2$ zu berechnen.

f)

Zur Stabilisierung wird zwischen den durch E und G dargestellten Giebelspitzen ein gerader Stahlträger montiert. Vom Mittelpunkt dieses Stahlträgers aus soll eine möglichst kurze Stütze zum durch $\overline{SF}$ dargestellten Balken verlaufen. Der Punkt, in dem die Stütze auf den Balken trifft, wird im Modell mit R bezeichnet; R stimmt weder mit F noch mit S überein. Beschreiben Sie, wie man die Koordinaten von R ermitteln könnte.