Abitur Brandenburg Mathematik 2026 · LK · Teil B · Analytische Geometrie (CAS)

Abbildung 1 zeigt den Körper $ABCDEF$ mit den Eckpunkten $A(2|0|-0{,}5)$, $B(3|5|-0{,}5)$, $C(-3|5|-0{,}5)$, $D(-2|0|-0{,}5)$, $E(2|5|1)$ und $F(-2|5|1)$. Dieser stellt modellhaft eine aus dem Wasser ragende Sprungschanze für Wasserski dar. Das Viereck $AEFD$ beschreibt den sogenannten Schanzentisch, die $xy$-Ebene stellt die Wasseroberfläche dar. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Realität.

Ein Wasserskifahrer fährt den Schanzentisch geradlinig hinauf, bis er die Kante erreicht, die im Modell der Strecke $\overline{EF}$ entspricht. Der anschließende Sprung beginnt an dieser Kante und endet auf der Wasseroberfläche. Insgesamt legen die Füße des Wasserskifahrers einen Weg zurück, der im Modell als Kurve in einer Ebene beschrieben werden kann, die senkrecht zur $xy$-Ebene liegt und mit $L$ bezeichnet wird. Die Ebene $L$ kann durch die Gleichung $10x - 3y = 0$ dargestellt werden. Die Orte des Absprungs und des Auftreffens auf der Wasseroberfläche werden im Modell durch die Punkte $V$ bzw. $W$ beschrieben. In Abbildung 2 ist die Kurve in der Ebene $L$ dargestellt; die eingetragene Weite des Sprungs ist die Länge einer Strecke, die im Modell ebenfalls in der Ebene $L$ liegt.

a)

Das Viereck AEFD ist ein Parallelogramm. Zeigen Sie, dass es auch ein Rechteck ist.

b)

Begründen Sie, dass die yz-Ebene eine Symmetrieebene des Körpers ABCDEF ist.

d)

Bestimmen Sie die Größe des Winkels, unter dem der Schanzentisch gegenüber der Wasseroberfläche geneigt ist.

e)

Der Teil des Schanzentischs, der sich oberhalb der Wasseroberfläche befindet, soll als Werbefläche genutzt werden. Die folgende Aussage stellt den ersten Schritt der Bestimmung des Flächeninhalts dieser Werbefläche dar:$$\text{Mit } \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -0{,}5 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 5 \\ 1{,}5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ 0 \end{pmatrix} \text{ ergibt sich } r = \frac{1}{3}.$$Geben Sie die Bedeutung dieses Wertes $\frac{1}{3}$ für $r$ im Sachzusammenhang an und berechnen Sie den Flächeninhalt dieser Werbefläche.

g)

Im gegebenen Koordinatensystem wird der beschriebene Weg beim Sprung durch die Punkte $(0{,}3a \mid a \mid -0{,}05 \cdot (a - 2{,}61) \cdot (a - 13{,}39))$ mit geeigneten Werten von $a$ dargestellt. Von Interesse ist die Weite des Sprungs, die in Abbildung 2 veranschaulicht ist. Bestimmen Sie die Weite des Sprungs auf zehntel Meter gerundet.

Abbildung 1 zeigt den Körper $ABCDEF$ mit den Eckpunkten $A(2|0|-0{,}5)$, $B(3|5|-0{,}5)$, $C(-3|5|-0{,}5)$, $D(-2|0|-0{,}5)$, $E(2|5|1)$ und $F(-2|5|1)$. Dieser stellt modellhaft eine aus dem Wasser ragende Sprungschanze für Wasserski dar. Das Viereck $AEFD$ beschreibt den sogenannten Schanzentisch, die $xy$-Ebene stellt die Wasseroberfläche dar. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Realität.

Ein Wasserskifahrer fährt den Schanzentisch geradlinig hinauf, bis er die Kante erreicht, die im Modell der Strecke $\overline{EF}$ entspricht. Der anschließende Sprung beginnt an dieser Kante und endet auf der Wasseroberfläche. Insgesamt legen die Füße des Wasserskifahrers einen Weg zurück, der im Modell als Kurve in einer Ebene beschrieben werden kann, die senkrecht zur $xy$-Ebene liegt und mit $L$ bezeichnet wird. Die Ebene $L$ kann durch die Gleichung $10x - 3y = 0$ dargestellt werden. Die Orte des Absprungs und des Auftreffens auf der Wasseroberfläche werden im Modell durch die Punkte $V$ bzw. $W$ beschrieben. In Abbildung 2 ist die Kurve in der Ebene $L$ dargestellt; die eingetragene Weite des Sprungs ist die Länge einer Strecke, die im Modell ebenfalls in der Ebene $L$ liegt.

c)

Für eine reelle Zahl $k$ ist der Vektor $\begin{pmatrix} k \\ 3 \\ -10 \end{pmatrix}$ ein Normalenvektor der Ebene, in der das Rechteck AEFD liegt. Begründen Sie ohne Rechnung, dass $k = 0$ ist.

f)

Beurteilen Sie, ob der Wasserskifahrer so über den Schanzentisch fährt, dass sein Weg im Modell in der Symmetrieebene des Körpers ABCDEF verläuft.

Ja

Nein

In einem Koordinatensystem sind die Punkte $A(12|0|0)$, $B(0|12|0)$ und $C(0|0|6)$ die Schnittpunkte der Ebene $E$ mit den Koordinatenachsen. Sie sind die Eckpunkte des in Abbildung 1 dargestellten Dreiecks $ABC$.

Betrachtet wird zusätzlich die Gerade $g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}$ mit $r \in \mathbb{R}$.

Betrachtet wird die Schar der Ebenen $E_m: x_1 + x_2 - m \cdot x_3 = 4 \cdot (1 - m)$ mit $m \in \mathbb{R}$. Jede Ebene dieser Schar entspricht einer Position, in die $E$ durch Drehung um die Gerade $g$ gebracht werden kann.

Betrachtet werden alle Dreiecke, bei denen die Eckpunkte auf drei verschiedenen Koordinatenachsen liegen. Bei solchen Dreiecken liegt jeder der drei Eckpunkte entweder auf dem positiven oder auf dem negativen Teil der zugehörigen Koordinatenachse. Dementsprechend unterscheidet man bei solchen Dreiecken zwischen acht verschiedenen Lagen; in Abbildung 2 sind zwei dieser Lagen dargestellt (Lage 1 und Lage 2).

a)

Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks $ABC$.

e)

Die Ebene $E$ wird nun durch eine solche Drehung um einen Winkel der Größe $60^\circ$ in eine neue Position gebracht. Berechnen Sie die Werte von $m$, für die die jeweilige Ebene $E_m$ einer solchen Position entspricht.

In einem Koordinatensystem sind die Punkte $A(12|0|0)$, $B(0|12|0)$ und $C(0|0|6)$ die Schnittpunkte der Ebene $E$ mit den Koordinatenachsen. Sie sind die Eckpunkte des in Abbildung 1 dargestellten Dreiecks $ABC$.

Betrachtet wird zusätzlich die Gerade $g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}$ mit $r \in \mathbb{R}$.

Betrachtet wird die Schar der Ebenen $E_m: x_1 + x_2 - m \cdot x_3 = 4 \cdot (1 - m)$ mit $m \in \mathbb{R}$. Jede Ebene dieser Schar entspricht einer Position, in die $E$ durch Drehung um die Gerade $g$ gebracht werden kann.

Betrachtet werden alle Dreiecke, bei denen die Eckpunkte auf drei verschiedenen Koordinatenachsen liegen. Bei solchen Dreiecken liegt jeder der drei Eckpunkte entweder auf dem positiven oder auf dem negativen Teil der zugehörigen Koordinatenachse. Dementsprechend unterscheidet man bei solchen Dreiecken zwischen acht verschiedenen Lagen; in Abbildung 2 sind zwei dieser Lagen dargestellt (Lage 1 und Lage 2).

b)

Bestimmen Sie eine Gleichung der Ebene $E$ in Koordinatenform.

(zur Kontrolle: $x_1 + x_2 + 2x_3 = 12$)

c)

Begründen Sie, dass die folgende Aussage falsch ist:

Für jeden Punkt $P(u|v|w)$ im Innern des Dreiecks $ABC$ gilt: Der Punkt $Q(u|w|v)$ liegt ebenfalls im Innern des Dreiecks $ABC$.

d)

Weisen Sie nach, dass die Gerade $g$ in der Ebene $E$ liegt.

f)

Für jeden Wert von $m$ mit $m \neq 0$ und $m \neq 1$ schneidet die Ebene $E_m$ die $x_1$-Achse im Punkt $A_m$, die $x_2$-Achse im Punkt $B_m$ und die $x_3$-Achse im Punkt $C_m$. Das Dreieck $A_mB_mC_m$ kann eine der beiden dargestellten Lagen annehmen, die andere nicht. Entscheiden Sie, welche der beiden Lagen nicht angenommen werden kann, und begründen Sie Ihre Entscheidung. Bestimmen Sie für die andere Lage alle zugehörigen Werte von $m$.

Lage 1

Lage 2