Abitur Brandenburg Mathematik 2026 · GK · Teil B · Analysis (WTR)

Abbildung 1 zeigt den Graphen $G$ der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f \colon x \mapsto \frac{1}{4}x^3 + \frac{1}{4}$.

b

Beschreiben Sie, wie $G$ aus dem Graphen der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $u: x \mapsto x^3$ erzeugt werden kann.

Abbildung 1 zeigt den Graphen $G$ der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f \colon x \mapsto \frac{1}{4}x^3 + \frac{1}{4}$.

a

Zeigen Sie, dass $G$ monoton steigend ist.

[2 BE]

c

Die Tangente an $G$ im Punkt $(3 \mid f(3))$ schneidet die $y$-Achse im Punkt $\left(0 \mid -\frac{53}{4}\right)$.

Bestimmen Sie eine Gleichung dieser Tangente sowie die Größe des Winkels, unter dem diese Tangente die $x$-Achse schneidet.

[4 BE]

f

Es gibt Kreise, deren Mittelpunkte auf der $y$-Achse liegen und die den Graphen der ersten Ableitungsfunktion $f'$ von $f$ in genau zwei Punkten berühren. Abbildung 2 zeigt den Graphen von $f'$ sowie einen solchen Kreis mit Berührpunkt $A\left(1 \mid \frac{3}{4}\right)$.

Bestimmen Sie rechnerisch die $y$-Koordinate des Mittelpunktes dieses Kreises.

[3 BE]

Abbildung 1 zeigt den Graphen $G$ der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f \colon x \mapsto \frac{1}{4}x^3 + \frac{1}{4}$.

d

Ermitteln Sie einen Term derjenigen Stammfunktion von $f$, deren Graph durch den Punkt $(4 \mid 16)$ verläuft.

[3 BE]

e

Für jede positive reelle Zahl $k$ gilt $\int_{-k}^{k} f(x)\,\mathrm{d}x = \int_{-k}^{k} \left(\frac{1}{4}x^3\right)\,\mathrm{d}x + \int_{-k}^{k} \frac{1}{4}\,\mathrm{d}x$.

Begründen Sie ohne Verwendung von Stammfunktionen, dass $\int_{-k}^{k} f(x)\,\mathrm{d}x = 2k \cdot \frac{1}{4}$ gilt.

[3 BE]

Abbildung 1 zeigt den Graphen $G$ der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f \colon x \mapsto \frac{1}{4}x^3 + \frac{1}{4}$.

2 Für eine jugendliche Person wird das Volumen der Luft (Luftvolumen) in der Lunge während der Ruheatmung betrachtet. Die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $h$ mit $$h(x) = \frac{1}{6} \cdot \cos\left(\frac{2\pi}{3} \cdot x\right) + \frac{8}{3}$$ beschreibt für $x \geq 0$ vereinfacht das Luftvolumen in der Lunge dieser Person. Dabei ist $x$ die seit Beobachtungsbeginn vergangene Zeit in Sekunden und $h(x)$ das Luftvolumen in Litern. In Abbildung 3 ist der Graph von $h$ dargestellt. Ein Atemzyklus umfasst einen vollständigen Aus- und Einatmungsvorgang.

a)

Berechnen Sie für die betrachtete Person das Luftvolumen in der Lunge 2,5 Sekunden nach Beobachtungsbeginn. [2 BE]

b)

Bestimmen Sie für die betrachtete Person die Anzahl der Atemzyklen pro Minute und geben Sie mithilfe von Abbildung 3 einen Zeitpunkt an, zu dem das Luftvolumen in der Lunge am stärksten zunimmt. [3 BE]

c)

Betrachtet wird der erste Atemzyklus im Beobachtungszeitraum. Geben Sie für jeden der folgenden Terme die Bedeutung im Sachzusammenhang an: [3 BE]

Aufgabe 1

Abbildung 1 zeigt den Graphen $G_f$ der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f\colon x \mapsto 3e^x + 1$.

$G_f$ schließt mit der y-Achse und den Geraden mit den Gleichungen $y = 1$ und $x = u$ mit $u < 0$ eine Fläche ein. In Abbildung 2 ist diese Fläche für einen bestimmten Wert von $u$ schraffiert dargestellt.

a

Begründen Sie anhand des Funktionsterms von $f$, dass $G_f$ keinen Schnittpunkt mit der $x$-Achse hat. Geben Sie die Wertemenge von $f$ an.

[3 BE]

f

Betrachtet wird die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $k$ mit $k(x) = 60e^{-\frac{1}{400}x} + 20$. Der Graph von $k$ kann aus dem Graphen von $f$ erzeugt werden durch eine Streckung in $y$-Richtung mit dem Faktor $20$ sowie durch weitere Veränderungen, die durch den Faktor $-\frac{1}{400}$ hervorgerufen werden. Geben Sie diese weiteren Veränderungen an.

[2 BE]

Aufgabe 1

Abbildung 1 zeigt den Graphen $G_f$ der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f\colon x \mapsto 3e^x + 1$.

$G_f$ schließt mit der y-Achse und den Geraden mit den Gleichungen $y = 1$ und $x = u$ mit $u < 0$ eine Fläche ein. In Abbildung 2 ist diese Fläche für einen bestimmten Wert von $u$ schraffiert dargestellt.

b

Betrachtet wird die Tangente $t$ an $G_f$ im Schnittpunkt von $G_f$ mit der y-Achse. Ermitteln Sie rechnerisch eine Gleichung von $t$.

(zur Kontrolle: $y = 3x + 4$)

c

Die Tangente $t$ schließt mit den Koordinatenachsen ein Dreieck ein. Berechnen Sie den Umfang des Dreiecks.

Aufgabe 1

Abbildung 1 zeigt den Graphen $G_f$ der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f\colon x \mapsto 3e^x + 1$.

$G_f$ schließt mit der y-Achse und den Geraden mit den Gleichungen $y = 1$ und $x = u$ mit $u < 0$ eine Fläche ein. In Abbildung 2 ist diese Fläche für einen bestimmten Wert von $u$ schraffiert dargestellt.

$G_f$ schließt mit der y-Achse und den Geraden mit den Gleichungen $y=1$ und $x=u$ mit $u < 0$ eine Fläche ein. In Abbildung 2 ist diese Fläche für einen bestimmten Wert von $u$ schraffiert dargestellt.

d)

Weisen Sie nach, dass sich der Inhalt der beschriebenen Fläche mit dem Term $3 - 3e^u$ berechnen lässt.

e)

Für die in Abbildung 2 schraffiert dargestellte Fläche gilt $u = -\ln 5$. Für eine Zahl $a$ teilt die Gerade mit der Gleichung $x = a$ diese Fläche in zwei Flächenstücke gleichen Inhalts. Ermitteln Sie $a$.

Speicheröfen geben beim Abkühlen über ihre Oberfläche Wärme an die Umgebung ab. Die Entwicklung der Oberflächentemperatur eines bestimmten Speicherofens bei einem Abkühlvorgang wird modellhaft durch die Funktion $k$ aus der Aufgabe 1f mit $k(x) = 60 \text{e}^{-\frac{1}{400}x} + 20$ beschrieben. Dabei ist $x$ mit $x \ge 0$ die seit Beginn des Abkühlvorgangs vergangene Zeit in Minuten und $k(x)$ die Oberflächentemperatur des Speicherofens in °C. Vereinfachend wird angenommen, dass die Oberflächentemperatur an allen Stellen des Speicherofens gleich groß ist.

a)

Geben Sie die Oberflächentemperatur des Speicherofens zu Beginn des Abkühlvorganges an.

°C

Speicheröfen geben beim Abkühlen über ihre Oberfläche Wärme an die Umgebung ab. Die Entwicklung der Oberflächentemperatur eines bestimmten Speicherofens bei einem Abkühlvorgang wird modellhaft durch die Funktion $k$ aus der Aufgabe 1f mit $k(x) = 60 \text{e}^{-\frac{1}{400}x} + 20$ beschrieben. Dabei ist $x$ mit $x \ge 0$ die seit Beginn des Abkühlvorgangs vergangene Zeit in Minuten und $k(x)$ die Oberflächentemperatur des Speicherofens in °C. Vereinfachend wird angenommen, dass die Oberflächentemperatur an allen Stellen des Speicherofens gleich groß ist.

Für die erste Ableitungsfunktion $k'$ von $k$ gilt: $k'(x) = -\frac{1}{400} \cdot 60\mathrm{e}^{-\frac{1}{400}x}$

b)

Untersuchen Sie, ob die mittlere Änderungsrate der Oberflächentemperatur innerhalb der ersten 60 Minuten des Abkühlvorgangs um mehr als 10 % von der momentanen Änderungsrate der Oberflächentemperatur 60 Minuten nach Beginn des Abkühlvorgangs abweicht. [4 Punkte]

c)

Der Term $k(x)-20$ gibt die Differenz zwischen der Oberflächentemperatur und der Umgebungstemperatur in °C in Abhängigkeit von der Zeit an. Begründen Sie, dass im verwendeten Modell die folgende Aussage wahr ist: [3 Punkte]

Es gibt eine Konstante $c$, sodass zu jedem Zeitpunkt die Differenz zwischen der Oberflächentemperatur und der Umgebungstemperatur das $c$-Fache der momentanen Änderungsrate der Oberflächentemperatur ist.