Abitur Brandenburg Mathematik 2026 · GK · Teil A · Lineare Algebra

1 Aufgabe

Gegeben ist das gleichschenklige Dreieck $OAB$ mit den Eckpunkten $O(0|0|0)$, $A(8|6|0)$ und $B(0|0|10)$.

a

Zeigen Sie, dass $OAB$ im Punkt $O$ rechtwinklig ist und die Länge der Katheten $10$ beträgt. [3 BE]

b

Betrachtet wird die Pyramide $OABS$ mit der Spitze $S$. Die Pyramide hat das Volumen $100$ und erfüllt folgende Eigenschaft: $\vec{OS} \circ \vec{OA} = 0$ und $\vec{OS} \circ \vec{OB} = 0$.

Bestimmen Sie $|\vec{OS}|$. [2 BE]

$|\vec{OS}| =$

Betrachtet wird das Dreieck $ABC$ mit den Eckpunkten $A(0|0|0)$, $B(6|2|3)$ und $C(t|-3t|0)$, wobei $t$ eine positive reelle Zahl ist.

a

Zeigen Sie, dass das Dreieck $ABC$ in $A$ einen rechten Winkel hat. [2 BE]

b

Das Dreieck $ABC$ ist gleichschenklig. Berechnen Sie $t$. [3 BE]

1 Aufgabe

Gegeben ist das folgende lineare Gleichungssystem:

$$\begin{matrix} \text{I} & -4x & & + & z & = & 4 \\ \text{II} & & 2y & - & z & = & 4 \\ \text{III} & & 4y & - & 2z & = & 8 \end{matrix}$$

Unter allen Lösungen $(x \mid y \mid z)$ des linearen Gleichungssystems werden nur diejenigen betrachtet, bei denen $x$, $y$ und $z$ negativ und ganzzahlig sind. Bestimmen Sie die Lösung mit dem größten Wert für $y$.

$($

$\mid$

$\mid$

$)$