Abitur Berlin Mathematik 2022 · LK · Teil B · Lineare Algebra (WTR)

1 Aufgabe

Das abgebildete Drachenviereck hat die Eckpunkte $A(0|0|0)$, $B(-3|4|35)$, $C(0|0|40)$ und $D(3|-4|35)$.

a

Zeigen Sie, dass die Seiten $\overline{BC}$ und $\overline{CD}$ einen rechten Winkel einschließen.

[2 BE]

b

Bestimmen Sie die Koordinaten desjenigen Punkts $E$ auf der längeren Diagonale des Drachenvierecks, für den das Viereck $BCDE$ ein Quadrat ist.

[2 BE]

c

Gegeben sind zusätzlich die Punkte $S_k(8|6|k)$ mit $k \in \mathbb{R}$. Für jeden Wert von $k$ ist das Dreieck $BDS_k$ gleichschenklig mit der Basis $\overline{BD}$. Bestimmen Sie denjenigen Wert von $k$, für den $BCS_k$ ein gleichschenkliges Dreieck mit der Basis $\overline{BC}$ ist. Begründen Sie ohne zu rechnen, dass für diesen Wert von $k$ auch das Dreieck $CDS_k$ gleichschenklig ist.

[5 BE]

Eine Werbefläche wird mit 4500 Lampen beleuchtet. Jede der Lampen kann in jeder der Farben Rot, Grün und Blau leuchten. Der Zustand der Lampen zum Zeitpunkt $n$ wird durch den Vektor $\vec{v_n} = \begin{pmatrix} r_n \\ g_n \\ b_n \end{pmatrix}$ dargestellt; dabei ist $r_n$ die Anzahl der rot leuchtenden, $g_n$ die Anzahl der grün leuchtenden und $b_n$ die Anzahl der blau leuchtenden Lampen. Der Wechsel der Farben von einem Zeitpunkt zum nächsten wird zunächst durch die Gleichung $\vec{v_{n+1}} = N \cdot \vec{v_n}$ mit $N = \begin{pmatrix} 0{,}4 & 0{,}2 & 0{,}2 \\ 0{,}3 & 0{,}2 & 0{,}5 \\ 0{,}3 & 0{,}6 & 0{,}3 \end{pmatrix}$ beschrieben.

a

Stellen Sie den Wechsel der Farben in einem Übergangsdiagramm dar. [3 BE]

b

Zu einem Zeitpunkt leuchten 1000 Lampen blau. Nach dem anschließenden Farbwechsel stimmen die drei Anzahlen der rot, grün und blau leuchtenden Lampen überein. Bestimmen Sie das Verhältnis der Anzahl der rot leuchtenden zur Anzahl der grün leuchtenden Lampen vor dem Farbwechsel. [5 BE]

Im Folgenden werden Matrizen der Form $F_a = \begin{pmatrix} a & a & 0 \\ a & a & 0 \\ 1-2a & 1-2a & 1 \end{pmatrix}$ mit $a \in \mathbb{R}_0^+$ betrachtet. Für $k \in \mathbb{N} \setminus \{0\}$ gilt $F_a^k = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} \cdot 2^k a^k & \frac{1}{2} \cdot 2^k a^k & 0 \\ \frac{1}{2} \cdot 2^k a^k & \frac{1}{2} \cdot 2^k a^k & 0 \\ 1 - 2^k a^k & 1 - 2^k a^k & 1 \end{pmatrix}$.

c

Untersuchen Sie, für welche Werte von $a$ sich jeder Eintrag von $F_a^k$ für $k \to +\infty$ einem endlichen Wert nähert. [3 BE]

d

Für $a < \frac{1}{2}$ und $k \to +\infty$ gilt $F_a^k \to \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$. Für $a \le \frac{1}{2}$ stellt die Matrix $F_a$ im Modell Farbwechsel der Lampen dar. Beschreiben Sie in Abhängigkeit von $a$, wie diese Farbwechsel ablaufen. [5 BE]