Abitur Berlin Mathematik 2022 · LK · Teil A · Lineare Algebra

1 Aufgabe

Betrachtet wird die Entwicklung einer Population von Insekten in einem abgeschlossenen Terrarium. Die Zusammensetzungen der Population werden zunächst durch Vektoren der Form $\begin{pmatrix} A \\ E \\ L \end{pmatrix}$ dargestellt. Dabei ist $A$ die Anzahl der ausgewachsenen Insekten, $E$ die Anzahl der Eier und $L$ die Anzahl der Larven. Die Veränderung dieser Anzahlen von einer Woche $n$ zur nächsten wird durch die Gleichung $\vec{v}_{n+1} = M \cdot \vec{v}_n$ mit

$$M = \begin{pmatrix} 0{,}5 & 0 & 0{,}3 \\ 30 & 0 & 0 \\ 0 & 0{,}2 & 0 \end{pmatrix}$$

beschrieben.

a)

Geben Sie die Bedeutung des Eintrags $0{,}2$ der Matrix $M$ im Sachzusammenhang an. [1 BE]

b)

Im Terrarium sind zu Beginn $30$ ausgewachsene Insekten, $10$ Eier und eine unbekannte Anzahl von Larven. Eine Woche später hat sich die Anzahl der ausgewachsenen Insekten nicht geändert. Berechnen Sie die Anzahl der Larven, die zu Beginn im Terrarium waren. [2 BE]

c)

Die Zusammensetzungen der Population sollen nun durch Vektoren der Form $\vec{w}_n = \begin{pmatrix} E \\ L \\ A \end{pmatrix}$ und die Veränderung der Anzahlen der Eier, Larven und ausgewachsenen Insekten von einer Woche zur nächsten durch die Gleichung $\vec{w}_{n+1} = N \cdot \vec{w}_n$ dargestellt werden. Geben Sie die Matrix $N$ an. [2 BE]

Gegeben ist die Matrix $M = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$.

a)

Für jeden Vektor $\vec{u} = \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \end{pmatrix}$ mit $u_1, u_2 \in \mathbb{R}$ gilt $M^2 \cdot \vec{u} = a \cdot \vec{u}$, wobei $a$ eine reelle Zahl ist. Ermitteln Sie den Wert von $a$.

$a =$

b)

Bestimmen Sie alle Vektoren $\vec{v} = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix}$ mit $v_1, v_2 \in \mathbb{R}$, für die $M \cdot \vec{v} = 2 \cdot \vec{v}$ gilt.

Betrachtet werden stochastische Matrizen, d. h. quadratische Matrizen, deren Spaltensummen jeweils gleich eins sind und in denen alle Elemente größer als null oder gleich null sind.

a

Gegeben ist die stochastische Matrix $M = \begin{pmatrix} 0{,}4 & 0{,}3 \\ 0{,}6 & 0{,}7 \end{pmatrix}$. Bestimmen Sie einen Vektor $\vec{v}$ mit $\vec{v} \neq \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$, für den $M \cdot \vec{v} = \vec{v}$ gilt. [2 BE]

\vec{v} = \left($

$\right)

b

Zeigen Sie: [3 BE]

Ist $N$ eine stochastische $2 \times 2$-Matrix und $\vec{u}$ ein Vektor mit der Spaltensumme 5, d. h. ein Vektor, bei dem die Summe der Komponenten 5 ist, dann ist auch $N \cdot \vec{u}$ ein Vektor mit der Spaltensumme 5.