Abitur Berlin Mathematik 2022 · GK · Teil B · Stochastik (WTR)

In einem Paketzentrum werden pro Jahr viele Millionen Pakete angeliefert. Die Pakete werden automatisch nach ihrem Bestimmungsort sortiert. 10 % der Pakete haben das Ziel A, 7 % das Ziel B. Die übrigen Pakete haben andere Ziele.

a)

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass von 100 zufällig ausgewählten Paketen:

b)

Unter 100 zufällig ausgewählten Paketen haben genau neun das Ziel B. Berechnen Sie die prozentuale Abweichung dieser Anzahl vom Erwartungswert für die Anzahl von Paketen mit dem Ziel B unter 100 zufällig ausgewählten Paketen.

Im Paketzentrum werden 20 Pakete zufällig ausgewählt.

c)

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass von den 20 ausgewählten Paketen keines das Ziel C hat, beträgt etwa 54 %. Ermitteln Sie den Anteil der Pakete mit dem Ziel C unter allen Paketen, die pro Jahr im Paketzentrum angeliefert werden.

d)

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses im Sachzusammenhang kann mit dem Term $$0{,}9^{14} \cdot \sum_{i=0}^3 \binom{6}{i} \cdot 0{,}1^i \cdot 0{,}9^{6-i}$$ berechnet werden. Geben Sie ein passendes Ereignis an.

In einem Paketzentrum werden pro Jahr viele Millionen Pakete angeliefert. Die Pakete werden automatisch nach ihrem Bestimmungsort sortiert. 10 % der Pakete haben das Ziel A, 7 % das Ziel B. Die übrigen Pakete haben andere Ziele.

Alle im Paketzentrum angelieferten Pakete werden im Rahmen der Sortierung gewogen. $5\,\%$ der Pakete haben eine Masse von mehr als $10\text{ kg}$ und gelten damit als schwer. Von den Paketen mit dem Ziel A sind $8\,\%$ schwer.

Ein Paket wird zufällig ausgewählt. Betrachtet werden die folgenden Ereignisse:

$S$: „Das ausgewählte Paket ist schwer.“

$Z$: „Das ausgewählte Paket hat das Ziel A.“

e

Stellen Sie den Sachzusammenhang in einer vollständig ausgefüllten Vierfeldertafel dar.

$S$

$\overline{S}$

Summe

$Z$

$\overline{Z}$

Summe

f

Untersuchen Sie, ob der Anteil der Pakete mit dem Ziel A unter den schweren Paketen ebenso groß ist wie unter den Paketen, die nicht schwer sind.

Ja

Nein

g

Von den Paketen, die das Ziel B haben, sind $2\,\%$ schwer. Entscheiden Sie, ob der Anteil der schweren Pakete unter denjenigen, die weder das Ziel A noch das Ziel B haben, kleiner als $5\,\%$, gleich $5\,\%$ oder größer als $5\,\%$ ist. Begründen Sie Ihre Entscheidung, ohne diesen Anteil zu berechnen.

Für zwei medizinische Studien zu der betrachteten Krankheit werden die Teilnehmerinnen und Teilnehmer zufällig ausgewählt. Die Anzahl der Infizierten unter den Teilnehmenden soll bei jeder der beiden Studien als binomialverteilt mit dem Parameter $p = \frac{1}{3}$ angenommen werden.

a)

Stellen Sie den beschriebenen Sachzusammenhang in einem beschrifteten Baumdiagramm dar.

b)

Ermitteln Sie den Anteil der Menschen, bei denen die Krankheit im Laufe ihres Lebens nicht ausbricht.

c)

Bei einem zufällig ausgewählten Menschen bricht die Krankheit im Laufe seines Lebens nicht aus. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass er sich im Laufe seines Lebens infiziert hat.

Für zwei medizinische Studien zu der betrachteten Krankheit werden die Teilnehmerinnen und Teilnehmer zufällig ausgewählt. Die Anzahl der Infizierten unter den Teilnehmenden soll bei jeder der beiden Studien als binomialverteilt mit dem Parameter $p = \frac{1}{3}$ angenommen werden.

2 Für zwei medizinische Studien zu der betrachteten Krankheit werden die Teilnehmerinnen und Teilnehmer zufällig ausgewählt. Die Anzahl der Infizierten unter den Teilnehmenden soll bei jeder der beiden Studien als binomialverteilt mit dem Parameter $p = \frac{1}{3}$ angenommen werden.

a)

Bei der ersten Studie beträgt der Erwartungswert für die Anzahl der Infizierten unter den Teilnehmenden 200. Berechnen Sie die Anzahl der Teilnehmenden sowie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass davon genau 200 infiziert sind.

%

b)

Bei der zweiten Studie ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass von den Teilnehmenden genau 30 infiziert sind, etwa 3,6 %. Bestimmen Sie eine mögliche Anzahl der Teilnehmenden.

Für zwei medizinische Studien zu der betrachteten Krankheit werden die Teilnehmerinnen und Teilnehmer zufällig ausgewählt. Die Anzahl der Infizierten unter den Teilnehmenden soll bei jeder der beiden Studien als binomialverteilt mit dem Parameter $p = \frac{1}{3}$ angenommen werden.

3 Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Krankheit bei einem infizierten Menschen ausbricht, hängt von verschiedenen Faktoren (z. B. vom Immunsystem) ab. Die Abbildung zeigt für drei verschiedene Risikogruppen A, B und C für jeweils 1000 infizierte Menschen die Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Anzahl der Menschen, bei denen die Krankheit ausbricht.

a)

Beurteilen Sie jede der beiden folgenden Aussagen:

I Für die Risikogruppen B und C sind die Wahrscheinlichkeiten dafür, dass die Krankheit bei genau 99 von 1000 infizierten Menschen ausbricht, etwa gleich groß.

II Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Krankheit ausbricht, ist für infizierte Menschen der Risikogruppe C geringer als für infizierte Menschen der beiden anderen Risikogruppen.

b)

Beurteilen Sie die folgende Behauptung:

Für binomialverteilte Zufallsgrößen mit den Parametern $n = 1000$ und $p$ mit $0 < p < 0{,}5$ nimmt die Varianz mit steigendem Wert von $p$ zu.