Apuntes de Física PAU Murcia: temario, esquemas y formulario

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APUNTES FÍSICA EBAU Región de Murcia AprenAI 2026-2027 Todo el temario de Física de 2.º de Bachillerato para la PAU (EBAU) de Murcia en 38 temas, cada uno con esquema y test, y formulario final.

APREN.AI Índice Bloque 1: Campo gravitatorio 1 Ley de gravitación universal y campo gravitatorio 8 La ley de gravitación universal 9 El campo gravitatorio y su intensidad 10 Planetas como masas puntuales 11 Valor de g en la superficie y con la altura 11 2 Superposición, líneas de campo y cinemática en el campo 12 Principio de superposición 12 Método paso a paso 12 Líneas de campo gravitatorio 13 Punto de campo nulo entre m y 4m 14 Cinemática en el campo 15 3 Momento angular y fuerzas centrales 15 Momento de una fuerza respecto a un punto 16 Momento angular de una partícula 16 Tipos de campo: newtoniano, central y conservativo 17 Conservación del momento angular 18 Consecuencias: órbita plana y velocidad areolar constante 18 Perihelio y afelio 18 4 Leyes de Kepler 20 Las tres leyes de Kepler 20 Justificación newtoniana 21 Uso en problemas 22 5 Energía potencial y potencial gravitatorio 24 Fuerzas conservativas y energía potencial 24 Energía potencial gravitatoria 25 Signo del trabajo 26 Potencial gravitatorio 26 Campo y potencial; aproximación Ep = mgh 27 6 Energía mecánica, trayectorias y velocidad de escape 28 Energía mecánica y su conservación 28 Tipo de trayectoria según el signo de Em 30 Velocidad de escape desde la superficie 31 Escapar desde una órbita 32 Apuntes de Física PAU Murcia: temario, esquemas y formulario 1 7 Satélites: velocidad orbital, energía y órbita geoestacionaria 34 Velocidad orbital y periodo 35 Energía en órbita circular 36 Energía de satelización y cambio de órbita 36 Tipos de órbita y órbita geoestacionaria 37 8 Cosmología: Big Bang, expansión, materia y energía oscuras 39 El Big Bang y sus tres pruebas 39 Ley de Hubble 39 Materia oscura y energía oscura 40 Agujeros negros y radio de Schwarzschild 40 Repercusión tecnológica y social 40 Cronología breve 41 Campo eléctrico 9 Ley de Coulomb, campo eléctrico y superposición 42 Ley de Coulomb 43 Intensidad del campo eléctrico 44 Superposición de varias cargas 44 Comparación con el campo gravitatorio 46 10 Flujo eléctrico y ley de Gauss 46 Flujo eléctrico: cuánto campo atraviesa una superficie 47 La ley de Gauss 47 Aplicación paso a paso: esfera cargada 47 Campo nulo dentro de un conductor en equilibrio 48 Analogía con la gravitación 49 11 Potencial, energía potencial y trabajo 50 1.

El trabajo del campo eléctrico y por qué es conservativo 50 2. Energía potencial eléctrica de dos cargas 51 3. Potencial eléctrico 51 4. Energía potencial de un sistema de cargas 52 5. Trabajo del campo frente a trabajo externo 52 6.

Conservación de la energía y electronvoltio 53 12 Líneas de campo y superficies equipotenciales 55 Reglas para dibujar líneas de campo eléctrico 55 Carga aislada y dipolo 55 Leer un mapa de líneas 56 Superficies equipotenciales 56 Por qué el trabajo es nulo sobre una equipotencial 56 Dibujo cualitativo de dos cargas iguales y opuestas 56 Apuntes de Física PAU Murcia: temario, esquemas y formulario 2 13 Movimiento de cargas en un campo eléctrico uniforme 58 El campo uniforme entre dos placas paralelas 58 Segunda ley de Newton para una carga 59 Trayectoria rectilínea: aceleración o frenado 60 Trayectoria parabólica: entrada perpendicular 60 Aplicaciones 61 Campo magnético 14 Fuerza de Lorentz y movimiento de cargas en un campo magnético 64 La fuerza de Lorentz 65 El campo magnético no hace trabajo 66 Trayectoria según el ángulo entre v y B 67 Radio y periodo de la órbita circular 67 Aplicaciones 68 15 Campos creados por corrientes y líneas de campo magnético 69 De dónde salen las fórmulas: la ley de Biot y Savart 69 Las cuatro configuraciones del examen 70 Superposición de campos 72 Líneas de campo magnético 73 16 Fuerzas sobre conductores y fundamento del motor 74 Fuerza sobre un conductor rectilíneo 74 Fuerza entre dos conductores paralelos 75 Espira rectangular en un campo uniforme 76 Motor eléctrico de corriente continua 77 Inducción electromagnética 17 Flujo magnético y leyes de Faraday y Lenz 79 Flujo magnético 80 Ley de Faraday y ley de Lenz 81 Tres formas de variar el flujo 82 18 Generadores y transformadores 84 El alternador: una bobina que gira en un campo uniforme 84 Solenoide con corriente sinusoidal 86 El transformador 86 Por qué se transporta la energía a alta tensión 87 Vibraciones y ondas 19 Cinemática del movimiento armónico simple 88 Movimientos periódicos, oscilatorios y armónicos 89 Ecuación de la posición 90 Apuntes de Física PAU Murcia: temario, esquemas y formulario 3 Velocidad y aceleración 91 Gráficas de x, v y a frente a t 91 Fase inicial a partir de las condiciones iniciales 91 20 Dinámica y energía del MAS: muelle y péndulo 93 De la ley de Hooke a la frecuencia angular del muelle 93 El péndulo simple en pequeñas oscilaciones 94 Energía del oscilador armónico 95 21 Ondas: concepto, clasificación y función de onda 97 Qué es una onda y cómo se relaciona con el MAS 98 Clasificación de las ondas 98 Magnitudes de una onda armónica 100 La función de onda 101 Velocidad y aceleración de vibración 101 Diferencia de fase 102 22 Interpretación de gráficas de ondas 103 Dos gráficas distintas para la misma onda 103 Método: de la gráfica a la ecuación 104 Hacia dónde se mueve cada punto 105 23 Ondas en la naturaleza y ondas estacionarias 106 Ondas en la naturaleza 106 Superposición e interferencia 107 Ondas estacionarias 107 Cuerda con los dos extremos fijos 108 24 El sonido: cualidades, intensidad y nivel en decibelios 110 El sonido: una onda mecánica longitudinal 110 Cualidades del sonido 110 Intensidad de una onda y onda esférica 111 Nivel de intensidad sonora: la escala de decibelios 112 Contaminación acústica 113 Suma de varias fuentes 113 25 Efecto Doppler 115 Qué es el efecto Doppler 115 Por qué cambia la frecuencia: los frentes de onda 115 La fórmula y su criterio de signos 116 Problema típico: hallar la velocidad de la fuente 117 Aplicaciones 117 Óptica 26 Naturaleza de la luz y espectro electromagnético 119 Apuntes de Física PAU Murcia: temario, esquemas y formulario 4 El debate histórico: corpúsculos frente a ondas 120 Maxwell, Planck, Einstein y la doble naturaleza 121 La velocidad de la luz 121 La luz como onda electromagnética 122 El espectro electromagnético 123 27 Reflexión, refracción y reflexión total 124 Qué ocurre cuando la luz llega a otro medio 124 Leyes de la reflexión 125 Índice de refracción: qué cambia al pasar de medio 125 Leyes de la refracción.

Ley de Snell 125 Ángulo límite y reflexión total 126 Lámina de caras paralelas 127 Dispersión de la luz 128 28 Óptica geométrica: criterio DIN y espejos 129 Conceptos básicos 130 Criterio de signos DIN 131 Espejo plano 131 Espejos esféricos 131 Trazado de rayos principales 132 29 Lentes delgadas 134 Qué es una lente y qué tipos hay 134 Ecuaciones de las lentes delgadas 135 Potencia y ecuación del fabricante 136 Trazado de rayos 136 Gráfica de s' frente a s 138 30 Telescopios y el ojo humano 139 Tipos de telescopio 139 El telescopio de Galileo 140 El ojo humano 141 Ametropías y su corrección 141 Física relativista y cuántica 31 Relatividad especial 143 El problema del éter y el experimento de Michelson-Morley 144 Los postulados de Einstein (1905) 144 El factor de Lorentz 145 Dilatación del tiempo y contracción de la longitud 145 Masa y energía relativistas 146 32 Fotones y efecto fotoeléctrico 147 Apuntes de Física PAU Murcia: temario, esquemas y formulario 5 De la catástrofe ultravioleta a la hipótesis de Planck 148 El efecto fotoeléctrico: hechos experimentales 149 La ecuación de Einstein 150 Potencial de frenado 151 La gráfica Ec,máx frente a f 152 Número de fotones 152 33 Dualidad onda-corpúsculo e incertidumbre 153 La hipótesis de De Broglie 154 Longitud de onda de un electrón acelerado 155 Principio de incertidumbre de Heisenberg 155 Más allá: función de onda 156 Física nuclear y de partículas 34 Modelo estándar y aceleradores 158 Las cuatro interacciones fundamentales 159 Clasificación de las partículas: fermiones y bosones 159 Protón, neutrón y estructura del átomo 160 Aceleradores de partículas 161 35 El núcleo: isótopos, defecto de masa y energía de enlace 161 Constitución del núcleo: Z, N y A 162 Isótopos 162 Fuerza nuclear fuerte 163 Defecto de masa y energía de enlace 163 Energía de enlace por nucleón y estabilidad 164 36 Radiactividad: tipos de radiaciones y efectos biológicos 165 Descubrimiento de la radiactividad 165 Los tres tipos de radiación 166 Leyes de desplazamiento (Soddy y Fajans) 167 Efectos biológicos y protección 167 37 Ley de desintegración radiactiva y datación 169 La ley de desintegración radiactiva 169 Semivida y vida media 170 Datación por carbono-14 171 38 Fisión, fusión y aplicaciones nucleares 173 Por qué los núcleos liberan energía al cambiar 173 Fisión nuclear 173 Fusión nuclear 175 Comparación para la generación de energía 175 Energía liberada en una reacción 176 Apuntes de Física PAU Murcia: temario, esquemas y formulario 6 Aplicaciones de la física nuclear 176 39 Formulario 177 Campo gravitatorio 177 Campo eléctrico 178 Campo magnético 178 Inducción electromagnética 179 Vibraciones y ondas 179 Óptica 180 Física relativista y cuántica 180 Física nuclear y de partículas 181 Valores y constantes 181 Errores típicos 181 Soluciones de las preguntas de repaso 183 Apuntes de Física PAU Murcia: temario, esquemas y formulario 7 20 % de los puntos del examen 1 Ley de gravitación universal y campo gravitatorio AL ACABAR SABRÁS Escribir la ley de gravitación en forma vectorial con el signo correcto de Calcular la intensidad de campo gravitatorio en la superficie y a una altura h Comprobar por análisis dimensional las unidades de G y de g Justificar por qué un planeta se trata como una masa puntual PIÉNSALO ANTES DE LEER 1 Si subes a una montaña muy alta, ¿pesas lo mismo que a nivel del mar?

La ley de gravitación universal de Newton describe la fuerza con que se atraen dos masas cualesquiera. A partir de ella se define el campo gravitatorio, que permite saber qué fuerza sufrirá cualquier masa colocada en un punto del espacio.

BLOQUE 1 Campo gravitatorio 1 Ley de gravitación universal y campo gravitatorio 2 Superposición, líneas de campo y cinemática en el campo 3 Momento angular y fuerzas centrales 4 Leyes de Kepler 5 Energía potencial y potencial gravitatorio 6 Energía mecánica, trayectorias y velocidad de escape 7 Satélites: velocidad orbital, energía y órbita geoestacionaria 8 Cosmología: Big Bang, expansión, materia y energía oscuras u r Apuntes de Física PAU Murcia: temario, esquemas y formulario 8 ESQUEMA Campo gravitatorio La ley de gravitación universal Dos partículas con masa se atraen siempre. La fuerza crece con el producto de las masas y disminuye con el cuadrado de la distancia entre ellas.

Si duplicas la distancia, la fuerza se hace cuatro veces menor. Para escribirla como vector necesitamos el vector unitario radial : un vector de módulo 1 que apunta desde la masa que crea el campo, M, hacia la masa que sufre la fuerza, m. El signo menos indica que la fuerza sobre m apunta en sentido contrario a , es decir, hacia M: la gravedad siempre es atractiva. La constante de gravitación vale G = 6,67·10 ¹¹ N·m²/kg² y suele darse en el enunciado. Es tan pequeña que la atracción solo se nota cuando una de las masas es enorme, como un planeta. Características de la fuerza gravitatoria: Dirección: la de la recta que une las dos masas.

Pareja de fuerzas: M atrae a m y m atrae a M con fuerzas del mismo módulo y dirección, pero sentido contrario (acción y reacción). Acción a distancia: actúa sin necesidad de ningún medio material entre las masas. Varias masas: la fuerza total se obtiene sumando vectorialmente (véase «Bloque 1: Campo gravitatorio — Superposición, líneas de campo y cinemática en el campo»).

Fuerza y campo Ley de Newton, g = F/m Superposición y líneas Varias masas, mapas de campo Momento angular Fuerzas centrales Leyes de Kepler Órbitas planetarias Energía Potencial y energía mecánica Velocidad de escape Salir del campo Satélites Velocidad orbital, geoestacionaria Cosmología Big Bang, materia oscura ur = F G r2 M m ur ur Apuntes de Física PAU Murcia: temario, esquemas y formulario 9 Esquema de las fuerzas de atracción mutua entre dos masas La ley tiene muchas aplicaciones: calcular la fuerza sobre un satélite en órbita, poner satélites alrededor de la Tierra o de otros planetas, lanzar naves fuera del campo terrestre o hallar la gravedad a distintas alturas.

COMPRUEBA 2 Si la Tierra atrae a una manzana con 2 N, ¿con qué fuerza atrae la manzana a la Tierra? El campo gravitatorio y su intensidad La idea de campo explica la acción a distancia en dos pasos. Primero, la masa M modifica el espacio que la rodea. Después, ese campo actúa sobre cualquier masa m que se coloque allí. DEFINICIÓN La intensidad del campo gravitatorio en un punto es la fuerza por unidad de masa que actuaría sobre una masa colocada en ese punto. La fuerza depende de las dos masas, pero el campo solo depende de la masa que lo crea y de la distancia. Conocido , la fuerza sobre cualquier masa es . Así se obtiene el peso: .

El campo es una magnitud vectorial, radial y dirigida hacia la masa que lo crea. Se anula solo cuando . Sus unidades son N/kg, que equivalen a m/s². Por eso el campo coincide con la aceleración que adquiere un cuerpo que cae libremente. ANÁLISIS DIMENSIONAL Comprobar unidades detecta errores. De se despeja , así que G se mide en N·m²/kg². Para el campo: . Como , resulta . Si una expresión de g no da m/s², está mal.

g = g = m F G r2 M ur g = F m g P = m g r F = GMm/r2 G = Fr /(Mm) 2 kg2 N m2 = m2 kg kg N 1 N = 1 kg m/s2 N/kg = m/s2 Apuntes de Física PAU Murcia: temario, esquemas y formulario 10 Planetas como masas puntuales Planetas y estrellas se aproximan como esferas homogéneas: densidad igual en todo su volumen. Con esa aproximación, fuera de la esfera el campo es el mismo que crearía toda su masa concentrada en el centro. Por eso podemos usar la fórmula de la masa puntual para la Tierra, siempre que el punto esté fuera de ella. La Tierra no es una esfera perfecta ni homogénea. Por eso el valor real de g cambia ligeramente de un lugar a otro.

Valor de g en la superficie y con la altura La distancia r se mide siempre desde el centro del planeta. En la superficie, ; a una altura h sobre ella, . EJEMPLO Dividiendo ambas fórmulas se obtiene una relación útil, sin necesidad de G ni M: Si h es muy pequeña frente a R, g casi no cambia y se toma . ERROR FRECUENTE Poner solo la altura h en lugar de R + h, o dejar R en km. Usa siempre la distancia al centro y pásala a metros antes de sustituir; si no, g sale con potencias de 10 absurdas. COMPRUEBA 3 ¿Cuánto vale g a una altura de 2R sobre la superficie terrestre? IDEAS CLAVE La fuerza gravitatoria es : siempre atractiva, con de M hacia m.

El campo gravitatorio es la fuerza por unidad de masa y solo depende de la masa que lo crea. Las unidades de g son N/kg, equivalentes a m/s². Fuera de una esfera homogénea, su campo es el de una masa puntual en su centro. r se mide desde el centro: . r = R r = R + h g = 0 g(h) = R2 GM (R + h)2 GM Datos: M 5,97·10² kg, R 6370 km = 6,37·10 m. 1 En la superficie: . 2 g = 0 (6,37 10 ) 6 2 6,67 10 5,97 10 11 24 9,8 m/s2 A h = R (r = 2R) la distancia se duplica, luego g se divide entre 4: .

3 g 2,45 m/s2 g(h) = g 0 (R + h)2 R2 g g = 0 9,8 m/s2 = F GMm/r 2 ur ur g(h) = GM/(R + h)2 Apuntes de Física PAU Murcia: temario, esquemas y formulario 11 20 % de los puntos del examen COMPRUEBA LO QUE HAS APRENDIDO 4. ¿Por qué aparece un signo menos en la expresión vectorial del campo? 5. ¿De qué depende la intensidad de campo en un punto?

BLOQUE 1: CAMPO GRAVITATORIO 2 Superposición,líneas de campo y cinemática en el campo AL ACABAR SABRÁS Calcular el campo gravitatorio de varias masas puntuales en un plano con el principio de superposición Dibujar e interpretar las líneas de campo de una y de dos masas Determinar el punto de campo nulo entre dos masas Resolver problemas de caída y saltos en otros planetas con g como aceleración PIÉNSALO ANTES DE LEER 6 Entre la Tierra y la Luna hay un punto donde una nave no notaría la gravedad de ninguna de las dos. ¿Estará más cerca de la Tierra o de la Luna? Principio de superposición Cuando hay varias masas, cada una crea su propio campo en un punto P sin que las demás lo alteren.

El campo total en P es la suma vectorial de todos ellos. Esto es el principio de superposición. La intensidad de campo de cada masa ya se estudió en «Bloque 1: Campo gravitatorio — Ley de gravitación universal y campo gravitatorio». DEFINICIÓN El campo resultante en un punto es la suma vectorial de los campos individuales: Aquí es la distancia de la masa al punto P. El vector va de esa masa hacia P. Una masa esférica se trata como puntual, situada en su centro. Lo mismo vale para la fuerza: . Método paso a paso = g + g1 + g2 + = gn i r i 2 GM i ur i r i M i ur i = F m g Dibujar las masas, el punto P y unos ejes. Cada apunta desde P hacia la masa que lo crea (el campo siempre atrae).

1 gi Calcular cada módulo con , usando la distancia de cada masa al punto. 2 g = i GM /r i i 2 Apuntes de Física PAU Murcia: temario, esquemas y formulario 12 Gráficamente, dos vectores se suman con la regla del paralelogramo. Se dibujan ambos desde P y se completa el paralelogramo con paralelas. La diagonal que sale de P es el campo resultante. EJEMPLO Dos masas iguales M están en ( 3, 0) m y (3, 0) m. Buscamos en P(0, 4) m. Cada masa dista m de P, así que ambos módulos valen . Cada vector apunta de P hacia su masa: y . Las componentes x se cancelan por simetría. Queda . ERROR FRECUENTE Sumar módulos en lugar de vectores. En el ejemplo, sumar módulos daría , y no es correcto.

Otro fallo típico es usar la separación entre las masas (6 m) en vez de la distancia de cada masa al punto (5 m). COMPRUEBA 7 En el centro de un cuadrado con cuatro masas iguales en los vértices, ¿cuánto vale el campo? Líneas de campo gravitatorio Las líneas de campo representan el campo vectorial. En cada punto, el vector es tangente a la línea. Una flecha indica su sentido. La densidad de líneas indica el módulo: el número de líneas por unidad de superficie es proporcional a g. Una masa: líneas radiales que llegan a la masa desde todas direcciones. Están más juntas cerca de ella, donde g es mayor.

Dos masas: lejos del sistema, las líneas parecen las de una sola masa igual a la suma de ambas. Entre las dos masas, las líneas se curvan hacia una u otra. Hay un punto en el eje sin ninguna línea: allí el campo es nulo. Las líneas gravitatorias nunca nacen en una masa, siempre mueren en ellas, porque la gravedad solo atrae. Además, dos líneas no se cortan nunca, porque en cada punto el campo tiene una sola dirección. Escribir cada vector con su unitario: , o bien el vector posición dividido por su módulo. 3 = ur (cos α, sin α) Sumar componentes x por un lado e y por otro.

4 Aprovechar simetrías: si dos masas iguales están colocadas simétricamente respecto a P, las componentes perpendiculares al eje de simetría se anulan. 5 g r = = 3 + 4 2 2 5 g = 1 g = 2 GM/25 = g1 ( 0,6, 0,8) 25 GM = g2 (0,6, 0,8) 25 GM = g = 25 1,6 GM j 0,064 GM j 2GM/25 g Apuntes de Física PAU Murcia: temario, esquemas y formulario 13 PROCESO Calcular el campo de varias masas Punto de campo nulo entre m y 4m Entre dos masas, los dos campos apuntan en sentidos opuestos. Por eso existe un punto donde se anulan. Fuera del segmento que las une, ambos campos tienen el mismo sentido y no se pueden anular. EJEMPLO Una masa m está en x = 0 y otra 4m en x = d.

Llamamos x a la distancia del punto buscado a m. La distancia a 4m es d x. Igualamos los módulos: Se toma solo la raíz positiva. La negativa da x = d, un punto exterior donde los campos no son opuestos. El punto queda a d/3 de la masa pequeña. PARA RECORDARLO El punto de campo nulo está siempre más cerca de la masa menor. Ejemplo real: entre la Tierra y la Luna, ese punto está mucho más cerca de la Luna. COMPRUEBA 8 Si las masas fueran iguales, ¿dónde estaría el punto de campo nulo?

Dibujar Masas, punto y ejes; cada g apunta hacia su masa 1 Distancias al punto Distancia de cada masa al punto, no entre masas 2 Módulos g_i = G·M_i/r_i² para cada masa 3 Vectores unitarios Expresar cada campo en componentes x e y 4 Sumar componentes Sumar x con x e y con y; usar simetrías 5 = x2 Gm (d x)2 G 4m (d x) = 2 4x 2 d x = 2x x = 3 d Apuntes de Física PAU Murcia: temario, esquemas y formulario 14 20 % de los puntos del examen Cinemática en el campo Una masa m que solo sufre la fuerza gravitatoria cumple . Por tanto, su aceleración es el propio campo y no depende de su masa. Cerca de la superficie, g es casi constante.

Así se aplican las fórmulas del movimiento uniformemente acelerado, con del planeta. EJEMPLO En un planeta donde es la mitad que en la Tierra, saltamos con la misma velocidad inicial . La altura máxima es . Al reducirse g a la mitad, la altura se duplica. El tiempo de subida, , también se duplica. COMPRUEBA 9 ¿Caen igual un martillo y una pluma soltados a la vez en la Luna? IDEAS CLAVE El campo total en un punto es la suma vectorial de los campos de cada masa. Cada campo apunta desde el punto hacia la masa que lo crea; se suman componentes. Las simetrías anulan componentes y ahorran cálculos. Las líneas de campo gravitatorio terminan en las masas, no se cortan y su densidad indica g.

Entre m y 4m separadas d, el campo es nulo a de m. La aceleración de un cuerpo en caída libre es igual a y no depende de su masa. COMPRUEBA LO QUE HAS APRENDIDO 10. ¿Por qué no puede anularse el campo de dos masas en un punto exterior al segmento que las une? 11. ¿Qué indica que las líneas de campo estén más juntas en una zona?

BLOQUE 1: CAMPO GRAVITATORIO 3 Momento angular y fuerzas centrales AL ACABAR SABRÁS Calcular el momento angular de una partícula y su sentido con la regla de la mano derecha Demostrar que el momento angular se conserva en un campo central Deducir la órbita plana y la velocidad areolar constante a partir de L Relacionar velocidades y distancias en perihelio y afelio con rp·vp = ra·va m = a m g g = 0 GM/R2 g 0 v 0 h = v /(2g ) 0 2 0 t = v /g 0 0 d/3 g Apuntes de Física PAU Murcia: temario, esquemas y formulario 15 PIÉNSALO ANTES DE LEER 12 ¿Por qué un cometa va mucho más rápido cuando pasa cerca del Sol que cuando está lejos?

Momento de una fuerza respecto a un punto Una fuerza no solo empuja: también puede hacer girar un cuerpo alrededor de un punto. Esa capacidad de giro se mide con el momento de una fuerza. DEFINICIÓN El momento de una fuerza respecto a un punto O es el producto vectorial del vector posición (que va de O al punto donde actúa la fuerza) por la fuerza: Su módulo es: Aquí es el ángulo entre y . La distancia es la distancia mínima desde O hasta la recta de acción de la fuerza (el «brazo»). Por eso el momento no cambia si la fuerza se desliza a lo largo de su recta de acción: sigue siendo el mismo. Esquema del momento de una fuerza y su brazo b Si y son paralelos, y el momento es nulo.

Esto pasará con las fuerzas centrales. Momento angular de una partícula El momento angular es el equivalente de rotación del momento lineal . Mide «cuánto gira» una partícula respecto a un punto. F r = MO × r F = MO r F sin θ = F b, b = r sin θ θ r F b b r F sin θ = 0 = p mv Apuntes de Física PAU Murcia: temario, esquemas y formulario 16 DEFINICIÓN Módulo: . Unidades: , equivalentes a . Esquema del momento angular de una partícula en su trayectoria Si y son perpendiculares, y queda . Ocurre en toda la órbita circular y en algunos puntos de otras órbitas. Propiedades comunes de los dos momentos Se calculan respecto a un punto: su valor depende del punto elegido.

Son vectores perpendiculares al plano que forman y (o y ). Su sentido sigue la regla de la mano derecha (o del tornillo): curva los dedos de hacia (o ); el pulgar marca el sentido. Es el sentido en que avanzaría un tornillo al girar así. COMPRUEBA 13 Un planeta gira en sentido antihorario visto desde arriba alrededor del Sol. ¿Hacia dónde apunta su momento angular respecto al Sol? Tipos de campo: newtoniano, central y conservativo Tipo Qué significa ¿El gravitatorio lo es? Newtoniano La fuerza es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia, . Sí (véase «Ley de gravitación universal y campo gravitatorio»).

Central La fuerza tiene dirección radial desde un centro fijo y su módulo solo depende de la distancia a ese centro. Sí: apunta siempre hacia la masa que crea el campo. Conservativo El trabajo entre dos puntos no depende del camino; en un camino cerrado es cero. Permite definir una energía potencial. Sí (se desarrolla en «Energía potencial y potencial gravitatorio»). = LO × r = p × r mv L = r m v sin θ kg m /s 2 J s r v sin θ = 1 L = rmv r F r p r F p F 1/r2 Apuntes de Física PAU Murcia: temario, esquemas y formulario 17 Las fuerzas gravitatorias y las elásticas de un muelle son ejemplos de fuerzas centrales. Si tomamos el centro fijo como origen, y son siempre paralelos.

Conservación del momento angular Derivamos respecto al tiempo con la regla del producto: ERROR FRECUENTE Decir que L se conserva «porque no hay fuerza». Sí hay fuerza (la gravedad); lo que es nulo es su momento, porque la fuerza es paralela a . Y solo respecto al centro de fuerzas: respecto a otro punto no se conserva. Consecuencias: órbita plana y velocidad areolar constante Dirección constante órbita plana. es siempre perpendicular a y . Si su dirección no cambia, y quedan siempre en el mismo plano. Además, el sentido constante implica que el planeta siempre gira en el mismo sentido.

Esto justifica parte de la primera ley de Kepler; que la órbita sea elíptica no se demuestra en Bachillerato (véase «Leyes de Kepler»). Módulo constante velocidad areolar constante. En un tiempo el radio vector barre un triángulo, la mitad del paralelogramo formado por y : El planeta barre áreas iguales en tiempos iguales: es la segunda ley de Kepler. En problemas, la velocidad areolar se calcula como área total entre periodo: (círculo) o (elipse). COMPRUEBA 14 Si un planeta tuviera el doble de masa en la misma órbita, ¿cambiaría su velocidad areolar?

Perihelio y afelio En una órbita elíptica el perihelio (o perigeo, si gira en torno a la Tierra) es el punto más cercano al astro central; el afelio (apogeo) es el más lejano. En general se llaman periastro y apoastro. En ambos puntos , así que y, al conservarse L: r F L = dt dL × dt dr m + v × r m = dt dv × v m + v × r F El primer término es nulo: un vector por sí mismo (paralelo) da producto vectorial cero. 1 Queda , la ecuación fundamental de la dinámica de rotación. Es la análoga a . 2 = dt dL × r = F MO = F dt d p En un campo central , luego . 3 r F = MO 0 Por tanto dL/dt = 0: L es constante en módulo, dirección y sentido.

4 r L r v r v dt r dr dA = × 2 1 r d r = dt dA × 2 1 r = v = 2m L cte πr /T 2 πab/T r v L = rmv m r v = p p m r v a a r v = p p r v a a Apuntes de Física PAU Murcia: temario, esquemas y formulario 18 Como , resulta más rápido cuanto más cerca del foco ocupado. PROCESO De la fuerza central a Kepler EJEMPLO Un cometa pasa por el perihelio a m con m/s. Su afelio está a m. Despejamos: m/s. Cinco veces más lejos, cinco veces más lento. ERROR FRECUENTE Aplicar en cualquier punto de la elipse. Solo vale donde (perihelio y afelio). En otro punto hay que usar . IDEAS CLAVE El momento de una fuerza es y el momento angular ; su sentido sigue la regla de la mano derecha.

; en un campo central r y F son paralelos, M es nulo y L se conserva. El campo gravitatorio es newtoniano, central y conservativo. L constante en dirección implica órbita plana; en módulo, velocidad areolar constante . En perihelio y afelio , porque allí r es perpendicular a v.

r < p r a Fuerza central F paralela a r respecto al centro 1 Momento nulo M = r × F = 0 2 L constante dL/dt = 0 3 Órbita plana Dirección de L fija 4 Áreas iguales dA/dt = L/2m constante 5 rp·vp = ra·va Más rápido en el perihelio, más lento en el afelio 6 r = p 1 1011 v = p 5 104 r = a 5 1011 v = a = r a r v p p = 5 1011 10 5 10 11 4 1 104 r v = 1 1 r v 2 2 r v rv sin θ = MO × r F = L × r mv d /dt = L MO L/2m r v = p p r v a a Apuntes de Física PAU Murcia: temario, esquemas y formulario 19 20 % de los puntos del examen COMPRUEBA LO QUE HAS APRENDIDO 15. ¿Por qué es nulo el término en la derivada de L? 16. ¿Qué consecuencia tiene que L sea constante en dirección? 17.

¿Cuáles son las unidades del momento angular en el SI? BLOQUE 1: CAMPO GRAVITATORIO 4 Leyes de Kepler AL ACABAR SABRÁS Enunciar las tres leyes de Kepler y justificarlas con la dinámica de Newton Deducir la expresión T² = 4π²r³/(GM) igualando la fuerza gravitatoria a la centrípeta Comparar periodos y radios de dos órbitas mediante cocientes Calcular la masa de un astro a partir del periodo y el radio de un satélite PIÉNSALO ANTES DE LEER 18 ¿Por qué Mercurio da la vuelta al Sol en menos de tres meses y la Tierra tarda un año? Las tres leyes de Kepler Kepler formuló sus leyes analizando las medidas astronómicas de Tycho Brahe.

Describen cómo se mueven los planetas (cinemática), pero no explican por qué. La explicación llegó después con Newton y su ley de gravitación universal (véase «Bloque 1: Campo gravitatorio — Ley de gravitación universal y campo gravitatorio»). Kepler pensó en planetas alrededor del Sol, pero las leyes valen para cualquier cuerpo que orbita un astro central por gravedad: lunas, satélites artificiales o sondas. 1. Ley de las órbitas. Los planetas describen órbitas elípticas con el Sol en un foco. 2. Ley de las áreas. El radio vector que une el Sol con el planeta barre áreas iguales en tiempos iguales. Es decir, la velocidad areolar (área barrida por unidad de tiempo) es constante. 3.

Ley de los periodos. El cuadrado del periodo es proporcional al cubo del semieje mayor: . El periodo es el tiempo que tarda el cuerpo en dar una vuelta completa. DEFINICIÓN Una elipse es la curva formada por los puntos cuya suma de distancias a dos puntos fijos (los focos) es constante. El semieje mayor es la mitad del diámetro más largo. También es la media entre la distancia mínima y la máxima al foco: . En una circunferencia los dos focos coinciden en el centro y . Las órbitas de los planetas son elipses muy poco achatadas. Por eso en los problemas se suelen tratar como circunferencias, con igual al radio orbital.

× v mv T = 2 k a3 T a a = 2 r +r p a a = r a Apuntes de Física PAU Murcia: temario, esquemas y formulario 20 COMPRUEBA 19 Un cometa pasa a 1 UA del Sol en su punto más cercano y a 35 UA en el más lejano. ¿Cuál es su semieje mayor? Justificación newtoniana La gravedad del Sol es una fuerza central: siempre apunta hacia el mismo punto. Por eso su momento respecto al Sol es nulo y el momento angular se conserva (véase «Bloque 1: Campo gravitatorio — Momento angular y fuerzas centrales»). Planitud de la órbita. Si no cambia de dirección, y están siempre en el mismo plano, perpendicular a . Que la curva sea justamente una elipse no se demuestra en Bachillerato. Ley de las áreas.

En un tiempo el radio vector barre un triángulo de área . Esquema del área elemental barrida por el radio vector en dt. Si dividimos entre y usamos , obtenemos: (La deducción completa de la velocidad areolar se encuentra en «Bloque 1: Campo gravitatorio — Momento angular y fuerzas centrales».) La velocidad areolar es constante porque el momento angular se conserva. Como se explica en «Bloque 1: Campo gravitatorio — Momento angular y fuerzas centrales», en el perihelio y en el afelio se cumple , y el planeta va más rápido cuanto más cerca está del Sol. La Tierra, por ejemplo, se mueve más deprisa a principios de enero, cuando pasa por el perihelio.

Otra forma útil es dividir el área total de la órbita entre el periodo: en una circunferencia, o en una elipse, siendo el semieje menor. Deducción de la 3.ª ley (órbita circular) = L × r mv L r v L dt dA = × 2 1 r d r dt = v d /dt r = dt dA × 2 1 r = v = 2m L cte r v = p p r v a a = dt dA T πr2 T πab b En una órbita circular la única fuerza es la gravitatoria. Esa fuerza hace de fuerza centrípeta: . 1 G = r2 Mm m r v2 Se simplifica y queda . Como la masa del satélite desaparece, el resultado no depende de ella. 2 m v = 2 r GM En el movimiento circular uniforme . Se sustituye: . 3 v = T 2πr = T2 4π r 2 2 r GM Se despeja: . La constante de Kepler es .

4 T = 2 r GM 4π2 3 k = 4π /(GM) 2 Apuntes de Física PAU Murcia: temario, esquemas y formulario 21 La constante solo depende de la masa del astro central. Para órbitas elípticas la fórmula sigue valiendo si se cambia por , aunque la demostración queda fuera del curso.

Ley Enunciado Justificación newtoniana 1.ª Órbitas Elipse con el Sol en un foco constante en dirección: órbita plana 2.ª Áreas Áreas iguales en tiempos iguales y se conserva 3.ª Periodos Fuerza gravitatoria = fuerza centrípeta PROCESO Deducción de la tercera ley 1 Fg = Fc La fuerza gravitatoria actúa como fuerza centrípeta 2 v² = GM/r Se simplifica la masa del satélite 3 v = 2πr/T Se sustituye la velo cidad del movimiento circular uniforme 4 T² = 4π²r³/GM Se despeja el perio do; en elipses r se cambia por a COMPRUEBA 20 ¿Tendrían el mismo periodo dos satélites de masas distintas en la misma órbita?

Uso en problemas La 3.ª ley relaciona tres magnitudes: el periodo, el radio orbital y la masa central. Si conoces dos, puedes hallar la tercera. Comparar órbitas por cocientes. Si varios cuerpos giran alrededor del mismo astro, todos tienen la misma . Entonces . Con tres datos se obtiene el cuarto sin conocer ni . Además se pueden mezclar radios de órbitas circulares con semiejes de órbitas elípticas. EJEMPLO El radio de la órbita de Mercurio es 0,387 veces el de la Tierra. ¿Cuál es su periodo? Se toma la Tierra como referencia, con año. Entonces años, unos 88 días. Como el resultado solo usa el cociente de radios, no hace falta pasar a metros. Masa del astro central.

Si se mide el periodo y el radio de un satélite, se despeja la masa del astro: . Así se calculan las masas de planetas con lunas. k M r a L dA/dt = L/(2m) L T = 2 ka3 k = a 1 3 T 1 2 a 2 3 T 2 2 M G T = T 1 T = M T = T ( r T r M ) 3/2 0,387 3/2 0,241 M = GT2 4π r 2 3 Apuntes de Física PAU Murcia: temario, esquemas y formulario 22 EJEMPLO La Luna gira alrededor de la Tierra con m y días, es decir, s. Con estos datos: kg. El resultado coincide con la masa de la Tierra. ERROR FRECUENTE Usar la altura en vez del radio orbital (véase «Bloque 1: Campo gravitatorio — Ley de gravitación universal y campo gravitatorio»): .

Revisa también otros despistes típicos: confundir diámetro con radio, mezclar km con m o usar días con s. Si el problema da la densidad del planeta, calcula la masa con . COMPRUEBA 21 Un satélite orbita a 1000 km de altura sobre la Tierra ( km). ¿Qué radio pones en la 3.ª ley? IDEAS CLAVE Las órbitas son elipses planas con el astro central en un foco. La ley de las áreas equivale a la conservación del momento angular: . El cuerpo va más rápido en el perihelio: . Igualando la fuerza gravitatoria y la centrípeta se obtiene ; en elipses se usa el semieje mayor . Para cuerpos que giran alrededor del mismo astro, es igual para todos; con y se despeja la masa central.

COMPRUEBA LO QUE HAS APRENDIDO 22. ¿Qué afirma la segunda ley de Kepler? 23. ¿De qué depende la constante de Kepler ? 24. Si se cuadruplica el radio orbital, ¿cuánto cambia el periodo?

r = 3,84 108 T 27,3 2,36 106 M = 6,67 10 (2,36 10 ) 11 6 2 4π (3,84 10 ) 2 8 3 6,0 1024 h r = R + h M = ρ πR 3 4 3 R = 6370 dA/dt = L/(2m) r v = p p r v a a T = 2 r GM 4π2 3 a T /a 2 3 T r k Apuntes de Física PAU Murcia: temario, esquemas y formulario 23 20 % de los puntos del examen BLOQUE 1: CAMPO GRAVITATORIO 5 Energía potencial y potencial gravitatorio AL ACABAR SABRÁS Deducir la expresión Ep = GMm/r a partir del trabajo del campo Calcular el potencial creado por varias masas como suma escalar Determinar el signo del trabajo del campo con W = ΔEp = mΔV Justificar cuándo es válida la aproximación Ep = mgh PIÉNSALO ANTES DE LEER 25 Si al levantar un objeto le das energía potencial, ¿por qué la energía potencial gravitatoria de la Luna respecto a la Tierra es negativa?

Fuerzas conservativas y energía potencial Una fuerza conservativa es aquella cuyo trabajo entre dos puntos solo depende de los puntos inicial y final, no del camino. Por eso, en un recorrido cerrado su trabajo total es cero: Como el trabajo solo depende de las posiciones, podemos asociar a cada punto un número: la energía potencial, . El trabajo de la fuerza es la disminución de esa energía: Solo tienen sentido físico las diferencias de energía potencial. Para dar un valor en un punto hay que elegir otro punto de referencia con . La fuerza gravitatoria es central y conservativa (véase «Bloque 1: Campo gravitatorio — Momento angular y fuerzas centrales»). EJEMPLO El peso es conservativo.

Si un cuerpo sube de la altura a : Así, . La constante fija dónde ponemos el cero. Al subir, el peso hace trabajo negativo y la energía potencial aumenta. F d = r 0 E p W = A B A B F d = r E pA E = pB ΔE p E = p 0 = P mg j h A h B W = mg dy = A B mg(h A h ) = B E pA E pB E = p mgh + c c Apuntes de Física PAU Murcia: temario, esquemas y formulario 24 Esquema de un cuerpo con su peso dirigido hacia abajo. COMPRUEBA 26 Llevas una piedra de la mesa al techo por dos caminos distintos. ¿En cuál hace más trabajo el peso?

Energía potencial gravitatoria Para dos masas puntuales y separadas una distancia (la ley de gravitación está en «Bloque 1: Campo gravitatorio — Ley de gravitación universal y campo gravitatorio»), se toma la referencia en el infinito: . Entonces: Se mide en julios, con . Es una propiedad del par de masas, no de una sola. De dónde sale Por tanto, en un punto equivale a dos cosas: el trabajo que el campo hace para llevar la masa desde ese punto al infinito (negativo), y el trabajo que un agente externo hace contra el campo para traerla desde el infinito. Por qué es negativa La gravedad siempre atrae.

Para acercar una masa desde el infinito, el campo hace trabajo positivo, y la energía potencial baja desde cero. Por eso la Ep gravitatoria siempre es negativa. Cuanto más cerca, más negativa. El sistema tiende de forma espontánea a energías menores: los cuerpos caen. M m r E ( ) = p 0 E (r) = p r GMm G = 6,67 10 N m /kg 11 2 2 Traemos desde el infinito hasta . La fuerza apunta hacia : . 1 m r M = F r2 GMm ur Calculamos el trabajo del campo: . Es positivo: el campo atrae y la masa se mueve hacia donde tira. 2 W = r dr = r r2 GMm = [ r GMm ] r r GMm Aplicamos . Despejando, .

3 W = ΔE = p E ( ) p E (r) = p E (r) p E (r) = p r GMm E p Apuntes de Física PAU Murcia: temario, esquemas y formulario 25 PROCESO Cómo se obtiene Ep = GMm/r La gráfica de es una hipérbola por debajo del eje: muy negativa cerca de y creciente hacia 0 cuando , sin llegar a tocarlo. Para varias masas se aplica la superposición: se suman las de cada pareja, tomadas de dos en dos.

Signo del trabajo Situación W del campo Quién hace el trabajo La masa se acerca (piedra que cae) Negativa Positivo El propio campo; gana energía cinética La masa se aleja (lanzamiento vertical) Positiva Negativo Un agente externo, contra el campo Se mueve sobre una equipotencial Cero Cero Nadie ERROR FRECUENTE Escribir en vez de . Comprueba siempre con la intuición: si la masa cae, el campo trabaja a favor y W debe salir positivo. El trabajo externo para hacer lo mismo tiene signo contrario. Potencial gravitatorio El potencial gravitatorio es la energía potencial por unidad de masa colocada en un punto.

Solo depende de la masa que crea el campo: Referencia en el infinito Se asigna Ep = 0 a distancia infinita 1 Traer la masa Se mueve m desde el infinito hasta r 2 Trabajo del campo La atracción hace trabajo positivo GMm/r 3 Aplicar W = ΔEp Ep(r) = W, luego Ep = GMm/r 4 Ep negativa Más cerca de M, energía potencial más negativa 5 E (r) p M r E p ΔE p W = ΔE p W = ΔE p V V = = m E p (J/kg) r GM Apuntes de Física PAU Murcia: temario, esquemas y formulario 26 Es una magnitud escalar. Junto con la intensidad de campo (vectorial) describe el campo.

Equivale al trabajo que un agente externo realiza para traer 1 kg desde el infinito hasta el punto (o al trabajo del campo para traerlo desde el infinito, cambiado de signo). El trabajo del campo al mover una masa queda: Una superficie equipotencial reúne los puntos con el mismo . Para una masa puntual o esférica son esferas concéntricas. Moverse sobre ellas no cuesta trabajo. Varias masas: suma escalar Con varias masas, V total = suma algebraica de potenciales: . No hay vectores ni paralelogramo. EJEMPLO Dos masas de 10 kg están separadas 2 m. En el punto medio, m para ambas. Allí el campo es nulo, porque los vectores se anulan. Pero el potencial vale J/kg. ¿Puede ser ?

No en un punto a distancia finita: todos los términos son negativos y no se cancelan. Solo vale cero en el infinito. ERROR FRECUENTE Sumar potenciales como vectores, o concluir que donde también . El campo se suma vectorialmente; el potencial, como números con su signo. COMPRUEBA 27 Una masa pasa de un punto con V = 5 J/kg a otro con V = 8 J/kg. ¿Se acerca o se aleja? ¿Trabaja el campo? Campo y potencial; aproximación Ep = mgh El campo es el gradiente del potencial cambiado de signo: ; en simetría radial, . Por eso las líneas de campo son perpendiculares a las equipotenciales y apuntan hacia donde disminuye.

Cerca de la superficie, con y y : Aquí la referencia ya no es el infinito, sino el punto elegido con . Por eso sí puede ser positiva. Si se exige un error menor del 1 %, sale : con km, unos 63 710 m. COMPRUEBA 28 ¿Por qué no sirve mgh para calcular la energía de un satélite a 20 000 km de altura?

g W = A B ΔE = p m (V B V ) A V V = G i r i M i r = 1 V = 2 = 1 6,67 10 10 11 1,33 10 9 V = 0 g = 0 V = 0 = g V g = dr dV V r = A R T r = B R + T h h R T ΔE = p GMm = ( R T 1 R + h T 1 ) GMm R + R h T 2 T h m h = R T 2 GM mgh h = 0 mgh h R /100 T R = T 6371 Apuntes de Física PAU Murcia: temario, esquemas y formulario 27 20 % de los puntos del examen IDEAS CLAVE Una fuerza conservativa hace un trabajo que solo depende de los puntos inicial y final; en un camino cerrado es cero. Con referencia en el infinito, , siempre negativa porque la gravedad es atractiva. El potencial (J/kg) es escalar: con varias masas se suman sus valores con signo.

El trabajo del campo es : positivo si la masa se acerca. , y es solo una aproximación para alturas pequeñas frente a . COMPRUEBA LO QUE HAS APRENDIDO 29. ¿Qué significa físicamente que la de un satélite sea negativa? 30. ¿Puede anularse el potencial gravitatorio entre dos planetas? BLOQUE 1: CAMPO GRAVITATORIO 6 Energía mecánica,trayectorias y velocidad de escape AL ACABAR SABRÁS Aplicar la conservación de la energía mecánica para calcular velocidades o alturas entre dos posiciones. Clasificar la trayectoria de un cuerpo según el signo de su energía mecánica. Deducir y calcular la velocidad de escape y compararla entre planetas con cocientes.

Calcular la energía y la velocidad necesarias para escapar desde una órbita circular. PIÉNSALO ANTES DE LEER 31 Si lanzas un objeto tan rápido que nunca vuelve a caer, ¿importa que lo lances hacia arriba o en diagonal? Energía mecánica y su conservación La energía mecánica de un cuerpo es la suma de su energía cinética y su energía potencial.

En el campo gravitatorio de un astro de masa M, un cuerpo de masa m situado a una distancia r del centro tiene: E = p GMm/r V = GM/r W = ΔE = p mΔV = g V E = p mgh R T E p E = m E + c E = p mv 2 1 2 r GMm Apuntes de Física PAU Murcia: temario, esquemas y formulario 28 La energía potencial se toma nula en el infinito, como se vio en «Bloque 1: Campo gravitatorio — Energía potencial y potencial gravitatorio». Por eso siempre es negativa. La cinética, en cambio, siempre es positiva o nula. La gravedad es una fuerza conservativa (véase «Bloque 1: Campo gravitatorio — Momento angular y fuerzas centrales»). Su trabajo es , y por el teorema de las fuerzas vivas también vale .

Si comparamos las dos expresiones, sale que la energía mecánica se conserva cuando solo actúa la gravedad: En la práctica: lo que el cuerpo gana en cinética al caer lo pierde en potencial, y al revés cuando sube. Si actúa otra fuerza (motores, rozamiento con el aire), la energía mecánica cambia, y ese cambio es justo el trabajo de esa fuerza. El pozo de potencial Si dibujas frente a r, obtienes una curva que vale en la superficie y sube hacia 0 al alejarse. Parece un pozo: el cuerpo está en el fondo y necesita energía para "trepar" hasta el borde, que es el infinito.

Una línea horizontal a la altura de indica hasta dónde llega: solo puede estar donde , porque la cinética no puede ser negativa. Cambios de energía mecánica entre dos posiciones Para pasar de un estado A a otro B hace falta aportar . Se calcula cada energía por separado y se restan. EJEMPLO Un satélite pasa de una órbita circular de radio a otra de radio . En órbita circular (véase «Bloque 1: Campo gravitatorio — Satélites: velocidad orbital, energía y órbita geoestacionaria»). El cambio de órbita, con su ejemplo numérico, se desarrolla en «Bloque 1: Campo gravitatorio — Satélites: velocidad orbital, energía y órbita geoestacionaria».

COMPRUEBA 32 Lanzas una piedra hacia arriba desde la superficie. ¿Qué tipo de energía aumenta mientras sube y cuál se mantiene constante? W = ΔE p W = ΔE c ΔE = c ΔE p Δ(E + c E ) = p 0 E = m,A E m,B E p GMm/R E m E m E p ΔE = m E m,B E m,A r 1 r > 2 r 1 E = m GMm/(2r) Energía inicial: . 1 E = 1 2r 1 GMm Energía final: . 2 E = 2 2r 2 GMm Energía que hay que aportar: , que sale positiva. 3 ΔE = m 2 GMm (r 1 1 r 2 1 ) Apuntes de Física PAU Murcia: temario, esquemas y formulario 29 Tipo de trayectoria según el signo de Em Un cuerpo sometido solo a la atracción de un astro describe una cónica: una curva que sale al cortar un cono con un plano (circunferencia, elipse, parábola o hipérbola).

Cuál de ellas sale depende de la energía mecánica total. El signo de compara dos valores absolutos: la cinética (positiva) frente a la potencial (negativa). Energía mecánica Relación entre energías Trayectoria Excentricidad ¿Escapa? , Hipérbola Sí, llega al infinito con velocidad no nula , Parábola Sí, llega al infinito con velocidad tendiendo a cero Elipse No, queda ligado Circunferencia No, queda ligado Resumen: Em negativa significa órbita cerrada; nula o positiva, trayectoria abierta. Dentro de las cerradas, cuanto más supera la cinética a la mitad de , más alargada es la elipse. Si la cinética es menor que esa mitad, la trayectoria sigue siendo una elipse, pero más pequeña.

Si esa elipse corta la superficie del planeta, el cuerpo acaba chocando contra él. La parábola es un caso límite teórico: el cuerpo se frena cada vez más y tardaría un tiempo infinito en "llegar" al infinito. Esquema de circunferencia, elipse, parábola e hipérbola alrededor de un astro. La hipérbola es la curva en la que la diferencia de distancias a los dos focos es constante. Tiene excentricidad y dos ramas que se acercan a sus asíntotas. El cuerpo que escapa recorre una sola rama, con el astro en uno de los focos.

E m E > m 0 E > c E p v > v e e > 1 E = m 0 E = c E p v = v e e = 1 E < m 0 E < 2 1 p E < c E p 0 < e < 1 E < m 0 E = c E 2 1 p e = 0 E p e = c/a 1 Apuntes de Física PAU Murcia: temario, esquemas y formulario 30 Esquema de una hipérbola con focos, vértices, asíntotas y directrices. ESQUEMA Trayectorias según la energía mecánica COMPRUEBA 33 Un cometa pasa cerca del Sol con energía mecánica de +3·1020 J. ¿Volverá a verse? Velocidad de escape desde la superficie La velocidad de escape es la velocidad mínima que debe tener un cuerpo en un punto para salir del campo gravitatorio. Salir significa llegar al infinito con velocidad nula, sin ningún impulso más. Es el caso parabólico: .

Em < 0: cerrada El cuerpo queda ligado al astro Circunferencia Ec = ½"Ep", e = 0 Elipse ½"Ep" < Ec < "Ep", 0 < e < 1 Em = 0: parábola Escapa con velocidad final nula, e = 1 Em > 0: hipérbola Escapa con velocidad final no nula, e > 1 E = m 0 Punto inicial (superficie, r = R): . 1 E = m mv 2 1 e 2 R GMm Apuntes de Física PAU Murcia: temario, esquemas y formulario 31 La segunda forma usa , donde es la gravedad en la superficie. La velocidad de escape no depende de la masa del cuerpo lanzado ni de la dirección del lanzamiento, porque la energía es un escalar. También se llama segunda velocidad cósmica. EJEMPLO Tierra, con m/s² y R = 6371 km: Es decir, unos 11,2 km/s.

Si solo queremos subir hasta una altura h (y no escapar), la misma conservación da la velocidad de lanzamiento: . Si , se recupera . Los cohetes no salen a 11,2 km/s. Esa sería la velocidad necesaria sin impulso adicional. Un cohete real lleva motores que le dan energía durante la subida. Comparar planetas con cocientes Muchas preguntas piden comparar dos astros sin dar G. Se divide una fórmula entre la otra y las constantes se cancelan: Si los dos planetas tienen la misma densidad , la masa es . Entonces , es decir, . Un planeta de igual densidad y radio doble tiene una velocidad de escape doble. COMPRUEBA 34 Un planeta tiene la misma masa que la Tierra pero un radio cuatro veces menor.

¿Cuánto vale su velocidad de escape? Escapar desde una órbita Un satélite en órbita circular de radio r ya tiene . Para escapar necesita llegar a . La energía de escape que hay que aportar es: Hay que distinguir dos velocidades: Punto final (infinito): y , luego . 2 E = p 0 E = c 0 E = m 0 Igualamos, porque se conserva: . 3 mv = 2 1 e 2 R GMm Despejamos.

La masa m se simplifica: 4 v = e = R 2GM 2g R 0 GM = g R 0 2 g 0 g = 0 9,8 v = e 2 9,8 6,371 106 1,12 10 m/s 4 v = L 2GM (R 1 R+h 1 ) h v e = v e,2 v e,1 M 2 M 1 R 1 R 2 ρ M = ρ πR 3 4 3 v = e R πGρ 3 8 v e R E = m 2r GMm E = m 0 E = escape 0 = ( 2r GMm ) 2r GMm Apuntes de Física PAU Murcia: temario, esquemas y formulario 32 Magnitud Expresión en r Significado Velocidad de escape en r Velocidad total que hay que tener en r Velocidad orbital La que ya lleva el satélite Incremento necesario Lo que hay que añadir, en la dirección del movimiento La energía de escape sí depende del estado de partida. Un cuerpo en órbita, o en un planeta que gira, ya tiene algo de cinética y necesita menos energía.

La velocidad de escape en un punto, en cambio, es fija: es la que hay que tener, no la que hay que añadir. Las dos solo coinciden si se parte del reposo, como en la superficie de un planeta que no gira. ERROR FRECUENTE Usar con el radio de la Tierra cuando el cuerpo ya está en órbita. Desde una órbita hay que poner el radio de la órbita, , y restar la energía que ya tiene. Otro fallo: igualar a la energía de escape y dar como "velocidad de escape". Esa v es la velocidad de una órbita circular. Las velocidades no se suman como las energías: la final es .

EBAU · 2022, ORDINARIA Sabiendo que la gravedad en la Tierra es 2.6 veces mayor que en Marte, calcular qué altura alcanzaría en Marte un saltador de altura que en la Tierra es capaz de saltar 2 m. [1 punto] Resolución Se pide comparar dos alturas. El salto es pequeño frente al radio del planeta, así que la gravedad es constante y vale . Resultado: en Marte saltaría 5,2 m. = 2GM/r v 2 orb GM/r ( 2 1) v orb 2GM/R r = R + h mv 2 1 2 GMm/(2r) GM/r v 2 orb E = p mgh Conservación de la energía mecánica entre el despegue y el punto más alto, donde v = 0: . 1 mv = 2 1 0 2 mgh h = 2g v 0 2 El saltador da el mismo impulso en los dos planetas, luego es igual. Entonces . 2 v 0 h g = T T h g M M Con : .

3 g = T 2,6 g M h = M h T = g M g T 2 2,6 = 5,2 m Apuntes de Física PAU Murcia: temario, esquemas y formulario 33 20 % de los puntos del examen AHORA TÚ En la Tierra ( m/s²) una persona sube 0,5 m en un salto vertical. ¿Qué altura alcanzaría en la Luna ( m/s²) con el mismo impulso? Primeros pasos: y, como es igual, . Te toca despejar y calcularla. Solución: 35 IDEAS CLAVE Si solo actúa la gravedad, la energía mecánica se conserva entre dos puntos cualesquiera. El signo de decide la trayectoria: negativa, cerrada (elipse o circunferencia); nula, parábola; positiva, hipérbola. La velocidad de escape desde la superficie es , unos 11,2 km/s en la Tierra, y no depende de la masa lanzada.

A igual densidad, ; en general, los cocientes entre planetas eliminan G. Desde una órbita circular, la energía para escapar es y la velocidad final necesaria es . COMPRUEBA LO QUE HAS APRENDIDO 36. ¿Por qué la velocidad de escape no depende de la dirección del lanzamiento? 37. ¿Qué energía hay que dar a un satélite de masa m en órbita circular de radio r para que escape?

BLOQUE 1: CAMPO GRAVITATORIO 7 Satélites: velocidad orbital,energía y órbita geoestacionaria AL ACABAR SABRÁS Deducir la velocidad orbital y el periodo de un satélite en órbita circular Calcular la energía mecánica orbital y relacionarla con Ec y Ep Calcular la energía de satelización y la necesaria para cambiar de órbita Calcular el radio y la altura de la órbita geoestacionaria g = T 9,8 g = L 1,6 h = 2g v 0 2 v0 h g = L L h g T T h L E = m mv 2 1 2 GMm/r E m v = e = 2GM/R 2g R 0 v e R GMm/(2r) v 2 orb Apuntes de Física PAU Murcia: temario, esquemas y formulario 34 PIÉNSALO ANTES DE LEER 38 ¿Va más rápido un satélite cerca de la Tierra o uno muy lejano?

Velocidad orbital y periodo Un satélite en órbita circular de radio (medido desde el centro del planeta) se mantiene en ella porque la fuerza gravitatoria actúa como fuerza centrípeta. La ley de gravitación se vio en «Bloque 1: Campo gravitatorio — Ley de gravitación universal y campo gravitatorio». Esquema de un satélite en órbita circular con velocidad y fuerza centrípeta Igualamos ambas fuerzas y despejamos la velocidad: La velocidad orbital no depende de la masa del satélite. Además, cuanto más lejos, más despacio gira. El periodo es el tiempo que tarda en dar una vuelta: Elevando al cuadrado se obtiene la tercera ley de Kepler (véase «Bloque 1: Campo gravitatorio — Leyes de Kepler»).

El número de vueltas en un tiempo es . La gravedad en la órbita vale , que coincide con la aceleración centrípeta . La ingravidez aparente de los astronautas no significa que no haya gravedad. Allí sigue siendo grande. Lo que ocurre es que nave y astronauta caen a la vez con la misma aceleración, así que el suelo no empuja al astronauta y no nota su peso. r G = r2 Mm m r v2 v = r GM T = = v 2πr 2π GM r3 t n = t/T g = GM/r2 v /r 2 g Apuntes de Física PAU Murcia: temario, esquemas y formulario 35 ERROR FRECUENTE Usar la altura en lugar del radio : véase «Bloque 1: Campo gravitatorio — Ley de gravitación universal y campo gravitatorio».

COMPRUEBA 39 Si un satélite pasa a una órbita de radio cuatro veces mayor, ¿qué le pasa a su velocidad? Energía en órbita circular Partimos de , que sale de igualar fuerzas. Así la energía cinética y la potencial (véase «Bloque 1: Campo gravitatorio — Energía potencial y potencial gravitatorio») quedan: Hay relaciones útiles: E_c = E_m y E_p = 2E_m. La energía cinética es la mitad del valor absoluto de la potencial. La energía mecánica es negativa porque el satélite está ligado al planeta. Si la órbita es elíptica, la misma fórmula vale cambiando por el semieje mayor . En la elipse varía, pero se conserva.

Magnitud Expresión Si r aumenta Velocidad Disminuye Periodo Aumenta Energía cinética Disminuye Energía potencial Aumenta (menos negativa) Energía mecánica Aumenta (menos negativa) Energía de satelización y cambio de órbita La energía de satelización es la que hay que dar a un cuerpo en la superficie para colocarlo en órbita de radio . Es la diferencia entre la energía mecánica final y la inicial. Si se desprecia la rotación terrestre, en la rampa solo hay energía potencial: La velocidad de lanzamiento equivalente es .

Para cambiar de órbita, de a , se hace lo mismo: h r = R + T h mv = 2 GMm/r E = c mv = 2 1 2 E = 2r GMm p r GMm E = m E + c E = p 2r GMm r a E c E m GM/r 2π r /(GM) 3 GMm/(2r) GMm/r GMm/(2r) r E = s 2r GMm = ( R T GMm ) GMm ( R T 1 2r 1 ) v = s 2GM (R T 1 2r 1 ) r 1 r2 ΔE = E m2 E = m1 2 GMm ( r 1 1 r 2 1 ) Apuntes de Física PAU Murcia: temario, esquemas y formulario 36 Si sube ( ), y hay que aportar energía. Si baja, la energía es negativa: el cuerpo debe perderla. Al cambiar de órbita varían a la vez la potencial y la cinética, porque cambia la velocidad orbital. EJEMPLO Un astronauta de 100 kg (con traje) pasa de una órbita a 600 km de altura a otra a 400 km.

Datos: en unidades del SI y km. ERROR FRECUENTE Olvidar que la Tierra gira. Un objeto en la superficie ya se mueve, sobre todo cerca del ecuador. Por eso la energía de satelización real es algo menor si se lanza hacia el este. Si el enunciado no dice nada, toma la inicial nula. COMPRUEBA 40 ¿Por qué no basta con calcular solo el cambio de energía potencial para subir de órbita? Tipos de órbita y órbita geoestacionaria Los satélites sirven para comunicaciones, GPS y meteorología. Según la altura se clasifican así: Tipo Altura Velocidad Rasgos y ejemplos Baja (LEO) 250-1000 km 7 km/s Fácil de alcanzar; rozamiento atmosférico; se ven poco tiempo.

ISS, Hubble, NOAA Media (MEO) 10 000-30 000 km 3-7 km/s Atraviesa los cinturones de Van Allen. GPS, Glonass, Galileo Geoestacionaria (GEO) 35 800 km 3 km/s Ecuatorial; lanzamiento caro; mala cobertura a latitudes altas Un satélite geoestacionario está siempre sobre el mismo punto del ecuador. Para ello gira en el plano ecuatorial, en el mismo sentido que la Tierra y con T = 24 h ( 86 400 s). Despejando de la tercera ley de Kepler: Es decir, r 42 200 km, y la altura vale km. Con el día sidéreo (86 164 s) el resultado apenas cambia. r > 2 r 1 ΔE > 0 GM T 3,98 1014 R = T 6370 Radios: m y m. 1 r = 1 6,971 106 r = 2 6,771 106 Sustituye: .

2 ΔE = 2 3,98 10 100 14 (6,971 106 1 6,771 106 1 ) El paréntesis vale , así que J. 3 4,24 10 9 ΔE 8,4 107 Interpreta: el signo negativo indica que debe perder unos J para bajar. 4 8,4 107 E c r = = 3 4π2 GM T T 2 3 4π2 3,98 10 (86 400) 14 2 4,22 10 m 7 h = r R T 35 800 Apuntes de Física PAU Murcia: temario, esquemas y formulario 37 COMPRUEBA 41 ¿Podría haber un satélite geoestacionario quieto sobre Murcia? PROCESO Del equilibrio de fuerzas a la energía IDEAS CLAVE La velocidad orbital sale de igualar fuerza gravitatoria y centrípeta: , sin depender de la masa del satélite. En órbita circular , con y .

La energía de satelización y la de cambio de órbita se calculan como diferencia de energías mecánicas. El satélite geoestacionario tiene T = 24 h, órbita ecuatorial y r 42 200 km (h 35 800 km). En las fórmulas siempre va , nunca la altura sola. COMPRUEBA LO QUE HAS APRENDIDO 42. ¿Por qué la energía mecánica de un satélite en órbita es negativa? 43. ¿Qué signo tiene la energía necesaria para pasar a una órbita más baja? 44. ¿Por qué flotan los astronautas de la ISS si allí g no es nula?

Igualar fuerzas Fuerza gravitatoria igual a fuerza centrípeta 1 Velocidad orbital v = (GM/r) 2 Energía cinética Ec = GMm/(2r), positiva 3 Sumar potencial Ep = GMm/r 4 Energía mecánica Em = GMm/(2r), negativa: satélite ligado 5 v = GM/r E = m GMm/(2r) E = c E m E = p 2E m r = R + T h Apuntes de Física PAU Murcia: temario, esquemas y formulario 38 20 % de los puntos del examen BLOQUE 1: CAMPO GRAVITATORIO 8 Cosmología: Big Bang,expansión,materia y energía oscuras AL ACABAR SABRÁS Explicar las tres pruebas del Big Bang Aplicar la ley de Hubble a casos sencillos Distinguir materia oscura y energía oscura por sus pruebas Deducir y usar el radio de Schwarzschild PIÉNSALO ANTES DE LEER 45 Si todas las galaxias se alejan de nosotros, ¿estamos en el centro del universo?

El Big Bang y sus tres pruebas La teoría del Big Bang afirma que el universo empezó muy denso y caliente y desde entonces se expande y se enfría. No fue una explosión en un punto: es el propio espacio el que se estira en todas partes. Prueba Qué se observa Por qué apoya el Big Bang Expansión Las…