Problemas de Campo Gravitatorio PAU

Junio 2026. Los satélites de observación terrestre Sentinel operan en órbitas bajas a una altura $h_1=700\text{ km}$ sobre la superficie terrestre. Los satélites de navegación GPS orbitan a una altura mucho mayor, $h_2=22000\text{ km}$, para garantizar cobertura global. Ambos describen órbitas circulares alrededor de la Tierra. Dato: Radio terrestre: $6400\text{ km}$.

a)

[1p] Calcule el cociente $v_1/v_2$ entre la velocidad orbital de un satélite Sentinel y la de un satélite GPS.

b)

[1p] (i) Deduzca razonadamente la expresión de la energía mecánica $E$ de un satélite de masa $m$ que orbita en una trayectoria circular de radio $r$ alrededor de la Tierra. (ii) Utilice dicha expresión para hallar el cociente $E_1/E_2$ entre la energía mecánica de un Sentinel y la de un GPS.

Junio 2025. Opción A.

a)

[1.25p] (i) Partiendo de la ley de la gravitación universal de Newton, deduzca la expresión de la velocidad orbital de un planeta que se encuentra en una órbita circular de radio $r$ alrededor de una estrella de masa $M$. (ii) Calcular el periodo orbital de Júpiter en años. Datos: $G = 6.67 \times 10^{-11}\text{ N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$, masa del Sol = $2 \times 10^{30}\text{ kg}$, radio orbital de Júpiter = $7.8 \times 10^8\text{ km}$.

años

b)

[1.25p] El asteroide 433-Eros sigue una órbita elíptica alrededor del Sol con un perihelio (punto más cercano al Sol) a $1.13\text{ UA}$ de distancia del Sol y un afelio (punto más alejado del Sol) a $1.78\text{ UA}$. Si en el perihelio su velocidad orbital es de $24.4\text{ km/s}$, calcular su velocidad en el afelio, asumiendo que el único cuerpo que ejerce fuerza sobre el asteroide es el Sol. Dato: $1\text{ UA (Unidad Astronómica)} = 150 \times 10^6\text{ km}$.

Opción B. El telescopio espacial Webb está ubicado en un punto llamado L2 que orbita alrededor del Sol siempre en la línea que une la Tierra y el Sol, y a una distancia $d = 1{,}5 \times 10^6\text{ km}$ de la Tierra en dirección opuesta al Sol, como muestra la figura:

Datos:

Masa de la Tierra = $6 \times 10^{24}\text{ kg}$, masa del Sol = $2 \times 10^{30}\text{ kg}$, distancia Sol-Tierra = $150 \times 10^6\text{ km}$.

a)

[1.25p] Calcular el cociente entre la energía potencial del telescopio debida al Sol y la debida a la Tierra.

b)

[1.25p] Determinar la distancia desde la Tierra al punto A en el que el campo gravitatorio neto de la Tierra más el del Sol se anula.

Julio 2025. Opción A

a)

[1.25p] Desde la superficie de la Luna, se lanza una cápsula espacial con una velocidad inicial igual al doble de la velocidad de escape lunar. Determinar la velocidad de la cápsula cuando se encuentra a una distancia infinita de la Luna, despreciando la influencia gravitatoria de la Tierra u otros astros.

Datos:

$G = 6.67 \times 10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$, masa de la Luna = $7.3 \times 10^{22}\ \text{kg}$, radio de la Luna = $1740\ \text{km}$

b)

[1.25p] El sistema estelar llamado 36-Ophiuchi está formado por tres estrellas casi idénticas, cada una de ellas de masa 0.8 veces la masa del Sol. Si consideramos que cada una se encuentra en los vértices de un triángulo equilátero de lado 200 UA, calcular la energía potencial total del sistema.

Datos:

$1\ \text{UA (Unidad Astronómica)} = 150 \times 10^6\ \text{km}$, $G = 6.67 \times 10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$, masa del Sol = $2 \times 10^{30}\ \text{kg}$.

Julio 2025. Opción B

El cohete Starship de la compañía SpaceX explotó el pasado 16 de enero cuando se encontraba a una altitud de 150 km sobre la superficie terrestre. Su objetivo era alcanzar una órbita a 200 km de altura.

Calcular:

a)

[1.25p] El periodo orbital del Starship si hubiera alcanzado la órbita final a 200 km de altura.

b)

[1.25p] El trabajo realizado por el campo gravitatorio de la Tierra desde el despegue hasta la explosión.

Datos:

$G = 6.67 \times 10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$, masa de la Tierra = $6 \times 10^{24}\ \text{kg}$, radio de la Tierra = $6400\ \text{km}$, masa del Starship = $15 \times 10^4\ \text{kg}$.

El primer planeta fuera de nuestro sistema solar que descubrió el telescopio espacial Kepler orbita alrededor de la estrella llamada Kepler-22. La masa de la estrella Kepler-22 es de $0{,}97$ veces la masa del Sol. Del planeta sabemos que su masa es $36$ veces mayor que la de la Tierra, su radio es $2{,}4$ veces el de la Tierra y su periodo orbital alrededor de Kepler-22 es de $289$ días terrestres.

Datos del problema:

$G$: $6{,}67 \cdot 10^{-11}\ \mathrm{N\cdot m^2\cdot kg^{-2}}$,

$M_{\text{Sol}}$: $2{,}0 \cdot 10^{30}\ \mathrm{kg}$,

$M_{\text{Tierra}}$: $6{,}0 \cdot 10^{24}\ \mathrm{kg}$,

$R_{\text{Tierra}}$: $6370\ \mathrm{km}$

a)

Calcular el radio orbital del planeta y su velocidad orbital. [1 punto]

b)

Calcular la velocidad de escape desde la superficie del planeta. [1 punto]

c)

Si unos hipotéticos habitantes de ese planeta desearan poner un satélite de $300\ \mathrm{kg}$ en órbita alrededor del planeta a una distancia de $5000\ \mathrm{km}$ de su superficie, ¿cuánta energía les costaría hacerlo? [1 punto]

Junio 2023.

C1 Consideremos dos masas de igual valor, $m$, separadas una distancia $d$. Determinar el trabajo realizado por el campo gravitatorio en llevar una tercera masa de igual valor $m$ desde el infinito hasta el punto medio entre las dos primeras masas. [1 punto]

Junio 2023.

P1 Didymos es el nombre de un asteroide alrededor del cual orbita otro más pequeño llamado Dimorphos. En septiembre de 2022 la sonda Dart de la NASA impactó deliberadamente contra Dimorphos para cambiar su órbita. Antes del impacto el periodo orbital de Dimorphos alrededor de Didymos era de 12 horas. Suponiendo que las órbitas son circulares y que Didymos es esférico, calcular:

Datos:

$G = 6{,}67\cdot 10^{-11}\ \mathrm{N\cdot m^2/kg^2}$; masa de Didymos $= 5\cdot 10^{11}\ \mathrm{kg}$; masa de Dimorphos $= 4\cdot 10^{9}\ \mathrm{kg}$; diámetro de Didymos $= 780\ \mathrm{m}$.

a)

La velocidad de escape desde la superficie de Didymos. [1 punto]

b)

El radio orbital de Dimorphos alrededor de Didymos antes del choque. [1 punto]

c)

La variación de energía mecánica que experimentó Dimorphos si tras el impacto pasó a una nueva órbita con un periodo 32 minutos menor que antes. [1 punto]

Julio 2023.

C1 Descubrimos un planeta de la misma densidad que la Tierra, pero cuyo radio es el doble que el de ésta. ¿Cuántas veces mayor que la de la Tierra será la velocidad de escape desde la superficie de ese planeta? [1 punto]

Julio 2023.

P1 El Intasat-1 fue el primer satélite español. Con una masa de 25 kg, fue lanzado en 1974 y estuvo durante dos años en una órbita circular a 1450 km de la superficie terrestre. Determinar:

Datos:

$G = 6{,}67\cdot 10^{-11}\ \mathrm{N\cdot m^2/kg^2}$, masa de la Tierra $= 6{,}0\cdot 10^{24}\ \mathrm{kg}$, radio de la Tierra $= 6371\ \mathrm{km}$.

a)

El valor de la aceleración de la gravedad en un punto de la órbita del satélite. [1 punto]

b)

El número de vueltas a la Tierra que dio el satélite en esos dos años. [1 punto]

c)

La energía que hubo que aportar al satélite para llevarlo desde la superficie de la Tierra a esa órbita (energía de satelización). [1 punto]

El radio del universo según algunos modelos cosmológicos viene dado por

$$R = \frac{4 M^a G}{3 \pi c^b}$$

donde $M$ es la masa del universo, $G$ es la constante de la gravitación universal y $c$ es la velocidad de la luz. Determinar $a$ y $b$ por análisis dimensional. [1 punto]

a)

b)

La estrella más brillante en el cielo nocturno es Sirio y hoy sabemos que en realidad es un sistema binario compuesto por dos estrellas, llamadas Sirio A y Sirio B, separadas entre sí una distancia $d = 3\cdot 10^9\text{ km}$. La masa de Sirio A es el doble que la del Sol y la de Sirio B es igual a la masa del Sol. Supongamos que hubiera un planeta de la misma masa que la Tierra y el doble de densidad que la Tierra colocado formando un triángulo equilátero con las estrellas, como indica la figura:

Datos

$G = 6{,}67\cdot 10^{-11}\text{ N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$; masa del Sol $= 2\cdot 10^{30}\text{ kg}$; masa de la Tierra $= 6{,}0\cdot 10^{24}\text{ kg}$; densidad de la Tierra $= 5500\text{ kg}/\text{m}^3$.

a)

El radio del planeta y la velocidad de escape desde la superficie de ese planeta. [1 punto]

b)

El campo gravitatorio ejercido por Sirio A más Sirio B en el punto donde está el planeta. [1 punto]

c)

La energía gravitatoria total del sistema. [1 punto]

Dos cuerpos de masa $m$ y $4m$ respectivamente están separados una distancia $d$. Determinar el punto de la recta que los une donde el campo gravitatorio es cero. ¿Existe algún punto donde el potencial gravitatorio sea nulo? (Razonar la respuesta). [1 punto]

a)

b)

En el centro de nuestra galaxia hay un agujero negro de una masa equivalente a 4 millones de veces la masa del Sol. La estrella llamada S13 es una de las más cercanas al agujero negro y orbita alrededor de él a una distancia aproximada de 1800 unidades astronómicas (UA). Suponiendo que la órbita es circular, calcular:

Datos

$G = 6{,}67\cdot 10^{-11}\text{ N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$; masa del Sol $= 2\cdot 10^{30}\text{ kg}$; $1\text{ UA} =$ distancia de la Tierra al Sol $= 150\text{ millones de km}$.

a)

El valor de la aceleración de la gravedad debida al agujero negro en el punto en que está S13. [1 punto]

b)

El tiempo que tarda S13 en dar una vuelta alrededor del agujero negro. [1 punto]

c)

El radio máximo que puede tener el agujero negro sabiendo que la luz no puede escapar de él. [1 punto]

Junio 2021. P1

El pasado 21 de diciembre se produjo una conjunción entre Júpiter y Saturno, consistente en que desde la Tierra ambos planetas se veían juntos casi como un único punto. Ello es debido a que en ese momento la Tierra, Júpiter y Saturno estaban en una misma recta.

Datos

$G$: $6{,}67\cdot 10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$;

$M_{\text{Sol}}$: $2\cdot 10^{30}\ \text{kg}$;

$M_{\text{Júpiter}}$: $1{,}9\cdot 10^{27}\ \text{kg}$;

$M_{\text{Saturno}}$: $5{,}7\cdot 10^{26}\ \text{kg}$;

$M_{\text{Tierra}}$: $6{,}0\cdot 10^{24}\ \text{kg}$;

$d_{\text{Tierra-Sol}}$: $1{,}5\cdot 10^8\ \text{km}$;

$d_{\text{Sol-Júpiter}}$: $7{,}8\cdot 10^8\ \text{km}$;

$d_{\text{Sol-Saturno}}$: $14{,}3\cdot 10^8\ \text{km}$.

a)

Determinar el periodo orbital de Júpiter en años. [1 punto]

b)

Determinar la fuerza gravitatoria que Júpiter y Saturno ejercían sobre la Tierra ese día. [1 punto]

c)

Si solo consideramos la influencia de Júpiter y Saturno, determinar la distancia respecto de Saturno sobre la recta que los une en que la fuerza gravitatoria es nula. [1 punto]

Julio 2021. P1

Este año se conmemora el 60 aniversario del primer vuelo espacial de un ser humano, llevado a cabo por Yuri Gagarin a bordo de la nave Vostok con una masa conjunta (nave más astronauta) de $2500\ \text{kg}$, que se puso en órbita a $315\ \text{km}$ de la superficie de la Tierra.

Datos

$G$: $6{,}67\cdot 10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$;

Masa de la Tierra: $5{,}97\cdot 10^{24}\ \text{kg}$;

Radio de la Tierra: $6371\ \text{km}$.

a)

Determinar la aceleración de la gravedad debida a la Tierra en el punto de la órbita indicada. [1 punto]

b)

Si la Vostok estuvo en órbita durante $90\ \text{s}$, ¿cuántas vueltas dio a la Tierra estando en órbita? [1 punto]

c)

¿Qué energía extra mínima habría que aportar para que desde esa órbita abandonaran completamente la influencia de la Tierra? [1 punto]