apuntes de funciones de 4º-1º con problemas de funciones

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78 13 FUNCIONES DE PROPORCIONALIDAD INVERSA P A R A E M P E Z A R Completa la siguiente tabla de magnitudes directamente proporcionales Completa la siguiente tabla de magnitudes inversamente proporcionales. En una ciudad se celebran todos los años campeonatos de natación. Si el record en la carrera de 1500 metros estilo libre está en 15 minutos y 30 segundos, ¿a qué velocidad media mínima deben nadar este año los participantes para batirlo? 15 minutos y 30 segundos 930 segundos v s t 1 9 5 3 0 0 0 1,612 m/s Deben nadar a más de 1,612 m/s. La función de proporcionalidad inversa P A R A P R A C T I C A R Ejercicio resuelto Forma una tabla de valores para la función y — x 2 — y represéntala.

Con los valores obtenidos representamos la gráfica de la función. Construye una tabla de valores para la función y — 3 x — y represéntala. Con los valores obtenidos representamos la gráfica de la función. Representa las gráficas de las funciones f (x) — 4 x — y g (x) — x 4 —. ¿Qué diferencias observas? La gráfica función y 4 x es decreciente, mientras que la función y x 4 es creciente.

13.3 13.2 13.1 3 2 1 M 1 5 10 N 6 15 21 M 1 2 5 7 10 N 3 6 15 21 30 M 3 9 18 36 N 18 6 M 1 3 9 18 36 N 18 6 2 1 0,5 x 10 5 1 0,1 0,1 1 5 10 y — x 2 — 0,2 0,4 2 20 20 2 0,4 0,2 x 0,1 2 1 3 0,1 1 2 3 y — 3 x — 30 1,5 3 1 30 3 1,5 1 2 2 X Y O –2 y = – – x 1 1 X O y = 3 x Y Y 2 2 X O f(x) = 4 x g(x) = 4 x _ Dada la función g (x) — x 10 —: a) Forma una tabla de valores para poder representarla. b) ¿Cuál es su dominio? c) ¿Cuál es su recorrido? d) ¿Es creciente o decreciente? e) ¿Observas alguna simetría? a) ZXXXXX b) R {0} c) R {0} d) Creciente en todo su dominio. e) Es simétrica respecto al origen de coordenadas.

En la siguiente figura están representadas las funciones: f (x) — 1 x —, g(x) — x 1 — y h(x) — 6 x —. ¿Podrías identificarlas observando únicamen- te su gráfica? La gráfica de f es la verde, la de g es la azul (creciente) y la de h es la roja (más alejada de los ejes). Calcula la expresión de una función de proporcionalidad inversa cuya gráfica pasa por el punto ( 2; 3,5). Si la gráfica pasa por el punto ( 2; 3,5), se verifica que 3,5 a 2 a 3,5 ( 2) 7. Con lo cual, la función será: y 7 x El producto de dos números es 15. a) Expresa la función que represente esta situación. b) Representa la gráfica de la función.

a) x y 15 y x 15 13.7 13.6 13.5 13.4 79 x 10 5 1 1 5 10 y — x 10 — 1 2 10 10 2 1 Y 2 2 O X 10 x _ y = 1 1 X Y O 15 x _ y = Y 2 2 X O b) P A R A A P L I C A R Un colegio paga 3000 euros a una empresa para que pinte las aulas. Ese dinero se lo repartirán a par- tes iguales entre los pintores que realicen el trabajo. Completa la siguiente tabla y decide qué función proporciona los valores obtenidos. La función que proporciona estos valores es y 30 x 00 . Una familia tiene un acuario y pretende alimentar durante 30 días a los 50 peces que viven en él. Para ello compra un pedido de alimentos.

a) Si cuando llega al acuario se dan cuenta de que son en realidad 75 peces, ¿cuánto tiempo les du- rará la comida? b) ¿Qué función proporciona el tiempo que durará la comida en relación con el número de peces del acuario? a) Como son magnitudes inversamente proporcionales, la comida durará 30 7 5 50 20 días. b) y 15 x 00 Asíntotas de la hipérbola P A R A P R A C T I C A R Responde a las siguientes cuestiones sobre la función de proporcionalidad inversa y — 2 x —: a) Si construyes una tabla de valores dando a x valores muy grandes en valor absoluto, ¿qué obser- vas? b) ¿Qué aprecias si construyes una tabla de valores dando a x valores muy pequeños en valor absolu- to?

c) Halla las asíntotas de la función. a) Cuanto más grande es el valor de x, más se aproxima el valor de y a 0. b) Cuanto más se aproxima el valor de x a 0, el valor de y se hace cada vez más grande. c) Asíntota vertical: x 0 Asíntota horizontal: y 0 13.10 13.9 13.8 80 Número de pintores 1 2 3 4 5 Dinero que recibe cada uno (€) Número de pintores 1 2 3 4 5 Dinero que recibe cada uno (euros) 3000 1500 1000 750 600 x 100 1000 10 000 1 000 000 y — 2 x — 0,02 0,002 0,0002 0,000 002 x 0,1 0,01 0,001 0,0001 y — 2 x — 20 200 2000 20 000 ¿Tienen las mismas asíntotas las funciones y — 3 x — e y — x 3 —? Razona la respuesta.

Sí, las dos funciones tienen las asíntotas x 0 e y 0 ya que ambas son funciones de proporcionalidad inversa. Ejercicio resuelto Halla las asíntotas de la función: y — x 2 3 —. Observa que cuando x tiende a , la fracción se aproxima cada vez más a 0, con lo que y 0 es la asíntota horizontal. Por otro lado, cuando x tiende a 3, la fracción tiende a . Esto sucede siempre que el denominador de la fracción se apro- xima a 0. Por tanto, x 3 es una asíntota vertical. Halla las asíntotas de las siguientes funciones.

a) y — x 5 1 — b) y — x 1 7 — a) Asíntota vertical: x 1 Asíntota horizontal: y 0 b) Asíntota vertical: x 7 Asíntota horizontal: y 0 Ejercicio resuelto Halla las asíntotas de la función: y — 3 x — 5. Observa que cuando x tiende a , la fracción se aproxima cada vez más a 5, ya que 3 x tiende a 0. La recta y 5 es la asíntota horizontal. Por otro lado, cuando x tiende a 0, la fracción 3 x tiende a , con lo que 3 x 5 también tiende a . Por tanto, la recta x 0 es una asíntota vertical. Halla las asíntotas de las siguientes funciones. a) y — 6 x — 2 b) y — 5 x — 3 a) x 0 e y 2 b) x 0 e y 3 Halla las asíntotas de las siguientes funciones.

a) y — x 5 3 — 2 b) y — x 1 2 — 3 c) y — x 1 1 — 7 d) y — x 15 2 — 6 a) x 3 e y 2 b) x 2 e y 3 c) x 1 e y 7 d) x 2 e y 6 Sean a, b y c tres números reales, con a no nulo. ¿Cuáles son las asíntotas de la función y — x a b — c? Asíntota vertical: x b y asíntota horizontal: y c 13.17 13.16 13.15 13.14 13.13 13.12 13.11 81 82 20 t+1 y = –2 Y 5 2 O T –— P A R A A P L I C A R A Manuel le sobra una barra de pan y la guarda en el congelador. Su temperatura sigue la función: f (t) — t 2 0 1 — 2 Donde t son los minutos transcurridos desde que la guardó. a) ¿Qué temperatura tenía la barra de pan en el momento en que la puso en el congelador? b) Representa la función.

c) ¿Cuál es la asíntota horizontal de esta función? ¿Qué significado tiene? a) f(0) 0 2 0 1 2 20 2 18 En el momento de ponerla en el congelador tenía 18 C. b) c) Asíntota horizontal: y 2. Quiere decir que la temperatura de la barra, cuan- do pasa mucho tiempo, tiende a acercarse a 2 o C. En un centro escolar, los alumnos inauguran un aula para emplearla como taller de lectura. Para acon- dicionarla reciben unas donaciones que siguen la función: y 100 — x 1 00 1 — Donde x es el número de días transcurridos desde la inauguración, e y, el dinero donado ese día. a) Atendiendo al planteamiento, ¿cuál debe ser el dominio de la función? b) ¿Cuáles son sus asíntotas?

c) ¿Qué significado tiene la asíntota horizontal? a) Dominio: [0, ) b) x 1 e y 100 c) Quiere decir que las donaciones tienden a ser 100 €. Traslación de hipérbolas P A R A P R A C T I C A R Ejercicio resuelto A partir de la gráfica de la función f (x) — x 2 — representa, mediante traslaciones, las siguientes funcio- nes: a) g (x) — x 2 — 3 b) h (x) — x 2 — 1 a) b) La gráfica de g se obtiene trasladando la gráfica de f tres unidades hacia arriba. La gráfica de h se obtiene trasladando la grá- fica de h una unidad hacia abajo.

13.20 13.19 13.18 2 2 X Y O g 2 2 X Y O h Conociendo la gráfica de la función f (x) — 4 x —, representa, mediante traslaciones, las siguientes funcio- nes: a) g (x) — 4 x — 2 b) h (x) — 4 x — 5 a) b) Ejercicio resuelto A partir de la gráfica de la función : f (x) — 3 x —, representa, mediante traslaciones, la función g (x) — x 3 1 —. La grafica de g se obtiene trasladando horizontalmente la gráfica de f una unidad hacia la derecha. A partir de la gráfica de la función f (x) — x 6 — representa, mediante traslaciones, las gráficas de las si- guientes funcio- nes: a) g (x) — x 6 3 — b) h (x) — x 6 5 — 3 a) b) a) La gráfica de g se obtiene trasladando la de f tres unidades hacia la izquierda.

b) La de h se obtiene trasladando la gráfica de f cinco unidades a la derecha y, posteriormente, trasladándola tres unidades hacia arriba. 13.23 13.22 13.21 83 Y O X 2 2 g(x) = 4 x -2 f(x) = 4 x Y f(x) = - 6 x O 2 g(x) = - 6 3+x X 2 f(x) = – 6 x O 2 2 h(x) = - +3 6 x–5 Y X Y g(x) = 4 x +5 f(x) = 4 x O 2 2 X 2 2 X Y O g Ejercicio resuelto Representa la función y — 2 x x 1 5 —. Dividiendo el numerador entre el denominador se obtiene que 2 x x 1 5 2 x 3 1 . Por tanto, la gráfica de la función se obtiene a partir de la función y 3 x , trasladándola horizontalmente una unidad hacia la izquierda y trasladándola verticalmente dos unidades hacia arriba. Representa la función y — 3 x x 1 7 —.

Dividiendo queda y x 6 1 3, con lo que la hipérbola será la que se obtenga trasladando la y 6 x para que tenga asíntotas . P A R A A P L I C A R Un Ayuntamiento va a colocar farolas en una calle de 150 metros de longitud. Por razones de estética las farolas estarán en línea e igualmente separadas unas de otras. Completa la siguiente tabla, indica a qué función pertenecen dichos valores y represéntala. Sea x, el número de farolas, e y la distancia entre las farolas. La función que relaciona estas variables es: y x 1 50 1 . Su representación es: El número de amonestaciones por día en un instituto viene dado por la función y — x 1 0 4 — 2, don- de x es el número de días transcurridos de curso.

a) ¿Cuántas amonestaciones hubo el primer día, es decir, cuando x 1? b) Representa la función mediante traslaciones verticales y horizontales. c) ¿Cuál es su asíntota horizontal? ¿Qué representa? a) Si x 1 y 1 1 0 4 2 2 2 4 amonestaciones. b) c) Su asíntota horizontal es y 2 e indica que a medida que avanza el curso, las amonestaciones por día tienden a 2.

13.27 13.26 Asíntota vertical: x 1 Asíntota horizontal: y 3 13.25 13.24 84 Número de farolas 2 3 4 5 6 Distancia entre las farolas Número de farolas 2 3 4 5 6 Distancia entre las farolas 150 75 50 37,5 30 2 2 O X Y y = 2x + 5 x + 1 Y 5 5 X 6 x+1 +3 y = O Y 5 O X 10 x+4 +2 y = 5 O 50 1 150 x -1 y = X Y Matemáticas aplicadas P A R A A P L I C A R En un laboratorio se han realizado los siguientes experimentos. Realiza un dibujo donde se vea cómo quedaría el émbolo si se ponen 3 pesas. ¿Y si se ponen 6 pesas? Como al poner 3 pesas la presión se triplica el volumen se reduce a un tercio. En el caso de 6 pesas el volumen se reduce a la sexta parte.

Actividades Finales P A R A P R A C T I C A R Y A P L I C A R Razona si las siguientes magnitudes son directa o inversamente proporcionales. a) La altura de un edificio y la sombra proyectada. b) El número de obreros y los días de duración de la obra. c) La velocidad a la que va un móvil y el tiempo que tarda en recorrer 100 kilómetros. d) El número de kilogramos de naranjas que se pueden comprar con 20 euros y el precio del kilogra- mo. e) El tiempo que se tarda en limpiar un monte y el número de personas encargadas de la limpieza.

a) Directa b) Inversa c) Inversa d) Inversa e) Inversa Utiliza la tecla x 1 o 1/x de tu calculadora científica para formar una ta bla de valores de la función y — 1 x — y representa gráficamente la función. La hipérbola de la figura pasa por el punto (1, 1). a) ¿Cuáles son las características fundamentales que observas a través de su representación gráfica? b) ¿Cuál es la expresión de la función? a) Su dominio y su recorrido es R {0}. – Es continua en todos los puntos de su dominio. – Es creciente. – Sus asíntotas son x 0 e y 0. b) Si pasa por el punto (1, 1) se verifica que: 1 = 1 a a = 1. Luego y x 1 .

13.31 13.30 13.29 13.28 85 Y 1 O X 1 y = 1 x 1 1 X Y O 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 x 3 2 1 0,1 0,1 1 2 3 y 1 x 0,3 v 0,5 1 10 10 1 0,5 0,3 v 86 Y 2 O X 1 y = 4 x x 1 2 4 8 1 2 4 8 y 4 2 1 0,5 4 2 1 0,5 Para una función y — k x — con k 0, razona si las siguientes afirmaciones son ciertas o falsas: a) Su dominio es toda la recta real. b) Es creciente si k < 0. c) Es continua en x 0. d) Su gráfica está compuesta por dos ramas. a) Falso, su dominio es R {0}. b) Verdadero. c) Falso, x 0 no está en el dominio. d) Verdadero. El producto de dos números es 4. Construye una tabla de valores, escri- be la función y represéntala.

La función que expresa esta situación es x y 4 y 4 x . Un marco en forma de triángulo tiene un área de 200 centímetros cuadrados. a) Construye una tabla de valores para los posibles valores de la base y la altura. b) Escribe la función y represéntala. a) b) La función que nos proporciona estos valores es x 2 y 200 x y 400 y 40 x 0 . (x e y deben ser positivos, ya que son medidas) Varias ONG tienen almacenes en forma de ortoedro en donde guardan alimentos para enviarlos en caso de catástrofes naturales. Todos tienen 5 metros de altura y un volumen de 500 metros cúbicos. a) Construye una tabla de valores para los distintos valores de ancho y largo que pueden tener los almacenes.

b) Escribe la función. c) Represéntala. d) ¿Cuáles son sus asíntotas? a) b) x y 5 500 x y 100 y 10 x 0 . x e y deben ser positivos, ya que son medidas. c) En este caso, debido al contexto del problema, solo nos interesa la rama superior de la hipérbola. d) Sus asíntotas son . x 0 y 0 13.35 13.34 13.33 13.32 x (base en cm) 10 20 25 40 y (altura en cm) 40 20 16 10 x (ancho en metros) 2 5 10 20 25 40 50 y (largo en metros) 50 20 10 5 4 2,5 2 Y 10 O X 10 y = 100 x Y 10 O X 10 y = 400 x La siguiente gráfica se ha obtenido a partir de la de y — 5 x —. ¿De qué función se trata? Observamos que sus asíntotas son x 2 e y 10, por lo que su expresión es y x 1 2 10.

A partir de la gráfica de la función y — x 1 —. representa, mediante traslaciones verticales y horizonta- les las funciones. a) y — x 1 1 — b) y — x 1 5 — c) y — x 1 3 — 1 d) y — x 1 — 3 e) y — x 1 — 1 d) y — x 1 1 — 4 a) y b) se obtienen trasladando horizontalmente la gráfica de y x 1 . d) y e) se obtienen trasladando verticalmente la gráfica de y x 1 . c) y f) se obtienen trasladando el centro a los puntos ( 3, 1) y (1, 4). 13.37 13.36 87 10 1 X Y O Y O X 2 2 Y O X 2 2 Y O X 2 2 Y O X 2 2 Y O X 2 2 Y O X 2 2 A continuación se muestra, en verde, la gráfica de la función y — 2 x —, y en azul y rojo, las gráficas de las funciones f (x) — 2 x — 7 y g (x) — x 2 1 —. ¿Puedes identificarlas?

f es la que se traslada verticalmente siete unidades ha- cia arriba (la de color rojo) y g, la que se traslada ho- rizontalmente una unidad hacia la izquierda (la de co- lor azul). P A R A R E F O R Z A R Dada la función y — x 15 —: a) Forma una tabla de valores. b) Represéntala gráficamente. c) ¿Cuál es su dominio? d) ¿Cuál es su recorrido? e) ¿Es creciente o decreciente? f) ¿Es continua para todos los números reales? g) ¿Presenta la función alguna asíntota? En caso afirmativo, ¿cuál o cuáles? a) b) c) Dominio: R {0} d) Recorrido: R {0} e) Es creciente. f) No es continua en x 0 ya que no está este valor en su dominio. g) Sí, presenta dos asíntotas.

La recta y 0 es una asíntota horizontal, ya que a medida que la variable x tiende a , los valores de y tienden a 0. Y la recta x 0 es una asíntota vertical, ya que a medida que los valores de x tienden a 0, los valores de la variable y tienden a . 13.39 13.38 88 2 1 y = 2 _ x X Y O Y O X 2 2 f(x) = 15 x _ x 3 2 1 1 2 3 y — x 15 — 5 7,5 15 15 7,5 5 A partir de la gráfica de la función y — x 6 —, representa las funciones: a) y — x 6 — 3 c) y — x 6 1 — b) y — x 6 — 5 d) y — x 6 6 — a) c) b) d) A continuación aparecen representadas las siguientes funciones f (x) — 3 x — y g (x) — 3 x —. ¿Puedes ide- tificarlas utilizando únicamente la gráfica?

f(x) 3 x es una función decreciente, por lo que es la que está en el primer y tercer cuadrante. Mientras que g(x) 3 x es creciente, por lo que es la que está en el segundo y cuarto cuadrante. Halla las asíntotas de las siguientes hipérbolas.

a) y — 5 x — 2 b) y — x 3 1 — c) y — x 7 4 — 2 d) y — x 6 1 — 10 a) b) c) d) Asíntota vertical: x 1 Asíntota horizontal: y 10 Asíntota vertical: x 4 Asíntota horizontal: y 2 Asíntota vertical: x 1 Asíntota horizontal: y 0 Asíntota vertical: x 0 Asíntota horizontal: y 2 13.42 13.41 13.40 89 O 2 2 Y X O X 2 2 Y 2 2 X Y O O X 2 2 Y X 2 Y O 2 P A R A A M P L I A R A una temperatura de 0 o C el volumen que ocupa una cierta cantidad de un gas depende de la presión a la que esté sometido. La presión medida en atmósferas y el volumen medido en litro verifican que P V 22,4. a) ¿A qué presión se encuentra si ocupa un volumen de 5,2 litros?

b) ¿Qué función proporciona el volumen que ocupa el gas en función de la presión a la que está so- metido? c) Representa la función. d) ¿Cuál es su función inversa? a) P 22 V ,4 2 5 2 , , 2 4 4,48 atmósferas. b) y 22 x ,4 ,con x la presión en atmósferas. c) En este caso, debido al contexto del problema, solo nos interesa la rama superior de la hipérbola; ya que x e y deben ser números positivos. d) La función inversa es ella misma. Observa que la gráfica es simétrica respecto a la recta y x. En una cocina se enciende un horno eléctrico y se observa que su temperatura sigue una función T (t) 850 — 80 t 0 —, donde t es el tiempo transcurrido en segundos.

a) ¿Cuál es la temperatura al cabo de un minuto? b) Representa esta función. c) ¿Cuál es el centro de esta hipérbola? a) T(1) 850 80 1 0 50 o C. b) c) (0,850) 13.44 13.43 90 Y O 500 10 X Y y = 22,4 x O 5 5 X En el año 2007 se comenzó a hacer un estudio sobre las medusas que llegan cada año a las costas es- pañolas. Se concluyó que este número viene dado por la función N (t) , donde t son los años transcurridos desde 2007. a) ¿Cuántas medusas llegarán en 2008? b) Representa esta función mediante traslaciones verticales y horizontales de una hipérbola que sepas representar. c) ¿Cuál es su asíntota horizontal? ¿Qué significado tiene? a) N(1) 197 000 medusas.

b) Dividimos el numerador entre el denominador: 582 000 Por tanto para representar la función basta tomar la gráfica de la fun- ción y , y trasladarla 582 000 unidades hacia arriba y cinco unidades hacia la izquierda. c) Su asíntota horizontal es y 582 000. Esto significa que a medida que pasen los años el número de medusas que llega- rán a las costas va a tender a 582 000 La frecuencia medida en hercios (Hz) de la nota producida por una guitarra es inversamente propor- cional a la longitud de la cuerda. a) Si una nota tiene 100 Hz de frecuencia con una cuerda de 75 cm de largo, ¿qué longitud de cuerda tendremos que utilizar para que la nota produzca una frecuencia de 150 Hz?

b) Haz una tabla de valores y represéntalos gráficamente. c) ¿Cuál es la función correspondiente? d) ¿Cuáles son sus asíntotas?

a) Como son magnitudes inversamente proporcionales, la longitud de la cuerda será 100 15 0 75 50 cm b) c) y 75 x 00 d) x 0 e y 0 13.46 2 310 000 x 2 310 000 t 5 582 000 t 6000 000 t 5 582 000 600 000 1 5 582 000t 600 000 ——— t 5 13.45 91 Y O 2 · 106 5 X Y O 100 50 X Frecuencia (Hz) 25 30 50 75 100 150 200 250 300 Longitud (cm) 300 250 150 100 75 50 37,5 30 25 P A R A I N T E R P R E T A R Y R E S O L V E R Repartiendo propaganda Una empresa, que se dedica a elaborar y gestionar campañas de propaganda sobre marcas comercia- les, ha realizado un estudio sobre la relación existente entre el número de personas que trabajan como repartidoras de una remesa de 10 000 folletos informativos de una marca de ordenadores y los días que precisan para finalizar el trabajo.

Los resultados se reflejan en la siguiente tabla. a) La empresa está interesada en utilizar el anterior estudio para organizar próximos repartos de pa- recidas características. ¿Existe algún tipo de relación entre las dos magnitudes consideradas? b) Escribe la función que consideres más adecuada para ajustar los anteriores valores. c) ¿Cuál de los anteriores valores se aleja más de la función ajustada? d) Estima el número de días necesarios para repartir 10000 folletos si se han contratado 15 trabajadores. a) A la vista de los datos, el número de días y el de repartidores son magnitudes inversamente proporcionales.

b) En casi todos los casos, el producto de los valores de las dos magnitudes es 180. Por tanto, si x es el número de días e y el de trabajadores se puede considerar que y 18 x 0 . c) El único caso que se aleja, y no en gran medida, del valor de la función es cuando han trabajado 19 personas y han tar- dado 10 días. d) x 1 1 8 5 0 12 días. Financiación de un ordenador Margarita quiere comprarse un ordenador portátil con características especiales. En la oficina de infor- mación de la empresa vendedora le ofrecen las siguientes condiciones. Valor total: 1750 euros. Pago el día de reserva de la compra: 150 euros. Pago el día de entrega del ordenador: 600 euros.

Resto a pagar en un número de mensualidades a convenir, pero con un aumento del total del capi- tal que falta de acuerdo con la siguiente tabla. a) Escribe la función que determine el dinero que se ha de pagar cada mes según el número de me- ses. ¿Qué tipo de función es? b) Calcula las mensualidades para los casos de 5, 10 y 15 meses. c) Si Margarita quiere pagar, aproximadamente, un total de 2050 euros, ¿cuál es el número máximo de mensualidades que puede contratar? a) A Se trata de una función definida a trozos en la que cada uno de ellos es una función de proporcionalidad inversa. b) Si son 5 mensualidades, en cada una de ellas deberá pagar 230 euros.

Si son 10 mensualidades, en cada una de ellas deberá pagar 130 euros. Si son 15 mensualidades, en cada una de ellas deberá pagar 100 euros. c) Como mucho, podrá contratar 10 mensualidades ya que si contrata entre 6 y 10, deberá pagar un total de 150 600 1000 1,3 2050 €. 13.48 13.47 92 11 x 50 si 0 x 6 13 x 00 si 6 x 10 15 x 00 si 10 x 20 Número de días (x) Número de personas (y) 2 90 5 36 10 19 18 10 20 9 N.º de mensualidades Aumento del capital pendiente Menos de 6 15% Entre 6 y 10 30% Entre 11 y 20 50% A U T O E V A L U A C I Ó N Representa las funciones y — 1 x — e y — 1 x —. ¿Qué similitudes y qué diferencias observas entre sus grá- ficas? Similitudes: Tienen el mismo dominio y recorrido.

Son continuas en sus dominios. Tienen las mismas asíntotas. Diferencias: y 1 x es decreciente, mientras que y x 1 es creciente Utiliza la gráfica de la función y — x 2 — para representar las hipérbolas y — x 2 — 5 e y — x 2 3 — Para representar y x 2 5 desplazamos verticalmente la función y x 2 cinco unidades hacia arriba. Para representar y x 2 3 la desplazamos horizontalmente tres unidades hacia la iz- quierda. Utiliza la gráfica de la hipérbola y — 4 x — para representar la hipérbola y — x 4 1 — 3. La hipérbola y x 4 1 3 tiene centro (1, 3). Por tanto, hay que trasladar la hipérbola y 4 x de modo que su centro sea (1, 3).

13.A3 13.A2 13.A1 93 Y O 2 2 X y = –2 x + 3 y = - 2 x Y O X 2 2 y = - + 5 2 x Y y = 1 x 1 O y = - 1 x X 1 Jorge y Eduardo se van de excursión de fin de semana. Tienen que hacer 100 kilómetros en coche. a) ¿Cuánto tardarán si van a 100 kilómetros por hora? ¿Y si van a 80 kilómetros por hora? b) Expresa la función que relaciona la velocidad a la que realizan el viaje con su duración. a) Si van a 100 km/h tardan 1 hora y si van a 80 km/h tardan 1 8 0 0 0 1,25 h 1 h 15 min. b) t 10 v 0 , donde v es la velocidad en km/h y t es el tiempo en horas. ¿Cuáles son las asíntotas de esta hipérbola?

y — x 7 1 — 4 Escribe la expresión algebraica de la hipérbola que tiene sus asíntotas paralelas a los ejes de coorde- nadas y cuyo centro es el punto (2, 7). y x a 2 7, con a 0 En el cumpleaños de Sara algunos de sus compañeros de clase le compran un regalo que costó 50 €. Ese dinero lo pagarán a partes iguales entre los que participen. a) Si participan 10 compañeros, ¿Cuánto pondrá cada uno? ¿Y si participan 15? b) Expresa la función que relaciona el número de compañeros que participan y el dinero que tiene que poner cada uno. c) Representa la gráfica de la función. d) ¿Cuáles son sus asíntotas? e) ¿Qué significado tiene la asíntota horizontal?

a) Si participan 10 compañeros, cada uno paga 5 €. Si participan 15, cada uno paga 3,3 v €. b) y 5 x 0 c) En este caso, debido al contexto del problema, solo nos interesa la rama superior de la hipérbola; ya que x e y deben ser números positivos. d) e) La asíntota horizontal y 0 quiere decir que al aumentar el número de compañeros que participan, la cantidad que pon- drá cada uno se aproximará cada vez más a 0. Asíntota vertical: x 0 Asíntota horizontal: y 0 13.A7 13.A6 Asíntota vertical: x 1 Asíntota horizontal: y 4 13.A5 13.A4 94 Y O 5 5 X E N T R E T E N I D O Los palíndromos Un palíndromo es una palabra, número o frase que se lee igual hacia adelante que hacia atrás.

Cuando es un número, se llama capicúa. 23 432 731 090 137 Es fácil escribir un número capicúa de muchas cifras, pero hace falta mucha imaginación para escribir una pa- labra o frase palindrómica con significado. RECONOCER YO DE TODO TE DOY Completa estas y juega a inventar otras. 95 OJO R… ADAN NO CAL… ALLÍ VES… ELLA TE DAR… YO HAGO Y… SE ES O N… OJO ROJO ADAN NO CALLA CON NADA ALLÍ VES SEVILLA ELLA TE DARÁ DETALLE YO HAGO YOGA HOY SE ES O NO SE ES Asíntotas 1.- Estudia la existencia de asíntotas de las siguientes funciones indicando cuales son y de que tipo.

a) b) c) d) e) f) www.apuntesmareaverde.org.es Autores: Leticia González Pascual y Álvaro Valdés Menéndez Revisores: Eduardo Cuchillo, Javier Rodrigo y Luis Carlos Vidal Matemáticas II. 2º Bachillerato. Capítulo 1: Matrices 2º de Bachillerato. Matemáticas II. Capítulo 1: Matrices Autores: Leticia González Pascual y Álvaro Valdés Revisores: Eduardo Cuchillo, Javier Rodrigo y Luis Carlos Vidal www.apuntesmareaverde.org.es Matrices 6 1. CONCEPTO DE MATRIZ 1.1. DEFINICIÓN 1.2. DIMENSIÓN DE UNA MATRIZ 1.3. IGUALDAD DE MATRICES 2. TIPOS DE MATRICES 3. OPERACIONES CON MATRICES 3.1. SUMA 3.2. PRODUCTO DE UN NÚMERO (ESCALAR) POR UNA MATRIZ 3.3. PRODUCTO DE MATRICES 3.4. MATRIZ INVERSA 3.4.1.

Definición 3.4.2. Método de Gauss–Jordan 3.5. MATRIZ TRASPUESTA 3.6. RANGO DE UNA MATRIZ 4. GRAFOS Y MATRICES Resumen En la historia del Álgebra podemos encontrar etapas muy diferentes: el álgebra de la antigüedad de babilónicos, egipcios, griegos,… el álgebra árabe o el álgebra de la edad moderna, en que continúa tratándose la resolución de ecuaciones. En el siglo XVIII y XIX tiene su auge el Álgebra Abstracta que trata de las estructuras algebraicas. Surgen las matrices y los determinantes, aunque se puede pensar que su origen es mucho más antiguo si se piensa en los cuadrados mágicos que se conocen desde el año 650 a.C.

El cálculo matricial tiene importantes aplicaciones, como para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales que estudiaremos este curso. Otras aplicaciones se encuentran al trabajar en Física Cuántica o en Teoría de Grafos, y se utilizan en computación por la simplicidad de su manipulación. Las transformaciones geométricas, giros, simetrías…, se representan mediante matrices. Los vectores son un caso particular de matriz. La información se organiza usando matrices. Galois y las matrices, ENCRIPTAN TUS DATOS EN INTERNET. Uno de los usos prácticos más comunes de las matemáticas, es la encriptación de datos, para que quien no queremos que vea nuestras conversaciones, claves, fotos...

Pues sencillamente, no las vea ¿Y qué es lo que ve? Pues un montón de signos sin sentido para que no se entere de nada. Hoy vamos a hablar de cómo Galois y las matrices nos ayudan a encriptar nuestra información. Eduardo Sáenz de Cabezón https://www.youtube.com/watch?v=XC4SX3iEeRM 2º de Bachillerato. Matemáticas II. Capítulo 1: Matrices Autores: Leticia González Pascual y Álvaro Valdés Revisores: Eduardo Cuchillo, Javier Rodrigo y Luis Carlos Vidal www.apuntesmareaverde.org.es Matrices 7 1. CONCEPTO DE MATRIZ Actividad de introducción En el IES "Virgen de Covadonga" de El Entrego se está desarrollando una actividad solidaria de recogida de juguetes.

Se han repartido las tareas por cursos, de modo que los alumnos y alumnas de 1º de ESO recogen juguetes tradicionales, los de 2º de ESO juegos de mesa y los de 3º de ESO juegos electrónicos. Durante la primera semana se recogieron 35 juguetes en 1º de ESO, 24 en 2º y 33 en 3º; la segunda semana los estudiantes trajeron 28 juguetes en primero, 18 en segundo y 37 en tercero. Los profesores encargados, satisfechos por el resultado de la actividad, decidieron recompensar a los niños y niñas ofreciéndoles 4 caramelos por cada juguete tradicional, 2 morenitos por cada juego de mesa y un pincho por cada juego electrónico.

Cuando se enteran el resto de grupos del instituto (4º de ESO, 1º y 2º de Bachiller), deciden participar, y la semana siguiente traen 18 juguetes tradicionales, 25 juegos de mesa y 16 electrónicos. El Equipo Directivo, muy orgulloso de la implicación de todos los estudiantes, decide duplicar los premios. ¿Cuántos juguetes de cada tipo se recogieron? ¿Cuántos pinchos, caramelos y morenitos deben comprar como premio? Si los caramelos cuestan un céntimo, los morenitos 5 céntimos y los pinchos 75 céntimos, ¿cuánto les costará a los profesores recompensar a sus alumnos? Sugerencia: Organiza la información en forma de tablas.

Colecta Juguetes tradicionales Juegos de mesa Juegos electrónicos 1ª semana 2ª semana 3ª semana Premios Juguetes tradicionales Juegos de mesa Juegos electrónicos Caramelos Morenitos Pinchos Precio por unidad Coste total Caramelos Morenitos Pinchos Analiza: ¿Habrías sabido resolver el problema sin usar las tablas? ¿Te ha parecido más fácil con la información ordenada? ¿Conoces alguna situación de la vida cotidiana similar al problema planteado? Busca otros ejemplos donde la información tabulada es fundamental para entender mejor qué está ocurriendo. 2º de Bachillerato. Matemáticas II.

Capítulo 1: Matrices Autores: Leticia González Pascual y Álvaro Valdés Revisores: Eduardo Cuchillo, Javier Rodrigo y Luis Carlos Vidal www.apuntesmareaverde.org.es Matrices 8 1.1. Definición Las matrices son una de las herramientas más usadas dentro del Álgebra Lineal y están asociadas a un conjunto de datos numéricos ordenados. Encontramos las matrices en muchas ciencias: Sociología, Economía, Demografía, Física, Biología, etc. La idea intuitiva de matriz es muy sencilla, pudiéndose definir una matriz como un tabla de números ordenados, números que pueden provenir de experimentos, encuestas, análisis económicos, etc.

Por tanto: Se llama matriz de orden m × n a un conjunto de números reales dispuestos en m filas y en n columnas, de la forma: mn m m n n a a a a a a a a a A 2 1 2 22 21 1 12 11 Las matrices se representan por letras mayúsculas A, B, C,… Los elementos de la matriz (los números) se representan en general por aij, donde los subíndices (i, j) nos dan la posición que ocupa el término: 1, 2, . . . , 1, 2, . . . , Así, el término a13 es el elemento que está en la primera fila y en la tercera columna. 1.2. Dimensión de una matriz El número de filas (m) y el número de columnas (n) nos da la dimensión de la matriz m × n. Ejemplo: 9 5 1 4 1 3 es una matriz de dimensión 2 × 3. 1.3.

Igualdad de matrices Dos matrices son iguales si tienen la misma dimensión y si los términos que ocupan la misma posición son iguales: 23 22 21 13 12 11 a a a a a a A 23 22 21 13 12 11 b b b b b b B ij ij b a b a b a b a b a b a b a B A 23 23 13 13 22 22 12 12 21 21 11 11 ; ; ; Ejemplo: Si 9 1 4 1 y a A y z x b B 5 4 3 , para que B A debe cumplirse que: a = 3 , b = –1 , x = 1 , y = 5 y z = –9. 2º de Bachillerato. Matemáticas II.

Capítulo 1: Matrices Autores: Leticia González Pascual y Álvaro Valdés Revisores: Eduardo Cuchillo, Javier Rodrigo y Luis Carlos Vidal www.apuntesmareaverde.org.es Matrices 9 Actividades resueltas Indica la dimensión de las siguientes matrices: 9 7 1 4 1 5 A ; 0 6 2 3 B ; 2 1 0 C ; 0 0 1 0 1 0 1 0 0 D Solución: La matriz A es de dimensión 2 × 3 porque tiene dos filas y tres columnas. La matriz B es de dimensión 1 × 4 porque tiene una fila y cuatro columnas. La matriz C es de dimensión 3 × 1 porque tiene tres filas y una columna. La matriz D es de dimensión 3 × 3 porque tiene tres filas y tres columnas.

Determina los valores de a, b y c para que las matrices A y B sean iguales b a A 6 3 ; 0 2 y x B Solución: Para que dos matrices sean iguales deben tener la misma dimensión, requisito que cumplen A y B. Además, han de ser iguales los términos que ocupan la misma posición. Por tanto debe ser x = 3, a = 2, y = 6, b = 0. Matrices Introducción. Conceptos básicos. Qué es una matriz, cuáles son sus elementos, cómo se nombran los elementos y qué es dimensión, orden o tamaño de una matriz y cuáles son las filas y las columnas de una matriz. Matemáticas profe Alex https://www.youtube.com/watch?v=m6w5vLA3Lnw Actividades propuestas 1.

Utiliza matrices para representar la información siguiente: Un agricultor cultiva lechugas, naranjas y melones. Durante el año 2014 ha recogido mil lechugas, 2000 kilos de naranjas y 500 melones. En los años anteriores su producción ha sido de 500, 1000 y 400 respectivamente. Por cada lechuga recibe un céntimo, por cada kilo de naranjas 3 céntimos y por cada melón 5 céntimos. Escribe la matriz de sus ganancias del año 2014. 2. Analiza los siguientes elementos de tu entorno y determina si son matrices o no: a. Un calendario. b. La clasificación de la Liga de fútbol (o cualquier otro deporte). c. El disco duro de un ordenador. d. Un armario donde se guarda una colección de copas. e.

Los lineales de un supermercado. f. Una pantalla de televisión. g. El boleto de la Lotería Primitiva, de la Quiniela y del Euromillón. h. Los buzones de una vivienda. i. Los pupitres de una clase. 3. Propón otros elementos de tu entorno que sea matrices o puedan representarse mediante matrices. 2º de Bachillerato. Matemáticas II. Capítulo 1: Matrices Autores: Leticia González Pascual y Álvaro Valdés Revisores: Eduardo Cuchillo, Javier Rodrigo y Luis Carlos Vidal www.apuntesmareaverde.org.es Matrices 10 2. TIPOS DE MATRICES Si el número de filas es igual al número de columnas la matriz es una matriz cuadrada.

Si el número de filas es distinto del número de columnas n m la matriz se llama rectangular. Dentro de las matrices rectangulares tenemos los siguientes tipos: Matriz fila: Es aquella que sólo tiene una fila. Ejemplo: 2 0 1 es una matriz fila. Matriz columna: Es la que sólo tiene una columna. Ejemplo: 1 2 es una matriz columna. Si el número de filas es igual al número de columnas (m = n) se habla de una matriz cuadrada. Dentro de las matrices cuadradas es importante destacar que los elementos aij en que los dos subíndices son iguales forman la diagonal principal, y los elementos en que 1 n j i (donde n es el orden de la matriz) forman la diagonal secundaria.

33 32 31 23 22 21 13 12 11 a a a a a a a a a En el conjunto Mn de las matrices cuadradas de orden n, cabe destacar los siguientes tipos de matrices: Matriz triangular: Es aquella matriz en la que los elementos situados por encima o por debajo de la diagonal principal son nulos. Tipos de matrices. Explicación y ejemplos de algunos tipos de matrices, como la matriz fila o vector fila, la matriz o vector columna, la matriz nula, dentro del curso de Matrices.

Matemáticas profe Alex https://www.youtube.com/watch?v=GyrQmbxk7ds Ejemplos: 2 0 0 1 4 0 3 2 1 2 1 3 0 1 2 0 0 1 Matriz Triangular Superior Matriz Triangular Inferior Matriz Diagonal: Es aquella matriz en la que los elementos que no están en la diagonal principal son nulos: j i aij si 0 diagonal secundaria diagonal principal 2º de Bachillerato. Matemáticas II. Capítulo 1: Matrices Autores: Leticia González Pascual y Álvaro Valdés Revisores: Eduardo Cuchillo, Javier Rodrigo y Luis Carlos Vidal www.apuntesmareaverde.org.es Matrices 11 Ejemplos: 2 0 0 0 4 0 0 0 1 2 0 0 0 0 0 0 0 1 Matriz Escalar: Es aquella matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son todos iguales.

Ejemplo: 2 0 0 0 2 0 0 0 2 Matriz Unidad (Identidad): Es la matriz escalar en la que los elementos no nulos son iguales a 1. Se representa por I. Ejemplo: 1 0 0 0 1 0 0 0 1 3 I En ocasiones se añade un subíndice que indica la dimensión de la matriz. Matriz Nula: Es aquella en la que todos sus elementos son cero. Ejemplo: 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Matriz nula de tamaño 3. Actividad resuelta Clasifica las matrices siguientes: a) A = ; La matriz A es rectangular de dimensión 2×3. b) B = ; La matriz B es una matriz cuadrada de dimensión 3×3 o simplemente 3. c) C = ; La C es cuadrada de dimensión 4.

d) D = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ; Es una matriz cuadrada 3×3, es la matriz nula de dicha dimensión e) E = 7 4 0 1 La matriz E es una matriz fila de dimensión 1×4. 0 1 2 1 0 1 2 4 0 1 0 1 1 2 0 1 0 0 0 1 1 1 2 0 1 0 0 1 1 1 2 2º de Bachillerato. Matemáticas II. Capítulo 1: Matrices Autores: Leticia González Pascual y Álvaro Valdés Revisores: Eduardo Cuchillo, Javier Rodrigo y Luis Carlos Vidal www.apuntesmareaverde.org.es Matrices 12 3. OPERACIONES CON MATRICES Actividad de introducción La siguiente tabla muestra los resultados de la Liga de fútbol española 2014/2015 cuando cada equipo juega como local y como visitante: En casa Fuera Total Equipo PJ G E P PJ G E P PJ G E P F.C.

Barcelona 19 16 1 2 19 14 3 2 Real Madrid 19 16 2 1 19 14 0 5 Atlético C. Madrid 19 14 3 2 19 9 6 4 Valencia C.F. 19 15 3 1 19 7 8 4 Sevilla C.F. 19 13 5 1 19 10 2 7 Villarreal C.F. 19 12 1 6 19 4 11 4 Athletic C. Bilbao 19 8 6 5 19 7 4 8 R.C. Celta de Vigo 19 8 5 6 19 5 7 7 C.D. Málaga 19 8 6 5 19 6 2 11 R.C.D. Espanyol 19 8 6 5 19 5 4 10 Rayo Vallecano 19 8 2 9 19 7 2 10 R. Sociedad 19 9 5 5 19 2 8 9 Elche C.F. 19 6 3 10 19 5 5 9 Levante C.F. 19 6 6 7 19 3 4 12 Getafe C.F. 19 6 5 8 19 4 2 13 R.C. Deportivo 19 5 6 8 19 2 8 9 Granada C.F. 19 4 10 5 19 3 4 12 S.D. Eibar 19 5 3 11 19 4 5 10 U.D. Almería 19 3 7 9 19 5 1 13 Córdoba C.F.

19 1 6 12 19 2 5 12 Completa la tabla de la derecha, fijándote principalmente en: o Qué deberías haber hecho en caso de que los equipos hubieran estado ordenados de diferente forma en ambas tablas. o Cómo eliges trabajar con los números y por qué. o Qué dimensiones tienen las tablas con los datos "En casa"/"Fuera" y la que obtienes. o Cómo habrías resuelto el problema inverso: dados los resultados totales y los obtenidos "En casa", determinar los resultados de los equipos cuando jugaron como "Visitantes". El sistema de puntuación de la Liga da 0 puntos por jugar un partido, 3 puntos por victoria, 1 punto por empate y 0 puntos por derrota.

o Escribe una matriz que represente estos datos sobre la puntuación o Utiliza dicha información para determinar los puntos logrados por cada equipo cuando juega como local, como visitante y en total. o Observa las dimensiones de las tablas de partida y de la matriz de puntuación, e intenta relacionarlas con las tablas de "Puntos" que acabas de obtener. 2º de Bachillerato. Matemáticas II. Capítulo 1: Matrices Autores: Leticia González Pascual y Álvaro Valdés Revisores: Eduardo Cuchillo, Javier Rodrigo y Luis Carlos Vidal www.apuntesmareaverde.org.es Matrices 13 3.1.

Suma Dadas dos matrices A y B de dimensión n m , se define la suma de matrices B A como aquella matriz cuyos elementos son la suma de los elementos que ocupan la misma posición: 23 22 21 13 12 11 a a a a a a A 23 22 21 13 12 11 b b b b b b B 23 23 22 22 21 21 13 13 12 12 11 11 b a b a b a b a b a b a B A C Ejemplo: 1 2 0 2 3 1 4 2 1 A 5 1 3 4 3 2 3 1 2 B 6 3 3 6 6 3 7 1 3 B A La suma de matrices es una consecuencia de la suma de números reales, por lo que las propiedades de la suma de matrices serán las mismas que las de la suma de números reales: - Propiedad Asociativa. - Elemento neutro (la matriz nula). - Elemento opuesto (–A): A + (–A) = 0 - Propiedad Conmutativa: A + B = B + A 3.2.

Producto de un número (escalar) por una matriz El producto de un número real k por una matriz ij a A es otra matriz de la misma dimensión cuyos elementos son los productos de los elementos de la matriz A por el número k: ij ij ka a k kA 33 32 31 23 22 21 13 12 11 a a a a a a a a a A 33 32 31 23 22 21 13 12 11 ka ka ka ka ka ka ka ka ka kA Ejemplo: Dada la matriz 1 2 0 2 3 1 4 2 1 A , el producto de la matriz A por 5 es: 5 10 0 10 15 5 20 10 5 5A El producto de un número por una matriz tiene las siguientes propiedades: - Propiedad Distributiva respecto de la suma de matrices.

B k A k B A k - Propiedad Distributiva respecto de la suma de números: A l A k A l k - Propiedad Asociativa mixta: A l k A l k - A A 1 El conjunto de matrices Mmxn respecto de las operaciones suma de matrices y producto por un número real (Mmxn, +,ꞏk) tiene estructura de espacio vectorial. 2º de Bachillerato. Matemáticas II. Capítulo 1: Matrices Autores: Leticia González Pascual y Álvaro Valdés Revisores: Eduardo Cuchillo, Javier Rodrigo y Luis Carlos Vidal www.apuntesmareaverde.org.es Matrices 14 3.3. Producto de matrices El producto de matrices no es una operación tan sencilla como la suma de matrices o el producto de una matriz por un número real, que no necesitan de grandes condiciones.

Para poder multiplicar dos matrices, sus dimensiones deben cumplir unas condiciones. Sean las matrices A y B de dimensiones n m y p n (es decir, el número de columnas de la matriz A es igual al número de filas de la matriz B). Se define el producto B Aꞏ , y en ese orden, como una matriz C de dimensiones p m cuyos elementos son de la forma: Es decir, el elemento c11 se obtiene multiplicando escalarmente los elementos de la primera fila de la matriz A por los elementos de la primera columna de la matriz B, y así sucesivamente.

Ejemplo: Veamos un producto de matrices desarrollado paso a paso: 20 47 8 20 1 6 2 5 1 4 4 6 3 5 2 4 1 3 2 2 1 1 4 3 3 2 2 1 1 4 2 3 1 2 6 5 4 3 2 1 B A B A Dimensión 2 × 3 3 × 2 2 × 2 El número de columnas de A es igual al número de filas de B, por lo tanto se pueden multiplicar en ese orden. La matriz producto tiene tantas filas como A y tantas columnas como B. Que el producto AꞏB esté definido no implica que lo esté el producto BꞏA.

Ejemplo: Dadas las matrices definido no definido A B B A B A 3 3 2 4 2 3 2 2 1 Para que estén definidos ambos productos tiene que cumplirse que si la dimensión de la matriz A es n m , la dimensión de la matriz B debe ser m n , siendo las dimensiones de las matrices producto: n n A B m m B A De aquí se concluye que el producto de matrices NO TIENE LA PROPIEDAD CONMUTATIVA. Si las matrices son cuadradas de orden n, el producto de matrices tiene las siguientes propiedades: Propiedad Asociativa: C B A C B A Elemento neutro (I): Propiedad distributiva respecto de la suma de matrices: C A B A C B A 2º de Bachillerato. Matemáticas II.

Capítulo 1: Matrices Autores: Leticia González Pascual y Álvaro Valdés Revisores: Eduardo Cuchillo, Javier Rodrigo y Luis Carlos Vidal www.apuntesmareaverde.org.es Matrices 15 3.4. Matriz inversa Entre las propiedades de las matrices no se ha nombrado la existencia del elemento simétrico o elemento inverso, ya que no existe dicha propiedad. Sin embargo, hay matrices cuadradas para las cuales existe otra matriz que multiplicada por ellas nos da la matriz unidad (elemento neutro).

Definición Si dada una matriz cuadrada A existe otra matriz B, también cuadrada, que multiplicada por la matriz A nos da la matriz unidad, se dice que la matriz A es una matriz regular o inversible y a la matriz B se le llama matriz inversa de A y se representa por A–1 : Si una matriz cuadrada no tiene matriz inversa, se dice que la matriz es singular. La matriz inversa verifica las siguientes propiedades: - La inversa de la matriz inversa es la matriz original. A A 1 1 - La inversa del producto de dos matrices es el producto de las inversas de las matrices cambian do su orden. 1 1 1 A B B A - La inversa de la traspuesta de una matriz es igual a la traspuesta de la matriz inversa.

t t A A 1 1 Para hallar una matriz inversa dispondremos de varios métodos distintos. En este tema veremos dos: Resolver un sistema de ecuaciones El método de Gauss – Jordan Actividades resueltas Sea 0 2 1 0 A . Halla la matriz inversa A–1 mediante un sistema de ecuaciones. Planteamos la matriz d c b a A 1 y hallamos el producto: b a d c d c b a A A 2 2 0 2 1 0 1 Debe verificarse que AꞏA–1 = I, por tanto: 1 2 0 2 0 1 1 0 0 1 2 2 1 b a d c b a d c I A A Resolviendo para a, b, c y d: 0 1 0 0 1 2 1 0 2 1 1 A d c b a 2º de Bachillerato. Matemáticas II.

Capítulo 1: Matrices Autores: Leticia González Pascual y Álvaro Valdés Revisores: Eduardo Cuchillo, Javier Rodrigo y Luis Carlos Vidal www.apuntesmareaverde.org.es Matrices 16 Sea 4 3 2 1 A , halla la matriz inversa A–1 mediante un sistema de ecuaciones.

De nuevo, planteamos la matriz d c b a A 1 y hallamos el producto: d b c a d b c a d c b a A A 4 3 4 3 2 2 4 3 2 1 1 Debe verificarse que AꞏA–1 = I, por tanto: 1 4 3 0 4 3 0 2 1 2 1 0 0 1 4 3 4 3 2 2 1 d b c a d b c a d b c a d b c a I A A Resolviendo para a, b, c y d: 2 1 2 3 1 2 2 1 2 1 2 1 1 0 2 1 4 3 0 2 2 2 3 2 1 2 0 4 3 1 2 1 2 1 2 A b d b d b d b d b a c a c a c a c a F F F F Como hemos visto, este método resulta laborioso (y sólo lo hemos utilizado con matrices de orden 2). Es simple imaginar que se complica enormemente si hay muchos términos no nulos y cuanto mayor es la dimensión de la matriz.

Además, debemos tener en cuenta que no siempre existe matriz inversa, por lo que podríamos haber estado trabajando en balde. Ejemplo: Sea 6 3 2 1 A , halla la matriz inversa A–1 mediante un sistema de ecuaciones. De nuevo, planteamos la matriz d c b a A 1 y hallamos el producto: d b c a d b c a d c b a A A 6 3 6 3 2 2 6 3 2 1 1 Debe verificarse que AꞏA–1 = I, por tanto: 1 6 3 0 6 3 0 2 1 2 1 0 0 1 6 3 6 3 2 2 1 d b c a d b c a d b c a d b c a I A A Vemos que cualquiera de los dos pares de ecuaciones no tiene solución: 0 6 3 0 6 3 3 6 3 1 2 3 c a c a c a c a Que claramente no puede tener solución. Por tanto, la matriz 6 3 2 1 A no tiene matriz inversa. 2º de Bachillerato. Matemáticas II.

Capítulo 1: Matrices Autores: Leticia González Pascual y Álvaro Valdés Revisores: Eduardo Cuchillo, Javier Rodrigo y Luis Carlos Vidal www.apuntesmareaverde.org.es Matrices 17 3.4.2. Método de Gauss – Jordan El método de Gauss Jordan para hallar la matriz inversa consiste en convertir la matriz inicial en la matriz identidad, utilizando transformaciones elementales. Llamamos transformaciones elementales por filas a: - Permutar dos filas i y j. Lo escribimos como j i F F - Sustituir la fila i por el resultado de multiplicar o dividir todos sus elementos por un número 0 a .

Lo escribimos como i i F a F - Sustituir la fila i por un múltiplo (no nulo) de ella más otra fila j multiplicada por un número b. Lo escribimos como j i i F b F a F , con 0 a . Ampliamos la matriz original, escribiendo junto a ella la matriz identidad, y aplicamos las transformaciones elementales de modo que la matriz inicial se transforme en la matriz identidad.

Actividades resueltas Calcula con el método de Gauss–Jordan la inversa de la matriz 0 2 1 0 A Escribimos la matriz identidad junto a la matriz A: 1 0 0 1 0 2 1 0 T Y vamos realizando transformaciones elementales a la izquierda, buscando convertirla en la matriz identidad: 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 2 1 0 0 1 0 2 1 0 2 1 1 2 1 1 2 1 F F F F T Por tanto: 0 1 0 2 1 1 A Comparando este método con el anterior, podemos ver que es mucho más simple y rápido. Halla la matriz inversa A–1 de 4 3 2 1 A con el método de Gauss–Jordan. 2 1 2 3 2 2 1 2 3 2 1 3 1 2 1 0 0 1 0 1 1 0 2 1 1 3 0 1 2 0 2 1 1 0 0 1 4 3 2 1 2 1 1 2 2 1 2 2 F F F F F F F F Por tanto, tenemos que: 2 1 2 3 1 1 2 A 2º de Bachillerato.

Matemáticas II.

Capítulo 1: Matrices Autores: Leticia González Pascual y Álvaro Valdés Revisores: Eduardo Cuchillo, Javier Rodrigo y Luis Carlos Vidal www.apuntesmareaverde.org.es Matrices 18 Halla la matriz inversa de 1 1 4 3 0 1 2 1 1 A Escribimos la matriz identidad junto a la matriz A y operamos como se explicó antes: 1 5 1 0 1 1 0 0 1 16 0 0 5 1 0 2 1 1 1 0 4 0 1 1 0 0 1 9 5 0 5 1 0 2 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 4 3 0 1 2 1 1 2 3 3 1 3 3 1 2 2 5 4 F F F F F F F F F 16 1 16 5 16 1 16 1 16 5 16 1 16 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 5 1 0 3 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 5 1 0 2 1 1 2 1 1 3 3 1 1 F F F F F F F 16 1 16 5 16 1 16 5 16 9 16 11 16 3 16 1 16 3 3 16 1 16 5 16 1 16 5 16 9 16 11 5 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 3 0 1 3 1 1 3 2 2 F F F F F F Por tanto, la matriz inversa queda: 16 1 16 5 16 1 16 5 16 9 16 11 16 3 16 1 16 3 1 A 3.5.

Matriz traspuesta Dada una matriz A de dimensiones n m , se llama matriz traspuesta de A y se representa por At , a la matriz que se obtiene al cambiar las filas de A por sus columnas, por lo que la matriz At será de dimensión m n . Ejemplo: 6 5 4 3 2 1 6 5 4 3 2 1 t A A Una matriz cuadrada se dice que es simétrica cuando coincide con su traspuesta: . Para que una matriz sea simétrica, los elementos simétricos respecto de la diagonal principal deben ser iguales. Ejemplo: 5 4 3 4 2 1 3 1 1 5 4 3 4 2 1 3 1 1 t A A 2º de Bachillerato. Matemáticas II.

Capítulo 1: Matrices Autores: Leticia González Pascual y Álvaro Valdés Revisores: Eduardo Cuchillo, Javier Rodrigo y Luis Carlos Vidal www.apuntesmareaverde.org.es Matrices 19 Si una matriz cuadrada es igual a la opuesta de su traspuesta, t A A , se dice que es antisimétrica. Para que una matriz sea antisimétrica debe cumplirse que los elementos simétricos respecto de la diagonal principal sean opuestos, y los elementos de la diagonal principal nulos.

Ejemplo: A A A A t t 0 4 3 4 0 1 3 1 0 0 4 3 4 0 1 3 1 0 0 4 3 4 0 1 3 1 0 Con las matrices traspuestas se cumplen las siguientes propiedades: - La traspuesta de una suma de matrices es igual a la suma de las matrices traspuesta: t t t B A B A - La traspuesta de un producto de matrices es igual al producto en orden inverso de las matrices traspuestas: t t t A B B A Actividad resuelta Para las matrices 3 0 4 2 1 1 A y 3 1 2 D , realiza el producto t t A D .

Solución El primer paso consiste en trasponer las matrices: 3 2 0 1 4 1 3 1 2 3 0 4 2 1 1 3 1 2 t t t t A D Es decir: 1 7 ) 3 ( 3 0 1 4 2 2 3 ) 1 ( 1 1 2 t t A D Y podemos comprobar la propiedad anterior: 1 7 ) 3 ( 3 0 1 4 2 2 3 ) 1 ( 1 1 2 3 1 2 3 0 4 2 1 1 D A Por tanto: t t t A D D A 1 7 2º de Bachillerato. Matemáticas II. Capítulo 1: Matrices Autores: Leticia González Pascual y Álvaro Valdés Revisores: Eduardo Cuchillo, Javier Rodrigo y Luis Carlos Vidal www.apuntesmareaverde.org.es Matrices 20 3.6.

Rango de una matriz Se llama rango de una matriz al número de filas o columnas de la matriz que son linealmente independientes, es decir, que no pueden obtenerse a partir de las demás filas o columnas de la misma matriz. Actividad resuelta Determina el rango de las matrices 2 2 1 4 0 1 3 1 0 7 1 1 4 0 1 3 1 0 B A y La tercera fila de A se obtuvo sumando las dos primeras filas. Estas dos primeras filas son independientes, por lo que el rango de A es 2. La tercera fila de B se obtuvo restando la segunda fila al doble de la primera. El rango de B es 2.

Para hallar el rango de una matriz se pueden usar las transformaciones elementales para intentar hacer el máximo número posible de ceros, intentando triangular la matriz (método de Gauss); sin embargo, será más fácil hallar el rango usando determinantes, como veremos en el capítulo siguiente. Actividad resuelta Calcula el rango de la siguiente matriz según los valores del parámetro a: 2 1 2 2 a a A Solución El rango de esta matriz será como máximo 2 pues es una matriz de dimensión 2 x 2. Vamos realizando transformaciones elementales hasta convertirla en una matriz triangular. Intercambiamos filas para tener un 1 en la posición a11.

2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 a a a a A F F Ahora tratamos de conseguir ceros, para lo que a la segunda fila le restamos la primera fila multiplicada por (a – 2): 6 0 2 1 ) 2 ( 2 ) 2 ( ) 2 ( 1 ) 2 ( 2 1 2 2 2 1 1 2 ) 2 ( a a a a a a a F a F Vemos que si (–a + 6 = 0) la segunda fila es nula, por lo que su rango sería 1. Por tanto: –a + 6 = 0 a = 6 De aquí: 2 ) rg( 6 1 ) rg( 6 A a A a 2º de Bachillerato. Matemáticas II. Capítulo 1: Matrices Autores: Leticia González Pascual y Álvaro Valdés Revisores: Eduardo Cuchillo, Javier Rodrigo y Luis Carlos Vidal www.apuntesmareaverde.org.es Matrices 21 Actividades propuestas 4. Escribe tres matrices fila. 5. Escribe tres matrices columna. 6.

Escribe tres matrices cuadradas de dimensión 2, 3 y 4 respectivamente. 7. Escribe la matriz unidad de dimensión 2, 3 y 4. 8. Escribe la matriz nula de dimensión 2, 3 y 4. 9. Dadas las matrices 7 0 2 3 0 9 0 1 2 A , 3 3 3 2 2 2 1 1 1 B y 3 3 7 5 4 2 0 0 1 C calcula: a) A + 3B b) 2A + B – 5C 10. Para las matrices 7 0 2 3 0 9 0 1 2 A y 3 3 3 2 2 2 1 1 1 B calcula B A y A B . ¿Es el producto conmutativo? 11. Dadas las matrices 7 0 2 3 0 9 0 1 2 A y 3 3 3 2 2 2 1 1 1 B calcula 2 3 B At . 12. Calcula las matrices inversas, si existen, de las siguientes matrices: 7 0 2 3 0 9 0 1 2 A , 3 3 3 2 2 2 1 1 1 B , 0 1 3 2 C , 3 3 3 2 2 2 1 1 1 D 13.

Resuelve la ecuación matricial P N X M siendo: 7 0 2 3 0 9 0 1 2 M , 3 3 3 2 2 2 1 1 1 N , 3 3 3 2 2 2 1 1 1 P 14. Calcula el rango de las siguientes matrices: 0 1 2 3 0 9 0 1 2 A , 3 3 3 2 2 2 1 1 1 B , 6 4 3 2 C , 3 3 3 2 2 2 1 1 1 D 2º de Bachillerato. Matemáticas II. Capítulo 1: Matrices Autores: Leticia González Pascual y Álvaro Valdés Revisores: Eduardo Cuchillo, Javier Rodrigo y Luis Carlos Vidal www.apuntesmareaverde.org.es Matrices 22 4. GRAFOS Y MATRICES Los grafos resultan de gran utilidad a la hora de afrontar problemas cotidianos, pues nos permiten organizar la información que disponemos en tablas de forma esquemática.

Por ejemplo: Vamos a considerar la siguiente situación: Existen 4 pueblos situados en algún lugar de la geografía española. Dichos pueblos permanecen comunicados entre sí por una red de carreteras, algunas de un solo sentido, y otras de doble sentido, tal y como se recoge en la siguiente tabla: Pueblo 1 Pueblo 2 Pueblo 3 Pueblo 4 Pueblo 1 NO SÍ SÍ SÍ Pueblo 2 SÍ NO NO NO Pueblo 3 SÍ SÍ NO SÍ Pueblo 4 NO NO SÍ NO Donde hemos escrito «SÍ» si existe carretera directa que comunique dichos pueblos, y «NO» en caso contrario.

Vemos que la información recopilada en la tabla la podemos representar de la siguiente forma: Este esquema recibe el nombre de grafo, y resulta muy conveniente porque nos permite visualizar la misma información que queda recopilada en la tabla pero de forma más sencilla, y nos resulta más conveniente a la hora de extraer conclusiones. Con un grafo se representan las relaciones entre objetos. Un grafo está formado por nodos que se relacionan con aristas. El grafo más sencillo que se me ocurre es una simple flecha que une el nodo A con el nodo B: A B Pueblo 1 Pueblo 2 Pueblo 3 Pueblo 4 2º de Bachillerato. Matemáticas II.

Capítulo 1: Matrices Autores: Leticia González Pascual y Álvaro Valdés Revisores: Eduardo Cuchillo, Javier Rodrigo y Luis Carlos Vidal www.apuntesmareaverde.org.es Matrices 23 Podemos asociar a este grafo una matriz cuadrada de dimensión 2 x 2: 0 1 0 0 , que nos indica que sólo A se une con B. El grafo dado por el segmento [A, B] une A con B, y B con A. luego la matriz asociada es: 0 1 1 0 Imagina que esos grafos están indicando personas que están conectadas por WhatsApp. En el grafo 1, A está conectada con B y D. B con C y D. En el grafo 2, A está con B y C. B con A y C con A.

Se pueden utilizar grafos para representar los caminos que unen unas casas, o unos pueblos, o los vuelos (u otro tipo de conexión) que unen las ciudades. En psicología se utilizan por ejemplo para visualizar las relaciones de dominio entre individuos. Actividades propuestas 15. Dibuja un grafo que conecte al vértice A consigo mismo, con B y con C, dos veces. Conecte a B con C. Conecte a C con A, y con el mismo C. Escribe la matriz asociada a ese grafo. A B 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 Grafo 1: B C D A Grafo 2: B C A Hay grafos dirigidos, como el grafo 1, y grafos no dirigidos, como el grafo 2. A cada grafo se le asocia una matriz ¡única!

0 0 1 0 0 1 1 1 0 Los vértices A, B, C y D son las filas de la matriz. Si A está relacionado con B ponemos un 1 en la fila 1, columna 2. La matriz de un grafo no dirigido es simétrica. 2º de Bachillerato. Matemáticas II. Capítulo 1: Matrices Autores: Leticia González Pascual y Álvaro Valdés Revisores: Eduardo Cuchillo, Javier Rodrigo y Luis Carlos Vidal www.apuntesmareaverde.org.es Matrices 24 Vamos a multiplicar estas matrices por sí mismas e interpretar el resultado Actividades propuestas 16. Dibuja los grafos asociados a estas matrices producto.

Actividad resuelta En un país A, existen tres aeropuertos internacionales (A1, A2 y A3); en otro país B existen cuatro (B1, B2, B3 y B4); y en un tercer país C existen dos (C1 y C2). Desde el aeropuerto A1 salen vuelos con destino a B1, B2, C1 y dos vuelos con destino a B4. Desde el aeropuerto A2 salen vuelos con destino a B2, B3 y dos vuelos con destino a B4. Desde el aeropuerto A3 sólo sale un vuelo con destino a B3. Desde cada aeropuerto del país B, salen dos vuelos a cada uno de los aeropuertos del país C. Se pide, expresar mediante matrices: a) Los vuelos del país A al B. b) Los vuelos del país B al C. c) Los vuelos del país A al C, necesiten o no efectuar trasbordo en el país B.

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 2 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 1 0 A podría conectar con C y D (pidiendo a B que reenviara el WhatsApp). Ahora un WhatsApp de A podría llegar a esa misma persona A por dos caminos distintos (a través de B y de C), pero sólo sus propios WhatsApp. A la persona B le llegarían sus WhatsApp y los de C. Y a C lo mismo. 2º de Bachillerato. Matemáticas II.

Capítulo 1: Matrices Autores: Leticia González Pascual y Álvaro Valdés Revisores: Eduardo Cuchillo, Javier Rodrigo y Luis Carlos Vidal www.apuntesmareaverde.org.es Matrices 25 Solución El esquema de los vuelos es: a) Representamos los vuelos desde A (filas) hasta B (columnas) 0 1 0 0 2 1 1 0 2 0 1 1 1 X b) Representamos los vuelos desde B (filas) hasta C (columnas) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 X c) Representamos los vuelos directos desde A (filas) hasta C (columnas): 0 0 0 0 0 1 3 X Los vuelos desde A hasta C con o sin trasbordo serán: 2 2 8 8 8 9 0 0 0 0 0 1 2 2 8 8 8 8 0 0 0 0 0 1 2 2 4 2 2 0 4 2 2 0 4 0 2 2 4 0 2 2 0 0 0 0 0 1 2 2 2 2 2 2 2 2 0 1 0 0 2 1 1 0 2 0 1 1 3 2 1 X X X MATRICES: de los gráficos de Fortnite a la física cuántica.

Conceptos básicos y aplicaciones. Las matrices ¡Otra de las grandes invenciones de las matemáticas! Sus aplicaciones van desde los píxeles de las pantallas de ordenador con los que se consiguen increíbles videojuegos como Fornite, hasta la cromodinánima cuántica. ¿Te animas a descubrir más a fondo esta loca estructura matemática? Eduardo Sáenz de Cabezón https://www.youtube.com/watch?v=9FKFgNQktkU A1 A2 A3 B1 B2 B3 B4 C1 C2 2º de Bachillerato. Matemáticas II.

Capítulo 1: Matrices Autores: Leticia González Pascual y Álvaro Valdés Revisores: Eduardo Cuchillo, Javier Rodrigo y Luis Carlos Vidal www.apuntesmareaverde.org.es Matrices 26 CURIOSIDADES Y REVISTA LA MATRIZ DE ADYACENCIA Las matrices están estrechamente relacionadas con los grafos. Sin entrar en demasiado rigor, y con el objetivo de presentarte una idea intuitiva, vamos a considerar una matriz como un conjunto de números reales que se disponen en filas y columnas. Su definición es en realidad algo más compleja, pero esto nos puede servir. Ahora vamos a considerar el grafo del margen: Ahora, vamos a considerar el grafo de la derecha.

Como vemos, está formado por un total de 5 vértices que se relacionan entre sí por un total de 7 aristas. Si ahora hacemos parejas de vértices (por ejemplo la pareja 1,2 ) podemos asignar a cada pareja un valor en función de la existencia o no de una conexión entre ellos, o sea, una arista que los una (generalmente se asigna el 0, si no existe esa conexión; y el 1, si sí existe). Y esta información la podemos organizar fácilmente en una matriz, resultando fácil de ver y analizar. De esta forma, podemos hacer la siguiente tabla: 1 2 3 4 5 1 NO SÍ NO SÍ NO 2 SÍ NO SÍ SÍ SÍ 3 NO SÍ NO NO SÍ 4 SÍ SÍ NO NO SÍ 5 NO SÍ SÍ SÍ NO Donde hemos escrito «SÍ» en caso de que ambos vértices estén…