Ejercicio 5A · Física PAU Asturias Ordinaria 2022

a) La longitud de onda asociada a un electrón que se acelera mediante una diferencia de potencial de 30 kV.

Solución: $7{,}1\cdot 10^{-12}$ m / $7{,}1$ pm

b) Justifica la certeza o falsedad de la siguiente afirmación: «La longitud de onda asociada a un protón acelerado con la misma diferencia de potencial será mayor que en el caso de un electrón». (Certeza o falsedad)

Solución: Falsa

b) Justificación de la certeza o falsedad de la afirmación.

Solución: Dado que la masa de un protón es aproximadamente 1800 veces mayor que la del electrón, un protón acelerado con la misma diferencia de potencial adquiriría una velocidad menor, pero a partir de la relación de la cantidad de movimiento de cada partícula con la longitud de onda asociada, se obtiene que ésta será menor para la partícula con mayor masa. Luego la afirmación es incorrecta. Para un protón acelerado con igual diferencia de potencial: $$E_c = q_e^+\cdot \Delta V \Rightarrow v_p = \sqrt{\frac{2\cdot e^+\cdot \Delta V}{m_p}} = \sqrt{\frac{2\times 1{,}6\cdot 10^{-19}\ \mathrm{C}\times 3\cdot 10^4\ \mathrm{V}}{1{,}67\cdot 10^{-27}\ \mathrm{kg}}} = 2{,}4\cdot 10^6\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}$$ Y la longitud de onda asociada al protón: $$\lambda = \frac{h}{p_p} = \frac{h}{m_p\cdot v_p} = \frac{h}{\sqrt{2\cdot m_p\cdot e\cdot \Delta V}} = \frac{6{,}63\cdot 10^{-34}\ \mathrm{J\cdot s}}{\sqrt{2\times 1{,}67\cdot 10^{-27}\ \mathrm{kg}\times 1{,}6\cdot 10^{-19}\ \mathrm{C}\cdot 3\cdot 10^4\ \mathrm{V}}} = 1{,}65\cdot 10^{-13}\ \mathrm{m}$$ De hecho, comparando ambas longitudes de onda se tiene que: $$\frac{\lambda_e}{\lambda_p} = \frac{\left(\frac{h}{p_e}\right)}{\left(\frac{h}{p_p}\right)} = \sqrt{\frac{m_p}{m_e}}; \quad \text{como: } m_p > m_e \Rightarrow \lambda_e > \lambda_p$$