Opción A - 2 · Física PAU Andalucía Ordinaria Titular 2013

a) Explique el significado de las magnitudes que aparecen en la ecuación de un movimiento armónico simple e indique cuáles son sus respectivas unidades en el Sistema Internacional.

Solución: Tomando la ecuación general de la elongación del MAS: $$x(t) = A \sin(\omega t + \varphi_0)$$ (o bien en función del coseno): - $x(t)$ (elongación o posición): Posición o desplazamiento respecto a la posición de equilibrio en el instante $t$. Unidad S.I.: metro ($\text{m}$). - $A$ (amplitud): Valor máximo de la elongación. Unidad S.I.: metro ($\text{m}$). - $\omega$ (pulsación o frecuencia angular): Rapidez con que cambia la fase del movimiento; relacionada con el periodo por $\omega = 2\pi / T$. Unidad S.I.: radián por segundo ($\text{rad/s}$ o $\text{s}^{-1}$). - $t$ (tiempo): Instante temporal. Unidad S.I.: segundo ($\text{s}$). - $\omega t + \varphi_0$ (fase): Estado de vibración en el instante $t$. Unidad S.I.: radián ($\text{rad}$). - $\varphi_0$ (fase inicial o constante de fase): Estado de oscilación para $t = 0$. Unidad S.I.: radián ($\text{rad}$).

b) Demuestre que en un oscilador armónico simple la aceleración es proporcional al desplazamiento de la posición de equilibrio pero de sentido contrario.

Solución: Partiendo de la ecuación de la posición: $$x(t) = A \sin(\omega t + \varphi_0)$$ Derivando respecto al tiempo se obtiene la velocidad: $$v(t) = \frac{dx}{dt} = A\omega \cos(\omega t + \varphi_0)$$ Derivando nuevamente respecto al tiempo se obtiene la aceleración: $$a(t) = \frac{dv}{dt} = \frac{d^2x}{dt^2} = -A\omega^2 \sin(\omega t + \varphi_0)$$ Sustituyendo $x(t) = A \sin(\omega t + \varphi_0)$ en la expresión de la aceleración: $$a(t) = -\omega^2 x(t)$$ Como $\omega^2 > 0$ es una constante positiva característica del oscilador, la relación muestra que la aceleración es directamente proporcional a la elongación $x$ ($a \propto x$) y el signo negativo indica que tiene sentido opuesto a ella.