Evaluación de Síntesis: Álgebra Lineal

Ejercicio 1. Números complejos e inducción matemática

a.

Considerando los números complejos dados por $$z_1 = a - 3i, \quad z_2 = a_{60^\circ}$$ donde $a$ representa un valor entero fijo no negativo ($a \in \{0, 1, \dots, 9\}$), compruebe detalladamente que se verifican las siguientes igualdades: $$\overline{z_1 + z_2} = \overline{z_1} + \overline{z_2} \quad \text{y} \quad \overline{z_1 \cdot z_2} = \overline{z_1} \cdot \overline{z_2}$$

Ejercicio 1. Números complejos e inducción matemática

b.

Pruebe por el principio de inducción matemática que, para cualquier número complejo $z \in \mathbb{C}$ y para todo número natural $n \ge 1$, se cumple la relación: $$\overline{z^n} = (\overline{z})^n$$

Indicación: Puede apoyarse en la propiedad del conjugado del producto para cualesquiera complejos $z_1, z_2 \in \mathbb{C}$: $\overline{z_1 \cdot z_2} = \overline{z_1} \cdot \overline{z_2}$.

Ejercicio 2. Discusión y resolución de un sistema lineal con parámetro

Considere el siguiente sistema de ecuaciones lineales en las incógnitas $x, y, z$:$$\begin{cases}x + z = 2 \\ 2x + y + 2z = 4 \\ 2x - by + mz = 4\end{cases}$$donde $b$ es una constante fija perteneciente a $\{0, 1, \dots, 9\}$ y $m \in \mathbb{R}$ es un parámetro.

a)

Discuta el sistema en función de los valores de $m$. Explique detalladamente el cálculo de determinantes y rangos según el teorema de Rouché-Frobenius.

b)

Obtenga todas las soluciones posibles según el valor del parámetro $m$.

c)

Agregue una cuarta ecuación lineal, que no sea simplemente un múltiplo escalar de alguna de las tres existentes, de modo que el conjunto de soluciones del sistema resultante de cuatro ecuaciones coincida exactamente con las obtenidas en el apartado precedente.

Ejercicio 3. Subespacios vectoriales y cambio de base

Sea $A$ el subespacio vectorial de $\mathbb{R}^4$ definido mediante las ecuaciones implícitas:$$A = \{(x,y,z,t) \in \mathbb{R}^4 \mid x + ay + z = 0,\ t = x\}$$donde $a$ es una constante fija perteneciente a $\{0,1,\ldots,9\}$. Considere asimismo el vector $v = (a, 2, -3a, a)$.

a)

Compruebe que el conjunto de vectores $B = \{(3,0,-3,3), (0,1,-a,0)\}$ constituye una base del subespacio $A$. Averigüe si $v \in A$ y, en caso afirmativo, determine las coordenadas de $v$ respecto de la base $B$.

b)

Construya una base de $A$ que incluya al vector $v$ y halle la matriz de cambio de base que transforma las coordenadas de dicha nueva base a las de la base $B$.

Ejercicio 4. Valores propios, diagonalización y base de vectores propios

Considere la aplicación lineal $f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ definida mediante:$$f(x, y, z) = (z,\ 5y,\ bx + 2z)$$donde $b$ es una constante fija perteneciente a $\{0,1,\ldots,9\}$.

a)

Calcule los valores propios de $f$ y determine razonadamente si la aplicación es diagonalizable.

b)

Encuentre una base de $\mathbb{R}^3$ formada por el número máximo posible de vectores propios de $f$.