Valors propis, diagonalització i models dinàmics

I 0 flashcards i 5 preguntes més al document.

Text del document

APUNTS ÀLGEBRA Grau en Enginyeria Informàtica Universitat de Girona AprenAI 2026-2027 Apunts d'Àlgebra (UdG): càlcul de valors i vectors propis, criteris de diagonalització, mètode de la potència, models poblacionals i cadenes de Markov.

APREN.AI Índex 1 Valors i vectors propis — Fonaments i càlcul Definició de valor propi i vector propi Subespais propis i la seva dimensió El polinomi característic Procediment de càlcul: exemple complet 3x3 2 Diagonalització de matrius — Condicions i càlcul de P i D Concepte de matriu diagonalitzable Condicions de diagonalitzabilitat Construcció de les matrius D i P Exemple 1: Valors propis simples diferents Exemple 2: Matriu diagonalitzable amb arrels múltiples Exemple 3: Matriu no diagonalitzable (defecte geomètric) 3 Mètode de la potència i càlcul de potències de matrius Càlcul analític de potències mitjançant diagonalització El mètode de la potència: aproximació numèrica Càlcul del valor propi a cada iteració Models matricials dinàmics 4 Dinàmica de poblacions Modelització dinàmica en temps discret Comportament asimptòtic i descomposició espectral Interpretació biològica i classificació demogràfica Sistemes oscil·latoris sense valor propi dominant 5 Cadenes de Markov i matrius de probabilitat Vectors i matrius de probabilitats Cadenes de Markov i la matriu de transició Matrius de probabilitats regulars Estat estacionari i comportament asimptòtic 6 Formulari Valors i vectors propis Diagonalització de matrius Càlcul de potències i mètode de la potència Models dinàmics: Poblacions i cadenes de Markov Errors típics Solucions de les preguntes de repàs Valors propis, diagonalització i models dinàmics 1 Aquests apunts poden contenir errors o omissions.

Són un material de suport i no substitueixen el temari oficial ni el professorat: contrasta la informació important. Valors propis, diagonalització i models dinàmics 2 1 Valors i vectors propis — Fonaments i càlcul EN ACABAR SABRÀS Identificar i verificar si un vector donat és vector propi d'una matriu quadrada. Calcular el polinomi característic i trobar els valors propis resolent la seva equació. Determinar els subespais propis resolent el sistema homogeni associat a cada autovalor. PENSA-HI ABANS DE LLEGIR 1 Pot una matriu transformar un vector no nul de manera que la seva direcció espacial no es modifiqui en absolut?

L'estudi dels valors i vectors propis permet simplificar l'acció geomètrica i numèrica d'una matriu quadrada sobre l'espai vectorial. En lloc de deformar una direcció de manera arbitrària, certes rectes vectorials conserven la seva orientació en aplicar-los una transformació lineal, canviant exclusivament d'escala o de sentit. ESQUEMA Estructura del tema: Diagonalització i models dinàmics Definició de valor propi i vector propi Considerem una matriu quadrada d'ordre amb coeficients reals o complexos. Busquem determinar quins vectors mantenen la seva direcció invariable en multiplicar-se per .

Valors i vectors propis Fonaments i càlcul bàsic Polinomi característic Arrels com a autovalors Subespais propis Nuclis del sistema homogeni Diagonalització de matrius Condicions i càlcul de P i D Mètode de la potència Aproximació del valor propi dominant Models dinàmics Aplicacions a sistemes reals Dinàmica poblacional Models matricials amb edats Cadenes de Markov Matrius de transició i probabilitat A n A Valors propis, diagonalització i models dinàmics 3 DEFINICIÓ Sigui una matriu quadrada de mida .

Es diu que un escalar (real o complex) és un valor propi (o autovalor) de si existeix un vector no nul que satisfà l'equació fonamental: En aquesta situació, el vector rep el nom de vector propi (o autovector) associat a l'autovalor . ERROR FREQÜENT Un error habitual en els exàmens és incloure el vector nul com a vector propi. Per definició estricta, un vector propi ha de ser no nul ( ), ja que l'equació és vàlida per a qualsevol escalar sense aportar informació sobre l'estructura de la matriu. En canvi, el valor propi sí que pot ser exactament zero.

Aquesta relació implica una propietat fonamental d'estabilitat direccional: si és un vector propi de associat a , qualsevol múltiple escalar no nul (amb ) és també un vector propi associat al mateix valor propi. La comprovació és immediata: Com a conseqüència, a cada valor propi li correspon una quantitat infinita de vectors propis. EXEMPLE Comprovem si el vector és vector propi de la matriu: Calculem el producte : Com que i , es conclou que és un vector propi de associat al valor propi .

A n × n λ A v = 0 Av = λv v λ v = 0 A0 = λ0 λ v A λ αv α = 0 A(αv) = α(Av) = α(λv) = λ(αv) v = 2 0 1 A = 7 2 2 4 14 1 4 4 9 Av = 7 2 2 4 14 1 4 4 9 2 0 1 = 7(2) + 4(0) 4(1) 2(2) + 14(0) 4(1) 2(2) + 1(0) + 9(1) = 10 0 5 5 2 0 1 Av = 5v v = 0 v A λ = 5 Valors propis, diagonalització i models dinàmics 4 EXEMPLE Analitzem ara el cas del valor propi nul mitjançant la matriu següent i el vector : Efectuant el producte matricial: El vector és no nul i compleix . Per tant, és un valor propi de i és un vector propi associat. COMPROVA-HO 2 Pot un escalar nul ser un valor propi d'una matriu quadrada? Què significa per a la matriu?

Subespais propis i la seva dimensió El conjunt format per tots els vectors propis associats a un mateix autovalor , juntament amb el vector nul, forma una estructura de subespai vectorial anomenada subespai propi (denotat com ): Reordenant la igualtat obtenim , on representa la matriu identitat de mida . Per tant, el subespai propi coincideix exactament amb el nucli de la matriu : Un escalar constitueix un valor propi si i només si el seu subespai associat conté vectors diferents del vector nul, és a dir, .

D'acord amb el teorema de les dimensions per a sistemes lineals homogenis, la dimensió de depèn directament del rang de la matriu associada: La dimensió d'un subespai propi associat a un autovalor sempre és com a mínim 1. Si fos zero, no existirien vectors propis no nuls. COMPROVA-HO 3 Si una matriu té com a valor propi i el rang de és igual a 2, quina és la dimensió de ?

w = 1 2 0 B = 4 4 2 2 2 1 2 8 9 = 4 4 2 2 2 1 2 8 9 1 2 0 = 0 0 0 0 1 2 0 w Bw = 0w λ = 0 B w λ E λ E = λ {v Av = λv} = {vectors propis associats a λ} {0} Av = λv (A λI)v = 0 I n × n E λ A λI E = λ Ker(A λI) λ E = λ {0} E λ dim(E ) = λ n rang(A λI) 1 3 × 3 λ 1 A λ I 1 E λ 1 Valors propis, diagonalització i models dinàmics 5 El polinomi característic El sistema lineal homogeni admet solucions diferents de la trivial si i només si la matriu de coeficients no és invertible. Això equival matemàticament a anul·lar el seu determinant.

DEFINICIÓ S'anomena polinomi característic d'una matriu quadrada real d'ordre l'expressió polinòmica en la variable donada per: Els valors propis de la matriu són exactament les arrels de l'equació característica . Aquest polinomi verifica una sèrie de propietats estructurals invariables: Propietat Descripció matemàtica Implicació pràctica Grau del polinomi Una matriu té com a màxim valors propis diferents. Coeficient principal El terme d'ordre superior és Determina el signe del desenvolupament segons si la mida és parella o senar. Terme independent El terme lliure de és directament el determinant de .

Invariància per transposició Una matriu i la seva transposada tenen exactament els mateixos valors propis. Una conseqüència directa de tenir grau és que si la dimensió de la matriu és senar, el polinomi característic té obligatòriament almenys una arrel real. Això garanteix que tota matriu quadrada real d'ordre senar posseeix com a mínim un valor propi real. El nombre de vegades que apareix una arrel determinada al polinomi característic s'anomena multiplicitat algebraica de l'autovalor (vegeu «Diagonalització de matrius — Condicions i càlcul de P i D»).

PER RECORDAR-HO Per verificar ràpidament si el polinomi característic calculat és coherent, avalua : el resultat obtingut ha de coincidir indefectiblement amb el valor del determinant de la matriu original, . COMPROVA-HO 4 Per què una matriu quadrada real d'ordre 3 sempre té com a mínim un autovalor real?

Procediment de càlcul: exemple complet 3x3 El càlcul manual complet dels autovalors i els seus espais propis associats segueix un mètode en dues etapes: (A λI)v = 0 A n λ p (λ) = A det(A λI) p (λ) = A 0 grau(p (λ)) = A n n × n n ( 1) λ n n p (0) = A det(A) λ A p (λ) = A p (λ) At n n p (0) A det(A) Valors propis, diagonalització i models dinàmics 6 Apliquem detalladament aquest procediment a la matriu següent: Pas 1: Càlcul del polinomi característic i de les arrels Formem la matriu restant a la diagonal principal: Desenvolupant pel determinant al llarg de la tercera fila (que conté dos zeros): Igualant a zero el producte de factors, obtenim tres arrels reals simples: Pas 2: Càlcul dels vectors propis per a cada autovalor Càs 1: Autovalor Plantegem el sistema homogeni amb : De la primera (i tercera) equació deduïm directament que .

Substituint a la segona equació, , d'on obtenim la condició . Fent (un valor no nul qualsevol), obtenim el vector propi . Càs 2: Autovalor Plantegem el sistema homogeni : De la primera equació s'obté . En substituir-ho a la segona equació: . Si triem , aleshores , fet que ens proporciona el vector propi . Càs 3: Autovalor Obtenció dels valors propis: Es construeix la matriu , se'n calcula el determinant per formar i es resol l'equació . 1 A λI p (λ) A p (λ) = A 0 Obtenció dels vectors propis: Per a cada valor propi obtingut, es planteja el sistema lineal homogeni i es determina la base del nucli resolent les equacions.

2 (A λI)v = 0 A = 1 1 0 0 2 0 4 2 1 λ p (λ) = A det(A λI) = 1 λ 1 0 0 2 λ 0 4 2 1 λ p (λ) = A ( 1 λ) = 1 λ 1 0 2 λ ( 1 λ)(1 λ)(2 λ) λ = 1 1, λ = 2 1, λ = 3 2 λ = 1 (A 1I)v = 0 v = (x, y, z)t = 0 1 0 0 1 0 4 2 2 x y z 0 0 0 4z = 0 x + y + 2z = 0 2z = 0 z = 0 x + y + 0 = 0 x = y y = 1 v = 1 (1, 1, 0)t λ = 1 (A ( 1)I)v = (A + I)v = 0 = 2 1 0 0 3 0 4 2 0 x y z 0 0 0 { 2x 4z = 0 x + 3y + 2z = 0 2x = 4z x = 2z (2z) + 3y + 2z = 0 3y = 0 y = 0 z = 1 x = 2 v = 2 (2, 0, 1)t λ = 2 Valors propis, diagonalització i models dinàmics 7 Plantegem el sistema homogeni : De la tercera equació resulta . En portar aquest valor a qualsevol de les dues primeres, obtenim .

La variable queda lliure de restriccions, de manera que els vectors solució tenen l'estructura general amb . Triant , trobem el vector propi . La matriu analitzada disposa de tres valors propis diferents amb els seus respectius subespais propis unidimensionals ( per a cadascun), fet que serà determinant en estudiar la seva diagonalització (vegeu «Diagonalització de matrius — Condicions i càlcul de P i D»). COMPROVA-HO 5 En resoldre el sistema homogeni per a un valor propi, és possible obtenir la solució única ? IDEES CLAU Un vector propi ha de ser estrictament un vector no nul que compleixi la relació .

Un valor propi sí que pot prendre el valor zero, cas en el qual el nucli de la matriu conté vectors diferents de zero i . El subespai propi té dimensió com a mínim 1 i es calcula com . Els valors propis d'una matriu quadrada d'ordre són les arrels del seu polinomi característic . El terme independent de coincideix sempre amb , i el coeficient del grau més alt és . COMPROVA EL QUE HAS APRÈS 6. Com es pot deduir a partir del polinomi característic si una matriu quadrada és invertible o singular? 7. Quina relació existeix entre els vectors propis d'una matriu i la multiplicació per un escalar qualsevol diferent de zero?

(A 2I)v = 0 = 1 1 0 0 0 0 4 2 3 x y z 0 0 0 x 4z = 0 x + 2z = 0 3z = 0 z = 0 x = 0 y (0, y, 0)t y = 0 y = 1 v = 3 (0, 1, 0)t dim(E ) = λ 1 x = 0, y = 0, z = 0 Av = λv λ det(A) = 0 E = λ Ker(A λI) n rang(A λI) A n p (λ) = A det(A λI) p (λ) A det(A) ( 1)n Valors propis, diagonalització i models dinàmics 8 Test Encercla la resposta correcta. Les solucions són al final. 8. Quina d'aquestes condicions és indispensable per considerar un vector com a vector propi? 9. Com es calcula el terme independent del polinomi característic d'una matriu A? 10. Si una matriu real és d'ordre 3x3, quina afirmació sobre els seus valors propis és sempre certa? 11.

Com es determina la dimensió del subespai propi associat a un valor propi λ? 2 Diagonalització de matrius — Condicions i càlcul de P i D EN ACABAR SABRÀS Determinar si una matriu quadrada és diagonalitzable mitjançant l'anàlisi de multiplicitats algebraica i geomètrica Construir correctament la matriu diagonal D i la matriu de pas P respectant la coherència d'ordre Identificar el defecte geomètric en matrius que no admeten diagonalització per semblança PENSA-HI ABANS DE LLEGIR 12 Per què és útil expressar una matriu en forma A = P D P ¹ en comptes de treballar directament amb la matriu original?

Que la seva matriu sigui invertible a) Que tingui norma unitària b) Que sigui estrictament no nul c) Que el seu autovalor associat sigui no nul d) Coincideix sempre amb el determinant de A a) És igual a la traça de A b) Sempre pren el valor zero c) És el coeficient d'ordre superior d) Tots tres han de ser necessàriament reals a) Cap d'ells pot ser un nombre complex b) Com a mínim dos han de ser nuls c) Té com a mínim un valor propi real d) Restant el rang de (A - λI) a n a) Multiplicant n pel rang de (A - λI) b) Dividint n pel nombre d'autovalors c) Sumant el rang de (A - λI) i n d) Valors propis, diagonalització i models dinàmics 9 Concepte de matriu diagonalitzable Una matriu quadrada és diagonalitzable si és semblant a una matriu diagonal.

Això significa que és possible trobar una matriu regular (anomenada matriu de pas) i una matriu diagonal de manera que es compleix la factorització: De forma equivalent, aquesta relació es pot escriure com . La transformació lineal associada a la matriu adquireix la seva expressió més senzilla possible quan es descriu respecte a una base formada exclusivament per vectors propis (conceptes introduïts a «Valors i vectors propis — Fonaments i càlcul»). DEFINICIÓ Una matriu és diagonalitzable per semblança si existeix una base de l'espai vectorial formada íntegrament per vectors propis de .

La matriu diagonal conté els valors propis a la seva diagonal principal, i les columnes de són els vectors propis associats col·locats en el mateix ordre. Condicions de diagonalitzabilitat No totes les matrius quadrades es poden diagonalitzar. Per saber si una matriu admet aquesta descomposició, cal analitzar les arrels del seu polinomi característic , on cada representa la multiplicitat algebraica del valor propi . El criteri general estableix dues condicions necessàries i suficients: PER RECORDAR-HO Com a cas particular immediat: si una matriu té n valors propis reals i tots diferents, aleshores la multiplicitat algebraica de cadascun és 1 ( ).

Com que la dimensió del subespai propi sempre és com a mínim 1, la igualtat es compleix de forma automàtica i la matriu és directament diagonalitzable. PROCÉS Criteri de diagonalització d'una matriu 1 Polinomi característic Trobar totes les arrels del polinomi 2 Comprovació d'arrels reals Verificar que totes les arrels pertanyen a 3 Càlcul de multiplicitats Avaluar n - rang(A - λI) per a cada arrel 4 Construcció de P i D Formar D amb valors i P amb vectors propis A M n×n P D A = P DP 1 AP = P D A A M n×n A D P p (λ) = A (λ λ ) (λ 1 m 1 λ ) (λ 2 m 2 λ ) k m k m i λ i Arrels reals: Tots els valors propis han de pertànyer al cos real ( ).

1 λ i R Igualtat de multiplicitats: Per a cada valor propi , la seva multiplicitat geomètrica ha de coincidir amb la multiplicitat algebraica: . 2 λ i n rang(A λ I) = i m i m = i 1 Valors propis, diagonalització i models dinàmics 10 COMPROVA-HO 13 Què passa si una matriu d'ordre 3 té un valor propi doble λ amb rang(A - λI) = 2?

Construcció de les matrius D i P Quan es verifica que la matriu és diagonalitzable, la construcció de i es duu a terme de forma estructurada: Matriu diagonal : S'obté situant sobre la diagonal principal els valors propis de , cadascun repetit tantes vegades com indica la seva multiplicitat algebraica: Matriu de pas : Es construeix situant com a columnes els vectors propis linealment independents obtinguts en resoldre els sistemes homogenis : ERROR FREQÜENT L'error més habitual en els exàmens és trencar la correspondència d'ordre: la columna de la matriu ha de correspondre forçosament al valor propi situat a la posició diagonal de la matriu .

Si intercanvieu dues columnes de sense intercanviar les mateixes posicions a , la igualtat deixarà de complir-se. Exemple 1: Valors propis simples diferents Considerem la matriu següent amb tres valors propis diferents ja calculats a la secció prèvia, , i : Com que té tres arrels reals diferents en dimensió 3, és immediatament diagonalitzable. Els vectors propis associats a cadascun dels seus valors propis són: Per a , resolent s'obté el vector . Per a , a partir de s'arriba al vector . Per a , resolent s'obté el vector .

Escollint l'ordre , les matrius són: Si es decidís col·locar els valors propis en l'ordre alternatiu -1, 2, 1, tant la matriu diagonal com la matriu de pas s'haurien de reordenar de forma paral·lela: D P D A D = diag( , … , ) m 1 λ , … , λ 1 1 m k λ , …

, λ k k P n (A λ I)v = i 0 P = (v1 1 v m 1 1 v 1 k v m k k ) j P (j, j) D P D A = P DP 1 λ = 1 1 λ = 2 1 λ = 3 2 A = 1 1 0 0 2 0 4 2 1 λ = 1 (A I)v = 0 v = 1 (1, 1, 0)t λ = 1 (A + I)v = 0 v = 2 (2, 0, 1)t λ = 2 (A 2I)v = 0 v = 3 (0, 1, 0)t λ = 1, 1, 2 D = , P = 1 0 0 0 1 0 0 0 2 1 1 0 2 0 1 0 1 0 Valors propis, diagonalització i models dinàmics 11 COMPROVA-HO 14 Si permutes les dues primeres columnes de P, com s'ha de modificar la matriu D perquè la igualtat A = P D P ¹ continuï sent certa? Exemple 2: Matriu diagonalitzable amb arrels múltiples Analitzem la matriu: Aquesta matriu presenta els valors propis . El valor propi té multiplicitat algebraica , mentre que té .

Per comprovar si diagonalitza, calculem el rang de : Com que la segona fila és nul·la i la tercera és la primera multiplicada per -1, tenim . La dimensió de l'espai propi és , coincidint amb la multiplicitat algebraica. Per tant, la matriu és diagonalitzable. Per trobar els vectors propis associats a , plantegem el sistema: Els vectors solució són de la forma . Donant valors independents als dos paràmetres lliures, obtenim dos vectors propis independents: (fent ) i (fent ). Per al valor propi simple , el sistema dóna: La solució general és de la forma , la qual dóna el vector propi per a .

Amb això construïm i : Exemple 3: Matriu no diagonalitzable (defecte geomètric) Estudiem finalment la matriu: D = , P = 1 0 0 0 2 0 0 0 1 2 0 1 0 1 0 1 1 0 A = 1 0 2 2 1 2 0 0 1 {1, 1, 1} λ = 1 m = 1 2 λ = 1 m = 2 1 A I A I = 2 0 2 2 0 2 0 0 0 rang(A I) = 1 3 1 = 2 λ = 1 = 2 0 2 2 0 2 0 0 0 x y z 0 0 0 2x 2y = 0 y = x (x, x, z)t v = 1 (1, 1, 0)t x = 1, z = 0 v = 2 (0, 0, 1)t x = 0, z = 1 λ = 1 (A + I)v = 0 = 0 0 2 2 2 2 0 0 2 x y z 0 0 0 { 2y = 0 2x + 2y + 2z = 0 y = 0, z = x (x, 0, x)t v = 3 (1, 0, 1)t x = 1 D P D = , P = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 Valors propis, diagonalització i models dinàmics 12 Els seus valors propis són . El valor té multiplicitat algebraica .

Avaluem la matriu : Aplicant eliminació gaussiana per esglaonar la matriu: S'obtenen dues files no nul·les, de manera que . La multiplicitat geomètrica és: Com que la multiplicitat geomètrica és estrictament menor que la multiplicitat algebraica ( ), no es poden trobar suficients vectors propis linealment independents. En conseqüència, la matriu no és diagonalitzable. Cas d'estudi Valors propis Multiplicitat algebraica Rang de (A - λI) Dimensió subespai Diagonalitzable?

Exemple 1 {1, -1, 2} 1 per a cadascun 2 per a cadascun 3 - 2 = 1 Sí (valors simples) Exemple 2 {1, 1, -1} m = 2 (per a λ=1) 1 (per a λ=1) 3 - 1 = 2 Sí (dimensió = m) Exemple 3 {2, 2, -1} m = 2 (per a λ=2) 2 (per a λ=2) 3 - 2 = 1 No (defecte geomètric) COMPROVA-HO 15 Quina és la raó exacta per la qual la matriu de l'exemple 3 no diagonalitza?

A = 0 2 2 1 1 2 1 1 2 {2, 2, 1} λ = 2 m = 2 A 2I A 2I = 2 2 2 1 1 2 1 1 0 2 0 0 1 3 0 1 1 0 rang(A 2I) = 2 dim(E ) = 2 3 rang(A 2I) = 3 2 = 1 = 2 1 = 2 A Valors propis, diagonalització i models dinàmics 13 IDEES CLAU Una matriu és diagonalitzable si i només si totes les seves arrels són reals i la multiplicitat geomètrica iguala l'algebraica per a tot valor propi. Si una matriu d'ordre té valors propis reals diferents, és directament diagonalitzable. La matriu conté els valors propis i conté els corresponents vectors propis col·locats com a columnes. L'ordre de les columnes de la matriu ha de coincidir de manera estricta amb l'ordre dels valors propis a la diagonal de .

Quan la multiplicitat geomètrica d'alguna arrel múltiple és menor que la seva multiplicitat algebraica, la matriu no és diagonalitzable. COMPROVA EL QUE HAS APRÈS 16. Com es calcula la multiplicitat geomètrica d'un valor propi en una matriu d'ordre ? 17. Què succeeix si canviem l'ordre de les columnes a la matriu de pas ? Test Encercla la resposta correcta. Les solucions són al final. 18. Quan és una matriu quadrada sempre diagonalitzable de forma immediata? 19. Quina condició sobre el rang garanteix que un valor propi de multiplicitat algebraica 2 diagonalitzi en dimensió 3? 20. Com es forma la matriu de pas P en la diagonalització A = P D P ¹?

n rang(A λ I) i n n D P P D λ n P Quan tots els seus elements són positius a) Quan la traça coincideix amb el rang b) Quan el seu determinant és diferent de zero c) Quan té n valors propis reals diferents d) El rang de A - λI ha de ser 1 a) El rang de A - λI ha de ser 0 b) El rang de A - λI ha de ser 3 c) El rang de A - λI ha de ser 2 d) Amb els vectors propis col·locats com a files a) Amb els valors propis situats a la diagonal b) Amb els vectors propis col·locats com a columnes c) Amb els coeficients del polinomi característic d) Valors propis, diagonalització i models dinàmics 14 21. Per què no és diagonalitzable una matriu si dim(E_λ) < m_λ?

3 Mètode de la potència i càlcul de potències de matrius EN ACABAR SABRÀS Calcular potències d'ordre elevat de matrius diagonalitzables emprant la descomposició P D . Identificar el valor propi dominant d'un conjunt d'autovalors pel seu mòdul. Executar les iteracions del mètode de la potència per aproximar el vector i el valor propi dominant. PENSA-HI ABANS DE LLEGIR 22 Com podem calcular una potència com sense haver de fer 499 multiplicacions de matrius a mà? El càlcul reiterat del producte d'una matriu per ella mateixa és fonamental en l'estudi de sistemes discrets i processos iteratius.

Quan una matriu admet factorització espectral, podem calcular les seves potències de manera exacta i directa. Quan aquesta via no és factible o només necessitem el comportament límit, recorrem a tècniques numèriques aproximades.

Manca de vectors propis linealment independents a) Els valors propis deixen de ser nombres reals b) El determinant de la matriu esdevé nul c) La matriu D resultant no tindria inversa d) P 1 A500 Valors propis, diagonalització i models dinàmics 15 ESQUEMA Càlcul de potències de matrius i aplicacions Càlcul analític de potències mitjançant diagonalització Calcular manualment una potència elevada com ara multiplicant de forma repetida requereix un cost computacional prohibitiu.

En canvi, si la matriu és una matriu diagonalitzable (vegeu «Diagonalització de matrius — Condicions i càlcul de P i D»), disposem de la descomposició , on és una matriu diagonal D formada pels valors propis i és la matriu de pas P formada pels vectors propis associats.

Elevar una matriu diagonal a un exponent sencer consisteix simplement a elevar cadascun dels seus elements de la diagonal principal al mateix exponent: Quan desenvolupem la potència -èsima de la matriu completa, els productes intermedis se simplifiquen successivament com la matriu identitat : Mètodes analítics Solució exacta mitjançant diagonalització Potència A^k = P D^k P^(-1) Càlcul immediat amb D diagonal Mètodes numèrics Algorismes iteratius d'aproximació Mètode de la potència Cerca del parell propi dominant Càlcul del valor propi Aproximació del valor propi escalar Aplicacions dinàmiques Evolució temporal de sistemes Dinàmica de poblacions Models matricials de creixement Cadenes de Markov Processos estocàstics i transicions Ak A A A = P DP 1 D P k D = k diag(a , a , …

, a ) 1 k 2 k n k k P P 1 I A = k (P DP ) = 1 k (P DP )(P DP ) (P DP ) = 1 1 1 P D P k 1 Valors propis, diagonalització i models dinàmics 16 EXEMPLE Considerem la següent matriu ja factoritzada en el producte : Per determinar , calculem primer la potència de la matriu diagonal: Tot seguit, multipliquem per l'esquerra per i per la dreta per : COMPROVA-HO 23 Si una matriu no és diagonalitzable, podem aplicar directament la fórmula A^k = P D^k P^(-1)?

El mètode de la potència: aproximació numèrica En problemes de grans dimensions o aplicacions pràctiques, calcular les arrels exactes del polinomi característic (vegeu «Valors i vectors propis — Fonaments i càlcul») pot ser inaccessible analíticament. Moltes vegades només cal conèixer el valor propi de magnitud més gran. DEFINICIÓ Donada una matriu quadrada amb valors propis , anomenem valor propi dominant a si el seu mòdul és estrictament superior al de tots els altres valors propis: Els vectors propis no nuls associats a aquest s'anomenen vectors propis dominants. El mètode de la potència és un procediment iteratiu dissenyat per determinar aquesta parella dominant.

Si partim d'un vector inicial arbitrari , construïm la successió aplicant successivament la matriu: Quan la matriu és diagonalitzable i té un valor propi dominant, la successió de direccions generada per convergeix cap a la recta que conté el vector propi dominant associat. 3 × 3 A = P DP 1 A = , D = 1 1 0 0 2 0 4 2 1 , P = 1 0 0 0 1 0 0 0 2 1 1 0 2 0 1 0 1 0 A500 D = 500 = 1500 0 0 0 ( 1)500 0 0 0 2500 1 0 0 0 1 0 0 0 2500 P P 1 A = 500 P D P = 500 1 = 1 1 0 2 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 2500 1 1 0 2 0 1 0 1 0 1 1 1 + 2500 0 0 2500 0 0 2 + 2501 1 A λ , λ , … , λ 1 2 n λ 1 λ > 1 λ per a tot i = i 2, …

, n λ 1 w = 0 0 w = i Aw = i 1 A w i 0 w i Valors propis, diagonalització i models dinàmics 17 ERROR FREQÜENT Confondre el valor propi dominant amb el de major valor real positiu. La dominància es defineix pel valor absolut: per exemple, si els valors propis són -5 i 3, el valor dominant és -5 perquè . Càlcul del valor propi a cada iteració Per a qualsevol vector propi de amb valor propi associat , tenim la relació . Si multipliquem ambdós costats pel producte escalar amb , obtenim: Aquesta expressió permet estimar el valor propi maximal en cada iteració del mètode de la potència comparant els vectors consecutius i : EXEMPLE Apliquem el mètode a la matriu partint del vector inicial .

Els resultats de les iteracions successives dels vectors i l'aproximació de es resumeixen a continuació: Iteració ( ) Vector iterat Vector normalitzat proporcional Aproximació 1 -7 2 -2,7586 3 -2,2760 4 -2,1214 5 -2,0572 6 -2,0278 Com podem observar, la seqüència de vectors s'aproxima als múltiples del vector , mentre que la successió d'escalars convergeix cap a -2, que és el valor propi associat.

5 = 5 > 3 v A λ Av = λv v λ = v v (Av) v w i w i 1 λ = i w w i 1 i 1 w w i i 1 A = ( 2 1 12 5 ) w = 0 ( 1 1 ) λ i w = i Aw i 1 λ i ( 10 4 ) 4 ( 2,50 1 ) ( 28 10 ) 10 ( 2,80 1 ) ( 64 22 ) 22 ( 2,91 1 ) ( 136 46 ) 46 ( 2,96 1 ) ( 280 94 ) 94 ( 2,98 1 ) ( 568 190 ) 190 ( 2,99 1 ) ( 3 1 ) λ i Valors propis, diagonalització i models dinàmics 18 COMPROVA-HO 24 Què indica que les components de w_i canviïn de signe alternadament en cada iteració del mètode de la potència? IDEES CLAU Per a una matriu diagonalitzable, la potència es calcula exactament mitjançant . Elevar una matriu diagonal a només requereix elevar cadascun dels seus elements de la diagonal a la potència .

El valor propi dominant compleix la condició d'estricta desigualtat en mòdul: per a tot . El mètode de la potència genera la successió iterativa per convergir cap al vector propi dominant. L'aproximació escalar del valor propi dominant s'obté mitjançant el quocient . COMPROVA EL QUE HAS APRÈS 25. Com es calcula la potència d'ordre d'una matriu diagonal ? 26. Quina és la definició formal de valor propi dominant d'una matriu quadrada? 27. Com s'estima el valor propi dominant a la iteració del mètode de la potència? Test Encercla la resposta correcta. Les solucions són al final. 28. Si una matriu compleix A = P D , a què és igual ? 29. Quin és el valor propi dominant del conjunt {3, -7, 5}? 30.

Quina és la fórmula de la iteració vectorial bàsica del mètode de la potència? 31. Què mesura el quocient ( · w_(i-1)) / (w_(i-1) · w_(i-1))? A = k P D P k 1 k k λ > 1 λ i i 2 w = i Aw i 1 λ = i (w i w )/(w i 1 i 1 w ) i 1 k D = diag(d , …

, d ) 1 n i P 1 Ak P a) Dk P 1 ( )^k b) P k Dk P 1 c) (P D)k P 1 P d) P 1 Dk Cap dels tres a) 5 b) 3 c) -7 d) = λ_i w_(i-1) a) w i = w_(i-1) b) w i A 1 = P D c) w i w 0 = A w_(i-1) d) w i w i El determinant de la matriu a) La norma del vector b) w i L'aproximació del valor propi dominant c) L'error absolut de la iteració d) Valors propis, diagonalització i models dinàmics 19 4 Dinàmica de poblacions EN ACABAR SABRÀS Modelitzar l'evolució temporal de poblacions discretes mitjançant sistemes d'equacions matricials. Deduir el comportament asimptòtic poblacional a partir de la descomposició en valors i vectors propis.

Interpretar biològicament la distribució estable d'edats i la taxa de creixement asimptòtic. Determinar el destí d'una població (creixement, extinció o oscil·lacions periòdiques) segons l'espectre de la matriu. PENSA-HI ABANS DE LLEGIR 32 Com és possible saber si una colònia d'animals s'extingirà o creixerà indefinidament observant únicament les taxes de natalitat i supervivència d'un sol any? Modelització dinàmica en temps discret En l'estudi demogràfic i biològic, l'estat d'una població estructurada per edats o estadis de desenvolupament es descriu mitjançant un vector d'estat en un període discret .

Si la transició temporal ve determinada de manera lineal per una matriu de projecció de dimensió , l'equació recursiva fonamental s'escriu com: Aplicant successivament aquesta relació a partir d'un estat inicial , l'estat al cap de períodes equival a multiplicar per la potència -èsima de la matriu: Models matricials dinàmics 4 Dinàmica de poblacions 5 Cadenes de Markov i matrius de probabilitat x(t) t A n × n x(t + 1) = Ax(t) x(0) k k x(k) = A x(0) k Valors propis, diagonalització i models dinàmics 20 EXEMPLE: PROJECCIÓ A CURT TERMINI DE JOVES I ADULTS Considerem una població dividida en dos grups: individus joves i adults, amb una composició inicial de 24 joves i 40 adults, és a dir, .

Suposem la matriu de projecció següent: L'evolució al llarg dels dos primers anys es calcula directament: Any 1: Any 2: COMPROVA-HO 33 Si coneixem l'estat poblacional a l'any 2, x(2), com s'obté directament l'estat a l'any 5 sense calcular any a any? Comportament asimptòtic i descomposició espectral Per avaluar la supervivència o el creixement d'una població a llarg termini ( ), s'utilitza la descomposició del vector inicial en una base de vectors propis de la matriu (vegeu «Valors i vectors propis — Fonaments i càlcul»).

Si és diagonalitzable (vegeu «Diagonalització de matrius — Condicions i càlcul de P i D») amb valors propis i vectors propis associats lineament independents , qualsevol condició inicial s'escriu de forma única com: Com que cada vector propi satisfà , la multiplicació iterada produeix: Suposem que existeix un valor propi dominant real i positiu , és a dir, un valor propi que verifica de forma estricta per a tot (vegeu «Mètode de la potència i càlcul de potències de matrius»).

Extraient factor comú el terme : Atès que per a tot , es compleix el límit: x(0) = ( 24 40 ) P = ( 1 0,25 2 0,5 ) x(1) = P x(0) = = ( 1 0,25 2 0,5 ) ( 24 40 ) = ( 1 24 + 2 40 0,25 24 + 0,5 40 ) ( 104 26 ) x(2) = P x(1) = = ( 1 0,25 2 0,5 ) ( 104 26 ) = ( 1 104 + 2 26 0,25 104 + 0,5 26 ) ( 159 29 ) k A A λ , λ , … , λ 1 2 n v , v , … , v 1 2 n x(0) = α v + 1 1 α v + 2 2 + α v n n Av = i λ v i i x(k) = A x(0) = k α λ v + 1 1 k 1 α λ v + 2 2 k 2 + α λ v n n k n λ > 1 0 λ > 1 λ i i = 2, …

, n λ 1 k x(k) = λ α v + α v + + α v 1 k [ 1 1 2 ( λ 1 λ 2 ) k 2 n ( λ 1 λ n ) k n] < λ 1 λ i 1 i 2 = k lim ( λ 1 λ i ) k 0 Valors propis, diagonalització i models dinàmics 21 Per tant, quan és prou gran, la dinàmica del sistema queda completament governada pel mode propi principal: D'aquí es dedueix la relació de proporcionalitat entre generacions consecutives: PROCÉS Deducció del comportament asimptòtic poblacional COMPROVA-HO 34 Per què tots els termes associats a λ_2, ..., λ_n desapareixen de l'aproximació asimptòtica quan k creix?

Interpretació biològica i classificació demogràfica La descomposició asimptòtica proporciona dos paràmetres biològics essencials sobre el comportament poblacional: Distribució estable d'edats: El vector propi associat al valor propi dominant defineix la proporció relativa final entre els diferents grups o estadis. Les components de determinen les ràtios estables de la població. Taxa de creixement asimptòtic: El valor propi dominant marca el factor pel qual es multiplica la mida total de la població en cada període.

Depenent del mòdul de , s'identifiquen tres escenaris demogràfics ben diferenciats: k x(k) α λ v 1 1 k 1 x(k + 1) α λ v 1 1 k+1 1 λ x(k) 1 Estat inicial x(0) Descomposició en base de vectors propis 1 Iteració x(k) = A^k x(0) Suma ponderada dels termes α_i λ_i^k v_i 2 Factor comú λ_1^k Apareixen els quocients (λ_i / λ_1)^k 3 Límit k Tots els quocients s'anul·len en ser menors que 1 4 Règim asimptòtic La dinàmica segueix x(k) α_1 λ_1^k v_1 5 v 1 v 1 λ 1 λ 1 Valors propis, diagonalització i models dinàmics 22 Magnitud de Evolució de la població Comportament asimptòtic Creixement indefinit La població augmenta geomètricament a cada període Estabilització El nombre d'individus tendeix a un estat estacionari constant Extinció La població decau cap a zero ( ) EXEMPLE: ANÀLISI ASIMPTÒTICA DE JOVES I ADULTS Considerem una dinàmica estructurada per la matriu següent: Els seus valors propis són: Com que , és clarament el valor propi dominant.

Un vector propi associat a és: Això indica que la distribució estable d'edats és d'aproximadament 1,88 joves per cada adult. Atès que , la població no s'estabilitza en un nombre fix, sinó que creix indefinidament a una taxa aproximada del 6,39 % per període. ERROR FREQÜENT Confondre el vector propi dominant amb la mida absoluta de la població. El vector (o qualsevol múltiple escalar seu) només proporciona la proporció o distribució relativa entre grups d'edat. L'evolució del volum total d'individus depèn estrictament de la magnitud del valor propi dominant a través del terme .

Sistemes oscil·latoris sense valor propi dominant Si la matriu de projecció té múltiples valors propis amb el mateix mòdul màxim, no existeix un únic valor propi dominant. En aquest context, les contribucions dels diferents modes propis no queden anul·lades pel límit asimptòtic, provocant comportaments periòdics coneguts biològicament com a onades de naixements.

λ 1 λ > 1 1 λ = 1 1 λ < 1 1 x(k) 0 A = ( 0 3/10 2 1/2 ) λ = 1 + 4 1 4 1 5 53 1,06394, λ = 2 4 1 4 1 5 53 0,56394 λ 1 1,06394 > λ 2 0,56394 λ 1 λ 1 v = 1 ( 6 5 5 53 6 5 1 ) ( 1,87980 1 ) λ > 1 1 v 1 v 1 λ 1 λ 1 k Valors propis, diagonalització i models dinàmics 23 EXEMPLE: CICLE PERIÒDIC DE PERÍODE 3 Sigui una població amb tres estadis sotmesa a la matriu de projecció: Si partim de l'estat inicial , les primeres iteracions donen: Al tercer pas el sistema recupera exactament l'estat inicial: . Els valors propis d'aquesta matriu són les tres arrels cúbiques de la unitat: Tots tres valors propis tenen mòdul .

En no haver-hi cap autovalor dominant, les freqüències relatives no convergeixen a una distribució fixa, sinó que oscil·len indefinidament en un cicle periòdic. COMPROVA-HO 35 Què indica demogràficament el fet que una matriu poblacional tingui diversos valors propis de mòdul 1 i cap d'estrictament superior? IDEES CLAU L'estat poblacional en qualsevol període es calcula mitjançant a partir de la matriu de projecció. Si la matriu és diagonalitzable, l'estat s'expressa com a combinació lineal dels modes propis: . Quan hi ha un valor propi dominant ( per a tot ), l'evolució a llarg termini s'aproxima a .

El vector propi fixa la distribució estable d'edats, mentre que actua com la taxa asimptòtica de creixement. El destí de la població depèn de la magnitud de : creix si , s'extingeix si i s'estabilitza si . La manca d'un valor propi dominant condueix a oscil·lacions periòdiques permanents (onades de naixements) en lloc d'una composició fixa. A = 0 1/4 0 0 0 1/2 8 0 0 x(0) = (0 0 100) t x(1) = , x(2) = 800 0 0 , x(3) = 0 200 0 0 0 100 x(3) = x(0) λ = 1 1, λ = 2 + 2 1 i, λ = 2 3 3 2 1 i 2 3 λ = i 1 x(k) = A x(0) k x(k) = α λ v i=1 n i i k i λ > 1 λ i i 2 x(k) α λ v 1 1 k 1 v 1 λ 1 λ 1 λ > 1 1 λ < 1 1 λ = 1 1 Valors propis, diagonalització i models dinàmics 24 COMPROVA EL QUE HAS APRÈS 36.

Com s'expressa el comportament asimptòtic d'una població x(k) quan la matriu de projecció té un valor propi dominant λ_1? 37. Quina interpretació biològica tenen el valor propi dominant λ_1 i el seu vector propi associat ? 38. Què succeeix amb l'estructura de la població si tots els valors propis tenen mòdul 1 i cap és dominant? MODELS MATRICIALS DINÀMICS 5 Cadenes de Markov i matrius de probabilitat EN ACABAR SABRÀS Identificar i construir matrius de probabilitats a partir de probabilitats de transició. Calcular probabilitats després de k etapes utilitzant les potències de la matriu de transició. Determinar la regularitat d'una matriu estocàstica.

Calcular la distribució estacionària associada al valor propi 1 amb la condició de suma unitària. PENSA-HI ABANS DE LLEGIR 39 Si una persona té una probabilitat de curar-se cada dia i una altra de recaure, cap a quin percentatge d'individus sans tendirà la població al cap de molts dies? Vectors i matrius de probabilitats En l'estudi de sistemes aleatoris discrets que evolucionen al llarg del temps, les probabilitats de transició s'organitzen algebraicament en vectors i matrius amb una estructura específica. DEFINICIÓ Un vector de probabilitats és un vector en què tots els elements són no negatius i la suma de les seves components és exactament igual a 1.

Una matriu de probabilitats (o matriu estocàstica per columnes) és una matriu quadrada on cadascuna de les seves columnes constitueix un vector de probabilitats. Això exigeix dues condicions per a cada columna: que cap valor sigui negatiu i que la suma dels elements d'aquesta columna sumi exactament 1. v 1 Valors propis, diagonalització i models dinàmics 25 EXEMPLE Considerem les dues matrius següents: La matriu no és de probabilitats perquè conté un valor negatiu (-1). La matriu tampoc ho és: tot i tenir entrades no negatives, la suma de la primera columna és .

Una propietat fonamental és que el producte de matrius de probabilitats genera com a resultat una altra matriu de probabilitats de la mateixa mida. Cadenes de Markov i la matriu de transició Sigui un experiment amb un espai mostral finit d'estats . Quan el procés passa d'un estat a un altre en intents successius, la probabilitat del pas queda descrita mitjançant una matriu quadrada. DEFINICIÓ La matriu de transició d'una cadena de Markov és una matriu de probabilitats on cada component representa la probabilitat de passar de l'estat (estat inicial o actual) a l'estat (estat futur o destinació).

ERROR FREQÜENT L'error més habitual en construir la matriu de transició és invertir les posicions de fila i columna. Recorda la regla fonamental: l'índex de columna marca sempre l'estat de partida («d'on venim»), mentre que la fila indica l'estat d'arribada («on anem»). Per tant, les columnes sumen 1, no les files. Per determinar la probabilitat de saltar d'un estat a un altre en múltiples etapes, s'utilitzen les potències de la matriu (per a tècniques generals de càlcul de potències, vegeu «Mètode de la potència i càlcul de potències de matrius»).

La component de la matriu potència proporciona exactament la probabilitat que el sistema transiti de l'estat a l'estat al cap de intents o passos temporals. M = 1 , M = ( 1 0 1/2 1/2 ) 2 ( 3/2 0 1/2 1/2 ) M 1 M 2 3/2 + 0 = 3/2 = 1 S = {E , E , … , E } 1 2 n T = (p ) i,j i,j=1,…,n p i,j E j E i j i T (i, j) Tk E j E i k Valors propis, diagonalització i models dinàmics 26 EXEMPLE Un model clínic simple descriu l'estat d'una persona com a sana ( ) o malalta ( ). Si està sana avui, la probabilitat de continuar sana demà és del 98 % (0,98). Si està malalta avui, la probabilitat d'estar sana l'endemà és del 30 % (0,30).

Organitzant la informació per columnes (avui) i files (demà): Demà \ Avui Sana ( ) Malalta ( ) Sana ( ) 0,98 0,30 Malalta ( ) La matriu de transició associada és: Si una persona està malalta avui (segona columna), quines són les probabilitats que estigui sana d'aquí a dos o tres dies? Cal calcular les potències i : Inspeccionant la primera fila i la segona columna de cadascuna d'aquestes matrius: A l'endemà ( ): probabilitat de 0,3. Al cap de dos dies ( ): probabilitat de 0,504. Al cap de tres dies ( ): probabilitat de 0,64272. COMPROVA-HO 40 Per què la probabilitat de passar de l'estat 2 a l'estat 1 en dos passos coincideix exactament amb l'element (1,2) del producte T · T?

Matrius de probabilitats regulars No totes les cadenes de Markov presenten una dinàmica asimptòtica estable; la regularitat en garanteix el bon comportament. DEFINICIÓ Una matriu de probabilitats es diu regular si existeix alguna potència entera positiva tal que totes les components de són estrictament positives (és a dir, , sense cap zero).

E 1 E 2 E 1 E 2 E 1 E 2 1 0,98 = 0,02 1 0,30 = 0,70 T = ( 0,98 0,02 0,3 0,7 ) T2 T3 T = 2 = ( 0,98 0,02 0,3 0,7 ) ( 0,98 0,02 0,3 0,7 ) ( 0,9664 0,0336 0,504 0,496 ) T = 3 T T = 2 ( 0,957152 0,042848 0,64272 0,35728 ) k = 1 k = 2 k = 3 T k 1 Tk T > k 0 Valors propis, diagonalització i models dinàmics 27 EXEMPLE Considerem la matriu següent: Si en calculem les potències successives per inducció: Com que l'element de la posició és zero per a tot , no és regular. En canvi, observem la matriu: Tot i que conté zeros a la diagonal principal, el seu quadrat val: Com que tots els elements de són estrictament més grans que zero, la matriu B és regular.

Estat estacionari i comportament asimptòtic Per a les matrius regulars es compleixen propietats fonamentals relatives al seu espectre i a la convergència a llarg termini (sobre el concepte de valor propi i vector propi, vegeu «Valors i vectors propis — Fonaments i càlcul»): 1. El valor = 1 és sempre un valor propi de la matriu regular . 2. Existeix un únic vector propi associat a que és vector de probabilitats (components no negatives i suma igual a 1). Aquest vector s'anomena distribució estacionària de la matriu. 3. Per a qualsevol vector de probabilitats inicial , la successió tendeix cap a quan . 4.

Les columnes de la potència convergeixen totes cap al vector estacionari quan creix indefinidament.

PROCÉS Càlcul de la distribució estacionària 1 Matriu T Verificar que la matriu és de probabilitats i regular 2 Sistema (T - I)v = 0 Plantejar l'equació per al valor propi λ = 1 3 Parametritzaci ó Expressar les variables en funció d'un paràmetre lliure 4 Normalització Imposar la condició sum(v_i) = 1 per fixar el vector v A = ( 1/2 1/2 0 1 ) A = k ( 2k 1 2k 2 1 k 0 1 ) (1,2) k A B = 0 1/2 1/2 1/2 0 1/2 1/2 1/2 0 B = 2 1/2 1/4 1/4 1/4 1/2 1/4 1/4 1/4 1/2 B2 λ A λ = 1 v w A w k v k Ak v k Valors propis, diagonalització i models dinàmics 28 Per calcular operativament la distribució estacionària es resol un sistema d'equacions lineals amb una condició afegida.

EXEMPLE Tornem a la matriu del model de salut anterior: Volem saber quin és el percentatge de dies que, a llarg termini, una persona passarà en estat sa. Resolem el sistema format per la condició d'autovector i la normalització per a un vector desconegut : Desenvolupant la primera equació matricial: D'aquí obtenim la relació , és a dir, . Els vectors propis associats són de la forma . Imposant la condició de probabilitat total : I per a la primera component: La distribució estacionària és . Per tant, el percentatge asimptòtic de dies que la persona estarà sana és exactament del 93,75 %.

COMPROVA-HO 41 Quina relació hi ha entre la matriu límit de T^k (quan k tendeix a infinit) i el vector estacionari calculat v = (0,9375; 0,0625)ᵗ? Plantejar el sistema homogeni associat a l'autovalor unitat: resoldre , la qual cosa expressa la condició d'invariància . 1 (T I)v = 0 Tv = v Expressar la solució general en funció d'un paràmetre lliure: trobar el subespai de vectors propis associat a . 2 λ = 1 Normalitzar per la condició estocàstica: exigir que la suma de les components del vector sigui 1 ( ) per determinar de forma unívoca el valor del paràmetre.

3 v = i 1 T = ( 0,98 0,02 0,3 0,7 ) v = ( x y ) (T I) = ( x y ) ( 0 0 ) x + y = 1 = ( 0,98 1 0,02 0,3 0,7 1 ) ( x y ) = ( 0,02 0,02 0,3 0,3 ) ( x y ) ( 0 0 ) 0,02x + 0,3y = 0 x = y = 0,02 0,3 15y (15y, y)t x + y = 1 15y + y = 1 16y = 1 y = = 16 1 0,0625 x = 15(0,0625) = 0,9375 v = ( 0,9375 0,0625 ) Valors propis, diagonalització i models dinàmics 29 IDEES CLAU Un vector de probabilitats té components no negatives que sumen 1, i una matriu de probabilitats està formada per vectors de probabilitats a les seves columnes. El producte de dues o més matrius de probabilitats sempre genera una nova matriu de probabilitats.

A la matriu de transició d'una cadena de Markov, la component indica la probabilitat de passar de l'estat (origen) a l'estat (destinació). Una matriu és regular si alguna potència té tots els elements estrictament positius. Tota matriu de probabilitats regular admet com a valor propi i posseeix una única distribució estacionària que satisfà amb . COMPROVA EL QUE HAS APRÈS 42. Com es comprova ràpidament si una matriu donada és una matriu de probabilitats? 43. Com s'obté la distribució estacionària d'una matriu regular de Markov? Test Encercla la resposta correcta. Les solucions són al final. 44. Quin comportament tindrà una població asimptòticament si el seu valor propi dominant val λ = 0,85?

45. Què representa el vector propi associat al valor propi dominant en un model poblacional? 46. Per què el terme α λ ᵏ v domina sobre la resta en la solució asimptòtica? p i,j j i Tk λ = 1 (T I)v = 0 v = i 1 v Tendeix a zero i s'extingeix. a) S'estabilitza en un valor no nul. b) Oscil·la periòdicament cada pocs períodes. c) Creix indefinidament a una taxa constant. d) El nombre total final d'individus. a) El període de recurrència del cicle. b) La taxa de supervivència dels adults. c) La distribució estable d'edats o estadis. d) Perquè el coeficient α és sempre el més gran. a) Perquè els quocients (λᵢ/λ )ᵏ tendeixen a zero. b) Perquè els vectors v ,...,v sempre s'anul·len.

c) Perquè la matriu A és necessàriament simètrica. d) Valors propis, diagonalització i models dinàmics 30 47. Quina condició sobre els valors propis genera oscil·lacions periòdiques indefinides en la població? 48. Quina condició defineix una matriu de probabilitats o estocàstica? 49. A la component d'una matriu de transició T, què representen els índexs? 50. Quan es diu que una matriu de probabilitats és regular? 51. Quin valor propi té assegurat tota matriu de probabilitats regular?

6 Formulari Valors i vectors propis Fórmula o procediment Què significa cada símbol Quan s'utilitza , amb : matriu quadrada; : valor propi; : vector propi associat Definició bàsica de parella valor i vector propi : polinomi característic; : matriu identitat Càlcul de tots els valors propis d'una matriu quadrada Sistema lineal homogeni d'incògnita Càlcul dels vectors propis associats a un valor propi Que el valor propi dominant sigui superior a 1. a) L'absència d'un valor propi estrictament dominant. b) L'existència d'un únic valor propi real positiu. c) Que la matriu de projecció no sigui invertible.

d) Elements positius amb traça sempre igual a 1 a) Elements estrictament positius i files que sumen 1 b) Matriu simètrica amb determinant igual a 1 c) Elements no negatius i columnes que sumen 1 d) p i,j Probabilitat conjunta dels estats i i j a) Pas de l'estat i a l'estat j b) Diferència de probabilitat entre estat i i estat j c) Pas de l'estat j a l'estat i d) Quan el seu determinant és diferent de zero a) Quan és diagonalitzable en el cos real b) Quan tots els seus valors propis són estrictament 1 c) Quan alguna potència té totes les entrades positives d) λ = -1 a) λ = 1 b) λ = 0 c) λ = 0,5 d) Av = λv v = 0 A λ v p (λ) = A det(A λI) = 0 p (λ) A I (A λI)v = 0 v λ Valors propis, diagonalització i models dinàmics 31 Fórmula o procediment Què significa cada símbol Quan s'utilitza : ordre de la matriu; : subespai propi associat a Determinació de la multiplicitat geomètrica d'un valor propi Càlcul complet d'autovalors i autovectors trobar arrels resoldre per a cada arrel Procediment estàndard per obtenir l'espectre i els subespais propis Diagonalització de matrius Fórmula o procediment Què significa cada símbol Quan s'utilitza : matriu de pas invertible (vectors propis en columnes); : matriu diagonal (valors propis) Factorització diagonal d'una matriu diagonalitzable i : multiplicitat algebraica de l'arrel Criteri necessari i suficient de diagonalitzabilitat sobre Construcció de i Col·locar a la diagonal de repetits cops calcular vectors propis independents per a cada situar-los com a columnes de en el mateix ordre Procediment per construir explícitament les matrius de pas i diagonal Càlcul de potències i mètode de la potència Fórmula o procediment Què significa cada símbol Quan s'utilitza Càlcul analític exacte de potències d'una matriu diagonalitzable : valor propi dominant en valor absolut Definició i verificació de valor propi dominant : vector inicial arbitrari; : vector iterat Iteració vectorial del mètode de la potència : producte escalar euclidià; : estimació escalar de l'autovalor Aproximació del valor propi dominant en cada iteració dim(E ) = λ n rang(A λI) n E λ λ det(A λI) = 0 λ i (A λ I)v = i 0 A = P DP 1 P D λ i R n rang(A λ I) = i m i m i λ i R D P λ i D m i m i λ i P A = k P D P k 1 D = k diag(λ , …

, λ ) 1 k n k λ > 1 λ ( i i 2) λ 1 w = i Aw = i 1 A w i 0 w = 0 0 w i λ = i w w i 1 i 1 w w i i 1 λ i Valors propis, diagonalització i models dinàmics 32 Models dinàmics: Poblacions i cadenes de Markov Fórmula o procediment Què significa cada símbol Quan s'utilitza : estat temporal ; : taxa asimptòtica; : distribució d'edats Aproximació del comportament asimptòtic poblacional a llarg termini Classificació del creixement poblacional : creix indefinidament : s'estabilitza : s'extingeix sense dominant: cicle oscil·latori Determinació del destí demogràfic segons la magnitud del valor dominant amb i : probabilitat de passar de l'estat (columna) a l'estat (fila) Definició de la matriu de transició d'una cadena de Markov i : vector propi associat a normalitzat com a probabilitat Càlcul de la distribució estacionària d'una matriu regular de Markov Errors típics Vector propi nul: Per definició, un vector propi mai no pot ser el vector nul ( ), tot i que el seu valor propi associat sí que pot ser zero ( ).

Coherència en les matrius i : Si es canvia l'ordre de les columnes de vectors propis a , cal aplicar exactament la mateixa permutació als valors propis de la diagonal de . Criteri de dominància: El valor propi dominant és aquell amb el mòdul més gran ( ), no el nombre real positiu més gran. Orientació de la matriu de Markov: A la matriu de transició , les columnes representen l'estat d'origen i han de sumar 1; les files representen l'estat de destinació.

x(k) = A x(0) k α λ v 1 1 k 1 x(k) k λ 1 v 1 λ > 1 1 λ = 1 1 λ < 1 1 T = (p ) i,j p = i=1 n i,j 1 p i,j 0 p i,j E j E i (T I)v = 0 v = i=1 n i 1 v λ = 1 v = 0 λ = 0 P D P D λ T Valors propis, diagonalització i models dinàmics 33 Solucions de les preguntes de repàs 1. Sí, precisament això és el que caracteritza els vectors propis: la matriu només els dilata, contrau o inverteix el sentit mitjançant un factor d'escala escalar anomenat valor propi. 2. Sí, un valor propi pot ser zero ( ). Això indica que el sistema homogeni admet solucions no nul·les, de manera que el determinant de la matriu és zero i no és invertible. 3.

La dimensió és , per la qual cosa l'espai propi estarà generat per un únic vector propi linealment independent. 4. Perquè el seu polinomi característic té grau 3 (senar). Com que les arrels complexes no reals dels polinomis amb coeficients reals apareixen necessàriament per parelles conjugades, almenys una de les arrels ha de ser real. 5. No; si el càlcul del valor propi és correcte, , de manera que el sistema sempre és compatible indeterminat i compta com a mínim amb una variable lliure per formar un vector propi no nul. 6. Avaluant el terme independent del polinomi característic, que és . Si és arrel del polinomi, el determinant és nul i la matriu no és invertible. 7.

Si és vector propi associat a , qualsevol múltiple amb també és vector propi associat al mateix , ja que . 8. c) Que sigui estrictament no nul. Per definició, un vector propi no pot ser el vector nul (ha de ser v 0). 9. a) Coincideix sempre amb el determinant de A. Substituint λ = 0 a det(A - λI), s'obté directament det(A). 10. d) Té com a mínim un valor propi real. En ser de grau 3 senar, el polinomi característic té almenys una arrel real. 11. a) Restant el rang de (A - λI) a n. Pel teorema del rang, dim(Ker(A - λI)) = n - rang(A - λI). 12.

Perquè operar amb una matriu diagonal D és molt més simple: per exemple, elevar D a una potència només requereix elevar cadascun dels seus elements de la diagonal. 13. La matriu no és diagonalitzable perquè la multiplicitat geomètrica és 3 - 2 = 1, la qual és inferior a la multiplicitat algebraica (m = 2). 14. Cal intercanviar exactament els dos primers elements de la diagonal principal de D, és a dir, les posicions (1,1) i (2,2). 15. Perquè l'autovalor doble λ = 2 només genera un subespai propi de dimensió 1 (defecte geomètric), impedint formar una base de 3 vectors propis independents per a ³. 16. Es calcula mitjançant la fórmula . 17.

Cal canviar exactament en el mateix ordre els valors propis a la diagonal de perquè es continuï verificant la relació . 18. d) Quan té n valors propis reals diferents. Si una matriu d'ordre n té n arrels reals simples, les multiplicitats algebraica i geomètrica són sempre 1 per a cadascuna. 19. a) El rang de A - λI ha de ser 1. La dimensió del subespai és 3 - rang(A - λI); perquè sigui igual a 2, cal que el rang sigui 1. 20. c) Amb els vectors propis col·locats com a columnes. La matriu P té per columnes els vectors propis que formen la base respecte a la qual la matriu esdevé diagonal.

λ = 0 Av = 0 A dim(E ) = λ 1 3 rang(A λ I) = 1 3 2 = 1 det(A λI) = 0 p (0) = A det(A) λ = 0 v λ αv α = 0 λ A(αv) = λ(αv) dim(E ) = λ n rang(A λI) D A = P DP 1 Valors propis, diagonalització i models dinàmics 34 21. a) Manca de vectors propis linealment independents. Si la dimensió de l'espai propi és inferior a la multiplicitat algebraica, no és possible formar una base de tot l'espai amb vectors propis. 22. Descomponem la matriu en la forma P D ; d'aquesta manera només cal elevar els nombres de la diagonal a la potència 500 i fer dos productes matricials. 23. No, perquè la descomposició requereix una base completa de vectors propis que formi la matriu invertible P.

Si la matriu no és diagonalitzable, aquesta factorització no existeix. 24. Indica que el valor propi dominant de la matriu té signe negatiu, ja que multiplicar en cada pas per un escalar negatiu inverteix el sentit del vector. 25. S'eleven directament els elements de la diagonal a la potència , obtenint . 26. És aquell valor propi el mòdul del qual és estrictament més gran que el mòdul de tots els altres valors propis de la matriu ( per a ). 27. Mitjançant el quocient de productes escalars entre els vectors consecutius: . 28. a) P . Els productes intermedis de per P es cancel·len donant la matriu identitat. 29. d) -7.

La dominància es regeix pel valor absolut més gran, i "-7" = 7 és superior a 3 i 5. 30. d) = A w_(i-1). El mètode aplica successivament la matriu sobre l'últim vector calculat. 31. c) L'aproximació del valor propi dominant. Aquest quocient escalar aproxima el factor d'escala o valor propi entre iterats consecutius. 32. Construint la matriu de projecció anual i calculant el seu valor propi dominant: si és estrictament superior a 1, la població creixerà indefinidament, mentre que si és menor que 1, tendirà cap a l'extinció. 33. Es multiplica el vector de l'any 2 per la matriu elevada a la diferència de períodes: , la qual cosa equival a . 34.

Com que , els quocients són estrictament menors que 1. En elevar-los a potències elevades , el seu límit tendeix a 0. 35. Indica que no s'assoleix una distribució d'edats estable; les proporcions dels grups oscil·len de manera periòdica repetint patrons regulars sense extingir-se ni créixer de manera indefinida. 36. S'expressa mitjançant l'aproximació , on és el vector propi associat a i és el coeficient de la descomposició inicial. 37. representa la taxa de creixement asimptòtic per període, mentre que defineix la distribució estable d'edats o proporció relativa entre els grups de la població. 38.

La població no assoleix una distribució fixa, sinó que manifesta oscil·lacions periòdiques regulars en les freqüències dels seus components (onades de naixements). 39. Tendirà cap a un valor fix determinat per la distribució estacionària de la matriu de transició, independentment de la salut inicial de la població. 40. Perquè el producte de matrius suma els camins possibles: passar de l'estat 2 a l'estat 1 directament a través de l'estat 1 intermedi (p · p ), o bé a través de l'estat 2 intermedi (p · p ). 41.

Totes les columnes de la matriu límit coincideixen exactament amb el vector estacionari v, cosa que significa que l'estat límit és independent de l'estat inicial en què comenci l'individu. 42. Cal verificar que totes les entrades de la matriu siguin més grans o iguals a zero i que la suma de cadascuna de les seves columnes sigui exactament igual a 1. P 1 k D = k diag(d , … , d ) 1 k n k λ 1 λ > 1 λ i i 2 λ = i (w i w )/(w i 1 i 1 w ) i 1 Dk P 1 P 1 w i x(5) = A x(2) 3 x(5) = A x(0) 5 λ > 1 λ i λ /λ i 1 k x(k) α λ v 1 1 k 1 v 1 λ 1 α 1 λ 1 v 1 Valors propis, diagonalització i models dinàmics 35 43.

Es resol el sistema homogeni per trobar el vector propi associat a i se selecciona la solució que compleix la condició de normalització . 44. a) Tendeix a zero i s'extingeix.. Com que el valor propi dominant és estrictament menor que 1, les potències λ ᵏ tendeixen a zero, indicant l'extinció de la població. 45. d) La distribució estable d'edats o estadis.. El vector propi dominant estableix les proporcions relatives finals entre les diferents classes d'edat de la població. 46. b) Perquè els quocients (λᵢ/λ )ᵏ tendeixen a zero.. Com que "λ " > "λᵢ", el quocient "λᵢ/λ " és menor que 1 i la seva potència s'esvaeix en tendir k a infinit. 47. b) L'absència d'un valor propi estrictament dominant..

Quan diversos valors propis comparteixen el mòdul màxim, cap d'ells anul·la els altres, generant cicles oscil·latoris. 48. d) Elements no negatius i columnes que sumen 1. Per definició, totes les seves entrades han de ser no negatives i cada columna ha de sumar exactament 1. 49. d) Pas de l'estat j a l'estat i. L'índex j representa l'estat d'origen (columna) i l'índex i l'estat de destinació (fila). 50. d) Quan alguna potència té totes les entrades positives. La regularitat exigeix que existeixi algun k tal que tingui tots els elements estrictament majors que zero. 51. b) λ = 1. El valor propi 1 sempre existeix per a qualsevol matriu estocàstica regular i està associat a l'estat estacionari.

(T I)v = 0 λ = 1 v = i 1 Tk Valors propis, diagonalització i models dinàmics 36