Apunts d'Espai Afí 2D i 3D: Vectors, Bases i Productes

I 0 flashcards i 5 preguntes més al document.

Text del document

APUNTS ÀLGEBRA Grau en Enginyeria Informàtica Universitat de Girona AprenAI 2026-2027 Apunts d'espai afí 2D i 3D: punts i vectors, canvis de base amb matrius homogènies, producte escalar, vectorial i càlcul d'àrees i volums.

APREN.AI Índex 1 Espai afí — Punts, vectors i operacions elementals Punts, vectors lliures i casos particulars Operacions elementals de l'espai afí Propietats algebraiques de l'espai afí Sistemes de referència 2 Bases i coordenades de punts i vectors Necessitat d'un marc de referència i concepte de quadrícula Bases i sistemes de referència afins Coordenades de vectors i de punts Operacions algebraiques en coordenades 3 Canvis de base i coordenades homogènies Canvi de base per a vectors Canvi de sistema de referència per a punts Coordenades homogènies i matriu afí unificada 4 Mètrica al pla — Producte escalar, norma i orientació 2D Angles no orientats i angles orientats Norma d'un vector i bases ortonormals Producte escalar: definició intrínseca i propietats Orientació al pla i el vector perpendicular compatible Càlcul de l'àrea del paral·lelogram al pla 5 Mètrica a l'espai — Producte vectorial i volums en 3D Orientació de bases a l'espai tridimensional Cerca analítica d'un vector perpendicular a dos vectors donats El producte vectorial en sistemes ortonormals Producte mixt i volum del paral·lelepípede 6 Formulari Operacions afins i geometria analítica Canvis de sistema de referència i coordenades homogènies Mètrica 2D: Producte escalar, norma i àrea Mètrica 3D: Producte vectorial i volums Errors típics Solucions de les preguntes de repàs Apunts d'Espai Afí 2D i 3D: Vectors, Bases i Productes 1 Aquests apunts poden contenir errors o omissions.

Són un material de suport i no substitueixen el temari oficial ni el professorat: contrasta la informació important. Apunts d'Espai Afí 2D i 3D: Vectors, Bases i Productes 2 1 Espai afí — Punts, vectors i operacions elementals EN ACABAR SABRÀS Distingir conceptualment i funcionalment els punts dels vectors en l'espai afí. Construir geomètricament la suma i diferència de vectors lliures mitjançant la regla del paral·lelogram. Aplicar les propietats algebraiques del producte per escalar i la relació de Chasles. PENSA-HI ABANS DE LLEGIR 1 Té sentit sumar directament dues posicions o ciutats en un mapa per trobar-ne una tercera?

L'espai afí articula la geometria clàssica unint dos conjunts clarament diferenciats: un univers de punts (posicions a l'espai) i un espai de vectors (desplaçaments orientats) estretament lligats mitjançant operacions algebraiques rigoroses. ESQUEMA Estructura de l'espai afí 2D i 3D Punts, vectors lliures i casos particulars En dimensió dos (pla afí), els punts corresponen a parelles de , mentre que en dimensió tres (espai afí 3D) representen tripletes de nombres reals a . Un vector no indica una posició fixa, sinó un segment orientat caracteritzat per tres elements: Direcció: és la inclinació de la recta que el conté o qualsevol recta paral·lela.

Sentit: cadascuna de les dues orientacions possibles sobre una mateixa direcció. Longitud: la mesura o llargada del segment. Dos segments orientats representen el mateix vector lliure si comparteixen exactament aquests tres trets. Entre ells, trobem tipologies concretes: Vector definit per dos punts: per a un parell de punts i , el vector és el segment orientat que té origen a i extrem a .

Punts de l'espai Posicions a R² o R³ Vectors lliures Desplaçaments orientats Trets d'un vector Direcció, sentit i longitud Casos particulars Vector zero i vector oposat Operacions afins Suma de punts i vectors Àlgebra vectorial Regla paral·lelogram i escalars R2 R3 P Q P Q P Q Apunts d'Espai Afí 2D i 3D: Vectors, Bases i Productes 3 Vector zero ( ): segment orientat de longitud nul·la, el qual no té direcció ni sentit definits. Vector oposat ( ): posseeix la mateixa direcció i mida que , però amb sentit oposat. COMPROVA-HO 2 Tenen la mateixa direcció dos vectors que apunten en sentits completament oposats sobre una mateixa recta?

Operacions elementals de l'espai afí La relació estructural entre punts i vectors s'estableix a partir de tres operacions fonamentals: Esquema geomètric de la suma i diferència de dos vectors. La diferència de vectors es defineix algebraicament sumant el vector oposat: , que equival al vector que uneix l'extrem de amb el de . PER RECORDAR-HO Dos vectors no nuls i tenen la mateixa direcció si i només si per a cert escalar . ERROR FREQÜENT Sumar dos punts directament ( ) és una operació que no té sentit en l'espai afí. Només es pot sumar un vector a un punt per obtenir un altre punt ( ), o restar dos punts per obtenir el vector que els connecta ( ).

Per als canvis de coordenades i bases, vegeu «Sistemes de referència — Bases i coordenades de punts i vectors». 0 v v Suma d'un punt i un vector lliure: donat un punt i un vector , s'obté un nou punt mitjançant la relació , de manera que el vector fix associat compleix . 1 P v Q Q = P + v = P Q v Producte d'un vector per un escalar: per a tot nombre real i un vector , el resultat és un nou vector amb la mateixa direcció. Si , manté el sentit i té vegades la seva longitud. Si , el sentit s'inverteix i la mida passa a ser vegades l'original.

2 α R v αv α > 0 α α < 0 α Suma de vectors lliures: la combinació de dos vectors i es construeix a través de la regla del paral·lelogram, situant ambdós vectors amb el mateix origen per fer coincidir el vector suma amb la diagonal principal. 3 u v u = v + u ( ) v v u v w = v αw α = 0 P + Q Q = P + v = P Q Q P Apunts d'Espai Afí 2D i 3D: Vectors, Bases i Productes 4 COMPROVA-HO 3 Quina transformació geomètrica pateix un vector quan es multiplica pel nombre real -3? Propietats algebraiques de l'espai afí Les operacions geomètriques de punts i vectors verifiquen un conjunt coherent de lleis algebraiques.

Àmbit d'aplicació Propietat algebraica Formulació matemàtica Interacció punt-vector Inversió d'extrems Regla de Chasles / Relació triangular Traslació de punt Element neutre afí Suma vectorial Commutativa Associativa Element neutre Vector oposat Producte per escalar Anul·lació per vector nul Anul·lació per escalar zero Distributiva respecte a la suma vectorial Distributiva respecte a escalars Associativa escalar COMPROVA-HO 4 Com es pot simplificar la suma encadenada de vectors ? IDEES CLAU Un espai afí es compon d'un conjunt de punts i un espai de vectors associat que descriuen posicions i desplaçaments.

Un vector lliure queda unívocament definit per tres paràmetres: direcció, sentit i longitud. La suma d'un punt i un vector lliure genera un únic punt tal que . Dos vectors no nuls comparteixen direcció si i només si són proporcionals mitjançant un escalar no nul. La suma de dos vectors es construeix a través de la regla del paral·lelogram, mentre que la diferència equival a sumar el vector oposat. = AB BA + AB = BC AC A + = AB B A + = 0 A + v = u + u v ( + v ) + u = w + v ( + u ) w + u = 0 u + v ( ) = v 0 α = 0 0 0 = v 0 α( + v ) = u α + v αu (α + β) = v α + v βv (α β) = v α(β ) v + MN + NP P Q P v Q = P Q v Apunts d'Espai Afí 2D i 3D: Vectors, Bases i Productes 5 COMPROVA EL QUE HAS APRÈS 5.

Per què no té sentit sumar directament dos punts en un espai afí? 6. Quina condició necessària i suficient han de complir dos vectors no nuls per tenir la mateixa direcció? Test Encercla la resposta correcta. Les solucions són al final. 7. Quins tres atributs determinen de manera unívoca un vector lliure? 8. Quin és el resultat geomètric de sumar un vector v a un punt P? 9. Com canvia un vector si es multiplica per un escalar negatiu α? 10. Com s'expressa la diferència entre dos vectors u i v?

Angle, origen i extrem a) Punt d'origen, direcció i sentit b) Direcció, sentit i longitud c) Recta suport, origen i mòdul d) Un nou vector amb origen P a) Un punt Q tal que PQ = v b) Un escalar de magnitud v c) Una recta que passa per P d) Conserva sentit però inverteix direcció a) Esdevé necessàriament el vector nul b) Manté direcció i inverteix sentit c) Canvia la direcció i la longitud d) Com la suma de u amb -v a) Com la divisió de les seves mides b) Com la diagonal principal sumada c) Com el producte de u per -1 d) Apunts d'Espai Afí 2D i 3D: Vectors, Bases i Productes 6 2 Bases i coordenades de punts i vectors EN ACABAR SABRÀS Distingir els components d'un sistema de referència afí tant al pla com a l'espai Obtenir les coordenades úniques de punts i vectors respecte d'un sistema donat Calcular analíticament vectors entre punts, punts mitjans i baricentres PENSA-HI ABANS DE LLEGIR 11 Per què cal indicar tant un origen com una base per localitzar un punt al pla, mentre que per a un vector lliure n'hi ha prou amb la base?

En la geometria de l'espai afí necessitem traduir les posicions geomètriques a valors numèrics concrets. Sense un marc de referència establert, és impossible quantificar on es troba un punt o cap a on apunta un vector.

ESQUEMA Estructura dels Sistemes de Referència Sistemes de referència 2 Bases i coordenades de punts i vectors 3 Canvis de base i coordenades homogènies Sistema de referència Fixa un marc afí complet Origen O Punt d'ancoratge a l'espai Base vectorial Vectors que defineixen direccions Pla (2D) 2 vectors no proporcionals Espai (3D) 3 vectors no coplanaris Coordenades úniques Assignació numèrica a punts i vectors Apunts d'Espai Afí 2D i 3D: Vectors, Bases i Productes 7 Necessitat d'un marc de referència i concepte de quadrícula Imaginem que volem descriure la posició relativa entre dos punts sobre un pla.

Si utilitzem una quadrícula ortogonal estàndard, podem dir que el segon punt es troba «tres passos a la dreta i dos cap amunt». Ara bé, si superposem una altra quadrícula inclinada sobre el mateix terreny, la descripció canvia completament: el mateix punt podria quedar a «una unitat cap endavant». Esquema de dues quadrícules de referència diferents sobre un mateix pla. Per tant, qualsevol mesura o parell de coordenades no té sentit geomètric absolut per si sol. Depèn exclusivament de la quadrícula que hàgim triat com a referència. Bases i sistemes de referència afins Per construir formalment aquesta quadrícula, primer cal fixar les direccions de mesura mitjançant una base vectorial.

DEFINICIÓ DE BASE Una base és una família ordenada de vectors que permet generar tot l'espai mitjançant combinacions lineals: Al pla (2D): un parell de vectors no nuls i amb direccions diferents (no proporcionals). A l'espai (3D): una terna de vectors no coplanaris, és a dir, dos vectors tenen direccions diferents i el tercer no pertany al pla generat pels dos primers. { , } e1 e2 { , , } e1 e2 e3 Apunts d'Espai Afí 2D i 3D: Vectors, Bases i Productes 8 Una base ens dóna direccions i mides d'escala, però els vectors són lliures (vegeu «Espai afí — Punts, vectors i operacions elementals») i no estan ancorats a cap lloc fix.

Per situar-hi punts de l'espai, cal triar un punt d'ancoratge anomenat origen. SISTEMA DE REFERÈNCIA AFÍ Un sistema de referència afí (habitualment abreujat com a ) està constituït per la parella formada per un punt d'origen i una base vectorial: Al pla: A l'espai: Les rectes que passen per l'origen i tenen com a vectors directors els elements de la base s'anomenen eixos del sistema de referència. La longitud de cada vector de la base esdevé la unitat de mesura sobre el seu eix corresponent, fent que tot l'espai quedi completament reticulat. COMPROVA-HO 12 Quina diferència conceptual bàsica hi ha entre una base i un sistema de referència afí?

Coordenades de vectors i de punts Un cop fixat un , podem associar números precisos tant a vectors com a punts geomètrics mitjançant projeccions lineals. Diagrama de descomposició d'un vector en coordenades sobre una base donada. Si traslladem un vector lliure qualsevol a l'origen i el projectem sobre els eixos de coordenades seguint les direccions de la base, obtenim una combinació lineal única: SR O SR = (O; , ) e1 e2 SR = (O; , , ) e1 e2 e3 O SR v = v v + 1e1 v (al pla) 2e2 = v v + 1e1 v + 2e2 v (a l'espai) 3e3 Apunts d'Espai Afí 2D i 3D: Vectors, Bases i Productes 9 Els coeficients escalars únics o són les coordenades del vector respecte de la base del sistema.

En notació matricial, s'escriuen habitualment en columna: Per la seva banda, per a qualsevol punt de l'espai , definim les seves coordenades a partir del vector que uneix l'origen amb aquest punt: COORDENADES D'UN PUNT Les coordenades d'un punt respecte d'un sistema de referència coincideixen exactament amb les coordenades del vector d'origen en la base triada. Gràfica de coordenades de vectors i punts respecte a dos sistemes diferents.

A la figura anterior s'observa com canvien les coordenades d'un mateix vector o d'un punt quan canviem de sistema de referència (per a les transformacions generals entre marcs, vegeu «Sistemes de referència — Canvis de base i coordenades homogènies»): En el sistema estàndard , el vector té components i el vector té components . L'origen auxiliar té coordenades . En canvi, respecte al sistema alternatiu , els mateixos elements s'expressen com , i el seu propi origen és . D'aquesta construcció geomètrica es dedueix una propietat fonamental: fixat un sistema de referència afí, les coordenades de qualsevol punt o vector són úniques.

(v , v ) 1 2 (v , v , v ) 1 2 3 = v o = ( v 1 v 2 ) v v 1 v 2 v 3 X O X SR = (O; , ) e1 e2 OX SR = (O; , ) e1 e2 w ( 1 1 ) u ( 3 2 ) O = ( 2 1 ) SR = (O ; , ) v1 v2 = w ( 1/4 1/2 ) = u ( 1 1 ) O = ( 0 0 ) Apunts d'Espai Afí 2D i 3D: Vectors, Bases i Productes 10 ERROR FREQÜENT Confondre un punt absolut amb un vector lliure perquè s'escriuen amb xifres semblants. Un punt és una posició estàtica a l'espai referida a l'origen ; si es desplaça l'origen del sistema, les coordenades de canvien. En canvi, el vector lliure expressa una translació o diferència de posició; si desplacem l'origen sense modificar la base, les coordenades de es mantenen invariables.

COMPROVA-HO 13 Si desplacem l'origen d'un sistema de referència sense alterar els vectors de la base, com canvien les coordenades d'un vector lliure i d'un punt? Operacions algebraiques en coordenades Un cop associades les coordenades als ens geomètrics, podem traduir totes les relacions afins a càlculs algebraics directes. Treballarem indistintament amb la notació per a vectors i per a punts. Àlgebra de vectors Per a dos vectors i al pla (o anàlogament amb tres components a l'espai), les operacions elementals es realitzen coordenada a coordenada: Vector nul: al pla i a l'espai. Suma de vectors: . Producte per un escalar: , per a tot . Vector oposat: .

A partir d'aquí es compleix el criteri de paral·lelisme: dos vectors tenen la mateixa direcció si i només si les seves coordenades són proporcionals.

Relacions entre punts i vectors Donats els punts , i al pla (i de forma equivalent a l'espai tridimensional afegint la tercera component ): Operació geomètrica Definició analítica Fórmula en coordenades (pla) Vector entre dos punts Translació d'un punt Punt mig d'un segment Baricentre d'un triangle P (a , a ) 1 2 O P = v (v , v ) 1 2 v = u (u , u ) 1 2 P (a, b) = u (u , u ) 1 2 = v (v , v ) 1 2 = 0 (0, 0) = 0 (0, 0, 0) + u = v (u + 1 v , u + 1 2 v ) 2 α = u (αu , αu ) 1 2 α R = u ( u , u ) 1 2 A(a , a ) 1 2 B(b , b ) 1 2 C(c , c ) 1 2 z = AB B A = AB (b 1 a , b 1 2 a ) 2 Q = P + v Q = (p + 1 v , p + 1 2 v ) 2 M = (A + 2 1 B) M = , ( 2 a +b 1 1 2 a +b 2 2 ) G = (A + 3 1 B + C) G = , ( 3 a +b +c 1 1 1 3 a +b +c 2 2 2 ) Apunts d'Espai Afí 2D i 3D: Vectors, Bases i Productes 11 CÀLCUL D'ELEMENTS GEOMÈTRICS A PARTIR DE COORDENADES Considerem els punts , i respecte a un determinat sistema de referència afí: COMPROVA-HO 14 Si tenim dos punts A i B, com obtenim analíticament un punt Q resultat de desplaçar A pel vector AB?

IDEES CLAU Un sistema de referència afí està format per un punt d'origen i una base de vectors lliures. Una base al pla requereix dos vectors no proporcionals; a l'espai, tres vectors no coplanaris. Fixat un sistema de referència afí, les coordenades de qualsevol punt o vector són úniques. Les coordenades d'un punt es defineixen formalment com les coordenades del vector respecte de la base. El vector entre dos punts és , el punt mig és i el baricentre és . COMPROVA EL QUE HAS APRÈS 15. Per què tres vectors al pla mai no poden constituir una base afí? 16. Com es defineixen les coordenades d'un punt X en un sistema afí ? 17.

Quina condició algebraica han de complir dos vectors no nuls per tenir la mateixa direcció?

A(1, 4) B(5, 2) C(3, 6) Vector que uneix A i B: restem les coordenades d'origen a les de destí: 1 = AB B A = (5 1, 2 4) = (4, 2) Punt mig del segment AB: calculem la mitjana aritmètica dels extrems: 2 M = = 2 A + B , = ( 2 1 + 5 2 4 + 2 ) (3, 3) Baricentre del triangle ABC: fem la mitjana aritmètica dels tres vèrtexs: 3 G = = 3 A + B + C , = ( 3 1 + 5 + 3 3 4 + 2 + 6 ) (3, 4) O X OX = AB B A M = (A + 2 1 B) G = (A + 3 1 B + C) SR = (O; , ) e1 e2 Apunts d'Espai Afí 2D i 3D: Vectors, Bases i Productes 12 SISTEMES DE REFERÈNCIA 3 Canvis de base i coordenades homogènies EN ACABAR SABRÀS Construir la matriu de canvi de base A col·locant els vectors en columnes.

Calcular la transformació de coordenades per a vectors i punts entre dos sistemes afins. Utilitzar coordenades homogènies i la matriu ampliada M per unificar el canvi de referència. PENSA-HI ABANS DE LLEGIR 18 Per què cal una operació addicional per canviar les coordenades d'un punt respecte a les d'un vector? Quan treballem en geometria analítica, és freqüent disposar d'un sistema de referència inicial (anomenat sovint sistema vell) i voler expressar els mateixos elements geomètrics en un nou sistema (el sistema nou). Per a un repàs sobre la definició i components d'aquests marcs de treball, vegeu «Sistemes de referència — Bases i coordenades de punts i vectors».

Com que els vectors i els punts tenen naturalesa diferent, la seva transformació també serà diferent: els vectors no depenen de la posició de l'origen, mentre que els punts sí que queden afectats pel desplaçament d' . SR = (O; , ) e1 e2 SR = (O ; , ) v1 v2 O Apunts d'Espai Afí 2D i 3D: Vectors, Bases i Productes 13 Esquema dels dos sistemes de referència amb punts i vectors associats.

Canvi de base per a vectors Considerem conegudes les coordenades dels vectors de la base nova i respecte de la base vella: Si un vector arbitrari té components desconegudes en el sistema nou, la seva definició implica: Com que en el sistema vell aquest mateix vector té coordenades , podem escriure aquest sistema en forma de producte de matrius: v1 v2 = v1 , = ( v 1 1 v 1 2) v2 ( v 2 1 v 2 2) w X = ( x y ) = w x + v1 y = v2 x + ( v 1 1 v 1 2) y = ( v 2 1 v 2 2) ( x v + y v 1 1 2 1 x v + y v 1 2 2 2) X = ( x y ) = ( v 1 1 v 1 2 v 2 1 v 2 2) ( x y ) ( x y ) A X = X Apunts d'Espai Afí 2D i 3D: Vectors, Bases i Productes 14 MATRIU DE CANVI DE BASE La matriu de canvi de base es construeix col·locant directament com a columnes les coordenades dels vectors de la base nova expressats en el sistema vell.

Com que formen una base, els seus vectors són linealment independents (no proporcionals al pla, o no coplanaris a l'espai 3D), de manera que és sempre invertible. Així, per obtenir les coordenades noves a partir de les velles, aïllem multiplicant per la inversa d' : EXEMPLE: CANVI DE BASE DE VECTORS EN 2D Considerem els sistemes de la figura, on la base nova té vectors i en el sistema vell. La matriu de canvi de base és: La seva inversa és: Si volem conèixer les coordenades en el nou sistema dels vectors i : ERROR FREQÜENT Disposar els vectors de la base com a files en lloc de com a columnes de la matriu és una errada habitual. Recorda sempre: cada vector de la base nova és una columna d'A.

Si els col·loques per files, estaries calculant la matriu transposada , la qual donarà un canvi erroni llevat que la base sigui ortonormal. COMPROVA-HO 19 Per què la matriu de canvi de base A té sempre inversa garantida? Canvi de sistema de referència per a punts A diferència dels vectors lliures, un punt de l'espai afí té una posició lligada a l'origen de coordenades. Si el nou sistema té el seu origen situat a les coordenades respecte de l'origen vell , les coordenades d'un punt dependran del vector de posició .

Recordant que el vector que uneix dos punts es calcula restant l'origen a l'extrem (vegeu «Sistemes de referència — Bases i coordenades de punts i vectors»), en el sistema vell tenim: A = ( ) v1 v2 A X A X = A 1 X = v1 (2, 0) = v2 (1, 2) A = ( 2 0 1 2 ) A = 1 ( 1/2 0 1/4 1/2 ) = w (1, 1) = e ( 1, 2) X = w = ( 1/2 0 1/4 1/2 ) ( 1 1 ) ( 1/4 1/2 ) X = e = ( 1/2 0 1/4 1/2 ) ( 1 2 ) ( 1 1 ) A At O (o , o ) 1 2 O P O P Apunts d'Espai Afí 2D i 3D: Vectors, Bases i Productes 15 En el sistema nou, com que és el seu propi origen , les coordenades del vector coincideixen exactament amb les coordenades del punt en el nou sistema, és a dir, .

Aplicant la relació de transformació de vectors ja deduïda: EXEMPLE: CANVI DE COORDENADES DE PUNTS Tenim l'origen nou situat a i la mateixa matriu . Calculem les coordenades noves dels punts i : COMPROVA-HO 20 Quina diferència fonamental hi ha en transformar un vector respecte de transformar un punt? Coordenades homogènies i matriu afí unificada La transformació de punts combina una multiplicació per matriu i una translació d'origen, la qual cosa impedeix formular-ho com una aplicació lineal directa en .

Per resoldre aquesta asimetria i tractar punts i vectors de forma unificada, s'introdueixen les coordenades homogènies afegint un component addicional al final: Vectors: s'afegeix un 0 al final: . Punts: s'afegeix un 1 al final: . Aquesta ampliació permet definir la matriu afí ampliada M per blocs en dimensió : La relació directa entre el sistema nou i el vell s'expressa de manera compacta com .

En conseqüència, per calcular les coordenades noves fem: La inversa d'aquesta matriu per blocs té una expressió directa molt senzilla: = O P P O = ( a o 1 b o 2 ) O (0, 0) O P P X = P ( a b ) X = P A 1 (X P O ) O (2, 1) A = 1 ( 1/2 0 1/4 1/2 ) P (2, 5) Q(5, 5) P = = ( 1/2 0 1/4 1/2 ) [( 2 5 ) ( 2 1 )] = ( 1/2 0 1/4 1/2 ) ( 0 4 ) ( 1 2 ) Q = = ( 1/2 0 1/4 1/2 ) [( 5 5 ) ( 2 1 )] = ( 1/2 0 1/4 1/2 ) ( 3 4 ) ( 1/2 2 ) R2 = v (x, y) (x, y, 0)t P = (a, b) (a, b, 1)t (n + 1) × (n + 1) M = ( A 0 O 1 ) M X = X X = M 1 X M = 1 ( A 1 0 A O 1 1 ) Apunts d'Espai Afí 2D i 3D: Vectors, Bases i Productes 16 PROCÉS Passos per al canvi de referència homogeni 1 Formació de matriu M Construir M amb la base A en columnes i l'origen O'.

2 Càlcul de la inversa M ¹ Obtenir blocs amb A ¹ i la translació -A ¹O'. 3 Homogeneïtza ció de dades Afegir 0 als vectors o 1 als punts. 4 Multiplicació directa Calcular X' = M ¹ · X per obtenir les coordenades noves. EXEMPLE COMPLET AMB MATRIU HOMOGÈNIA Reprenent l'origen i la matriu , construïm la matriu : Primer calculem el terme de translació de la inversa: Així, la matriu inversa homogènia resulta: Ara podem transformar tots els elements amb un únic producte matricial: Punts: Vectors: Com es pot observar, el zero final dels vectors fa que la columna de translació quedi anul·lada en el producte, preservant exactament el comportament teòric del canvi de base vectorial.

Element Coordenada afegida Fórmula matricial estàndard Formulació homogènia Vector 0 (ignora ) Punt 1 (aplica translació) O = ( 2 1 ) A = ( 2 0 1 2 ) M M = 2 0 0 1 2 0 2 1 1 A O = 1 = ( 1/2 0 1/4 1/2 ) ( 2 1 ) = ( 3/4 1/2 ) ( 3/4 1/2 ) M = 1 1/2 0 0 1/4 1/2 0 3/4 1/2 1 P = M = 1 2 5 1 , Q = 1 2 1 M = 1 5 5 1 1/2 2 1 = w M = 1 1 1 0 , = 1/4 1/2 0 e M = 1 1 2 0 1 1 0 X = A X 1 X = M X 1 O X = P A (X 1 P O ) X = M X 1 Apunts d'Espai Afí 2D i 3D: Vectors, Bases i Productes 17 COMPROVA-HO 21 Quin efecte té multiplicar la matriu M^(-1) per un vector homogeni acabat en 0 respecte a la translació?

IDEES CLAU La matriu de canvi de base s'obté disposant en columnes els vectors de la nova base expressats en el sistema vell. Per a vectors, la relació de transformació és i, de forma inversa, . En la transformació de punts, és necessari compensar el desplaçament de l'origen mitjançant la fórmula . Les coordenades homogènies representen vectors amb un component final 0 i punts amb un component final 1. La matriu afí ampliada permet expressar simultàniament rotacions, escalats i translacions en una sola operació matricial lineal. COMPROVA EL QUE HAS APRÈS 22. Com es col·loquen les coordenades dels vectors de la base nova per formar la matriu de canvi de base A? 23.

Per què s'afegeix un 0 als vectors i un 1 als punts en coordenades homogènies? 24. Quina és l'expressió per blocs de la matriu inversa homogènia ? Test Encercla la resposta correcta. Les solucions són al final. 25. Quina és la condició perquè dos vectors formin una base al pla afí? 26. Què compon un sistema de referència afí? 27. Com es calculen les components del vector format per dos punts A i B? 28. Quina fórmula dóna el baricentre G d'un triangle de vèrtexs A, B i C?

A X = A X X = A 1 X X = P A 1 (X P O ) M M 1 Que siguin ortogonals a) Que parteixin del mateix origen b) Que tinguin direccions diferents c) Que tinguin la mateixa longitud d) Només dos eixos perpendiculars a) Un conjunt de punts coplanaris b) Un punt d'origen i una base c) Una matriu quadrada invertible d) Restant B menys A a) Dividint les coordenades de B entre A b) Sumant les coordenades de A i B c) Multiplicant les coordenades de A i B d) G = (A + B + C) / 2 a) G = (A + B + C) / 3 b) G = A + B - C c) G = (A + B) / 3 + C d) Apunts d'Espai Afí 2D i 3D: Vectors, Bases i Productes 18 29. Com es construeix la matriu de canvi de base A a partir de la base nova? 30.

Quina és la relació que dóna les coordenades noves X' d'un vector? 31. Què s'afegeix com a darrera coordenada d'un punt en coordenades homogènies? 32. Quin bloc apareix a la part superior dreta de la matriu inversa homogènia M ¹? 4 Mètrica al pla — Producte escalar, norma i orientació 2D EN ACABAR SABRÀS Distingir entre angle orientat i no orientat al pla i aplicar les seves propietats. Calcular la norma i el producte escalar en bases ortonormals i en bases arbitràries. Determinar el vector perpendicular compatible en funció de l'orientació del sistema. Calcular l'àrea d'un paral·lelogram mitjançant el determinant i el vector ortogonal.

PENSA-HI ABANS DE LLEGIR 33 Per què el determinant de dos vectors en el pla ens dóna directament la superfície de la figura que tanquen? La geometria mètrica al pla afegeix eines per mesurar distàncies, calcular amplituds angulars i establir el sentit de gir de les figures geomètriques.

Col·locant els vectors nous com a files a) Col·locant els vectors nous com a columnes b) Multiplicant els vectors pel nou origen c) Calculant el producte escalar entre bases d) X' = A · (X + O') a) X' = A · X b) X' = A ¹ · X c) X' = A ¹ · (X - O') d) El valor del determinant a) Un 0 b) El mòdul del vector c) Un 1 d) -O' a) A ¹ b) -A ¹ · O' c) O' d) Apunts d'Espai Afí 2D i 3D: Vectors, Bases i Productes 19 ESQUEMA Mètrica al pla bidimensional Angles no orientats i angles orientats Quan dos vectors comparteixen el punt d'origen, delimiten una obertura que podem quantificar mitjançant un arc sobre una circumferència centrada en aquest vèrtex.

DEFINICIÓ L'angle no orientat entre dos vectors i , denotat per , és la longitud de l'arc en radiants comprès entre ells sobre una circumferència de radi 1 centrada en el seu origen comú. L'angle no orientat sempre pertany a l'interval [0, ]. Aquest valor escalar gaudeix de propietats fonamentals relatives a la direcció i el sentit dels vectors: . Si i comparteixen la mateixa direcció i sentit, . Si tenen la mateixa direcció però sentits oposats, . Si , els vectors són ortogonals o perpendiculars ( ). Per a un escalar no nul , si , mentre que si . Per distingir quin vector precedeix l'altre segons el sentit de gir antihorari, introduïm la noció orientada.

DEFINICIÓ L'angle orientat entre dos vectors del pla, escrit , és igual a si queda situat cap a l'esquerra mirant segons la direcció i sentit de , i val en cas contrari. En l'angle orientat l'ordre és determinant: , i el seu mòdul coincideix amb l'angle geomètric absolut: .

Angles al pla Angles no orientats [0, π] i orientats Norma i bases Mòdul d'un vector i ortonormalitat Producte escalar Definició geomètrica i expressió analítica Orientació i àrea Vector v_perp i determinant com a àrea v w ( , ) v w π ( , ) = 0 v 0 v w ( , ) = v w 0 ( , ) = v w π ( , ) = v w 2 π v w λ ( , λ ) = v w ( , ) v w λ > 0 ( , λ ) = v w π ( , ) v w λ < 0 ( , ) v w ( , ) v w w v ( , ) v w ( , ) = v w ( , ) w v ( , ) = v w ( , ) v w Apunts d'Espai Afí 2D i 3D: Vectors, Bases i Productes 20 COMPROVA-HO 34 Si l'angle orientat entre dos vectors val -(3 /4), quant val el seu angle no orientat?

Norma d'un vector i bases ortonormals La norma d'un vector , representada per , expressa geomètricament la seva longitud en relació amb les unitats de mesura escollides. DEFINICIÓ Una base ortonormal d'un sistema de referència afí és una base formada per vectors unitaris ( ) i mútuament perpendiculars dos a dos ( per a ). Quan disposem les components d'un vector respecte d'una base ortonormal, la longitud es dedueix directament mitjançant el teorema de Pitàgores: Esquema del càlcul de la norma pitagòrica en base ortonormal. ERROR FREQÜENT Aplicar l'expressió o el sumatori sobre bases que no siguin ortonormals condueix a càlculs completament erronis.

Si la base no té vectors de longitud 1 o no formen un angle de 90 graus, cal desenvolupar el producte escalar aplicant la definició intrínseca sobre la combinació lineal dels vectors de la base. COMPROVA-HO 35 Per què no podem calcular la norma de (1, 1) com = en qualsevol base? Producte escalar: definició intrínseca i propietats El producte escalar vincula la longitud dels segments dirigits amb l'obertura que formen en l'espai.

π v v = ei 1 ei ej i = j = v (al pla), = v + v 1 2 2 2 v (a l'espai) v + v + v 1 2 2 2 3 2 v + v 1 2 2 2 v w + 1 1 v w 2 2 1 + 1 2 2 2 Apunts d'Espai Afí 2D i 3D: Vectors, Bases i Productes 21 DEFINICIÓ Donats dos vectors i , el seu producte escalar es defineix com: El signe del producte escalar descriu clarament el caràcter geomètric de l'obertura entre els vectors: Signe de Amplitud de l'angle ( , ) Classificació Positiu (> 0) Angle agut Nul (= 0) (amb vectors no nuls) Vectors perpendiculars ( ) Negatiu (< 0) Angle obtús El producte escalar verifica propietats algebraiques estructurals essencials: Commutativitat (simetria): . Bilinealitat: i .

Autoproducte i norma: , la qual cosa implica que . El vector escalat té norma 1. Element neutre del contacte: . Criteri d'ortogonalitat: (per a vectors no nuls). Desigualtat de Cauchy-Schwarz: . Desigualtat triangular: .

Com a conseqüència directa de la bilinealitat, si les coordenades provenen d'una base ortonormal, els productes creuats s'anul·len i obtenim l'expressió analítica canònica: v w v w v = w v w cos( ( , )) v w v w v w 0 ( , ) < v w 2 π ( , ) = v w 2 π v w < 2 π ( , ) v w π v = w w v ( + v ) u = w v + w u w (λ ) v = w λ( v ) w v = v v 2 λ = v λ v v 1 v v = 0 0 v = w 0 v w v w v w + v w + v w v = w v w + 1 1 v w (en 2D), 2 2 v = w v w + 1 1 v w + 2 2 v w (en 3D) 3 3 Apunts d'Espai Afí 2D i 3D: Vectors, Bases i Productes 22 EXEMPLE Considerem una base no ortonormal amb dades mètriques , i .

Trobem la norma del vector : COMPROVA-HO 36 Quina relació han de complir dos vectors perquè el seu producte escalar coincideixi exactament amb el producte de les seves normes? Orientació al pla i el vector perpendicular compatible En el pla bidimensional, la disposició relativa dels eixos permet classificar els sistemes de coordenades segons el gir. DEFINICIÓ Una base plana és una base orientada positivament si l'angle orientat (gir en sentit antihorari). És una base orientada negativament si . El signe del sistema de referència es denota per . { , } u1 u2 = u1 2 = u2 1/2 ( , ) = u1 u2 π/3 = v (3, 2) Escrivim el vector en forma de combinació lineal: .

1 = v 3 u1 2 u2 Plantegem el quadrat de la norma desenvolupant el producte escalar: 2 = v 2 (3 u1 2 ) u2 (3 u1 2 ) = u2 9( u1 ) u1 12( u1 ) + u2 4( u2 ) u2 Calculem els productes escalars individuals mitjançant les definicions de norma i angle: 3 u1 = u1 = u1 2 2 = 2 4 u2 = u2 = u2 2 (1/2) = 2 1/4 u1 = u2 u1 u2 cos(π/3) = 2 2 1 = 2 1 2 1 Substituïm els valors escalars numèrics i extreiem l'arrel: 4 = v 2 9(4) 12 + ( 2 1 ) 4 = ( 4 1 ) 36 6 + 1 = 31 = v 31 { , } e1 e2 ( , ) > e1 e2 0 ( , ) < e1 e2 0 sgn(SR) = ±1 Apunts d'Espai Afí 2D i 3D: Vectors, Bases i Productes 23 Diagrama de bases orientades positiva o negativament i els vectors perpendiculars.

A partir d'aquesta orientació, podem construir de manera unívoca una rotació ortogonal associada a cada vector: DEFINICIÓ Donat un vector , el vector perpendicular compatible compleix simultàniament: 1. (ortogonalitat). 2. (mateixa longitud). 3. L'angle orientat té el mateix signe que el sistema de referència. En qualsevol base ortonormal (positiva o negativa), si , la seva expressió analítica és sempre . El signe del producte escalar amb permet determinar analíticament a quin costat de es troba un altre vector : En un sistema positiu: queda a l'esquerra de és agut . En un sistema negatiu: queda a l'esquerra de és obtús .

COMPROVA-HO 37 Quin és el vector perpendicular compatible de v = (4, -3) en una base ortonormal estàndard orientada positivament? Càlcul de l'àrea del paral·lelogram al pla Dos vectors lliures no col·lineals delimiten un paral·lelogram en el pla. L'àrea geomètrica d'aquesta figura és el producte de la longitud de la base per l'alçada corresponent: v v v v = v v ( , ) v v = v (v , v ) 1 2 = v ( v , v ) 2 1 v v w w v ( , ) w v w > v 0 w v ( , ) w v w < v 0 rea = A ˋ v sin(α) w Apunts d'Espai Afí 2D i 3D: Vectors, Bases i Productes 24 Construcció de l'àrea del paral·lelogram mitjançant el determinant planar. Com es visualitza a la construcció geomètrica, l'angle complementari satisfà , on .

Com que , deduïm la cadena d'igualtats: Si avaluem aquesta expressió en coordenades d'una base ortonormal positiva mitjançant i : Així, l'àrea del paral·lelogram format per dos vectors és el valor absolut del determinant que formen les seves columnes. IDEES CLAU L'angle no orientat pren sempre valors dins l'interval tancat [0, ], mentre que l'angle orientat depèn de l'ordre i compleix . Una base és ortonormal si els seus vectors tenen norma 1 i són ortogonals entre si dos a dos. El producte escalar s'expressa de forma intrínseca com i s'anul·la exactament quan els vectors són perpendiculars. L'expressió en components només és vàlida si les coordenades estan expressades en una base ortonormal.

En una base ortonormal positiva, el vector perpendicular compatible té components . L'àrea del paral·lelogram determinat per i és exactament . COMPROVA EL QUE HAS APRÈS 38. Com es calcula la norma d'un vector si les coordenades estan en una base amb vectors de mòdul diferent d'1 o no perpendiculars? 39. Quina és la relació geomètrica entre el vector perpendicular compatible i el determinant de dos vectors al pla?

sin(α) = cos(β) β = ( , ) v w = v v rea = A ˋ v cos(β) = w w v = v (v , v ) 1 2 = w (w , w ) 1 2 w = v w ( v ) + 1 2 w (v ) = 2 1 v w 1 2 v w = 2 1 det( , ) v w π ( , ) = v w ( , ) w v v = w cos( ( , )) v w v w v w + 1 1 v w 2 2 = v ( v , v ) 2 1 v w det( , ) = v w w v v Apunts d'Espai Afí 2D i 3D: Vectors, Bases i Productes 25 Test Encercla la resposta correcta. Les solucions són al final. 40. Quin rang de valors pot prendre l'angle no orientat entre dos vectors lliures? 41. En quina condició el producte escalar es calcula amb v w + v w ? 42. Com s'obté el vector perpendicular compatible v_perp de v = (v , v ) en una base ortonormal positiva? 43.

Com es relaciona el determinant de dos vectors 2D amb el paral·lelogram que formen? 5 Mètrica a l'espai — Producte vectorial i volums en 3D EN ACABAR SABRÀS Determinar l'orientació d'una base espacial observant des de l'extrem del tercer vector Calcular les coordenades del producte vectorial en sistemes ortonormals mitjançant determinants Calcular àrees de paral·lelograms i volums de paral·lelepípedes a l'espai tridimensional Interpretar geomètricament el signe del determinant de tres vectors respecte al sistema de referència PENSA-HI ABANS DE LLEGIR 44 Quants vectors de l'espai són simultàniament perpendiculars a dos vectors fixos que no són paral·lels?

Qualsevol valor real entre 0 i 2π a) Entre -π i π radiants b) Exclusivament entre 0 i π/2 radiants c) Sempre entre 0 i π radiants d) Només en bases que siguin ortonormals a) Només si la base està orientada negativament b) Sempre que els vectors siguin ortogonals c) En qualsevol base d'un sistema afí d) v_perp = (v , v ) a) v_perp = (-v , v ) b) v_perp = (v , -v ) c) v_perp = (-v , -v ) d) El seu quadrat representa el perímetre a) El determinant dóna la meitat de l'àrea b) El seu valor absolut n'és l'àrea c) Coincideix exactament amb la norma de la suma d) Apunts d'Espai Afí 2D i 3D: Vectors, Bases i Productes 26 Orientació de bases a l'espai tridimensional A l'espai tridimensional, l'ordre dels vectors d'una base determina com s'interpreta el gir i el sentit dels eixos.

Prenem tres vectors no coplanaris que formen una base afí (vegeu «Sistemes de referència — Bases i coordenades de punts i vectors»). Per establir el seu caràcter, ens situem mentalment observant des de l'extrem del tercer vector, , mirant cap a l'origen. DEFINICIÓ Diem que una base està orientada positivament si, observant el pla de la base des de l'extrem de , el pas de a es produeix en sentit antihorari (orientació positiva al pla; vegeu «Mètrica al pla — Producte escalar, norma i orientació 2D»). En cas contrari, la base està orientada negativament. Un sistema de referència espacial tindrà una orientació positiva o negativa segons quina sigui l'orientació que presenti la seva base.

COMPROVA-HO 45 Com distingim si una terna de vectors a l'espai forma un sistema directe (positiu) o invers (negatiu)? Cerca analítica d'un vector perpendicular a dos vectors donats Considerem dos vectors no nuls i no col·lineals (no proporcionals) i expressats en un sistema ortonormal. Ens proposem trobar les components d'un vector no nul que sigui simultàniament ortogonal a tots dos. Com sabem (vegeu «Mètrica al pla — Producte escalar, norma i orientació 2D»), dos vectors són perpendiculars si i només si el seu producte escalar és igual a zero: Aquest sistema homogeni té 2 equacions i 3 incògnites. Com que i no són proporcionals, la matriu de coeficients té rang 2.

Es tracta d'un sistema compatible indeterminat amb un grau de llibertat, fet que descriu tota una recta de vectors perpendiculars al pla sustentat per i . Assumim sense pèrdua de generalitat que el menor format per les dues primeres columnes és distint de zero: .

Aïllem les variables i deixant com a paràmetre lliure: En resoldre aquest sistema mitjançant la matriu inversa, obtenim la dependència de les incògnites respecte de : , , e1 e2 e3 e3 { , , } e1 e2 e3 e3 e1 e2 SR = (O; , , ) e1 e2 e3 = u (u , u , u ) 1 2 3 = v (v , v , v ) 1 2 3 = w (x, y, z) { = u x + u y + u z = 0 u w 1 2 3 = v x + v y + v z = 0 v w 1 2 3 u v u v u v 1 2 u v = 2 1 0 x y z = ( u 1 v 1 u 2 v 2 ) ( x y ) ( u z 3 v z 3 ) z x = , y = u v u v 1 2 2 1 z(u v u v ) 2 3 3 2 u v u v 1 2 2 1 z(u v u v ) 1 3 3 1 Apunts d'Espai Afí 2D i 3D: Vectors, Bases i Productes 27 Com que qualsevol elecció no nul·la de produeix una solució vàlida sobre aquesta recta ortogonal, podem triar convenientment el valor enter del denominador: z = u_1 v_2 - u_2 v_1.

Aquesta tria elimina fraccions i defineix de manera unívoca el vector canònic que anomenem producte vectorial. COMPROVA-HO 46 Quina és la dimensió geomètrica del conjunt de solucions del sistema d'ortogonalitat format per dos vectors no proporcionals a l'espai? El producte vectorial en sistemes ortonormals A partir de la solució particular que acabem de deduir, fixem la definició formal del producte vectorial.

DEFINICIÓ En un sistema de referència ortonormal , el producte vectorial de dos vectors i és l'operació que assigna un nou vector donat per: Aquesta expressió algebraica coincideix amb el desenvolupament per la primera fila del determinant formal que conté els vectors de la base: on representen els vectors unitaris de la base ortonormal canònica. ERROR FREQÜENT Un error greu és tractar el producte vectorial com si fos commutatiu. El producte vectorial és anticonmutatiu: en intercanviar els factors s'inverteix el sentit del vector resultant: . A més, recordar que el producte vectorial només produeix aquestes coordenades si treballem en una base estrictament ortonormal.

Propietat geomètrica / algebraica Expressió matemàtica Significat Anticonmutativitat El canvi d'ordre dels factors inverteix el sentit resultant. Anul·lació en paral·lelisme Vectors col·lineals o linealment dependents donen el vector nul. Ortogonalitat doble i El resultat és simultàniament perpendicular als dos vectors.

z (O; , , ) e1 e2 e3 = u (u , u , u ) 1 2 3 = v (v , v , v ) 1 2 3 × u = v (u v 2 3 u v , (u v 3 2 1 3 u v ), u v 3 1 1 2 u v ) 2 1 × u = v = i u 1 v 1 j u 2 v 2 k u 3 v 3 u 2 v 2 u 3 v 3 i + u 1 v 1 u 3 v 3 j u 1 v 1 u 2 v 2 k , , i j k × u = v ( × v ) u × u = v ( × v ) u × u = u 0 ( × u ) v u ( × u ) v v Apunts d'Espai Afí 2D i 3D: Vectors, Bases i Productes 28 Propietat geomètrica / algebraica Expressió matemàtica Significat Mòdul i àrea La norma mesura l'àrea del paral·lelogram que sustenten. Regla de la mà dreta Direcció compatible Si el sistema és positiu, el sentit segueix la mà dreta.

ESQUEMA Propietats del producte vectorial COMPROVA-HO 47 Què val el mòdul del producte vectorial si dos vectors són col·lineals? Producte mixt i volum del paral·lelepípede Quan disposem de tres vectors a l'espai respecte d'un sistema de referència, podem calcular el determinant de la matriu que té les seves coordenades per columnes, denotat com . Geomètricament, tres vectors no coplanaris defineixen les arestes d'un paral·lelepípede a l'espai tridimensional. El volum d'aquest cos s'obté multiplicant l'àrea de la base per l'altura perpendicular: Aquesta expressió relaciona el producte vectorial i el producte escalar, ja que equival al valor absolut del producte mixt .

A més del valor numèric del volum, el signe d'aquest determinant ofereix una informació geomètrica directa sobre l'orientació relativa dels tres vectors respecte de la base de referència: Si , la terna de vectors té la mateixa orientació que el sistema de referència de l'espai. Si , la terna presenta una orientació contrària a la del sistema de referència. Si , el volum és nul i els tres vectors són coplanaris (linealment dependents).

× u = v u sin( ( , )) v u v Mètrica i mòdul Norma igual a l'àrea del paral·lelogram Àrea nul·la Vectors dependents donen vector nul Direcció ortogonal Perpendicular als dos vectors inicials Sentit espacial Fixat per la mà dreta Anticonmutatiu u x v = -(v x u) , , u v w det( , , ) u v w Volum = × u v h = det( , , ) u v w ( × u ) v w det( , , ) > u v w 0 det( , , ) < u v w 0 det( , , ) = u v w 0 Apunts d'Espai Afí 2D i 3D: Vectors, Bases i Productes 29 COMPROVA-HO 48 Quin significat geomètric té el fet que el determinant de tres vectors sigui negatiu? IDEES CLAU L'orientació d'una base 3D és positiva si, mirant des de l'extrem de cap a l'origen, el gir de a és antihorari.

El producte vectorial sorgeix com la solució entera al sistema lineal homogeni d'ortogonalitat respecte a dos vectors no paral·lels. En una base ortonormal, es calcula mitjançant el determinant simbòlic format per la base canònica i les files dels dos vectors. El producte vectorial és estrictament anticonmutatiu: . La norma equival a l'àrea del paral·lelogram determinat per i . El volum del paral·lelepípede sustentat per tres vectors correspon al valor absolut del seu determinant: . COMPROVA EL QUE HAS APRÈS 49. Com es dedueix la fórmula de les coordenades del producte vectorial a partir de dos vectors donats? 50.

Què passa amb el signe del determinant de tres vectors si n'intercanviem dos de posició? Test Encercla la resposta correcta. Les solucions són al final. 51. Quina propietat descriu correctament l'operació u x v? 52. Què representa geomètricament la norma del producte vectorial ""u x v""? 53. Com es calcula el volum del paral·lelepípede format per u, v i w?

e3 e1 e2 × u v × u = v ( × v ) u × u v u v det( , , ) u v w Només s'anul·la si u és nul a) És una operació anticonmutativa b) Produeix sempre un valor escalar c) És una operació commutativa d) El perímetre del triangle format a) El volum d'un paral·lelepípede b) La distància mínima entre rectes c) L'àrea del paral·lelogram suportat d) Sumant els productes escalars a) Fent la norma de la seva suma b) Multiplicant les seves tres normes c) Mitjançant el valor absolut del determinant d) Apunts d'Espai Afí 2D i 3D: Vectors, Bases i Productes 30 54. Si el determinant det(u, v, w) és positiu, quina conclusió s'obté?

6 Formulari Operacions afins i geometria analítica Fórmula o procediment Significat dels símbols Quan s'utilitza : punts; : vector lliure Translació d'un punt per un vector : punts inicial i final Càlcul de les coordenades del vector que uneix dos punts : extrems del segment Punt mig d'un segment : vèrtexs del triangle Baricentre d'un triangle : factor de proporcionalitat Comprovació de paral·lelisme o mateixa direcció Canvis de sistema de referència i coordenades homogènies Fórmula o procediment Significat dels símbols Quan s'utilitza : columnes de la base nova en la vella; : coordenades velles; : noves Canvi de coordenades per a vectors lliures : coordenades del nou origen en el sistema vell; : punt vell; : punt nou Canvi de sistema de referència per a punts Vector: Punt: ; Unificació matricial afí del canvi de coordenades Mètrica 2D: Producte escalar, norma i àrea Fórmula o procediment Significat dels símbols Quan s'utilitza : longitud; : angle no orientat Càlcul intrínsec del producte escalar Tenen la mateixa orientació que el referencial a) Tenen orientació oposada al referencial b) Els tres vectors són coplanaris c) Formen necessàriament una base ortonormal d) Q = P + v P , Q v = AB B A = (b 1 a , b 1 2 a ) 2 A, B M = (A + 2 1 B) A, B G = (A + 3 1 B + C) A, B, C u v = u αv α = 0 X = A 1 X A = ( ) v1 v2 X X X = P A 1 (X P O ) O X P X P v (x, y, 0)t P (a, b, 1)t X = M X 1 M = ( A 0 O 1 ) M = 1 ( A 1 0 A O 1 1 ) v = w cos( ( , )) v w v w v [0, π] Apunts d'Espai Afí 2D i 3D: Vectors, Bases i Productes 31 Fórmula o procediment Significat dels símbols Quan s'utilitza (2D) / (3D) : coordenades en base ortonormal Producte escalar analític en base ortonormal : coordenades en base ortonormal Longitud o norma d'un vector en 2D : vector perpendicular compatible; Gir de 90° compatible amb el sistema en base ortonormal Àrea del paral·lelogram format per dos vectors al pla Mètrica 3D: Producte vectorial i volums Fórmula o procediment Significat dels símbols Quan s'utilitza : vectors en base ortonormal; resultat ortogonal a ambdós Càlcul del producte vectorial a l'espai : norma del producte vectorial Àrea del paral·lelogram determinat per dos vectors a l'espai : determinant de coordenades en columnes Volum del paral·lelepípede sustentat per tres vectors Determinant estrictament positiu Determinar si la terna comparteix l'orientació del sistema espacial Errors típics Sumar dos punts directament: l'operació no existeix en l'espai afí; només es resten punts ( ) o es suma un vector a un punt ( ).

Disposar els vectors base per files: a la matriu de canvi de base s'han de col·locar sempre en columnes. Oblidar restar l'origen en el canvi de punt: als punts cal aplicar ; la translació només queda anul·lada en vectors lliures. Usar fórmules mètriques canòniques en bases no ortonormals: aplicar o exigeix que la base sigui estrictament ortonormal. Oblidar l'anticonmutativitat del producte vectorial: ; alterar l'ordre inverteix el sentit del vector resultant.

v = w v w + 1 1 v w 2 2 v w i i v , w i i = v v + v 1 2 2 2 v , v 1 2 = v ( v , v ) 2 1 v = v v rea = A ˋ det( , ) = v w w v det( , ) = v w v w 1 2 v w 2 1 × u = v i u 1 v 1 j u 2 v 2 k u 3 v 3 , u v rea = A ˋ × u = v sin( ( , )) u v u v × u v Volum = det( , , ) u v w det( , , ) u v w sgn(det( , , )) > u v w 0 P + Q Q P = P Q P + = v Q A A (X 1 P O ) v + v 1 2 2 2 v w + 1 1 v w 2 2 × u = v ( × v ) u Apunts d'Espai Afí 2D i 3D: Vectors, Bases i Productes 32 Solucions de les preguntes de repàs 1. No, sumar dues posicions no té sentit geomètric; el que fem és aplicar a una posició un desplaçament determinat (un vector) per arribar a una altra. 2. Sí.

La direcció és la recta suport comuna; el sentit és el tret que distingeix cap a quin dels dos extrems apunten. 3. Conserva la mateixa direcció, triplica la seva longitud i inverteix el sentit original. 4. Aplicant reiteradament la propietat , el resultat és directament el vector . 5. Els punts representen posicions fixes i no magnituds de desplaçament; només és possible sumar un vector a un punt per traslladar-lo a una nova posició. 6. Han de ser proporcionals, és a dir, ha d'existir un escalar real tal que . 7. c) Direcció, sentit i longitud. Un vector lliure no té origen fix i queda caracteritzat per la seva direcció, el sentit i la longitud. 8. b) Un punt Q tal que PQ = v.

Sumar un vector a un punt trasllada la posició fins a un nou punt Q complint PQ = v. 9. c) Manté direcció i inverteix sentit. Un escalar negatiu preserva la recta de direcció, inverteix el sentit i escala la seva longitud per "α". 10. a) Com la suma de u amb -v. La diferència entre dos vectors es defineix com la suma del primer amb l'oposat del segon. 11. Perquè els vectors lliures només expressen desplaçament relatiu o direcció, mentre que els punts són posicions absolutes que necessiten un origen fix respecte al qual mesurar-se. 12. La base està formada exclusivament per vectors lliures que defineixen direccions i escales.

El sistema de referència afí incorpora, a més, un punt d'origen fix que permet situar punts concrets a l'espai. 13. Les coordenades del vector lliure no canvien perquè depenen únicament de la base. Les coordenades del punt sí que canvien perquè depenen directament del vector respecte al nou origen. 14. Apliquem la suma de punt més vector: , obtenint exactament el punt de destí . 15. Perquè en un espai de dues dimensions, dos vectors no alineats ja generen tot l'espai; un tercer vector serà sempre linealment dependent o coplanari amb els anteriors. 16.

Coincideixen exactament amb les coordenades del vector que enllaça l'origen amb el punt, és a dir, les components de expressades en la base de referència. 17. Les seves coordenades respecte de la mateixa base han de ser proporcionals, la qual cosa equival a existir un escalar tal que . 18. Perquè els vectors són lliures i independents de la posició, mentre que els punts estan referenciats a l'origen i requereixen compensar el desplaçament d'aquest. 19. Perquè les seves columnes són els vectors d'una base, els quals són per definició linealment independents (no proporcionals en 2D, no coplanaris en 3D), fent que el determinant de la matriu mai no sigui zero. 20.

En el vector només intervé la matriu de canvi de base A perquè els vectors són invariables per translació; en el punt cal restar primer les coordenades del nou origen O' abans de multiplicar per A^(-1). + AB = BC AC M Q α = 0 = v αw O OX Q = A + = AB A + (B A) = B B OX α = 0 = v αw Apunts d'Espai Afí 2D i 3D: Vectors, Bases i Productes 33 21. El zero final multiplica directament la columna de desplaçament (-A^(-1)O'), de manera que la translació s'anul·la completament i només actua la part lineal A^(-1). 22. Es disposen sempre en columnes; cada columna correspon a les coordenades d'un vector de la nova base expressat en el sistema vell. 23.

El 0 dels vectors anul·la la columna del desplaçament d'origen (ja que són invariants per translació), mentre que l'1 dels punts activa la translació corresponent a la nova posició d' . 24. Està formada pel bloc a dalt a l'esquerra, el vector columna a dalt a la dreta, una fila de zeros a baix a l'esquerra i un 1 a baix a la dreta. 25. c) Que tinguin direccions diferents. Al pla calen dos vectors no nuls amb direccions diferents, és a dir, no proporcionals. 26. c) Un punt d'origen i una base. Un marc de referència afí requereix fixar un punt d'origen O juntament amb una base de vectors. 27. a) Restant B menys A.

El vector que uneix dos punts s'obté restant les coordenades del punt origen a les de l'extrem: B - A. 28. b) G = (A + B + C) / 3. El baricentre correspon a la mitjana aritmètica de les coordenades dels tres vèrtexs: (A + B + C) / 3. 29. b) Col·locant els vectors nous com a columnes. Les coordenades de cada vector nou en el sistema vell formen una columna d'A. 30. c) X' = A ¹ · X. Els vectors no depenen de l'origen, per la qual cosa només es multipliquen per A ¹. 31. d) Un 1. Els punts porten un 1 afegit al final per activar la translació de l'origen. 32. c) -A ¹ · O'. El bloc de translació de la matriu inversa M ¹ és exactament -A ¹ · O'. 33.

Perquè expressa el producte escalar entre un dels vectors i el perpendicular de l'altre, que combina la mesura de la base amb l'altura del paral·lelogram. 34. Val 3 /4 radiants, ja que l'angle no orientat és el valor absolut de l'orientat i sempre es troba a l'interval [0, ]. 35. Perquè aquesta relació pitagòrica assumeix eixos ortogonals i vectors unitaris; si els vectors base tenen una altra mida o angle, cal tenir en compte els seus productes creuats. 36. Han de tenir la mateixa direcció i sentit, de manera que l'angle entre ells sigui 0 i el cosinus valgui 1. 37. És v^ = (3, 4), canviant de signe la segona component i intercanviant les posicions segons la regla (-v2, v1). 38.

S'expressa el vector com a combinació lineal dels vectors base i es desenvolupa l'autoproducte escalar fent servir la propietat distributiva, les normes dels vectors de la base i el cosinus de l'angle que formen entre ells. 39. El producte escalar coincideix numèricament amb el determinant format per les columnes de i , i el seu valor absolut representa l'àrea del paral·lelogram delimitat per ambdós. 40. d) Sempre entre 0 i π radiants. L'angle no orientat mesura la distància d'arc més curta sobre la circumferència unitat i es manté sempre a l'interval [0, π]. 41. a) Només en bases que siguin ortonormals.

La simplificació analítica v w + v w exigeix que els vectors base tinguin norma 1 i siguin ortogonals entre si. 42. b) v_perp = (-v , v ). En un sistema ortonormal positiu, la rotació antihorària de 90 graus transforma (v , v ) en (-v , v ). O A 1 A O 1 π π v v w v v w Apunts d'Espai Afí 2D i 3D: Vectors, Bases i Productes 34 43. c) El seu valor absolut n'és l'àrea. L'àrea del paral·lelogram determinat per dos vectors al pla és igual al valor absolut del seu determinant. 44. N'hi ha infinits: formen una recta sencera perpendicular al pla de tots dos. El producte vectorial en selecciona un de concret amb mòdul igual a l'àrea del paral·lelogram. 45.

Ens col·loquem a l'extrem de l'últim vector mirant cap a l'origen: si el gir del primer vector cap al segon es veu en sentit antihorari, el sistema està orientat positivament. 46. Té dimensió 1 (un grau de llibertat), la qual cosa significa que les solucions formen una recta vectorial perpendicular al pla definit per ambdós vectors. 47. Val zero ( ), ja que l'angle entre ells és de 0 o π radians ( ) i no tanquen cap paral·lelogram. 48. Indica que el volum del paral·lelepípede és el seu valor absolut i que la terna de vectors té orientació oposada a la del sistema de referència emprat. 49.

Plantejant el sistema homogeni de condicions d'ortogonalitat i , aïllant les incògnites en funció de i fixant per obtenir un vector concret. 50. El signe del determinant canvia de valor positiu a negatiu (o viceversa), reflectint el canvi en l'orientació de la terna a l'espai. 51. b) És una operació anticonmutativa. El producte vectorial inverteix el seu signe quan s'intercanvien els factors: u x v = -(v x u). 52. d) L'àrea del paral·lelogram suportat. La magnitud ""u x v"" coincideix exactament amb l'àrea de la figura plana que formen tots dos vectors. 53. d) Mitjançant el valor absolut del determinant.

El volum d'aquest sòlid correspon al valor absolut del determinant que té les columnes de coordenades. 54. a) Tenen la mateixa orientació que el referencial. Un determinant positiu confirma que la terna comparteix la mateixa orientació geomètrica que el sistema de referència. × u = v 0 sin = 0 u = w 0 v = w 0 z z = u v 1 2 u v 2 1 Apunts d'Espai Afí 2D i 3D: Vectors, Bases i Productes 35