Problema 2 · Física II UB Juny 2022

a. Trobeu el vector densitat de corrent elèctric $\vec{\jmath}$ i el corrent total $I$ que travessa la secció recta del cilindre.

Solución: $\vec{\jmath} = \gamma\vec{E}$, $I = \gamma E \pi a^2$

b. Mitjançant el teorema d'Ampère, determineu el camp magnètic $\vec{B}$ tant a l'exterior ($r > a$) com a l'interior ($r < a$) del conductor cilíndric.

Solución: Per a $r > a$: $\vec{B} = \frac{\mu_0 \gamma E a^2}{2r} \hat{u}_\phi$; per a $r < a$: $\vec{B} = \frac{\mu_0 \gamma E r}{2} \hat{u}_\phi$

c. Representeu de forma esquemàtica la gràfica del mòdul $B(r)$ en funció de la distància radial a l'eix.

Solución: Gràfica de $B(r)$: creix linealment des de l'origen ($r=0, B=0$) fins a $r = a$, on assoleix el màxim $B_\text{max} = \frac{\mu_0 \gamma E a}{2}$. A partir de $r > a$, decau com $1/r$ tendint assimptòticament a zero.

d. En un cert instant, una càrrega puntual de valor $q$ es troba a una distància $2a$ de l'eix del cilindre desplaçant-se radialment cap a l'exterior amb una velocitat $v$. Determineu el mòdul, direcció i sentit de la força magnètica que experimenta dita càrrega.

Solución: $\vec{F} = q v \frac{\mu_0 \gamma E a}{4}\,\hat{u}_z$