Física I: Dinámica, Gravitación y Sólido Rígido

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APUNTES FÍSICA I Grado en Química Universidad de Barcelona AprenAI 2026-2027 Leyes de Newton, balances de trabajo y energía, dinámica de sistemas, leyes de Kepler, gravitación universal y teoremas de Steiner y König para Física I.

APREN.AI Índice 1 Fundamentos de la Dinámica y Conservación de la Cantidad de Movimiento El modelo de partícula y las Leyes de Newton Teorema del Momento Lineal y Principio de Conservación 2 Trabajo, Energía Mecánica y Fuerzas Conservativas Trabajo mecánico y Teorema de las Fuerzas Vivas Fuerzas conservativas y función potencial Teoremas de conservación y extensión a sistemas 3 Sistemas de Partículas, Centro de Masas y Momento Angular Centro de masas y dinámica global Momento cinético o angular 4 Campos de Fuerzas Centrales y Gravitación Universal Fuerzas centrales y cinemática areolar Leyes de Kepler Gravitación Universal y cónicas orbitales 5 Cinemática y Dinámica del Sólido Rígido: Teoremas de Steiner y König Movimiento plano del sólido rígido Momento de inercia y Teorema de Steiner 3.º Teorema de König: Energía cinética en movimiento general 6 Formulario Dinámica de la partícula y leyes de Newton Trabajo y balances de energía Sistemas de partículas y momento angular Campos centrales y gravitación Cinemática y dinámica del sólido rígido Errores típicos Soluciones de las preguntas de repaso Estos apuntes pueden contener errores u omisiones.

Son un material de apoyo y no sustituyen al temario oficial ni al profesorado: contrasta la información importante. Física I: Dinámica, Gravitación y Sólido Rígido 1 1 Fundamentos de la Dinámica y Conservación de la Cantidad de Movimiento AL ACABAR SABRÁS Definir el concepto físico de punto material y sus límites de validez Formular rigurosamente las tres leyes de Newton mediante magnitudes vectoriales Calcular la fuerza motriz para sistemas tanto de masa constante como variable PIÉNSALO ANTES DE LEER 1 ¿Por qué un cohete que expulsa gases puede acelerar en el vacío absoluto sin apoyarse en nada?

El modelo de partícula y las Leyes de Newton En el estudio de la física clásica, el concepto de partícula o punto material representa un objeto cuya extensión espacial resulta despreciable frente a las dimensiones globales del fenómeno. En consecuencia, un punto material experimenta únicamente desplazamientos de traslación, careciendo de sentido el análisis de rotaciones sobre sí mismo. La respuesta de una partícula ante las acciones de su entorno viene descrita por los tres principios formulados por Isaac Newton: Primera Ley (Principio de Inercia): un objeto preserva inalterado su vector cantidad de movimiento si no actúan fuerzas externas netas sobre él.

Segunda Ley (Ley Fundamental): la tasa de variación temporal del momento lineal es proporcional a la fuerza motriz aplicada: (para masa invariable). Tercera Ley (Acción y Reacción): si un cuerpo A ejerce una fuerza sobre un cuerpo B, B devuelve simultáneamente una fuerza de idéntico módulo y dirección pero en sentido opuesto: . DEFINICIÓN El momento lineal o cantidad de movimiento de una partícula expresa el producto de su masa por su vector velocidad: . COMPRUEBA 2 ¿Cómo se formula la fuerza neta si la masa del cuerpo cambia con el tiempo?

Teorema del Momento Lineal y Principio de Conservación La relación directa entre las fuerzas y la variación del movimiento se condensa en la derivada temporal del momento lineal: = F ma = FAB FBA = p mv = dt d p F Física I: Dinámica, Gravitación y Sólido Rígido 2 Cuando la masa se mantiene constante, esta derivada conduce inmediatamente a .

En el caso general en que la masa varíe a lo largo del tiempo, la derivada completa adopta la forma: De esta relación se desprende el teorema de conservación de la cantidad de movimiento: si la resultante neta de las fuerzas aplicadas es nula ( ), la cantidad de movimiento permanece estrictamente invariable: ERROR FRECUENTE Aplicar directamente en problemas donde la masa varía (por ejemplo, propulsión o pérdida de combustible). La formulación rigurosa exige partir de la variación del momento total incorporando el término dependiente de . ESQUEMA Leyes fundamentales de la dinámica newtoniana IDEAS CLAVE Una partícula solo posee grados de libertad de traslación, sin rotación interna.

La fuerza neta es la derivada temporal de la cantidad de movimiento: . Cuando la fuerza neta externa es cero, la cantidad de movimiento se conserva invariable. COMPRUEBA LO QUE HAS APRENDIDO 3. ¿Por qué un punto material no puede experimentar movimiento de rotación propia? 4. ¿Bajo qué condición matemática precisa se conserva la cantidad de movimiento? m = dt dv m = a F = dt d p m + dt dv = v dt dm F = F 0 = F 0 = p cte = F ma = dt d p F dt dm 1ª Ley: Inercia p constante si F nula 2ª Ley: Fuerza motriz Fuerza igual a dp/dt 3ª Ley: Acción- reacción Fuerzas iguales y opuestas = F dt d p p Física I: Dinámica, Gravitación y Sólido Rígido 3 Test Rodea la respuesta correcta.

Las soluciones están al final. 5. ¿Cuál es la expresión general de la fuerza cuando la masa varía en el tiempo? 6. En una partícula puntual, ¿qué tipo de movimiento carece de sentido físico? 7. Según el principio de acción y reacción, las fuerzas mutuas entre dos partículas: 8.

Si la fuerza total sobre un cuerpo es nula, se cumple que: 2 Trabajo, Energía Mecánica y Fuerzas Conservativas AL ACABAR SABRÁS Calcular el trabajo elemental y finito mediante integrales de línea Distinguir formalmente entre fuerzas conservativas y no conservativas Formular los teoremas de balance energético en partículas y sistemas de partículas PIÉNSALO ANTES DE LEER 9 ¿Por qué subir una montaña por un sendero serpenteante o por una pared vertical exige el mismo trabajo contra la gravedad?

Trabajo mecánico y Teorema de las Fuerzas Vivas El trabajo elemental realizado por una fuerza a lo largo de un vector desplazamiento infinitesimal se define mediante el producto escalar: Para un recorrido finito entre dos posiciones geométricas A y B, el trabajo total integrado resulta: F = d²p/dt² a) F = m(dv/dt) + v(dm/dt) b) F = m · a c) F = v(dm/dt) d) Traslación rectilínea a) Traslación curvilínea b) Rotación sobre sí misma c) Movimiento acelerado d) Tienen sentido idéntico a) Tienen módulos proporcionales a las masas b) Tienen igual módulo y sentido opuesto c) Se anulan en el mismo cuerpo d) Su aceleración aumenta a) Su masa disminuye b) Su velocidad cambia de dirección c) Su momento lineal es constante d) dr dW = F dr B Física I: Dinámica, Gravitación y Sólido Rígido 4 El signo del trabajo describe la interacción energética con el cuerpo: Si W > 0, la fuerza realiza un trabajo motor a favor del desplazamiento.

Si W < 0, se ejerce trabajo resistente en contra de la fuerza. El Teorema de las Fuerzas Vivas establece que el trabajo ejercido por la fuerza neta coincide con la variación de energía cinética experimentada por la partícula: COMPRUEBA 10 ¿Qué magnitud describe físicamente el área bajo la curva en una integral de línea del vector fuerza respecto al desplazamiento? Fuerzas conservativas y función potencial Una fuerza se califica como fuerza conservativa cuando el trabajo efectuado entre dos puntos es completamente independiente del camino o trayectoria recorrida.

En tal caso, se define una función potencial escalar o tal que el trabajo conservativo equivale a la pérdida de potencial: Tipo de fuerza Trabajo realizado Balance energético Todas las fuerzas (neta) Conservativas No conservativas Teoremas de conservación y extensión a sistemas Si sobre una partícula actúan exclusivamente fuerzas conservativas, la combinación de ambos balances conduce a la conservación energética: Cuando intervienen acciones disipativas o no conservativas, el teorema generalizado de la energía mecánica determina que: En un sistema de partículas, la variación de energía cinética total depende del trabajo conjunto de fuerzas externas e internas: .

Si las interacciones internas resultan ser conservativas, la variación de la energía propia queda gobernada por las acciones exteriores: W = AB A B F dr W = ΔE c V ( ) r E p (W ) = 12 cons V (1) V (2) = ΔE p W 12 W = 12 ΔE c (W ) 12 cons ΔE = p V (1) V (2) (W ) 12 ncons ΔE m W = ΔE = c ΔE p E + c1 E = p1 E + c2 E p2 ΔE = m 0 1 2 FN C d = r (W ) = 12 ncons ΔE m E = c m v k=1 N 2 1 k k 2 ΔE = c (W ) + 12 ext (W ) 12 int U = p E + c E p int Física I: Dinámica, Gravitación y Sólido Rígido 5 Para un sistema aislado, carente de interacción externa, se tiene estrictamente .

Por último, en el modelo de sólido rígido, las fuerzas internas no generan desplazamiento relativo, por lo que su trabajo neto se anula de forma idéntica: . ERROR FRECUENTE Equiparar el trabajo total de las fuerzas conservativas con positivo en lugar de . El trabajo conservativo es siempre la disminución de energía potencial: . PROCESO Distribución del trabajo en los balances energéticos 1 Fuerzas exteriores y totales Generan trabajo diferencial dW 2 Componente con servativa Almacena o libera Ep 3 Componente disi pativa Produce variaciones en Em IDEAS CLAVE El trabajo neto total es igual a la ganancia de energía cinética ( ). El trabajo conservativo depende solo de los puntos extremos: .

Las fuerzas no conservativas modifican la energía mecánica total: . En un sólido rígido, las fuerzas internas no realizan trabajo neto. COMPRUEBA LO QUE HAS APRENDIDO 11. ¿Qué relación existe entre el trabajo de las fuerzas no conservativas y la energía mecánica? 12. ¿Por qué las fuerzas internas de un sólido rígido no efectúan trabajo? Test Rodea la respuesta correcta. Las soluciones están al final. 13. El teorema de las fuerzas vivas vincula directamente el trabajo total con: 14.

Una fuerza se define como conservativa cuando su trabajo: U p2 U = p1 (E + c2 E ) p2 int (E + c1 E ) = p1 int (W ) 12 ext ΔU = p 0 (W ) = 12 int 0 ΔE p ΔE p W = cons ΔE = p E p1 E p2 W = ΔE c W = cons ΔE p W = N C ΔE m La aceleración angular a) El momento cinético b) La variación de energía cinética c) La energía potencial gravitatoria d) Es siempre nulo a) Es igual al momento angular b) No depende del camino recorrido c) Depende de la velocidad d) Física I: Dinámica, Gravitación y Sólido Rígido 6 15. ¿Qué valor adquiere el trabajo de las fuerzas internas en un sólido rígido ideal? 16.

En un sistema aislado donde las fuerzas internas son conservativas, la energía propia Up: 3 Sistemas de Partículas, Centro de Masas y Momento Angular AL ACABAR SABRÁS Calcular la posición del centro de masas mediante integrales de distribución de masa Aplicar el primer teorema de König y la ecuación fundamental traslacional Formular el momento angular de partículas y deducir su ley de conservación PIÉNSALO ANTES DE LEER 17 ¿Por qué un saltador de trampolín puede modificar su velocidad de giro encogiéndose sobre sí mismo sin que nadie lo empuje?

Centro de masas y dinámica global El centro de masas (CM) de una distribución continua o discreta de materia es la posición geométrica ponderada donde se puede suponer concentrada la masa total del sistema para reproducir su comportamiento dinámico ante fuerzas exteriores: Debe observarse que el centro de masas no coincide obligatoriamente con ninguna partícula material física concreta del sistema.

La respuesta traslacional de todo el conjunto responde a la ecuación fundamental de la dinámica de sistemas de partículas: Esto concuerda con el teorema de la cantidad de movimiento, según el cual la derivada del momento lineal total del sistema equivale exactamente a la resultante neta exterior: Igual a la energía cinética a) Variable según el centro de masas b) Cero c) Siempre negativo d) Permanece constante a) Es igual a las fuerzas externas b) Crece indefinidamente c) Oscila periódicamente d) M = rcm M dm s lido o ˊ r = Fext M acm = dt dP Fext Física I: Dinámica, Gravitación y Sólido Rígido 7 PARA RECORDARLO El 1.º Teorema de König afirma que la cantidad de movimiento total de un sistema coincide con la de una partícula ficticia dotada de toda la masa que se desplaza a la velocidad del centro de masas: .

COMPRUEBA 18 ¿Pueden las fuerzas internas acelerar la posición del centro de masas de un sistema cerrado?

Momento cinético o angular El momento angular o cinético de una partícula respecto a un polo de referencia arbitrario O se formula vectorialmente mediante el producto vectorial: El teorema del momento cinético para sistemas inerciales establece que la derivada temporal de dicho vector equivale al momento total (torque) originado por las fuerzas que actúan sobre la partícula respecto a ese mismo origen: En consecuencia, el principio de conservación del momento angular garantiza que si el torque resultante respecto a O es nulo ( ), el momento cinético permanece constante: ERROR FRECUENTE Calcular el momento angular sin especificar explícitamente el punto o polo de referencia elegido.

El valor y dirección de dependen directamente del vector de posición medido desde dicho polo. CAUSAS Y CONSECUENCIAS Fuerzas exteriores no nulas Actúan sobre el sistema Torque neto resultante Polo O definido Dinámica angular y lineal del sistema Aceleración del CM Variación del momento lineal P Variación de L_O Rotación o momento alterado M = P M Vcm = LO × r p = dt d LO × r = F τO = τO 0 = τO 0 = dt d LO 0 = LO cte LO r Física I: Dinámica, Gravitación y Sólido Rígido 8 IDEAS CLAVE El centro de masas concentra toda la masa para predecir la aceleración debida a las fuerzas externas. 1.º Teorema de König: . La variación temporal del momento angular equivale al torque de las fuerzas actuantes: .

La ausencia de torque resultante ( ) conserva constante el vector . COMPRUEBA LO QUE HAS APRENDIDO 19. ¿Qué establece el primer teorema de König respecto a la cantidad de movimiento total? 20. ¿Qué sucede con el vector momento angular cuando el torque neto exterior es cero? Test Rodea la respuesta correcta. Las soluciones están al final. 21. ¿De qué depende la aceleración que adquiere el centro de masas de un conjunto de partículas? 22. El primer teorema de König expresa matemáticamente la cantidad de movimiento como: 23. El momento cinético de una partícula puntual se calcula formalmente como: 24. ¿Qué condición temporal garantiza que el momento angular sea una constante del movimiento?

= P M Vcm = dt d LO τO = τO 0 LO Únicamente de las fuerzas exteriores netas a) De la suma de fuerzas internas b) Del momento cinético relativo c) De la energía potencial interna d) P = 0 a) P = M · V_cm b) P = I · w c) P = r × F d) L O 1/2 m v² a) m · a b) F × r c) r × p d) Masa puntual única a) Torque resultante nulo b) Fuerzas conservativas exclusivas c) Velocidad nula d) Física I: Dinámica, Gravitación y Sólido Rígido 9 4 Campos de Fuerzas Centrales y Gravitación Universal AL ACABAR SABRÁS Demostrar analíticamente la conservación del momento angular bajo fuerzas centrales Aplicar rigurosamente las tres leyes de Kepler al movimiento planetario Clasificar secciones cónicas orbitales en función de la excentricidad numérica PIÉNSALO ANTES DE LEER 25 ¿Por qué los planetas se mueven con mayor rapidez cuando están más cerca del Sol?

Fuerzas centrales y cinemática areolar Una fuerza central es aquella cuya recta directriz de acción converge en todo instante hacia un mismo punto geométrico estacionario denominado polo O. Debido a que el vector posición y el vector fuerza son colineales ( ), el momento de la fuerza resulta nulo: De ello se derivan dos propiedades cardinales para el movimiento bajo fuerzas centrales: COMPRUEBA 26 ¿Por qué el momento angular se conserva en un campo de fuerzas centrales?

Leyes de Kepler La dinámica de los cuerpos astronómicos se fundamenta en las leyes empíricas enunciadas por Johannes Kepler para el Sistema Solar: 1.ª Ley: los planetas describen órbitas elípticas, hallándose el Sol ubicado en uno de sus focos. 2.ª Ley: el radio vector que conecta el Sol con el planeta barre áreas equivalentes en intervalos temporales idénticos ( ). 3.ª Ley: los cuadrados de los periodos de traslación resultan proporcionales a los cubos de los semiejes mayores de sus respectivas órbitas: r F = τO × r = F 0 Plano orbital constante: al conservarse el momento cinético , el movimiento queda permanentemente confinado a un único plano ortogonal a este vector.

1 = LO cte Ley de las Áreas: la velocidad con la que el radio vector barre superficie (velocidad areolar) se mantiene rigurosamente constante en el tiempo: 2 = dt dA r = 2 1 2 θ̇ = 2m L constante = Δt ΔA cte T a = T 1 2 a 1 3 = T 2 2 a 2 3 cte 3 Física I: Dinámica, Gravitación y Sólido Rígido 10 La relación conforma un parámetro constante idéntico para todos los astros que orbitan en torno a un mismo cuerpo atractor central.

Gravitación Universal y cónicas orbitales La interacción newtoniana entre dos masas y distanciadas una longitud responde a la Ley de Gravitación Universal: A partir de ella se derivan el campo gravitatorio y los potenciales escalares asociados: Magnitud Expresión vectorial o escalar Significado físico Intensidad de campo Fuerza ejercida por unidad de masa situada en el punto P Potencial gravitatorio Energía potencial gravitatoria por unidad de masa Energía potencial Potencial de interacción mutua de masa acotada La geometría de la trayectoria espacial viene gobernada por el parámetro adimensional de excentricidad ( ), deducido a partir de los datos orbitales: Según el valor numérico obtenido para , la trayectoria describe una sección cónica específica: e = 0: trayectoria en circunferencia perfecta.

0 < e < 1: órbita periódica cerrada en elipse. e = 1: órbita abierta en parábola. e > 1: órbita abierta en hipérbola. ERROR FRECUENTE Omitir el signo negativo al formular la energía potencial gravitatoria . El signo negativo denota que se trata de un campo estrictamente atractivo y con origen de potencial en el infinito. T2 a3 M m r = F G r2 Mm ur g = g = m F G r2 M ur V V = G r M E p E = p G r M m e e = GM p r v 0 0 2 1 e E = p G r M m Física I: Dinámica, Gravitación y Sólido Rígido 11 ESQUEMA Clasificación de órbitas según su excentricidad IDEAS CLAVE Bajo fuerzas centrales, el torque es nulo y la velocidad areolar es constante: .

3.ª Ley de Kepler: el cociente es una constante característica del atractor central. La intensidad de campo gravitatorio representa la fuerza gravitatoria por unidad de masa: . El tipo de trayectoria depende de la excentricidad: elipse si , parábola si e hipérbola si . COMPRUEBA LO QUE HAS APRENDIDO 27. ¿Qué trayectoria geométrica describe un cuerpo sometido a gravitación con excentricidad igual a la unidad (e = 1)? 28. ¿Por qué la velocidad areolar permanece constante en un campo gravitatorio newtoniano? Test Rodea la respuesta correcta. Las soluciones están al final. 29. En todo campo central, la trayectoria descrita por el objeto resulta ser: 30.

La tercera ley de Kepler relaciona de forma proporcional: Órbitas periódicas cerradas Trayectorias ligadas Circunferencia e = 0 Elipse 0 < e < 1 Trayectorias de escape abiertas Trayectorias no ligadas Parábola e = 1 Hipérbola e > 1 = dt dA 2m L T2 a3 = g G r2 M ur 0 < e < 1 e = 1 e > 1 Siempre circular a) Estrictamente plana b) Rectilínea uniforme c) Completamente tridimensional d) El cubo de los periodos con el cuadrado de radios a) La velocidad radial con la masa solar b) El área barrida con el radio vector c) El cuadrado de los periodos con el cubo de semiejes mayores d) Física I: Dinámica, Gravitación y Sólido Rígido 12 31.

Si el parámetro de excentricidad orbital es exactamente cero (e = 0), la curva es: 32. ¿Qué define la intensidad del campo gravitatorio g en un punto? 5 Cinemática y Dinámica del Sólido Rígido: Teoremas de Steiner y König AL ACABAR SABRÁS Relacionar campos de velocidades en el sólido rígido usando la formulación vectorial Calcular momentos de inercia de cuerpos compuestos mediante el Teorema de Steiner Evaluar la energía cinética completa descomponiendo traslación y rotación baricéntrica con el 3.º Teorema de König PIÉNSALO ANTES DE LEER 33 ¿Por qué una rueda que baja rodando sin deslizar por una rampa alcanza menor velocidad final que si resbalara sin fricción?

Movimiento plano del sólido rígido Se denomina movimiento plano a aquel en el cual las partículas constituyentes del sólido se desplazan siempre paralelamente a un plano directriz dado. El movimiento plano más general de cualquier cuerpo rígido puede descomponerse en una traslación pura a la velocidad de un punto base A, más una rotación pura con velocidad angular en torno a un eje perpendicular que pase por A: Es fundamental resaltar que el vector velocidad angular resulta invariable en cualquier instante para la totalidad del sólido: si el polo móvil se traslada a otro punto cualquiera C, la velocidad de rotación sigue siendo exactamente la misma.

COMPRUEBA 34 ¿Depende el vector de velocidad angular del punto de referencia seleccionado dentro del sólido rígido?

Una elipse achatada a) Una hipérbola b) Una parábola c) Una circunferencia d) La fuerza por unidad de masa en ese punto a) El producto de las dos masas interactuantes b) La energía potencial en dicho punto c) La velocidad orbital de escape d) ω (t) = vB (t) + vA (t) × ω AB ω Física I: Dinámica, Gravitación y Sólido Rígido 13 Momento de inercia y Teorema de Steiner El momento cinético de un sólido rígido que gira alrededor de un eje principal fijo equivale al producto de su momento de inercia respecto a dicho eje por su velocidad angular escalar: Para estructuras compuestas, el momento de inercia total se calcula sumando las contribuciones individuales de cada elemento componente no puntual respecto al mismo eje común: Cuando se requiere calcular el momento de inercia respecto a un eje genérico paralelo al eje baricéntrico, se recurre al Teorema de Steiner (o teorema de los ejes paralelos): donde representa el momento de inercia respecto al eje que cruza el centro de masas, es la masa global del cuerpo y simboliza la separación perpendicular entre ambos ejes.

DEFINICIÓN El momento de inercia mide la oposición o inercia rotacional que ofrece un cuerpo a alterar su estado de giro en torno a un eje determinado.

3.º Teorema de König: Energía cinética en movimiento general La energía cinética total de un sistema dotado de traslación y rotación simultáneas queda perfectamente desagregada mediante el 3.º Teorema de König: Término energético Fórmula analítica Interpretación física Traslación del sistema Energía de traslación supuesta toda la masa concentrada en el CM Rotación intrínseca Energía de rotación en torno al eje que pasa por el centro de masas ERROR FRECUENTE Aplicar el Teorema de Steiner sumando el término a un eje que no pasa por el centro de masas. El término base debe ser obligatoriamente el eje baricéntrico: si el punto A no es el centro de masas.

L = Iω I = T I + 1 I + 2 + I n I = I + cm Mh2 I cm M h E = cT Mv + 2 1 cm 2 Iω 2 1 2 M v 2 1 cm 2 Iω 2 1 2 Mh2 I = otro I + A Mh2 Física I: Dinámica, Gravitación y Sólido Rígido 14 PROCESO Descomposición del movimiento plano del sólido 1 Movimiento plano general Traslación y rotación coplanarias 2 Traslación de polo A Velocidad base v_A común 3 Rotación baricén trica Giro angular unificado w × AB IDEAS CLAVE El campo de velocidades del sólido rígido obedece a: . La velocidad angular es única para todos los puntos del sólido. Teorema de Steiner: para trasladar momentos de inercia entre ejes paralelos.

3.º Teorema de König: la energía cinética total es la suma de la traslación del CM y la rotación baricéntrica. COMPRUEBA LO QUE HAS APRENDIDO 35. ¿En qué términos divide el 3.º teorema de König la energía cinética total de un sólido en movimiento plano? 36. ¿Qué representa la variable h en la formulación del Teorema de Steiner? Test Rodea la respuesta correcta. Las soluciones están al final. 37. La ecuación de velocidades entre dos puntos A y B de un sólido rígido es: 38. El Teorema de Steiner permite calcular el momento de inercia respecto a un eje: 39.

El tercer teorema de König descompone la energía cinética en: = vB + vA × ω AB ω I = I + cm Mh2 = w / AB a) v B = · w b) v B v A = + m · a c) v B v A = + w × AB d) v B v A Que pasa siempre por el origen de coordenadas a) Perpendicular al eje de simetría b) Con velocidad angular nula c) Paralelo a un eje baricéntrico conocido d) Potencial elástica y potencial gravitatoria a) Trabajo externo y trabajo interno b) Momento cinético y momento angular c) Traslación del centro de masas y rotación relativa d) Física I: Dinámica, Gravitación y Sólido Rígido 15 40.

Al cambiar de polo de referencia dentro de un mismo sólido rígido, la velocidad angular: 6 Formulario Dinámica de la partícula y leyes de Newton Fórmula o procedimiento Significado de los símbolos Cuándo se usa : fuerza neta; : cantidad de movimiento ( ); : masa; : velocidad Relación fundamental de la dinámica (válida para masa constante o variable). : fuerza de A sobre B; : fuerza de B sobre A Tercera ley de Newton (interacción mutua entre partículas). : fuerza neta sobre la partícula; : momento lineal Teorema de conservación de la cantidad de movimiento.

Trabajo y balances de energía Fórmula o procedimiento Significado de los símbolos Cuándo se usa : trabajo total; : fuerza; : desplazamiento infinitesimal Cálculo del trabajo mecánico a lo largo de una trayectoria. : trabajo de la fuerza neta; : energía cinética ( ) Teorema de las Fuerzas Vivas para una partícula. , : función o energía potencial Trabajo ejercido por fuerzas conservativas. : energía mecánica ( ); : fuerzas no conservativas Teorema generalizado de la energía mecánica. : energía propia ( ); : trabajo de fuerzas externas Sistemas con fuerzas interiores conservativas ( en sistemas aislados).

Se anula en el baricentro a) Permanece inalterada b) Se multiplica por la distancia c) Invierte obligatoriamente su sentido d) = F = dt d p m + dt dv v dt dm F p mv m v = FAB FBA FAB FBA = F 0 = p cte F p W = AB A B F dr W AB F dr W = ΔE = c E c2 E c1 W E c mv 2 1 2 (W ) = 12 cons V (1) V (2) = ΔE p V E p ΔE = m (W ) = 12 ncons 1 2 FNC dr E m E + c E p FNC U p2 U = p1 (W ) 12 ext U p E + c E p int (W ) 12 ext ΔU = p 0 Física I: Dinámica, Gravitación y Sólido Rígido 16 Sistemas de partículas y momento angular Fórmula o procedimiento Significado de los símbolos Cuándo se usa : posición del centro de masas; : masa total Localización del centro de masas de una distribución continua.

: momento lineal total; : velocidad del CM 1.º Teorema de König para la cantidad de movimiento de un sistema. : resultante de fuerzas exteriores; : aceleración del CM Ecuación fundamental de la dinámica de sistemas de partículas. : momento cinético o angular respecto a O; : vector posición; : momento lineal Definición del momento cinético de una partícula. : momento de las fuerzas (torque) respecto a O Teorema del momento cinético en sistemas inerciales ( ). ; , : trabajos interior y exterior Teorema de la energía cinética para un sistema de partículas.

Campos centrales y gravitación Fórmula o procedimiento Significado de los símbolos Cuándo se usa : velocidad areolar; : módulo del momento angular; : masa Movimiento bajo fuerzas centrales (Ley de las áreas, órbita plana). : semieje mayor; : periodo orbital 3.ª Ley de Kepler para cuerpos orbitando un mismo atractor central. : cte. de gravitación; : masas; : distancia; : vector unitario radial Ley de Gravitación Universal de Newton. : intensidad de campo gravitatorio Fuerza gravitatoria por unidad de masa en un punto espacial. ; : potencial gravitatorio; : energía potencial gravitatoria Cálculo de energía y potencial gravitatorio con referencia cero en el infinito.

: excentricidad; : radio y velocidad iniciales; : masa central Determinación de la cónica orbital: (circunferencia), (elipse), (parábola), (hipérbola).

= rcm M dm r rcm M = P M Vcm P Vcm = Fext M = acm dt dP Fext acm = LO × r p LO r p = dt d LO = τO × r F τO = τO 0 = LO cte ΔE = c (W ) + 12 ext (W ) 12 int E = c m v 2 1 k k 2 W int W ext = dt dA r = 2 1 2 θ̇ = 2m L cte dt dA L m = T 1 2 a 1 3 = T 2 2 a 2 3 cte a T = F G r2 M m ur G M , m r ur = g = m F G r2 M ur g V = G r M E = p G r M m V E p e = GM p r v 0 0 2 1 e r , v 0 0 M p e = 0 0 < e < 1 e = 1 e > 1 Física I: Dinámica, Gravitación y Sólido Rígido 17 Cinemática y dinámica del sólido rígido Fórmula o procedimiento Significado de los símbolos Cuándo se usa : velocidades en puntos A y B; : velocidad angular Campo de velocidades en el movimiento plano del sólido rígido.

: momento cinético; : momento de inercia; : velocidad angular Momento angular de un sólido respecto a su eje de rotación. : inercia total; : momentos de inercia de las partes componentes Cálculo del momento de inercia de cuerpos compuestos respecto a un mismo eje. : inercia baricéntrica; : masa total; : distancia entre ejes Teorema de Steiner (traslación a un eje paralelo). : energía cinética total; : velocidad del CM; : inercia baricéntrica 3.º Teorema de König para un sólido con traslación y rotación. Errores típicos Confundir el signo del trabajo conservativo: (la fuerza conservativa reduce la energía potencial).

Aplicar el Teorema de Steiner entre dos ejes cualesquiera sin que uno de ellos sea obligatoriamente el que pasa por el centro de masas ( ). Olvidar que en un sólido rígido ideal las fuerzas internas no realizan trabajo: . = vB + vA × ω AB , vA vB ω L = Iω L I ω I = T I i=1 n i I T I i I = I + cm M h2 I cm M h E = cT M v + 2 1 cm 2 Iω 2 1 2 E cT v cm I W = cons ΔE p I cm (W ) = 12 int 0 Física I: Dinámica, Gravitación y Sólido Rígido 18 Soluciones de las preguntas de repaso 1. Porque la fuerza neta procede de la expulsión continua de masa a gran velocidad, alterando la cantidad de movimiento del conjunto. 2. Se aplica la regla del producto a la derivada de la cantidad de movimiento: . 3.

Porque sus dimensiones geométricas son despreciables frente a las distancias consideradas en el fenómeno, reduciéndose a un punto sin extensión geométrica. 4. Cuando la resultante total de las fuerzas que actúan sobre el sistema es nula ( ). 5. b) F = m(dv/dt) + v(dm/dt). Se obtiene derivando respecto al tiempo el producto p = m·v aplicando la regla del producto. 6. c) Rotación sobre sí misma. Al carecer de dimensiones espaciales, no se pueden definir orientaciones ni rotaciones internas. 7. c) Tienen igual módulo y sentido opuesto. La tercera ley establece que F_AB = -F_BA: mismo módulo y dirección pero sentidos contrarios. 8. d) Su momento lineal es constante.

Al ser dp/dt = 0, el vector momento lineal p permanece inalterado en el tiempo. 9. Porque el peso es una fuerza conservativa y su trabajo depende exclusivamente del desnivel entre los extremos, no del camino. 10. Describe el trabajo mecánico total acumulado a lo largo de dicha trayectoria. 11. El trabajo realizado por las fuerzas no conservativas es exactamente igual a la variación de la energía mecánica: . 12. Porque las distancias relativas entre las partículas que lo componen se mantienen constantes, impidiendo desplazamientos mutuos. 13. c) La variación de energía cinética. El teorema afirma que W = ΔEc para la resultante de todas las fuerzas actuantes. 14.

c) No depende del camino recorrido. La propiedad esencial de una fuerza conservativa es su independencia de la trayectoria entre dos puntos. 15. c) Cero. Al no existir desplazamientos relativos entre los puntos del sólido rígido, ( )_int = 0. 16. a) Permanece constante. Al no existir trabajo externo en un sistema aislado, ΔUp = 0. 17. Porque en el aire el torque neto respecto a su centro de masas es nulo, obligando a conservar constante su momento angular. 18. No, la aceleración del centro de masas depende exclusivamente de la resultante de las fuerzas exteriores ( ). 19. Establece que el momento lineal global equivale al producto de la masa total por la velocidad del centro de masas: . 20.

Se mantiene rigurosamente constante a lo largo del tiempo, cumpliendo el principio de conservación del momento cinético. 21. a) Únicamente de las fuerzas exteriores netas. La ecuación fundamental establece que F_ext = M · a_cm. 22. b) P = M · V_cm. El teorema determina que P = M · V_cm para todo el sistema. = F m + dt dv v dt dm = F 0 W = NC ΔE m W 12 = Fext M acm = P M Vcm Física I: Dinámica, Gravitación y Sólido Rígido 19 23. d) r × p. Por definición, el momento cinético es el producto vectorial del radio vector por la cantidad de movimiento: r × p. 24. b) Torque resultante nulo. Al ser /dt = τ_O, si el torque resultante es nulo, el momento cinético se conserva. 25.

Porque la conservación del momento angular (o ley de las áreas) exige que al disminuir la distancia al Sol aumente la velocidad. 26. Porque la fuerza es paralela al vector de posición en todo instante, haciendo que el producto vectorial sea nulo. 27. Describe una órbita parabólica, que corresponde a una trayectoria de escape abierta. 28. Porque la fuerza de gravitación es central, su torque respecto al foco es nulo y el momento cinético se conserva constante. 29. b) Estrictamente plana. Al conservarse constante la dirección del vector momento angular, el movimiento se restringe a un plano perpendicular a L. 30. d) El cuadrado de los periodos con el cubo de semiejes mayores.

Establece a³/T² = cte, vinculando el cubo del semieje con el cuadrado del periodo orbital. 31. d) Una circunferencia. La condición e = 0 corresponde geométricamente a una circunferencia. 32. a) La fuerza por unidad de masa en ese punto. g se define formalmente como el vector fuerza ejercido sobre la unidad de masa: F/m. 33. Porque parte de la energía potencial disponible se transfiere necesariamente a energía cinética de rotación en lugar de a pura traslación. 34. No, la velocidad angular es una propiedad cinemática global e intrínseca idéntica respecto a cualquier origen que se elija en el sólido. 35.

La divide en la energía cinética de traslación de toda la masa en el CM ( ) más la energía cinética de rotación alrededor del eje baricéntrico ( ). 36. Representa la distancia perpendicular que separa el eje de giro considerado del eje paralelo que pasa por el centro de masas. 37. d) = + w × AB. El campo de velocidades del sólido rígido responde formalmente a = + w × AB. 38. d) Paralelo a un eje baricéntrico conocido. Steiner traslada el momento de inercia entre dos ejes estrictamente paralelos mediante I = I_cm + M·h². 39. d) Traslación del centro de masas y rotación relativa. Desglosa EcT en (1/2)·M·v_cm² (traslación baricéntrica) y (1/2)·I·w² (rotación). 40. b) Permanece inalterada.

El vector de velocidad angular w es el mismo para todo el cuerpo rígido independientemente del punto base. dL O × r F L ω M v 2 1 cm 2 Iω 2 1 2 v B v A v B v A Física I: Dinámica, Gravitación y Sólido Rígido 20