Formulari de Primitives i Canvis de Variable | Càlcul

I 0 flashcards i 2 preguntes més al document.

Text del document

APUNTS INTRODUCCIÓ AL CÀLCUL INTEGRAL Grau en Matemàtiques Universitat de Barcelona AprenAI 2026-2027 Taula completa de primitives immediates, regles d'integració per parts i canvis de variable trigonomètrics i hiperbòlics per a Càlcul integral. APREN.AI Índex 1 Primitives Immediates i Mètodes Fonamentals d'Integració Taula de Primitives Immediates Mètodes Generals: Canvi de Variable i Integració per Parts 2 Transformacions Trigonomètriques i Canvis Irracionals Identitats Trigonomètriques per a la Integració Canvis de Variable Trigonomètrics Generals Eliminació d'Arrels Quadrades Solucions de les preguntes de repàs Aquests apunts poden contenir errors o omissions.

Són un material de suport i no substitueixen el temari oficial ni el professorat: contrasta la informació important. Formulari de Primitives i Canvis de Variable " Càlcul 1 1 Primitives Immediates i Mètodes Fonamentals d'Integració EN ACABAR SABRÀS Reconèixer i aplicar la taula bàsica de primitives immediates. Formular correctament el mètode d'integració per canvi de variable. Desenvolupar la regla d'integració per parts identificant u, v, du i dv. PENSA-HI ABANS DE LLEGIR 1 Per què cal afegir la constant C en calcular una primitiva? DEFINICIÓ Una primitiva d'una funció és una funció derivable en que satisfà la igualtat .

Taula de Primitives Immediates La integració indefinida recupera la família de funcions la derivada de les quals és la funció integrant, afegint sempre una constant d'integració .

Funció Domini / Condicions Primitiva 0 o f : (a, b) R F (a, b) F = f C f(x) F (x) = f(x)dx x R C xm m Z, m = 1, x R + m+1 xm+1 C xr r = 1, x > 0 + r+1 xr+1 C = x 1 x 1 x > 0 x < 0 log x + C sin(x) x R cos(x) + C cos(x) x R sin(x) + C cos x 2 1 cos(x) = 0 tan(x) + C sin x 2 1 sin(x) = 0 cotan(x) + C ekx x R, k = 0 + k ekx C a = x ex log a a > 0, a = 1, x R + log a ax C sinh(x) = 2 e e x x x R cosh(x) = + 2 e +e x x C cosh(x) x R sinh(x) + C Formulari de Primitives i Canvis de Variable " Càlcul 2 Funció Domini / Condicions Primitiva COMPROVA-HO 2 Quina és la primitiva de 1/x quan x < 0 segons la taula fonamental?

Mètodes Generals: Canvi de Variable i Integració per Parts Per a funcions compostes derivables i , el canvi de variable s'expressa com: Quan s'integra el producte de dues funcions derivables i , s'aplica la fórmula de la integració per parts: ERROR FREQÜENT Oblidar aplicar el valor absolut en calcular fa perdre punts quan la variable pren valors negatius: la solució correcta és sempre . PROCÉS Passos de la integració per parts 1 Triar u i dv Descompondre l'integrant en una part u i un diferencial dv. 2 Diferenciar i integrar Calcular du = u' dx i trobar v = dv. 3 Aplicar la fórmula Escriure el resultat com uv - v du. IDEES CLAU Una funció és primitiva de si la seva derivada compleix .

La regla de potències només és vàlida per a exponents ; si l'exponent és -1, la primitiva és . La integració per parts prové de la regla del producte i segueix l'esquema . f(x) F (x) = f(x)dx 1+x2 1 x R arctan(x) + C 1 x2 1 x < 1 arcsin(x) + C f g g(f(x))f (x) dx = g(f(x)) df(x) = g(y) dy, on y = f(x) u v u dv = uv v du, on du = u dx, dv = v dx x dx 1 log x + C F f F = f m+1 xm+1 m = 1 log x + C u dv = uv v du Formulari de Primitives i Canvis de Variable " Càlcul 3 COMPROVA EL QUE HAS APRÈS 3. Com s'expressa el diferencial dv en termes de la funció v? 4. Quina és la derivada de cosh(x) i la seva relació amb la primitiva? Test Encercla la resposta correcta. Les solucions són al final. 5.

Quina és la primitiva de 1 / cos²(x)? 6. Quin és el resultat d'integrar respecte de x quan k 0? 7. Com es defineix la funció sinh(x)? 8. En la integració per parts, a què equival la integral de u dv? 2 Transformacions Trigonomètriques i Canvis Irracionals EN ACABAR SABRÀS Linealitzar productes trigonomètrics mitjançant identitats d'angle suma i doble. Substituir funcions trigonomètriques mitjançant el canvi y = tan(x/2). Triar el canvi trigonomètric o hiperbòlic adequat per racionalitzar expressions amb radicals. PENSA-HI ABANS DE LLEGIR 9 Com podem integrar el quadrat del sinus sense recórrer a mètodes complicats?

arctan(x) + C a) -cotan(x) + C b) tan(x) + C c) sin(x) + C d) ekx k · + C a) ekx /k + C b) ekx + C c) ekx /log(k) + C d) ekx ( - )/2 a) ex e x 1/(1+x²) b) - c) ex e x ( + )/2 d) ex e x uv + v du a) u'v - uv' dx b) uv / v du c) uv - v du d) Formulari de Primitives i Canvis de Variable " Càlcul 4 Identitats Trigonomètriques per a la Integració Les transformacions algebraiques i trigonomètriques permeten simplificar productes de funcions en sumes fàcilment integrables. Paritat i Fonamentals Productes i Angles Dobles COMPROVA-HO 10 Com es pot expressar el producte 2 sin(x) cos(x) mitjançant una sola funció trigonomètrica?

Canvis de Variable Trigonomètrics Generals Quan apareixen funcions trigonomètriques en un quocient o expressió composta, s'utilitzen les substitucions algebraiques següents: Substitució Equivalències de i Diferencial Eliminació d'Arrels Quadrades Les identitats , i s'empren per racionalitzar radicals: Expressió radical Canvi proposat Transformació de l'arrel Diferencial sin( x) = sin(x) 2 sin(x)sin(y) = cos(x y) cos(x + y) cos( x) = cos(x) 2 cos(x)cos(y) = cos(x y) + cos(x + y) sin x + 2 cos x = 2 1 2 sin(x)cos(y) = sin(x y) + sin(x + y) tan x + 2 1 = sec x 2 2 sin x = 2 1 cos(2x) cot x + 2 1 = csc x 2 2 cos x = 2 1 + cos(2x) cos x 2 sin x = 2 cos(2x) 2 sin x cos x = sin(2x) y sin x cos x dx y = sin x cos x = 1 y2 dx = 1 y2 dy y = cos x sin x = 1 y2 dx = 1 y2 dy y = tan x sin x = , cos x = 1+y2 y 1+y2 1 dx = 1+y2 dy y = tan(x/2) sin x = , cos x = 1+y2 2y 1+y2 1 y2 dx = 1+y2 2 dy sin t + 2 cos t = 2 1 1 + tan t = 2 1/ cos t 2 cosh t 2 sinh t = 2 1 dx r x 2 2 x = r sin t = r cos t 2 2 r cos t dx = r cos t dt r + x 2 2 x = r tan t = r / cos t 2 2 r/ cos t dx = dt cos t 2 r x r 2 2 x = r/ cos t = r tan t 2 2 r tan t dx = dt cos t 2 r sin t Formulari de Primitives i Canvis de Variable " Càlcul 5 Expressió radical Canvi proposat Transformació de l'arrel Diferencial ERROR FREQÜENT Oblidar diferenciar en fer la substitució condueix a errors greus: quan s'aplica el canvi , el diferencial requereix un signe negatiu .

ESQUEMA Substitucions per a arrels quadrades IDEES CLAU Les fórmules d'angle doble converteixen termes com i en expressions lineals fàcils d'integrar. El canvi universal transforma qualsevol quocient trigonomètric en una fracció racional d'una variable polinòmica. Els canvis amb funcions trigonomètriques o hiperbòliques eliminen les arrels de tipus i . COMPROVA EL QUE HAS APRÈS 11. Quin és el diferencial dx quan s'utilitza el canvi y = tan(x/2)? 12. Com es transforma l'arrel (r² - x²) mitjançant el canvi x = r sin(t)? Test Encercla la resposta correcta. Les solucions són al final. 13. A què equival cos²(x) - sin²(x)?

dx r + x 2 2 x = r sinh t = r cosh t 2 2 r cosh t dx = r cosh t dt x r 2 2 x = r cosh t = r sinh t 2 2 r sinh t dx = r sinh t dt x y = cos x dx = 1 y2 dy Forma r² - x² Canvi x = r sin(t) Forma r² + x² Canvis x = r tan(t) o x = r sinh(t) Forma x² - r² Canvis x = r/cos(t) o x = r cosh(t) sin x 2 cos x 2 y = tan(x/2) r ± x 2 2 x r 2 2 sin(2x) a) sec²(x) b) cos(2x) c) 1 d) Formulari de Primitives i Canvis de Variable " Càlcul 6 14. En el canvi y = tan(x/2), quina expressió correspon a sin(x)? 15. Quin canvi hiperbòlic elimina el radical (r² + x²)? 16. Quin és el diferencial dx en el canvi x = r tan(t)?

2y / (1 + y²) a) 2 / (1 + y²) b) y / (1 + y²) c) (1 - y²) / (1 + y²) d) x = r cosh(t) a) x = r tanh(t) b) x = r sinh(t) c) x = r / sinh(t) d) (r / cos²(t)) dt a) r sin(t) dt b) r cos(t) dt c) (r / sin²(t)) dt d) Formulari de Primitives i Canvis de Variable " Càlcul 7 Solucions de les preguntes de repàs 1. Perquè la derivada de qualsevol constant és zero, de manera que dues funcions que difereixen en una constant tenen exactament la mateixa derivada. 2. La primitiva és log"x" + C, ja que el valor absolut garanteix que l'argument del logaritme sigui estrictament positiu. 3. S'expressa com . 4. La derivada de és , per tant la primitiva de és . 5. c) tan(x) + C.

La derivada de la tangent és 1/cos²(x), per tant la seva primitiva és tan(x) + C. 6. b) /k + C. En derivar /k s'obté , de manera que cal dividir per la constant k. 7. a) ( - )/2. El sinus hiperbòlic és la semidiferència d'exponencials: ( - )/2. 8. d) uv - v du. La fórmula d'integració per parts estableix directament u dv = uv - v du. 9. Transformant-lo mitjançant la identitat d'angle doble 2 sin²(x) = 1 - cos(2x), que s'integra de forma directa. 10. Es reescriu com l'angle doble sin(2x), fet que simplifica notablement la seva integració. 11. El diferencial és . 12. Es transforma en gràcies a la identitat . 13. c) cos(2x).

La diferència cos²(x) - sin²(x) és la identitat clàssica del cosinus de l'angle doble cos(2x). 14. a) 2y / (1 + y²). La fórmula de l'angle meitat expressa sin(x) com 2y/(1+y²). 15. c) x = r sinh(t). Com que cosh²(t) - sinh²(t) = 1, la suma r² + r² sinh²(t) esdevé r cosh(t). 16. a) (r / cos²(t)) dt. La derivada de la tangent és 1/cos²(t), per tant dx = (r/cos²(t)) dt. dv = v dx cosh(x) sinh(x) sinh(x) cosh(x) + C ekx ekx ekx ex e x ex e x dx = 1+y2 2 dy r cos t sin t + 2 cos t = 2 1 Formulari de Primitives i Canvis de Variable " Càlcul 8