Càlcul Diferencial: Derivades, Teoremes i Convexitat

I 0 flashcards i 5 preguntes més al document.

Text del document

APUNTS CÀLCUL Grau en Enginyeria Informàtica Universitat de Barcelona AprenAI 2026-2027 Apunts complets de càlcul diferencial per a Enginyeria Informàtica a la UB: definició de derivada, regles de càlcul, Rolle, Lagrange, L'Hôpital i curvatura.

APREN.AI Índex 1 Definició de derivada i derivabilitat Definició de derivada i interpretació geomètrica Càlcul de derivades elementals mitjançant la definició Derivades laterals i no derivabilitat: el valor absolut Relació entre continuïtat i derivabilitat 2 Regles de derivació i derivació de funcions elementals Àlgebra de derivades La regla de la cadena Derivada de la funció inversa Càlcul de derivades de funcions elementals 3 Teoremes de Rolle i del Valor Mitjà de Lagrange Condició d'anul·lació en extrems locals El Teorema de Rolle El Teorema del Valor Mitjà de Lagrange Conseqüències directes: funcions constants i monotonia Teorema de Darboux i Teorema Local de la Funció Inversa 4 Teorema de Cauchy i Regles de L'Hôpital El Teorema del Valor Mitjà de Cauchy Preservació de successions de Cauchy i continuïtat uniforme La Regla de L'Hôpital i l'anàlisi de contraexemples Demostració de la Regla de L'Hôpital per al cas 0/0 Demostració del cas / mitjançant el Criteri de Stolz Comparació d'hipòtesis i extensions 5 Convexitat, concavitat i derivada segona Definició geomètrica i lema de les pendents secants Convexitat i rectes tangents Equivalència entre convexitat i monotonia de la derivada primera Criteris de curvatura amb la derivada segona Punts d'inflexió i convexitat local 6 Formulari Regles operatives i derivades elementals Teoremes del valor mitjà i aplicacions globals Regles de L'Hôpital Convexitat, concavitat i ordre superior Càlcul Diferencial: Derivades, Teoremes i Convexitat 1 Solucions de les preguntes de repàs Aquests apunts poden contenir errors o omissions.

Són un material de suport i no substitueixen el temari oficial ni el professorat: contrasta la informació important. Càlcul Diferencial: Derivades, Teoremes i Convexitat 2 1 Definició de derivada i derivabilitat EN ACABAR SABRÀS Calcular derivades en un punt aplicant el límit del quocient incremental Interpretar geomètricament la derivada com el pendent de la recta tangent Analitzar la no derivabilitat en punts angulosos mitjançant límits laterals Demostrar formalment que la derivabilitat implica continuïtat PENSA-HI ABANS DE LLEGIR 1 Pot una gràfica contínua sense salts ni forats no tenir recta tangent en un punt determinat?

El càlcul diferencial estudia com varien les funcions de manera instantània mitjançant el concepte central de límit. Aquesta disciplina permet analitzar des del ritme de canvi local fins a la geometria de les corbes. ESQUEMA Estructura del Càlcul Diferencial Definició de derivada i interpretació geomètrica Considerem una funció real i un punt interior . Volem mesurar la variació de la funció quan la variable independent s'allunya lleugerament del valor .

Fonaments de la derivada Definició com a límit i continuïtat Àlgebra de derivades Regles operatives i funcions bàsiques Teoremes del valor mitjà Rolle, Lagrange i propietats globals Càlcul de límits Teorema de Cauchy i regla de L'Hôpital Anàlisi geomètrica Derivada segona, concavitat i inflexió f : (a, b) R x 0 (a, b) x 0 Càlcul Diferencial: Derivades, Teoremes i Convexitat 3 DEFINICIÓ Diem que la funció és derivable en el punt si existeix el límit del quocient incremental: Quan aquest límit existeix com a nombre real finit, s'anomena derivada de a i es denota per . Geomètricament, el quocient representa el pendent de la recta secant que connecta els punts i sobre la gràfica.

En calcular el límit quan , la secant esdevé la recta tangent. Per tant, el valor f'(x_0) és el pendent de la recta tangent a la gràfica de en el punt d'abscissa . Quan la funció està definida en un interval tancat , no és possible calcular el límit ordinari als extrems perquè la funció no està definida fora d'aquest domini. En aquests casos s'utilitzen els límits laterals: La funció és derivable a l'extrem esquerre si existeix el límit lateral per la dreta: La funció és derivable a l'extrem dret si existeix el límit lateral per l'esquerra: Si la funció és derivable a cada punt de l'interval obert , diem que és derivable a l'interval.

En aquest context apareix la funció derivada, designada per , que fa correspondre a cada abscissa el valor del seu pendent instantani . COMPROVA-HO 2 Què representa geomètricament el valor f'(x ) en la gràfica d'una funció? Càlcul de derivades elementals mitjançant la definició A partir del límit del quocient incremental podem calcular la funció derivada d'estructures algebraiques bàsiques abans d'estudiar regles operatives més avançades (vegeu «Regles de derivació i derivació de funcions elementals»). EXEMPLE: FUNCIÓ CONSTANT Sigui per a tot , on és una constant real fixada.

Prenem un punt arbitrari : Com que el numerador és idènticament zero abans de prendre el límit, obtenim f'(x_0) = 0 per a qualsevol punt real. f x 0 x x 0 lim x x 0 f(x) f(x ) 0 f x 0 f (x ) 0 (x , f(x )) 0 0 (x, f(x)) x x 0 f x 0 [a, b] a x a+ lim x a f(x) f(a) b x b lim x b f(x) f(b) (a, b) f f x (a, b) f (x) f(x) = c x R c x 0 R = x x 0 lim x x 0 f(x) f(x ) 0 = x x 0 lim x x 0 c c = x x 0 lim x x 0 0 0 Càlcul Diferencial: Derivades, Teoremes i Convexitat 4 EXEMPLE: FUNCIÓ IDENTITAT Considerem la funció definida sobre tot . Per a qualsevol punt : Així doncs, la funció identitat és derivable a tot el domini i la seva derivada val sempre f'(x_0) = 1.

Per avaluar potències naturals amb i , convé introduir el canvi de variable . Quan , l'increment tendeix a 0: Desenvolupem el terme mitjançant la fórmula del binomi de Newton: Substituint aquesta expressió en el quocient incremental, observem que el terme es cancel·la: Per tant, concloem que per a qualsevol enter es compleix f'(x_0) = n x_0^{n-1}. COMPROVA-HO 3 Quin mecanisme algebraic permet cancel·lar la indeterminació en calcular la derivada de x pel límit amb increment h? Derivades laterals i no derivabilitat: el valor absolut L'existència de la derivada exigeix que els dos límits laterals del quocient incremental coincideixin.

Quan aquests límits són diferents, la funció presenta un canvi brusc de pendent i no és derivable en aquest punt. f(x) = x R x 0 R = x x 0 lim x x 0 f(x) f(x ) 0 = x x 0 lim x x 0 x x 0 1 = x x 0 lim 1 f(x) = xn n N n 2 x = x + 0 h x x 0 h = x x 0 lim x x 0 x x n 0 n h 0 lim h (x + h) x 0 n 0 n (x + 0 h)n (x + 0 h) = n h x = j=0 n ( j n ) j 0 n j x + 0 n nx h + 0 n 1 + nx h + 0 n 1 hn x 0 n Restem el terme inicial: el numerador esdevé . 1 nx h + 0 n 1 + nx h + 0 n 1 hn Dividim tots els sumands per : obtenim . 2 h nx + 0 n 1 + nx h + 0 n 2 hn 1 Avaluem el límit quan : tots els termes que contenen s'anul·len excepte el primer.

3 h 0 h n 2 Càlcul Diferencial: Derivades, Teoremes i Convexitat 5 EXEMPLE: FUNCIÓ VALOR ABSOLUT Sigui . Analitzem el seu comportament segons el punt considerat: Si : per a valors de prou propers tenim i , per tant . Si : per a valors propers tenim i , de manera anàloga s'obté . Si : estudiem els límits laterals per separat: Com que el límit per la dreta (1) i el límit per l'esquerra (-1) no coincideixen, el límit global no existeix. En conseqüència, la funció valor absolut no és derivable a l'origen.

Punt considerat Límit per l'esquerra Límit per la dreta Derivabilitat 1 1 Derivable: -1 -1 Derivable: -1 1 No derivable (punt angulós) Relació entre continuïtat i derivabilitat Existeix una forta connexió entre la derivabilitat i la continuïtat d'una funció en un punt, però aquesta relació és estrictament unidireccional. LEMA: DERIVABILITAT IMPLICA CONTINUÏTAT Sigui una funció derivable en el punt . Aleshores, f és contínua en x_0. Per demostrar aquest resultat, considerem la diferència i multipliquem i dividim pel factor (vàlid per a tot ): Com que la funció és derivable a , el límit del quocient existeix i val .

Aplicant la propietat del límit d'un producte: D'aquí es dedueix directament que , condició precisa que defineix la continuïtat de en el punt .

f(x) = x x 0 x > 0 0 x x = x x = 0 x 0 f (x ) = 0 lim = x x 0 x x 0 x x 0 1 x < 0 0 x = x x = 0 x 0 f (x ) = 0 1 x = 0 0 = x 0+ lim x 0 x 0 = x 0+ lim x x 1 = x 0 lim x 0 x 0 = x 0 lim x x 1 x > 0 0 f (x ) = 0 1 x < 0 0 f (x ) = 0 1 x = 0 0 f : I R x 0 I f(x) f(x ) 0 x x 0 x = x 0 [f(x) x x 0 lim f(x )] = 0 (x x ) x x 0 lim ( x x 0 f(x) f(x ) 0 0 ) x 0 f (x ) 0 [f(x) x x 0 lim f(x )] = 0 f (x ) 0 0 = 0 lim f(x) = x x 0 f(x ) 0 f x 0 Càlcul Diferencial: Derivades, Teoremes i Convexitat 6 ERROR FREQÜENT Assumir que si una funció és contínua en un punt, aleshores és automàticament derivable. Això és completament fals.

La funció és contínua a , però no hi és derivable perquè els pendents laterals divergeixen (-1 i 1). La derivabilitat és una condició més restrictiva que la continuïtat. COMPROVA-HO 4 Si una funció és contínua en un punt x , podem assegurar que serà derivable en aquest punt? IDEES CLAU La derivada és el límit del quocient incremental quan i equival al pendent de la tangent a la gràfica. En intervals tancats, la derivabilitat als extrems es formula mitjançant els límits laterals respectius. La funció constant té derivada nul·la, la identitat té derivada 1 i les potències naturals compleixen . La coincidència dels dos límits laterals és necessària per a l'existència de la derivada ordinària.

La funció valor absolut té límits laterals -1 i 1 a l'origen, per la qual cosa no és derivable a . Tota funció derivable en un punt és contínua en aquest punt, però el recíproc no és cert. COMPROVA EL QUE HAS APRÈS 5. Com es defineix la derivada d'una funció en l'extrem esquerre d'un interval tancat ? 6. Per quin motiu la funció no és derivable en el punt ? 7. Com demostra el lema que la derivabilitat implica continuïtat? Test Encercla la resposta correcta. Les solucions són al final. 8. Què mesura geomètricament la derivada d'una funció en un punt interior? 9. Quant val la derivada de f(x) = c per a qualsevol constant real?

f(x) = x x = 0 f (x ) 0 x x 0 f (x) = nxn 1 f(x) = x x = 0 [a, b] f(x) = x x = 0 La longitud de l'arc de corba a) El pendent de la recta tangent b) L'àrea compresa sota la corba c) La curvatura instantània del gràfic d) c a) 1 b) 0 c) No existeix el límit d) Càlcul Diferencial: Derivades, Teoremes i Convexitat 7 10. Quina afirmació descriu amb precisió la relació entre continuïtat i derivabilitat? 11. Quin és el valor de la derivada lateral dreta de "x" en x = 0? 2 Regles de derivació i derivació de funcions elementals EN ACABAR SABRÀS Demostrar formalment les regles de la suma, del producte i de l'invers multiplicatiu.

Formular i provar la regla de la cadena resolent la indeterminació mitjançant la funció auxiliar Φ(h). Calcular derivades de funcions inverses i deduir les expressions per a ln(x), , x^α, sin(x) i arcsin(x). PENSA-HI ABANS DE LLEGIR 12 Com es pot calcular la taxa de variació d'una funció composta si la funció intermèdia no varia de forma lineal? Àlgebra de derivades El càlcul diferencial disposa d'eines que permeten obtenir la derivada de combinacions de funcions a partir de les derivades individuals. Suposem dues funcions i definides en un entorn d'un punt , ambdues derivables en .

Recordem que la derivabilitat implica continuïtat (vegeu «Definició de derivada i derivabilitat»), de manera que . Per a la suma, el quocient incremental es descompon de forma directa: Així doncs, (f+g)'(x_0) = f'(x_0) + g'(x_0). Per al producte , s'afegeix i es resta el terme creuat en el numerador del límit: Fent tendir , la continuïtat de assegura que .

Obtenim la regla del producte: La continuïtat garanteix sempre la derivabilitat a) Una funció mai pot ser derivable i discontínua alhora ni contínua sense derivada b) La derivabilitat implica necessàriament continuïtat c) Són propietats completament equivalents d) 0 a) -1 b) Infinit c) 1 d) ex f g x 0 x 0 lim f(x + h 0 0 h) = f(x ) 0 = h 0 lim h (f + g)(x + h) (f + g)(x ) 0 0 + = h 0 lim [ h f(x + h) f(x ) 0 0 h g(x + h) g(x ) 0 0 ] f (x ) + 0 g (x ) 0 f g f(x + 0 h)g(x ) 0 = h f(x + h)g(x + h) f(x )g(x ) 0 0 0 0 f(x + 0 h) + h g(x + h) g(x ) 0 0 g(x ) 0 h f(x + h) f(x ) 0 0 h 0 f f(x + 0 h) f(x ) 0 Càlcul Diferencial: Derivades, Teoremes i Convexitat 8 En el cas del recíproc multiplicatiu , cal la condició addicional .

Com que és contínua a , existeix un entorn on la funció no s'anul·la, garantint que estigui ben definida. El quocient diferencial s'escriu: En prendre el límit quan , el factor incremental tendeix a i el denominador a . En resulta la derivada del recíproc: COMPROVA-HO 13 Quin pas fonamental en la deducció de la regla del producte requereix la continuïtat de f a x0? La regla de la cadena Considerem un interval i una funció derivable a . Sigui derivable a .

La regla de la cadena estableix que la composició és derivable a i la seva derivada val: Si existís un entorn foradat de on , la demostració consistiria a multiplicar i dividir pel factor : Definint , com que és contínua es compleix que quan , de manera que el primer factor convergeix a i el segon a . Tanmateix, la funció podria oscil·lar o ser constant, fent que el denominador s'anul·li per a valors arbitraris de propers a zero. Per solventar aquesta dificultat es defineix el conjunt i la funció auxiliar següent: Gràcies a la definició de derivada de a , .

Aleshores, la identitat incremental es verifica sempre, tant si com si : Prenent el límit quan , el producte de límits reprodueix de forma rigorosa .

= h 0 lim h (f g)(x + h) (f g)(x ) 0 0 f(x )g (x ) + 0 0 g(x )f (x ) 0 0 1/f f(x ) = 0 0 f x 0 1/f = h (x + h) (x ) f 1 0 f 1 0 = f(x + h)f(x )h 0 0 f(x ) f(x + h) 0 0 h f(x + h) f(x ) 0 0 f(x + h)f(x ) 0 0 1 h 0 f (x ) 0 (f(x )) 0 2 (x ) = ( f 1 ) 0 (f(x )) 0 2 f (x ) 0 (a, b) g : (a, b) R x 0 (a, b) f : (c, d) R g(x ) 0 (c, d) f g x 0 (f g) (x ) = 0 f (g(x )) 0 g (x ) 0 x 0 g(x + 0 h) g(x ) = 0 0 g(x + 0 h) g(x ) 0 = h f(g(x + h)) f(g(x )) 0 0 g(x + h) g(x ) 0 0 f(g(x + h)) f(g(x )) 0 0 h g(x + h) g(x ) 0 0 k = g(x + 0 h) g(x ) 0 g k 0 h 0 f (g(x )) 0 g (x ) 0 g h H = 0 {h R : g(x + 0 h) = g(x )} 0 Φ(h) = g(x + h) g(x ) 0 0 f(g(x + h)) f(g(x )) 0 0 f (g(x )) 0 si h H / 0 si h H 0 f g(x ) 0 lim Φ(h) = h 0 f (g(x )) 0 h H 0 h / H 0 = h f(g(x + h)) f(g(x )) 0 0 Φ(h) h g(x + h) g(x ) 0 0 h 0 f (g(x )) 0 g (x ) 0 Càlcul Diferencial: Derivades, Teoremes i Convexitat 9 PROCÉS Mecanisme de la regla de la cadena 1 Variable inicial x Increment h al voltant de x0 2 Transformació per g Genera taxa de variació g'(x0) 3 Aplicació de f Avalua la taxa f'(g(x0)) 4 Producte de taxes Resultat final f'(g(x0)) · g'(x0) ERROR FREQÜENT En derivar expressions compostes com , un descuit habitual és oblidar multiplicar pel factor intern .

Per exemple, la derivada de no és simplement , sinó que exigeix afegir la derivada de l'exponent, que és . COMPROVA-HO 14 Per què cal introduir la funció auxiliar Φ(h) en la demostració de la regla de la cadena en lloc de dividir directament entre g(x0+h) - g(x0)? Derivada de la funció inversa Sigui una funció contínua i injectiva a l'interval , i suposem que és derivable en un punt amb . Sota aquestes condicions, la funció inversa està ben definida sobre la seva imatge i és contínua. El teorema afirma que és derivable en el punt amb valor: Per provar-ho, avaluem el quocient incremental de en el punt : Definim la variable auxiliar . D'aquí s'aïlla com a .

Atès que és contínua a , si aleshores .

Substituint aquestes equivalències a l'expressió del límit: h(x) = f(g(x)) g (x) x = α eα ln x eα ln x x α f : (a, b) R (a, b) x 0 (a, b) f (x ) = 0 0 f 1 f 1 f(x ) 0 (f ) (f(x )) = 1 0 f (x ) 0 1 f 1 f(x ) 0 h 0 lim h f (f(x ) + h) f (f(x )) 1 0 1 0 k = f (f(x ) + 1 0 h) x 0 h h = f(x + 0 k) f(x ) 0 f 1 f(x ) 0 h 0 k 0 = h 0 lim f(x + k) f(x ) 0 0 k = k 0 lim k f(x + k) f(x ) 0 0 1 f (x ) 0 1 Càlcul Diferencial: Derivades, Teoremes i Convexitat 10 PROCÉS Derivació de la funció inversa 1 Funció directa f Injectiva, contínua i f'(x0) 0 2 Canvi incremental Relació k = f ¹(f(x0)+h) - x0 3 Inversió del quocient Límit de k / (f(x0+k) - f(x0)) 4 Derivada recíproca S'obté 1 / f'(x0) COMPROVA-HO 15 Quina hipòtesi sobre f'(x0) és indispensable per poder calcular la derivada de f^(-1) en el punt f(x0)?

Càlcul de derivades de funcions elementals Mitjançant els teoremes exposats i els límits fonamentals, es dedueixen les derivades de les funcions bàsiques: Logaritme natural: Sigui per a . El quocient diferencial permet usar propietats logarítmiques: Per tant, . Funció exponencial: Com que és la funció inversa de , apliquem la derivada de la funció inversa tenint en compte que : Així, (e^x)' = e^x per a tot . Funció potència general: Per a i , definim . Aplicant la regla de la cadena amb la derivada de l'exponencial i del logaritme: Funció sinus: Usant la identitat trigonomètrica de diferència de sinus : Prenent límit quan , atès que , resulta . Funció arcsinus: La funció és la inversa de .

Aplicant el teorema de la funció inversa per a : f(x) = lnx x > 0 = h 0 lim h ln(x + h) lnx ln 1 + = h 0 lim ( x h ) 1/h ln 1 + = h 0 lim [( x/h 1 ) x/h ] 1/x ln e = ( 1/x ) x 1 (lnx) = x 1 g(x) = ex f(y) = lny f (y) = 1/y g (x) = = f (g(x)) 1 = 1/ex 1 ex x R α R x > 0 h(x) = x = α eα ln x h (x) = e α ln x α = ( x 1 ) x α = x α αxα 1 sinA sinB = 2 sin cos 2 A B 2 A+B = h sin(x + h) sinx = h 2 sin(h/2) cos x + h/2 ( ) cos x + h/2 sin(h/2) ( 2 h ) h 0 lim = u 0 u sin u 1 (sinx) = cos x k(x) = arcsinx sin : ( π/2, π/2) ( 1, 1) c ( π/2, π/2) Càlcul Diferencial: Derivades, Teoremes i Convexitat 11 Com que a l'interval el cosinus és estrictament positiu, es pren l'arrel positiva.

Fent la substitució per a : Funció Derivada Domini de derivabilitat COMPROVA-HO 16 Per què a la derivada de arcsin(x) es pren estrictament l'arrel positiva (1 - sin² c)? IDEES CLAU La continuïtat d'una funció derivable en el punt és imprescindible per establir la regla del producte i la del recíproc. La regla de la cadena s'expressa com i requereix la funció auxiliar per cobrir els casos d'anul·lació de . La derivada de la funció inversa compleix sempre que . La funció potència es deriva expressant-la com a composició exponencial . La derivada de és a com a conseqüència directa de la regla de la inversa aplicada al sinus. COMPROVA EL QUE HAS APRÈS 17.

Com s'expressa i es dedueix la derivada del recíproc 1/f a partir del límit del quocient incremental? 18. Com s'obté la derivada de la funció exponencial utilitzant la propietat de funció inversa? k (sinc) = = cos c 1 1 sin c 2 1 ( π/2, π/2) x = sinc x ( 1, 1) (arcsinx) = 1 x2 1 f(x) f (x) ln x 1/x x > 0 ex ex R xα αxα 1 x > 0 sin x cos x R arcsin x 1/ 1 x2 ( 1, 1) (f g) (x ) = 0 f (g(x ))g (x ) 0 0 Φ(h) g(x + 0 h) g(x ) 0 (f ) (f(x )) = 1 0 1/f (x ) 0 f (x ) = 0 0 xα eα ln x arcsinx 1/ 1 x2 ( 1, 1) ex Càlcul Diferencial: Derivades, Teoremes i Convexitat 12 Test Encercla la resposta correcta. Les solucions són al final. 19.

Quina és la derivada de la funció recíproca 1/f en un punt x0 on f(x0) 0? 20. Quin és el propòsit de la funció auxiliar Φ(h) a la regla de la cadena? 21. Sota quines condicions és derivable la funció inversa f ¹ en el punt f(x0)? 22. Quin és el domini de derivabilitat de la funció arcsin(x)? 3 Teoremes de Rolle i del Valor Mitjà de Lagrange EN ACABAR SABRÀS Demostrar el Teorema de Rolle a partir de la condició d'anul·lació de la derivada i el Teorema de Weierstrass. Formular i provar el Teorema del Valor Mitjà de Lagrange mitjançant una funció secant auxiliar. Deduir el caràcter constant o monòton d'una funció analitzant el signe de la seva primera derivada.

Explicar el Teorema de Darboux i aplicar el teorema de la funció inversa en condicions locals. PENSA-HI ABANS DE LLEGIR 23 Si durant un viatge de 100 km tardes exactament una hora, vas anar en algun instant a 100 km/h exactes?

-1 / (f'(x0))² a) -f'(x0) / f(x0) b) -f'(x0) / (f(x0))² c) f'(x0) / (f(x0))² d) Garantir la continuïtat de la funció f a) Demostrar que la funció g és injectiva b) Calcular la segona derivada de la composició c) Evitar la divisió quan g(x0+h) - g(x0) = 0 d) f contínua amb derivada f'(x0) = 0 a) Únicament si f és una funció polinòmica b) f derivable a x0 amb f'(x0) 0 c) Només si f''(x0) és estrictament positiva d) [-1, 1] a) (- , + ) b) (-1, 1) c) (0, + ) d) Càlcul Diferencial: Derivades, Teoremes i Convexitat 13 L'anàlisi del comportament global d'una funció a partir de la seva informació puntual és un dels objectius centrals del càlcul diferencial.

Els teoremes de Rolle i del Valor Mitjà de Lagrange actuen com a pont rigorós entre la derivada en punts concrets i les propietats globals com la monotonia o la constància. PROCÉS Encadenament lògic dels teoremes fonamentals 1 Weierstrass Assegura màxim i mínim en tancats 2 Rolle Tangent horitzontal si f(a) = f(b) 3 Lagrange Pendent tangent igual a pendent secant 4 Monotonia El signe de f' determina el creixement Condició d'anul·lació en extrems locals Un punt essencial abans d'estudiar resultats globals és analitzar com es comporta la derivada en un extrem local o relatiu.

Recordem que un punt és un màxim relatiu si existeix un entorn obert al voltant de tal que per a tot (o mínim relatiu si ). CONDICIÓ NECESSÀRIA D'EXTREM LOCAL Sigui i sigui un extrem local de interior a l'interval. Si és derivable en , aleshores f'(c) = 0. Per provar-ho, suposem per exemple que és un mínim a l'interval obert , de manera que per a tot . Com que és derivable en (vegeu «Definició de derivada i derivabilitat»), el límit del quocient incremental existeix i coincideix amb els dos límits laterals: Com que en tots dos casos: Quan , el quocient és no negatiu, de manera que el límit per la dreta és més gran o igual que zero: .

Quan , el numerador és positiu o nul i el denominador és negatiu, fent que el límit per l'esquerra sigui no positiu: . En coincidir ambdós límits laterals per hipòtesi de derivabilitat, l'única possibilitat és que . El mateix raonament s'aplica de forma simètrica si és un màxim local. COMPROVA-HO 24 Per què la condició f'(c) = 0 requereix que c sigui un punt interior de l'interval de definició?

c I J I c f(x) f(c) x J f(x) f(c) f : I R c I f f c c (a, b) f(x) f(c) x (a, b) f c = h 0+ lim h f(c + h) f(c) = h 0 lim h f(c + h) f(c) f (c) f(c + h) f(c) 0 h > 0 f (c) 0 h < 0 f (c) 0 f (c) = 0 c Càlcul Diferencial: Derivades, Teoremes i Convexitat 14 El Teorema de Rolle El resultat fonamental degut a Rolle estableix l'existència d'un punt amb tangent horitzontal quan una funció pren el mateix valor als dos extrems d'un interval. TEOREMA DE ROLLE Sigui una funció contínua a l'interval tancat i derivable a l'interval obert . Si es compleix que , aleshores existeix com a mínim un punt interior tal que f'(c) = 0. La demostració es basa en el Teorema de Weierstrass.

Com que és contínua sobre el compacte , assoleix un valor màxim absolut i un mínim absolut en l'interval: PER RECORDAR-HO Rolle requereix tres condicions indispensables: continuïtat a l'interval tancat , derivabilitat a l'obert i igualtat als extrems . Si falla una sola hipòtesi, el resultat no es pot garantir. COMPROVA-HO 25 Què passa amb la conclusió de Rolle si una funció és derivable a (a, b) i compleix f(a) = f(b), però és discontínua a un dels extrems? El Teorema del Valor Mitjà de Lagrange El Teorema del Valor Mitjà de Lagrange generalitza el Teorema de Rolle al cas en què els valors de la funció als extrems no són necessàriament coincidents.

Geomètricament, assegura que en algun punt interior la recta tangent és paral·lela a la recta secant que uneix els punts i . TEOREMA DEL VALOR MITJÀ DE LAGRANGE Sigui contínua a i derivable a . Aleshores existeix almenys un punt tal que: Per demostrar-lo, es construeix una funció auxiliar que mesura la distància vertical entre la corba i la recta secant que connecta els extrems de la gràfica: f : [a, b] R [a, b] (a, b) f(a) = f(b) c (a, b) f [a, b] Si tant el màxim absolut com el mínim absolut s'assoleixen a la frontera , donat que , el valor màxim i el mínim coincideixen. Per tant, és una funció constant a tot i la seva derivada s'anul·la a qualsevol punt interior .

1 {a, b} f(a) = f(b) f [a, b] c (a, b) Si algun dels extrems absoluts (màxim o mínim) s'assoleix en un punt interior , aquest punt és automàticament un extrem relatiu. Aplicant el lema anterior, com que és derivable a , es dedueix immediatament que . 2 c (a, b) f c f (c) = 0 [a, b] (a, b) f(a) = f(b) (a, f(a)) (b, f(b)) f : [a, b] R [a, b] (a, b) c (a, b) f (c) = b a f(b) f(a) h(x) y = f(x) Càlcul Diferencial: Derivades, Teoremes i Convexitat 15 Aquesta funció compleix les hipòtesis de Rolle: És contínua a per ser resta de i d'un polinomi de primer grau. És derivable a pel mateix motiu. Als extrems val exactament zero: i . Per tant, existeix amb .

Com que la derivada de la funció auxiliar és: En igualar a zero obtenim la igualtat de Lagrange buscada: . ERROR FREQÜENT Exigir derivabilitat a l'interval tancat és innecessari i pot fer descartar problemes vàlids. N'hi ha prou amb continuïtat a i derivabilitat a l'obert . En canvi, si oblidem comprovar la continuïtat als punts extrems o , el teorema no serà aplicable. Conseqüències directes: funcions constants i monotonia La importància teòrica del Teorema del Valor Mitjà rau en els seus corol·laris, que permeten conèixer la variació global d'una funció mitjançant el signe de la seva primera derivada.

Hipòtesi sobre a Comportament global de Relació amb el recíproc per a tot f és constant a Equivalència exacta (si és constant, ) per a tot f és estrictament creixent El recíproc és fals (vegeu el cas ) per a tot f és estrictament decreixent El recíproc és fals (la derivada pot anul·lar-se puntualment) creixent en un interval per a tot Les desigualtats estrictes es perden pel pas al límit La demostració d'aquests corol·laris és immediata gràcies a Lagrange. Per a dos punts qualssevol amb , existeix tal que: Com que , el signe de l'increment és exactament el signe de : Si a tot l'interval, , demostrant que la funció no varia. Si a tot l'interval, , per la qual cosa és estrictament creixent.

h(x) = f(x) (x b a f(b) f(a) a) f(a) h [a, b] f (a, b) h(a) = f(a) 0 f(a) = 0 h(b) = f(b) (f(b) f(a)) f(a) = 0 c (a, b) h (c) = 0 h (x) = f (x) b a f(b) f(a) f (c) = b a f(b) f(a) [a, b] [a, b] (a, b) a b f (x) (a, b) f f (x) = 0 x (a, b) f f = 0 f (x) > 0 x f(x) = x3 f (x) < 0 x f f (x) 0 x x, y (a, b) x < y c (x, y) f(y) f(x) = f (c)(y x) y x > 0 f(y) f(x) f (c) f (x) = 0 f(y) f(x) = 0 f(x) = f(y) f (x) > 0 f(y) f(x) > 0 f(x) < f(y) f Càlcul Diferencial: Derivades, Teoremes i Convexitat 16 EXEMPLE: LA FALLIDA DEL RECÍPROC DE LA MONOTONIA ESTRICTA Considerem la funció en tot . Aquesta funció és estrictament creixent, ja que si aleshores .

No obstant això, la seva derivada és , la qual s'anul·la exactament en l'origen: . Per tant, que una funció sigui estrictament creixent no garanteix que en tots els punts; només podem assegurar la desigualtat feble per conservació del signe en el pas al límit del quocient incremental. COMPROVA-HO 26 Quina cadena d'implicacions resumeix la relació entre el signe de la derivada i el creixement d'una funció? Teorema de Darboux i Teorema Local de la Funció Inversa Les derivades tenen propietats especials d'oscil·lació encara que no siguin contínues. El Teorema de Darboux afirma que tota funció derivada compleix la propietat dels valors intermedis.

TEOREMA DE DARBOUX Sigui la derivada d'una funció derivable (és a dir, ). Si per a dos punts de l'interval es compleix , aleshores existeix un punt intermedi tal que f(c) = 0. La demostració es fa per reducció a l'absurd. Suposem que i sobre un interval . Si fos injectiva a , en ser contínua hauria de ser estrictament monòtona. Però si fos monòtona creixent tindríem arreu (contradient ), i si fos decreixent (contradient ). Com que no és injectiva, han d'existir dos punts amb . Aplicant Rolle a a l'interval , existeix tal que .

Finalment, combinant la monotonia i la continuïtat de la derivada, s'obté el teorema de la funció inversa local (per al càlcul operatiu de la derivada inversa, vegeu «Regles de derivació i derivació de funcions elementals»): TEOREMA DE LA FUNCIÓ INVERSA LOCAL Sigui derivable en un entorn de , amb contínua en aquest entorn. Si , aleshores existeix un entorn de en el qual és invertible, i la derivada de la funció inversa en el punt és: La prova es basa en el fet que, en ser contínua i no nul·la a , conserva el seu signe en un entorn prou petit al voltant de . Pel criteri de monotonia, hi és estrictament monòtona i, en conseqüència, injectiva i invertible localment.

COMPROVA-HO 27 Quina és la diferència clau entre el Teorema de Bolzano clàssic i el Teorema de Darboux? f(x) = x3 R x < 1 x 2 x < 1 3 x 2 3 f (x) = 3x2 f (0) = 0 f (x) > 0 f (x) 0 f : (a, b) R g f = g f(a)f(b) < 0 c (a, b) f(x) > 0 f(y) < 0 [x, y] g [x, y] g 0 f(y) < 0 g 0 f(x) > 0 α < β g(α) = g(β) g [α, β] c g (c) = f(c) = 0 f x 0 f f (x ) = 0 0 x 0 f f 1 f(x ) 0 (f ) (f(x )) = 1 0 f (x ) 0 1 f x 0 (b, c) x 0 f Càlcul Diferencial: Derivades, Teoremes i Convexitat 17 IDEES CLAU En un extrem relatiu interior d'una funció derivable, la primera derivada s'anul·la obligatòriament ( ).

El Teorema de Rolle garanteix una tangent horitzontal quan la funció és contínua a , derivable a i pren el mateix valor als extrems. El Teorema de Lagrange estén Rolle a qualsevol parell de valors: existeix un punt interior amb el mateix pendent que la recta secant. Si en un interval obert, la funció és necessàriament constant en aquest interval. Una derivada estrictament positiva implica que la funció és estrictament creixent, però el recíproc falla com demostra . El Teorema de Darboux garanteix que les derivades tenen la propietat dels valors intermedis encara que no siguin contínues. COMPROVA EL QUE HAS APRÈS 28. Com es dedueix el Teorema de Lagrange a partir del Teorema de Rolle? 29.

Per què la funció demostra que el recíproc del criteri de monotonia estricta és fals? Test Encercla la resposta correcta. Les solucions són al final. 30. Quina condició és imprescindible sobre els extrems per aplicar el Teorema de Rolle? 31. Què garanteix el Teorema del Valor Mitjà de Lagrange per a una funció? 32. Si f'(x) = 0 per a tot punt d'un interval obert (a, b), com és f?

f (c) = 0 [a, b] (a, b) f (x) = 0 f(x) = x3 f(x) = x3 f'(a) = f'(b) a) f(a) = f(b) b) f(a) = 0 i f(b) = 0 c) f'(a) = 0 d) Que la segona derivada s'anul·la a) Un punt on la tangent és horitzontal b) Un punt amb derivada igual al pendent secant c) Que la funció té màxim i mínim absoluts d) Còncava a l'interval a) Estrictament creixent b) Constant a l'interval c) Nul·la a tot arreu d) Càlcul Diferencial: Derivades, Teoremes i Convexitat 18 33. Què estableix el Teorema de Darboux per a les funcions derivades? 4 Teorema de Cauchy i Regles de L'Hôpital EN ACABAR SABRÀS Demostrar el Teorema del Valor Mitjà de Cauchy a partir del Teorema de Rolle.

Comprovar la continuïtat uniforme de funcions amb derivada controlada per C/ x mitjançant Cauchy. Identificar situacions i contraexemples on la regla de L'Hôpital no és aplicable. Exposar les demostracions formals de la regla de L'Hôpital per als casos 0/0 i / . PENSA-HI ABANS DE LLEGIR 34 Si el quocient f'(x)/g'(x) oscil·la sense aturar-se en acostar-nos a un punt, podem afirmar que f(x)/g(x) no té límit? El Teorema del Valor Mitjà de Cauchy El Teorema del Valor Mitjà de Lagrange (vegeu «Teoremes de Rolle i del Valor Mitjà de Lagrange») relaciona la variació mitjana d'una funció amb la seva derivada instantània en un punt intermedi.

Tanmateix, quan comparem el ritme de variació simultani de dues funcions diferents, necessitem una generalització més potent: el Teorema del Valor Mitjà de Cauchy. DEFINICIÓ Siguin dues funcions contínues a l'interval tancat i derivables a l'interval obert . Aleshores, existeix almenys un punt tal que: La demostració d'aquest resultat és directa construint una funció auxiliar que anul·li els extrems per aplicar el Teorema de Rolle (vegeu «Teoremes de Rolle i del Valor Mitjà de Lagrange»). Definim la funció com: Com que i són contínues a i derivables a , la combinació lineal també ho és.

Avaluem els extrems de l'interval: Són sempre estrictament monòtones a) Són sempre derivables b) Compleixen la propietat dels valors intermedis c) Són sempre funcions contínues d) f, g : [a, b] R [a, b] (a, b) c (a, b) f (c)(g(b) g(a)) = g (c)(f(b) f(a)) h(x) h(x) = f(x)(g(b) g(a)) g(x)(f(b) f(a)) f g [a, b] (a, b) h h(a) = f(a)g(b) f(a)g(a) g(a)f(b) + g(a)f(a) = f(a)g(b) g(a)f(b) Càlcul Diferencial: Derivades, Teoremes i Convexitat 19 Comprovem que . Pel Teorema de Rolle, existeix un punt tal que . Derivant l'expressió de obtenim directament la igualtat cercada. Quan afegim la hipòtesi que per a tot , el Teorema de Rolle garanteix que .

Sota aquesta condició addicional, la igualtat de Cauchy s'expressa habitualment en forma de quocient: COMPROVA-HO 35 Quina relació té el Teorema de Cauchy amb el Teorema del Valor Mitjà de Lagrange clàssic? Preservació de successions de Cauchy i continuïtat uniforme Una aplicació teòrica rellevant del Teorema de Cauchy és l'anàlisi de quines funcions preserven les successions de Cauchy a l'interval obert . Recordem que en un conjunt tancat com tota successió de Cauchy és convergent, i per tant la continuïtat ordinària basta per preservar-les. A , en canvi, existeixen successions de Cauchy que convergeixen cap a 0 (per exemple, ), el límit de les quals cau fora de l'interval de definició.

Una funció contínua pot enviar una successió de Cauchy a una successió no fitada que no sigui de Cauchy; l'exemple clàssic és sobre . De fet, es compleix el resultat fonamental següent: DEFINICIÓ Una funció preserva successions de Cauchy si, i només si, és uniformement contínua a . En efecte, si és uniformement contínua, donat qualsevol existeix un independent del punt de manera que . Si és de Cauchy, per a índexs prou grans tenim , la qual cosa assegura immediatament . A la inversa, si no fos uniformement contínua, existiria algun tal que per a tot trobaríem parelles amb distància però amb .

Prenent parcials convergents a , la successió entrellaçada seria de Cauchy a , però les seves imatges no formarien una successió de Cauchy. Com podem garantir aquesta propietat mitjançant les derivades? El càlcul diferencial ens ofereix dues condicions suficients: Derivada fitada: Si existeix una constant tal que per a tot , pel Teorema de Lagrange tenim , garantint la condició. Derivada controlada per : Si la derivada satisfà , ja no és fitada a prop de zero. Aquí el Teorema de Lagrange falla, però el Teorema de Cauchy resol el problema.

h(b) = f(b)g(b) f(b)g(a) g(b)f(b) + g(b)f(a) = f(b)g(a) + g(b)f(a) h(a) = h(b) c (a, b) h (c) = 0 h(x) g (x) = 0 x (a, b) g(b) = g(a) = g(b) g(a) f(b) f(a) g (c) f (c) (0, 1) [0, 1] (0, 1) x = n 1/n f(x) = 1/x (0, 1) f : (0, 1) R (0, 1) f ν > 0 θ > 0 x y < δ f(x) f(y) < ε x n n, m x n x < m θ f(x ) n f(x ) < m ν f ν > 0 θ = n 1/n x , y (0, 1) n n x n y < n 1/n f(x ) n f(y ) ν n [0, 1] z = k (x , y , x , y , ...) n 1 n 1 n 2 n 2 (0, 1) f(z ) k C > 0 f (x) C x (0, 1) f(x ) n f(x ) = m f (c ) x n,m n x C x m n x m 1/arrel(x) f (x) C/ x Càlcul Diferencial: Derivades, Teoremes i Convexitat 20 Triem com a funció auxiliar de comparació a . Aquesta funció és contínua i la seva derivada és a .

Aplicant el Teorema de Cauchy a una parella de termes d'una successió de Cauchy : Com que és de Cauchy a , convergeix a la recta real cap a algun límit de . Donat que és contínua a tot , la successió d'imatges convergeix a i, per tant, és de Cauchy. La desigualtat obtinguda demostra que també és de Cauchy, de manera que tota funció amb derivada controlada per C/arrel(x) és uniformement contínua. COMPROVA-HO 36 Per què cal recórrer a Cauchy i no a Lagrange per provar que f preserva successions de Cauchy si "f'(x)" <= C / arrel(x)?

La Regla de L'Hôpital i l'anàlisi de contraexemples La regla de L'Hôpital és una eina clau per resoldre límits que presenten indeterminacions del tipus o comparant el quocient original amb el quocient de les derivades . Tanmateix, no es tracta d'una equivalència mecànica ni reversible. ERROR FREQÜENT No apliqueu la regla de L'Hôpital si el quocient no és una indeterminació legítima ( o ), o si el límit de les derivades no existeix. Si oscil·la sense límit, això no vol dir que el límit original no existeixi; simplement significa que la regla de L'Hôpital no és aplicable. Examinem amb cura els tres casos següents on un ús negligent condueix a errors greus: 1.

Absència d'indeterminació: Considerem el quocient quan : Si derivéssim acríticament numerador i denominador obtindríem: El resultat és completament erroni perquè el límit inicial no presentava una indeterminació. 2. Funció oscil·latòria a l'infinit: Quan analitzem el comportament quan de: Dividint numerador i denominador per trobem immediatament que el límit val 1.

Si intentem aplicar L'Hôpital calculant les derivades: g(x) = arrel(x) [0, 1] g (x) = 1/(2arrel(x)) = 0 (0, 1) x , x n m f(x ) n f(x ) = m g(x ) g (c ) n,m f (c ) n,m n g(x ) g(x ) m 1/(2arrel(c )) n,m C/arrel(c ) n,m n g(x ) = m 2C g(x ) n g(x ) m x n (0, 1) [0, 1] g [0, 1] g(x ) n R f(x ) n 0/0 / f (x)/g (x) 0/0 /( ) l mf (x)/g (x) ı ˊ x 0 l m = ı ˊ x 0 cos x x2 = 1 0 0 l m = ı ˊ x 0 sin x 2x 2 x + l m ı ˊ x + x cos x x + sin x x l m ı ˊ x + 1 + sin x 1 + cos x Càlcul Diferencial: Derivades, Teoremes i Convexitat 21 Aquest darrer quocient no té límit a causa de l'oscil·lació infinita de les funcions trigonomètriques.

El límit inicial existeix i val 1, mentre que el quocient de derivades no convergeix. 3. Oscil·lació ràpida en un punt finit: Considerem el límit quan de: Com que i , el límit original existeix i val clarament 0. En canvi, el quocient de les funcions derivades és: Quan , el terme no convergeix, de manera que el límit de les derivades no existeix. COMPROVA-HO 37 Si el límit de f'(x)/g'(x) no existeix, podem assegurar que el límit de f(x)/g(x) tampoc no existeix? Demostració de la Regla de L'Hôpital per al cas 0/0 DEFINICIÓ Siguin i funcions derivables en un entorn perforat de tals que: 1. 2. Existeix el límit Aleshores, .

La demostració es recolza de manera impecable en el Teorema del Valor Mitjà de Cauchy seguint aquests passos: x 0 l m ı ˊ x 0 sin x x sin(1/x) 2 sin x ~ x xsin(1/x) x 0 cos x 2xsin(1/x) cos(1/x) x 0 cos(1/x) f g x = a l m f(x) = ı ˊ x a l m g(x) = ı ˊ x a 0 lim = x a g (x) f (x) ρ R {± } l m = ı ˊ x a g(x) f(x) ρ Definició del quocient de derivades: Com que el límit de existeix, hi ha un entorn de on les funcions són derivables i per a tot . 1 f (x)/g (x) (b, c) a g (x) = 0 x = a Extensió per continuïtat: Encara que o no estiguessin definides d'inici, podem fixar i . Com que els límits són nuls, aquesta extensió fa que i siguin contínues al punt .

2 f(a) g(a) f(a) = 0 g(a) = 0 f g a No anul·lació del denominador: Si existís algun amb , com que , pel Teorema de Rolle existiria un punt intermig amb , contradient que no s'anul·la a l'entorn perforat. Així, si . 3 ν (b, c) {a} g(ν) = 0 g(a) = 0 g (β) = 0 g g(x) = 0 x = a Aplicació de Cauchy: Per a qualsevol amb , apliquem el Teorema de Cauchy a l'interval tancat d'extrems i : on és un punt situat estrictament entre i . 4 x (b, c) x = a a x = g(x) f(x) = g(x) g(a) f(x) f(a) g (d ) x f (d ) x d x a x Càlcul Diferencial: Derivades, Teoremes i Convexitat 22 PROCÉS Passos de la demostració de L'Hôpital (0/0) 1 Extensió contínua Fixem f(a) = 0 i g(a) = 0 als extrems.

2 Injectivitat local g' diferent de zero garanteix que g no s'anul·la. 3 Aplicació de Cauchy f(x)/g(x) s'iguala a f'(d_x)/g'(d_x) a l'interval. 4 Pas al límit Quan x tendeix a a, el punt intermedi d_x tendeix a a. Demostració del cas / mitjançant el Criteri de Stolz Abordem ara el cas en què el denominador tendeix a infinit. Formularem la demostració per a un límit lateral per la dreta sota les hipòtesis següents: No cal exigir cap comportament previ per a ; només cal que el denominador divergeixi.

Per la caracterització dels límits de funcions mitjançant successions, és suficient provar que per a qualsevol successió decreixent amb , es compleix: Com que a prop de i és derivable, és contínua i injectiva (ja que si repetís valor, Rolle implicaria un zero de ). En conseqüència, és estrictament monòtona. Atès que quan , la successió és estrictament creixent i divergeix cap a quan els índexs avancen cap al límit. Això permet aplicar el Criteri de Stolz per a successions: Ara apliquem el Teorema del Valor Mitjà de Cauchy a cada interval .

Existeix un punt que satisfà: Com que tenim la cadena d'ordenació i ambdós extrems convergeixen a , pel lema del sandvitx (o regla de l'encaix) deduïm que . Finalment: Pas al límit: Quan , el punt intermedi es veu forçat a convergir cap a pel teorema de l'encaix.

Per tant: 5 x a d x a l m = ı ˊ x a g(x) f(x) l m = ı ˊ x a g (d ) x f (d ) x l m = ı ˊ d a x g (d ) x f (d ) x ρ x a+ g(x) = x a+ lim + i = x a+ lim g (x) f (x) f(x) x n a+ x (a, a + n θ) l m = ı ˊ n + g(x ) n f(x ) n ρ g (x) = 0 a g g g g g(x) + x a+ g(x ) n + l m = ı ˊ n + g(x ) n f(x ) n l m ı ˊ n + g(x ) g(x ) n+1 n f(x ) f(x ) n+1 n [x , x ] n+1 n c (x , x ) n n+1 n = g(x ) g(x ) n+1 n f(x ) f(x ) n+1 n g (c ) n f (c ) n a < x < n+1 c < n x n a c n a+ l m = ı ˊ n + g(x ) n f(x ) n l m = ı ˊ n + g (c ) n f (c ) n l m = ı ˊ x a+ g (x) f (x) ρ Càlcul Diferencial: Derivades, Teoremes i Convexitat 23 Comparació d'hipòtesis i extensions La formulació de L'Hôpital s'estén directament tant a límits laterals ( , ) com a límits en l'infinit ( , ).

La taula següent resumeix les diferències lògiques entre ambdues situacions: Indeterminació Comportament requerit Paper de Eina fonamental de la prova i Ha de tendir a 0 obligatòriament Teorema de Cauchy puntual a l'interval Només cal que No cal conèixer el seu límit d'inici Criteri de Stolz, Cauchy en intervals i sandvitx Gràcies a aquest marc rigorós, la regla de L'Hôpital es consolida no com un truc algorítmic, sinó com un resultat analític profund basat en el comportament local dels increments funcionals. IDEES CLAU El Teorema de Cauchy estén el Teorema del Valor Mitjà al quocient de dues funcions derivables mitjançant una funció auxiliar anul·lada als extrems.

Una funció a l'interval preserva successions de Cauchy si, i només si, és uniformement contínua. Si una funció té derivada fitada o controlada per la condició a , aleshores és uniformement contínua. L'existència del límit del quocient de derivades és condició necessària per aplicar la regla de L'Hôpital; la seva manca d'existència no anul·la l'existència del límit original. La regla de L'Hôpital per a la indeterminació es demostra mitjançant el Teorema de Cauchy, mentre que el cas amb denominador divergent es prova mitjançant el criteri de Stolz i el lema del sandvitx. COMPROVA EL QUE HAS APRÈS 38. Com s'obté la fórmula de Cauchy ? 39.

Per què cal imposar a l'entorn del punt per avaluar el quocient per L'Hôpital? 40. Quin comportament s'exigeix al numerador en la demostració de la regla de L'Hôpital per al cas ? x a+ x a x + x f(x) 0/0 l m f(x) = ı ˊ 0 l m g(x) = ı ˊ 0 [a, x] / g(x) + [x , x ] n+1 n (0,1) f (x) C/arrel(x) (0,1) f (x)/g (x) 0/0 / f (c)(g(b) g(a)) = g (c)(f(b) f(a)) g (x) = 0 / Càlcul Diferencial: Derivades, Teoremes i Convexitat 24 Test Encercla la resposta correcta. Les solucions són al final. 41. Quin resultat s'aplica a la funció auxiliar h(x) per demostrar el Teorema de Cauchy? 42. Quina propietat té una funció derivable a (0,1) que compleix "f'(x)" <= C / x? 43.

Què passa amb L'Hôpital si el límit de f'(x)/g'(x) no existeix? 44. Quina eina permet reduir el cas de L'Hôpital amb denominador divergent a Cauchy? 5 Convexitat, concavitat i derivada segona EN ACABAR SABRÀS Deduir la convexitat mitjançant les desigualtats de pendents de cordes secants. Demostrar l'equivalència entre la convexitat d'una funció derivable i el creixement de la seva derivada primera. Analitzar la curvatura i determinar punts d'inflexió emprant el signe de la derivada segona. PENSA-HI ABANS DE LLEGIR 45 Per què el pendent d'una recta tangent a una corba convexa augmenta a mesura que ens desplacem cap a la dreta?

L'estudi de la curvatura permet descriure la forma qualitativa d'una corba dinàmicament mitjançant les eines del càlcul diferencial.

Criteri de Stolz a) Teorema de Rolle b) Regla de la cadena c) Teorema de Bolzano d) Té derivada fitada a) És discontínua en zero b) No preserva successions c) És uniformement contínua d) El límit original val zero a) El límit original és infinit b) El límit original no existeix c) La regla no és concloent d) Teorema de Darboux a) Fórmula de Taylor b) Criteri de Stolz c) Funció inversa d) Càlcul Diferencial: Derivades, Teoremes i Convexitat 25 ESQUEMA Estructura de la curvatura i derivada segona Definició geomètrica i lema de les pendents secants La curvatura d'una funció es formula originàriament a partir de la posició relativa entre la gràfica i els seus segments secants o cordes.

DEFINICIÓ Sigui una funció definida en un interval . Diem que és una funció convexa si, per a qualsevol parell de punts amb , el segment rectilini que uneix els punts i queda situat per damunt de la gràfica de en tot l'interval obert . Diem que és una funció còncava si el segment que connecta i queda per sota de la gràfica en tot l'interval . La concavitat és la propietat oposada: és còncava a si i només si l'oposada és convexa a . Per tant, els resultats desenvolupats per a la convexitat s'apliquen directament a funcions còncaves canviant el sentit de les desigualtats.

Per traduir aquesta condició geomètrica en càlcul algebraic, considerem l'equació de la recta secant que passa per i : Que la corba quedi per sota d'aquesta corda significa que per a tot . Si aïllem el quocient, obtenim la formulació equivalent mitjançant pendents.

Definició geomètrica Posició de la corda secant Lema de pendents Desigualtat en ternes de punts Derivada primera Posició respecte de la tangent Monotonia de f' f convexa si i només si f' creix Derivada segona Criteris analítics d'ordre dos Signe de f'' f'' no negativa determina convexitat Punts d'inflexió Transició entre convexitat i concavitat f : I R I f a, b I a < b (a, f(a)) (b, f(b)) f (a, b) f (a, f(a)) (b, f(b)) (a, b) f I f I (a, f(a)) (b, f(b)) y = f(a) + (x b a f(b) f(a) a) f(x) < f(a) + (x b a f(b) f(a) a) x (a, b) Càlcul Diferencial: Derivades, Teoremes i Convexitat 26 LEMA DE LES PENDENTS SECANTS Una funció és convexa a l'interval si i només si es compleix la desigualtat: per a qualsevol terna de punts amb .

De manera anàloga, si escrivim l'equació de la recta forçant el pas pel punt extrem , la condició de convexitat admet la formulació equivalent: per a tota terna en . COMPROVA-HO 46 Què expressa geomètricament el lema de les pendents secants sobre els segments formats per a < x < b? Convexitat i rectes tangents Quan la funció és derivable, la convexitat determina la posició geomètrica de la gràfica respecte de cadascuna de les seves rectes tangents (vegeu «Definició de derivada i derivabilitat»). Si considerem i avaluem la funció incremental en els punts , el lema de les pendents secants garanteix que . En conseqüència, és monòtona creixent respecte a .

En prendre el límit per la dreta quan , deduïm que: Això implica que , és a dir, per a tot . Un raonament simètric amb increments negatius condueix exactament a la mateixa desigualtat: la gràfica queda per damunt de la tangent. A més, si avaluem aquesta relació entre dos punts qualsevol de l'interval, obtenim la cadena de desigualtats: D'on resulta de forma immediata que sempre que . Equivalència entre convexitat i monotonia de la derivada primera El resultat central per a funcions derivables estableix una correspondència directa entre la curvatura de la funció i la variació del seu pendent tangent.

f : I R I < x a f(x) f(a) b a f(b) f(a) a, x, b I a < x < b (b, f(b)) < b x f(b) f(x) b a f(b) f(a) a < x < b I 0 < h < 1 h 2 F (h) = h f(a+h) f(a) a < a + h < 1 a + h 2 F (h ) < 1 F (h ) 2 F (h) h h 0+ F (h) > F (h) = h 0+ lim f (a) > h f(a+h) f(a) f (a) f(a + h) > f(a) + f (a)h h > 0 h < 0 a < b f (a) < < b a f(b) f(a) f (b) f (a) < f (b) a < b Càlcul Diferencial: Derivades, Teoremes i Convexitat 27 TEOREMA D'EQUIVALÈNCIA Sigui derivable a l'interval . Aleshores, f és convexa si i només si f' és creixent a .

Per establir el sentit recíproc d'aquest teorema, s'utilitza una propietat prèvia fonamentada en el teorema de Rolle (vegeu «Teoremes de Rolle i del Valor Mitjà de Lagrange»): LEMA AUXILIAR DE ROLLE Si és derivable i és creixent en amb , aleshores necessàriament per a tot . La demostració del lema opera per reducció a l'absurd. Si existís algun punt intermedi amb , el teorema de Rolle proporcionaria dos punts tals que , contradient el creixement estricte de la derivada. De la mateixa manera, la hipòtesi forçaria , fet que impossibilita que sigui creixent. Definint la funció auxiliar associada a la corda secant: observem que manté el creixement de , i compleix .

El lema auxiliar garanteix que a l'interior, provant la convexitat de . COROL·LARI DE SUPORT TANGENT Sigui una funció derivable en . La funció és convexa si i només si qualsevol tangent a la gràfica queda estrictament per sota d'aquesta, llevat del punt de contacte. COMPROVA-HO 47 Si una funció derivable té derivada decreixent f' en un interval, com se situa la corba respecte a les rectes tangents? Criteris de curvatura amb la derivada segona L'anàlisi del creixement de la derivada primera es pot traslladar al signe de la seva pròpia derivada, conduint a les derivades d'ordre superior. DEFINICIÓ Sigui una funció derivable en .

Si la funció derivada és derivable en un punt , diem que és dues vegades derivable en aquest punt. El valor es denota per i s'anomena segona derivada de a .

Aplicant el criteri de monotonia basat en el teorema del valor mitjà (vegeu «Teoremes de Rolle i del Valor Mitjà de Lagrange») sobre la funció , s'obté la caracterització analítica de segon ordre: f : I R I I f f [a, b] f(a) = f(b) f(x) < f(a) = f(b) x (a, b) f(x) = f(a) x < 1 x 2 f (x ) = 1 f (x ) = 2 0 f(x) > f(a) f (a) 0 f (b) f g(x) = f(x) (x b a f(b) f(a) a) g (x) = f (x) b a f(b) f(a) f g(a) = g(b) = 0 g(x) < 0 f f I f f I f : I R a I f (f ) (a) f (a) f a f Càlcul Diferencial: Derivades, Teoremes i Convexitat 28 Geometria de la corda Posició de la tangent Monotonia de Signe de Corda per damunt de la corba Tangent per sota de la corba creixent (convexa) Corda per sota de la corba Tangent per damunt de la corba decreixent (còncava) Punts d'inflexió i convexitat local Quan la convexitat no es manté uniforme en tot un interval global, s'utilitza la noció local de curvatura en l'entorn d'un punt concret.

DEFINICIÓ Diem que és convexa (respectivament còncava) al punt si existeix un interval obert tal que on la restricció és convexa (respectivament còncava). Diem que un punt és un punt d'inflexió de si existeix un radi tal que és convexa a i còncava a , o bé còncava a i convexa a . Per a funcions derivables fins al segon ordre, la determinació dels punts d'inflexió es regeix per les condicions següents: Condició necessària: Si és un punt d'inflexió d'una funció dues vegades derivable en un entorn de , aleshores f''(a) = 0. Criteri de convexitat local: Si suposem a més que la segona derivada és contínua en el punt : Si , aleshores la funció és convexa en un entorn de .

Si , aleshores la funció és còncava en un entorn de . ERROR FREQÜENT Assumir que la condició és suficient per garantir l'existència d'un punt d'inflexió fa perdre punts habitualment. La condició és només necessària: cal que la derivada segona canviï efectivament de signe al voltant de perquè hi hagi canvi de curvatura. COMPROVA-HO 48 Quina condició sobre f'' ha de verificar-se a banda de f''(a) = 0 perquè a sigui un punt d'inflexió? Si és convexa en , aleshores la derivada primera és monòtona creixent, fet que implica que f''(x) 0 per a tot .

1 f I f x I Recíprocament, si la funció compleix la condició estricta f''(x) > 0 per a tot , aleshores és estrictament creixent, i per tant és convexa a . 2 x I f f I f f f f (x) 0 f f (x) 0 f x J x J I f : J R x I f δ > 0 f (x δ, x] [x, x + δ) (x δ, x] [x, x + δ) a f a f a f (a) > 0 f a f (a) < 0 f a f (a) = 0 f (a) = 0 a Càlcul Diferencial: Derivades, Teoremes i Convexitat 29 IDEES CLAU La convexitat geomètrica exigeix que la corda secant entre dos punts quedi per damunt de la gràfica de la funció. Per a una funció derivable, la convexitat és equivalent al fet que la derivada primera sigui monòtona creixent.

La gràfica d'una funció convexa i derivable queda sempre situada per sobre de qualsevol de les seves rectes tangents. Si una funció admet derivada segona, la condició garanteix la convexitat, mentre que la convexitat implica . Un punt d'inflexió requereix un canvi de convexitat a concavitat (o viceversa); si la funció és dues vegades derivable, necessàriament compleix . COMPROVA EL QUE HAS APRÈS 49. Com es tradueix la condició de convexitat en termes de la funció quocient incremental ? 50. Per què la condició no és suficient per assegurar que és un punt d'inflexió? Test Encercla la resposta correcta. Les solucions són al final. 51.

Com se situa la recta tangent d'una funció derivable convexa respecte a la seva gràfica? 52. Per a una funció derivable en un interval, la convexitat equival a: 53. Si f és dues vegades derivable i convexa en un interval I, quina condició compleix f''? 54. Quina condició necessària compleix un punt d'inflexió a d'una funció dues vegades derivable?

f f (x) > 0 f (x) 0 f (a) = 0 F (h) = h f(a+h) f(a) f (a) = 0 a Coincident en almenys dos punts a) Sempre per damunt de la gràfica b) Secant creuant la corba c) Sempre per sota de la gràfica d) La positivitat estricta de f a) El decreixement de f' b) La continuïtat uniforme de f' c) El creixement de f' d) f''(x) > 0 per a tot x a) f''(x) 0 per a tot x b) f''(x) és estrictament creixent c) f''(x) = 0 en algun punt d) f''(a) > 0 a) f''(a) = 0 b) f'(a) = 0 c) f'''(a) = 0 d) Càlcul Diferencial: Derivades, Teoremes i Convexitat 30 6 Formulari Regles operatives i derivades elementals Fórmula o procediment Significat dels símbols Quan s'usa : pendent de la recta tangent en Definició bàsica de derivada puntual i lateral als extrems Derivada de la suma de dues funcions derivables Suma de funcions en un mateix punt Regla de Leibniz per al producte Derivació de productes de funcions Derivada de la funció recíproca amb Quocient amb numerador constant Regla de la cadena per a funcions compostes Composició de funcions derivables Derivada de la funció inversa amb Derivació de funcions inverses locals o globals Derivades de logaritme, exponencial i potència general Derivació directa de funcions elementals bàsiques Derivades de funcions trigonomètriques directa i inversa Càlcul diferencial trigonomètric sobre el seu domini Teoremes del valor mitjà i aplicacions globals Fórmula o procediment Significat dels símbols Quan s'usa Condició d'anul·lació en extrems locals interiors Cerca de punts crítics o extrems relatius Teorema de Rolle ( contínua a , derivable a ) Garantir punts amb tangent horitzontal Teorema del Valor Mitjà de Lagrange amb Connectar el pendent secant amb la derivada instantània Criteris de monotonia i constància per derivació Deduir el comportament global a partir del signe de f (x ) = 0 lim x x 0 x x 0 f(x) f(x ) 0 f (x ) 0 x 0 (f + g) = f + g (f g) = f g + fg = (f 1 ) f2 f f(x ) = 0 0 (f g) (x ) = 0 f (g(x )) 0 g (x ) 0 (f ) (f(x )) = 1 0 f (x ) 0 1 f (x ) = 0 0 (ln x) = , (e ) = x 1 x e , (x ) = x α αxα 1 (sin x) = cos x, (arcsin x) = 1 x2 1 c (a, b) extrem relatiu f (c) = 0 f(a) = f(b) c (a, b) : f (c) = 0 f [a, b] (a, b) f (c) = b a f(b) f(a) c (a, b) f (x) = 0 f constant; f (x) > 0 f creixent f Càlcul Diferencial: Derivades, Teoremes i Convexitat 31 Fórmula o procediment Significat dels símbols Quan s'usa Teorema del Valor Mitjà de Cauchy per a dues funcions Comparar el ritme de canvi entre dues funcions Condicions suficients de preservació de Cauchy a Demostració de continuïtat uniforme mitjançant derivades Regles de L'Hôpital Fórmula o procediment Significat dels símbols Quan s'usa Indeterminació amb a l'entorn perforat Càlcul de límits indeterminats mitjançant Cauchy Indeterminació només exigint Càlcul de límits divergents mitjançant Stolz i Cauchy Convexitat, concavitat i ordre superior Fórmula o procediment Significat dels símbols Quan s'usa Lema de pendents secants per a Caracterització de la convexitat geomètrica per cordes Equivalència de convexitat per a funcions derivables Estudi de curvatura a partir de la monotonia de Criteri de la segona derivada ( ) Determinació de convexitat o concavitat ( ) Punt d'inflexió: canvi de curvatura en Condició necessària per a funcions dues vegades derivables Localització de candidats a punts d'inflexió f (c)(g(b) g(a)) = g (c)(f(b) f(a)) f (x) C o f (x) x C f unif.

cont nua ı ˊ (0, 1) lim = x a g(x) f(x) lim x a g (x) f (x) 0/0 g (x) = 0 lim = x a+ g(x) f(x) lim x a+ g (x) f (x) / g(x) + < x a f(x) f(a) b a f(b) f(a) a < x < b f convexa f creixent f f (x) 0 f convexa; f (x) > 0 estricta f (x) = (f ) (x) f 0 a f (a) = 0 Càlcul Diferencial: Derivades, Teoremes i Convexitat 32 Solucions de les preguntes de repàs 1. Sí, si la gràfica presenta un vèrtex o cantonada angulosa, els pendents d'aproximació per l'esquerra i per la dreta són diferents i la tangent no existeix. 2. Representa el pendent exacte de la recta tangent a la gràfica de la funció en el punt (x , f(x )). 3.

El binomi de Newton, que permet simplificar x i treure factor comú h al numerador per cancel·lar el denominador. 4. No, la continuïtat és condició necessària però no suficient per a la derivabilitat, tal com demostra el contraexemple f(x) = "x" en x = 0. 5. Es defineix mitjançant el límit lateral per la dreta del quocient incremental quan . 6. Perquè el límit lateral per l'esquerra val -1 i el límit lateral per la dreta val 1, de manera que el límit global no existeix. 7. Descomponent com el quocient incremental multiplicat per , que en prendre límit dóna . 8. b) El pendent de la recta tangent.

Per definició geomètrica, f'(x ) correspon exactament al pendent de la recta tangent a la corba en el punt d'abscissa x . 9. c) 0. El numerador f(x) - f(x ) és exactament c - c = 0, fent que el límit del quocient sigui identicament 0. 10. c) La derivabilitat implica necessàriament continuïtat. Si una funció és derivable en un punt és obligatòriament contínua, però el recíproc és fals com demostra f(x) = "x" en zero. 11. d) 1. Quan x > 0 tenim "x" = x, per la qual cosa el quocient incremental val x/x = 1 i el seu límit per la dreta és 1. 12.

La taxa de variació instantània total s'obté multiplicant la taxa de variació de la funció exterior per la taxa de la funció interior en aquest mateix punt. 13. Es necessita per assegurar que el terme f(x0+h) tendeix a f(x0) quan h tendeix a 0 en el límit del primer sumand. 14. Perquè la diferència g(x0+h) - g(x0) podria anul·lar-se repetidament o ser constant a zero prop de x0, causant una divisió per zero no permesa. 15. Cal exigir que f'(x0) 0 per evitar una divisió per zero en la fórmula del recíproc. 16. Perquè l'angle c pertany a l'interval (-π/2, π/2), regió on el cosinus és estrictament positiu. 17.

S'expressa com i es dedueix restant fraccions en el numerador incremental, utilitzant que és contínua i no nul·la a . 18. Atès que és la inversa de (la derivada del qual és ), apliquem . 19. c) -f'(x0) / (f(x0))². El límit del quocient incremental dóna lloc al signe negatiu i a la derivada dividida pel quadrat de la funció. 20. d) Evitar la divisió quan g(x0+h) - g(x0) = 0. Permet estendre el quocient de f de forma contínua quan l'increment de g s'anul·la. 21. c) f derivable a x0 amb f'(x0) 0. Cal que f sigui contínua, injectiva i derivable amb f'(x0) no nul per no dividir per zero. 22. c) (-1, 1).

Als extrems x = ±1 el denominador (1 - x²) s'anul·la, limitant la derivabilitat a l'interval obert (-1, 1). x a+ f(x) f(x )…