Càlcul d'una variable: apunts, teoremes i formulari

I 0 flashcards i 5 preguntes més al document.

Text del document

APUNTS CÀLCUL D'UNA VARIABLE Grau en Física Universitat de Barcelona AprenAI 2026-2027 Apunts de Càlcul d'una variable: nombres reals, topologia, límits, derivades, Taylor, integrals de Riemann, nombres complexos i còniques amb formulari.

APREN.AI Índex 1 Nombres reals, inducció i topologia bàsica de la recta Estructura algebraica, divisibilitat i inducció Conceptes topològics a la recta real 2 Límits de funcions, continuïtat i teoremes fonamentals Definició de límit i propietats algebraiques Ordres d'infinitèsims i infinits Funcions hiperbòliques i relacions trigonomètriques Continuïtat, tipus de discontinuïtat i grans teoremes 3 Càlcul diferencial, teoremes del valor mitjà i desenvolupament de Taylor Regles de derivació bàsiques Teoremes del càlcul diferencial i regla de l'Hôpital Polinomi de Taylor i anàlisi d'extrems 4 Càlcul integral: mètodes d'integració, suma de Riemann i teorema del valor mitjà Mètodes per al càlcul de primitives Integració numèrica Integral de Riemann i regla de Barrow 5 Nombres complexos i còniques Operacions bàsiques i formes de representació Teorema fonamental de l'àlgebra i arrels de nombres complexos Seccions còniques: el·lipse, hipèrbola i paràbola 6 Formulari Topologia bàsica i mètode inductiu Límits, continuïtat i funcions hiperbòliques Càlcul diferencial i desenvolupament de Taylor Càlcul integral i primitives Nombres complexos i còniques Errors típics Solucions de les preguntes de repàs Aquests apunts poden contenir errors o omissions.

Són un material de suport i no substitueixen el temari oficial ni el professorat: contrasta la informació important. Càlcul d'una variable: apunts, teoremes i formulari 1 1 Nombres reals, inducció i topologia bàsica de la recta EN ACABAR SABRÀS Aplicar el mètode d'inducció matemàtica per verificar propietats d'enters. Distingir entre punts interiors, adherents, d'acumulació i aïllats en conjunts reals. Verificar les condicions de compacitat d'un subconjunt de la recta real. PENSA-HI ABANS DE LLEGIR 1 Pot un punt pertànyer a la clausura d'un conjunt sense formar part del conjunt mateix? L'anàlisi matemàtica es fonamenta en l'estudi del conjunt dels nombres reals ( ).

A partir dels nombres naturals i enters es construeixen els nombres racionals ( ), formats pels quocients de la forma amb enters . El conjunt dels racionals és dens: entre dos nombres racionals qualssevol sempre n'hi ha infinits d'altres, de manera que no té sentit parlar d'un racional immediatament superior a un altre. Quan un nombre decimal infinit no presenta cap mena de periodicitat, constitueix un nombre irracional (com ara , o ). Estructura algebraica, divisibilitat i inducció Dins del conjunt dels enters, diem que és un divisor de (o bé que és múltiple de ) si existeix un enter que compleix .

Un nombre enter més gran que 1 és un nombre primer si únicament admet com a divisors positius l'1 i ell mateix; altrament, s'anomena nombre compost. Tot parell d'enters i té un màxim comú divisor que admet una expressió de la forma per a certs enters . Sobre disposem de dues operacions fonamentals (suma i producte) que satisfan les propietats commutatives, associatives i distributives, amb elements neutres, oposats i inversos per a tot element no nul. A més, la recta admet una relació d'ordre total que classifica els nombres en positius o negatius.

Per provar identitats que depenen d'un nombre natural s'aplica el mètode d'inducció matemàtica, el qual requereix tres etapes ordenades: DEFINICIÓ El valor absolut d'un nombre es defineix com si i si . Per a qualsevol parella de nombres reals es compleix la desigualtat triangular: R Q b a b = 0 2 e π b a a b x a = x b a b d d = ax + by x, y R n Comprovació inicial (base d'inducció): Es verifica que la propietat és certa per al primer valor, habitualment . 1 n = 1 Hipòtesi d'inducció: Se suposa que l'enunciat és vàlid per a un terme genèric . 2 n Pas inductiu: Emprant la hipòtesi anterior, es demostra la validesa de la igualtat per al valor consecutiu .

3 n + 1 x R x = x x 0 x = x x < 0 x + y x + y Càlcul d'una variable: apunts, teoremes i formulari 2 COMPROVA-HO 2 Quina condició sobre un interval simètric equival a la desigualtat de valor absolut "x" < a per a a > 0? Conceptes topològics a la recta real A la recta real, un interval comprèn tots els punts situats entre dos extrems determinats. S'anomena obert si no conté els extrems, , i tancat si els inclou, . Una bola oberta o entorn de centre i radi és el subconjunt . A partir dels entorns es classifiquen els punts d'un subconjunt : Punt interior: és interior si existeix un radi tal que . El conjunt de tots els punts interiors es denota per .

Punt adherent: és adherent a si qualsevol entorn de conté com a mínim un punt de . La totalitat de punts adherents forma la clausura , complint-se . Punt d'acumulació: és d'acumulació de si cada entorn seu conté algun punt de distint de . El conjunt d'aquests punts és el conjunt derivat . Punt aïllat: un punt que no és punt d'acumulació. Un subconjunt és obert si coincideix amb el seu interior ( ), i és tancat si el seu complementari és obert (o equivalentment, si conté tots els seus punts adherents). La unió arbitrària d'oberts és oberta, i la intersecció finita d'oberts és oberta. De manera dual, la unió finita de tancats és tancada, i la intersecció arbitrària de tancats és tancada.

Un subconjunt és fitat si està contingut dins d'un entorn de radi finit. El suprem d'un conjunt és la menor de les seves fites superiors (i esdevé màxim si pertany al conjunt); l'ínfim és la major de les fites inferiors (mínim si és dins del conjunt). Diem que és un conjunt compacte si és simultàniament tancat i fitat. DEFINICIÓ El teorema de Bolzano-Weierstrass estableix que si un subconjunt és infinit i fitat, aleshores conté com a mínim un punt d'acumulació a . ERROR FREQÜENT Confondre punt adherent amb punt d'acumulació: tot punt pertanyent a és sempre adherent a (el mateix punt serveix com a testimoni dins de qualsevol entorn).

Tanmateix, un punt de només és d'acumulació si hi ha altres punts de a una distància arbitràriament petita. Un punt aïllat és adherent, però mai no és d'acumulació. COMPROVA-HO 3 Per què el conjunt {1/n : n en N} no és compacte a R?

(a, b) = {x R : a < x < b} [a, b] a r > 0 B(a, r) = {x R : x a < r} S R a S r > 0 B(a, r) S int(S) a R S a S S S S a R S S a S a S S = int(S) R S S S S R R S S S S Càlcul d'una variable: apunts, teoremes i formulari 3 PROCÉS Passos del mètode d'inducció matemàtica 1 Comprovació inicial Verificar la igualtat per al primer valor n=1 2 Hipòtesi d'inducció Assumir que l'expressió és certa per a un valor n 3 Demostració per a n+1 Validar la igualtat per al terme següent mitjançant la hipòtesi IDEES CLAU El conjunt dels racionals és dens a la recta real, mentre que els irracionals tenen desenvolupament decimal infinit no periòdic.

El mètode d'inducció valida proposicions sobre els naturals verificant el cas base i el pas de n a n+1. Un conjunt és compacte a la recta si i només si és tancat i fitat. El teorema de Bolzano-Weierstrass assegura l'existència d'almenys un punt d'acumulació en conjunts infinits i fitats. COMPROVA EL QUE HAS APRÈS 4. Quina diferència hi ha entre un punt aïllat i un punt d'acumulació d'un conjunt S? 5. Quina condició compleixen les unions i interseccions de conjunts oberts? Test Encercla la resposta correcta. Les solucions són al final. 6. Quin requisit defineix un conjunt compacte a la recta real? 7. Què afirma el teorema de Bolzano-Weierstrass? 8.

Com s'anomena la menor fita superior d'un conjunt de nombres reals? Tenir suprem i ínfim positius a) Ser tancat i fitat b) Ser obert i fitat c) Ser infinit i continu d) Tot conjunt té màxim i mínim a) Tot conjunt finit té punts d'acumulació b) Tot conjunt infinit i fitat té punts d'acumulació c) Tota successió decreixent té límit zero d) Suprem a) Punt d'acumulació b) Clausura c) Ínfim d) Càlcul d'una variable: apunts, teoremes i formulari 4 9. Quina propietat compleix un divisor comú d de dos enters a i b? 2 Límits de funcions, continuïtat i teoremes fonamentals EN ACABAR SABRÀS Calcular límits funcionals mitjançant taules d'infinitèsims equivalents.

Classificar els tipus de discontinuïtat que presenta una funció. Utilitzar els teoremes de Bolzano i Weierstrass per analitzar arrels i extrems. PENSA-HI ABANS DE LLEGIR 10 Pot una funció tenir límit finit en un punt on la funció ni tan sols està definida? L'anàlisi funcional distingeix clarament entre la imatge puntual d'una funció i la tendència dels seus valors quan la variable s'aproxima a un punt, expressada mitjançant el límit . Definició de límit i propietats algebraiques Diem que si per a qualsevol valor es pot trobar un tal que: Si aquest límit existeix, el seu valor és únic.

Una condició equivalent és la caracterització seqüencial: per a tota successió que convergeixi a ( ), la successió d'imatges ha de convergir a ( ). Si s'obtenen valors diferents per a dues successions o en apropar-se pels dos costats (límits laterals diferents), el límit no existeix. Els límits respecten les operacions bàsiques: el límit d'una suma, d'un producte o d'una divisió correspon respectivament a la suma, producte o quocient dels límits individuals (en la divisió, sempre que el límit del denominador no sigui nul). Per a una funció composta , si és contínua en i és contínua en , aleshores: Ordres d'infinitèsims i infinits Una funció és un infinitèsim quan si .

Dos infinitèsims i són del mateix ordre si ; si a més , s'anomenen infinitèsims equivalents. L'ordre d'un sol infinitèsim es determina fent .

En sumar dos infinitèsims, el resultat ve dominat pel El producte és un nombre primer a) El quocient és sempre un nombre irracional b) La suma dels seus quadrats és un cub perfecte c) El màxim comú divisor és combinació lineal d'ells d) f(a) lim f(x) x a lim f(x) = x a L ε > 0 δ(ε) > 0 f(x) L < ε sempre que 0 < x a < δ(ε) (a ) n a a = n a L lim f(a ) = n n L f(w(x)) w a f w(a) f(w(x)) = x a lim f w(x) = ( x a lim ) f(w(a)) α(x) x a lim α(x) = x a 0 α(x) β(x) lim = x a β(x) α(x) k = 0 k = 1 lim = x 0 xn α(x) 1 Càlcul d'una variable: apunts, teoremes i formulari 5 terme d'ordre menor.

Funció original Infinitèsim equivalent quan , , , , A diferència dels infinitèsims, quan les funcions tendeixen a infinit domina l'ordre de creixement superior, complint-se la jerarquia: . COMPROVA-HO 11 Quin és el límit de (1 - cos(x)) / x^2 quan x tendeix a 0 utilitzant infinitèsims equivalents? Funcions hiperbòliques i relacions trigonomètriques Les funcions hiperbòliques es defineixen a partir de la funció exponencial: Aquestes funcions verifiquen la identitat fonamental , que contrasta amb la relació clàssica .

D'altra banda, les relacions per a la suma d'angles i angles dobles generen expressions útils per al càlcul de potències trigonomètriques: Continuïtat, tipus de discontinuïtat i grans teoremes Una funció és contínua en el punt quan existeix i coincideix amb el límit en aquest punt. Quan aquesta condició falla, les discontinuïtats es classifiquen en: Evitable: existeix el límit de la funció en el punt, però difereix de o bé la funció no hi està definida. De salt: existeixen els dos límits laterals però prenen valors diferents. Asimptòtica: almenys un dels límits laterals divergeix cap a l'infinit.

Quan la continuïtat es compleix en un interval tancat , tenen lloc propietats globals fonamentals: x 0 sin(x) tan(x) arcsin(x) arctan(x) sinh(x) x sin(x ) 2 x2 ln(1 + x) x ln(1 + x ) 3 x3 a x 1 x ln(a) 1 cos(x) 2 x2 1 cos (x) 3 2 3x2 ln(x) x a ex sinh(x) = , cosh(x) = 2 e e x x , tanh(x) = 2 e + e x x e + e x x e e x x cosh (x) 2 sinh (x) = 2 1 cos (x) + 2 sin (x) = 2 1 cos (α) = 2 , sin (α) = 2 1 + cos(2α) 2 2 1 cos(2α) a f(a) f(a) [a, b] Càlcul d'una variable: apunts, teoremes i formulari 6 DEFINICIÓ El teorema de Bolzano assegura que si és contínua a i pren valors de signe oposat als extrems ( ), aleshores existeix com a mínim un punt interior tal que .

DEFINICIÓ El teorema de Weierstrass estableix que tota funció contínua en un interval tancat i fitat assoleix de manera obligada el seu valor màxim absolut i el seu valor mínim absolut en punts d'aquest interval. Finalment, el teorema de Heine-Cantor estableix que si una funció és contínua en un interval tancat , aleshores és uniformement contínua en aquest conjunt: el paràmetre de la definició de continuïtat pot escollir-se globalment per a tot l'interval sense dependre del punt concret considerat. ERROR FREQÜENT Oblidar comprovar que l'interval és tancat abans d'aplicar els teoremes de Bolzano o Weierstrass.

Per exemple, la funció és contínua a l'interval obert , però no hi assoleix cap màxim absolut perquè l'interval no conté l'extrem inferior. COMPROVA-HO 12 Quina és la hipòtesi fonamental que diferencia la continuïtat ordinària puntual de la continuïtat uniforme descrita per Heine-Cantor?

ESQUEMA Tipus de discontinuïtats en funcions d'una variable f [a, b] f(a) f(b) < 0 c (a, b) f(c) = 0 [a, b] [a, b] δ(ε) > 0 f(x) = 1/x (0, 1) Evitable Existeix el límit finit però difereix de f(a) De salt Els límits laterals existeixen però són diferents Asimptòtica Almenys un límit lateral tendeix a infinit Càlcul d'una variable: apunts, teoremes i formulari 7 IDEES CLAU Un límit funcional existeix si i només si és únic i coincideix per qualsevol camí o successió d'aproximació. Els infinitèsims equivalents permeten simplificar quocients indeterminats en substituir termes trigonomètrics i logarítmics al voltant del zero.

El teorema de Bolzano garanteix arrels per a funcions contínues amb canvi de signe en intervals tancats. Weierstrass assegura l'existència de màxims i mínims absoluts en dominis compactes. COMPROVA EL QUE HAS APRÈS 13. Com es defineix la funció cosinus hiperbòlic cosh(x) en termes d'exponencials? 14. En quina classe de discontinuïtat existeix el límit de la funció però no coincideix amb f(a)? Test Encercla la resposta correcta. Les solucions són al final. 15. Quin és l'infinitèsim equivalent a 1 - cos(x) quan x s'acosta a 0? 16. Quin requisit exigeix el teorema de Bolzano sobre els extrems de l'interval? 17. Quin és l'ordre de dominància quan x tendeix a infinit? 18.

Segons el teorema de Heine-Cantor, quina propietat té una funció contínua en un interval [a, b]?

a) x2 / 2 b) 3x2 / 2 c) x2 x d) Que les derivades siguin nul·les a) Que f(a) sigui igual a f(b) b) Que l'interval sigui infinit c) Que f(a) i f(b) tinguin signes contraris d) ln(x) domina sobre les potències a) Totes tenen la mateixa velocitat b) domina sobre i ln(x) c) ex xa domina sobre l'exponencial d) xa És estrictament creixent a) És uniformement contínua b) És derivable en tot punt c) Té derivada segona positiva d) Càlcul d'una variable: apunts, teoremes i formulari 8 3 Càlcul diferencial, teoremes del valor mitjà i desenvolupament de Taylor EN ACABAR SABRÀS Calcular derivades de funcions compostes i implícites mitjançant la regla de la cadena.

Aplicar els teoremes de Rolle, Lagrange i Cauchy en problemes teòrics i d'optimització. Construir polinomis de Taylor per aproximar funcions i analitzar el caràcter dels seus extrems. PENSA-HI ABANS DE LLEGIR 19 Per què cal que una funció sigui derivable en tot l'interior de l'interval perquè es compleixi el teorema del valor mitjà? La derivada d'una funció en un punt mesura la taxa de canvi instantània i es defineix analíticament a través del límit del quocient incremental: Geomètricament, quan l'increment es redueix, la recta secant tendeix cap a la recta tangent a la corba en el punt . El pendent d'aquesta tangent és exactament , fet que determina l'equació de la recta tangent: .

Si una funció és derivable en un punt, és obligatòriament contínua en ell. Regles de derivació bàsiques Les derivades de les funcions elementals i les seves combinacions obeeixen regles establertes: Derivada d'una suma: . Derivada d'un producte: . Derivada d'un quocient: . Regla de la cadena: per a una composició , tenim . Funció inversa: si admet inversa, derivant la identitat s'obté la relació de derivació recíproca. Per exemple, per a , tenim .

Funció Derivada Funció Derivada f (x) = h 0 lim h f(x + h) f(x) h x m = f (a) y f(a) = f (a)(x a) [f(x) + g(x)] = f (x) + g (x) [f(x) g(x)] = f (x)g(x) + f(x)g (x) = [g(x) f(x) ] [g(x)]2 f (x)g(x) f(x)g (x) F (x) = f(u(x)) = dx df(u(x)) (du df ) dx du(x) y = f(x) f(x) = x f (x) = 2 x 2f(x)f (x) = 1 f (x) = 2 x 1 f(x) f (x) f(x) f (x) sin(x) cos(x) sinh(x) cosh(x) cos(x) sin(x) cosh(x) sinh(x) ex ex tanh(x) 1 tanh (x) 2 ln(x) x 1 arcsin(x) 1 x2 1 xα αxα 1 arccos(x) 1 x2 1 Càlcul d'una variable: apunts, teoremes i formulari 9 Funció Derivada Funció Derivada COMPROVA-HO 20 Quina és la derivada de y respecte a x en l'equació implícita x^2 + y^2 = 2 al punt (1, 1)?

Teoremes del càlcul diferencial i regla de l'Hôpital Els teoremes del valor mitjà connecten la variació global d'una funció amb la seva derivada puntual: DEFINICIÓ El teorema de Rolle afirma que si és contínua a , derivable a i compleix , aleshores existeix un punt amb f'(c) = 0.

DEFINICIÓ El teorema de Cauchy (o del valor mitjà generalitzat) indica que per a dues funcions contínues a i derivables a , existeix un punt tal que: Com a cas particular de Cauchy quan , s'obté el teorema de Lagrange (o del valor mitjà): el pendent de la recta secant coincideix amb el pendent de la tangent en un cert punt interior: La regla de l'Hôpital sorgeix per resoldre límits de quocients amb indeterminacions del tipus o . Si i les funcions són contínues i derivables al voltant de : Polinomi de Taylor i anàlisi d'extrems Per a funcions prou derivables al voltant d'un punt , el desenvolupament de Taylor proporciona una aproximació polinòmica d'ordre : on els coeficients són .

L'error d'aproximació es recull en el residu , el qual verifica i admet l'expressió de Lagrange per a un determinat punt intermedi . f(x) f (x) f(x) f (x) tan(x) 1 + tan (x) = 2 cos (x) 2 1 arctan(x) 1+x2 1 arsinh(x) 1+x2 1 arcosh(x) x 1 2 1 f [a, b] (a, b) f(a) = f(b) c (a, b) [a, b] (a, b) c (a, b) f (c)[g(b) g(a)] = g (c)[f(b) f(a)] = g (c) f (c) g(b) g(a) f(b) f(a) g(x) = x = b a f(b) f(a) f (c) 0 0 f(a) = g(a) = 0 a = x a lim g(x) f(x) x a lim g (x) f (x) a n T (x) = n C (x k=0 n k a) = k f(a) + f (a)(x a) + (x 2! f (a) a) + 2 + (x n! f (a) (n) a)n C = k k! f (a) (k) R (x) = n f(x) T (x) n lim = x a (x a)n R (x) n 0 R (x) = n (x (n+1)!

f (c) (n+1) a)n+1 c Càlcul d'una variable: apunts, teoremes i formulari 10 Quan s'avalua un extrem en un punt crític on , el desenvolupament local mostra que el signe de la diferència depèn directament de la segona derivada: Si , aleshores i tenim un màxim local. Si , aleshores i tenim un mínim local. Si i , la funció canvia la seva curvatura i presenta un punt d'inflexió. Entre els desenvolupaments de Taylor fonamentals al voltant de destaquen: A partir d'aquests desenvolupaments en el cos complex es dedueix la cèlebre identitat d'Euler: .

ERROR FREQÜENT Aplicar la regla de l'Hôpital derivant el quocient com una fracció en comptes de derivar el numerador i el denominador per separat ( ), o aplicar-la sense verificar prèviament que es tracta d'una indeterminació del tipus o . COMPROVA-HO 21 Quina condició necessària sobre la derivada primera i segona assegura que un punt crític x = a és un mínim relatiu estricte?

CAUSES I CONSEQÜÈNCIES Continuïtat a [a, b] Funció contínua en l'interval tancat Derivabilitat a (a, b) Admet derivada en tot punt interior Imatges iguals als extrems Es compleix f(a) = f(b) Teorema de Rolle Punt crític interior Existeix un punt c amb f'(c) = 0 f (a) = 0 f(a + h) f(a) f (a)h 2 1 2 f (a) < 0 f(a + h) f(a) < 0 f (a) > 0 f(a + h) f(a) > 0 f (a) = 0 f (a) = 0 x = 0 e = x 1 + x + + 2! x2 + 3! x3 … , sin(x) = x + 3! x3 5! x5 … , cos(x) = 1 + 2! x2 4! x4 … = 1 + x 1 1 x + x 2 x + 3 … , ln(1 + x) = x + 2 x2 3 x3 … e + iπ 1 = 0 [f/g] f /g 0/0 / Càlcul d'una variable: apunts, teoremes i formulari 11 IDEES CLAU La derivada en un punt representa el pendent de la recta tangent a la corba.

El teorema de Lagrange garanteix un punt amb derivada instantània igual al pendent mitjà de la corda. La regla de l'Hôpital resol indeterminacions derivant numerador i denominador per separat. El signe de la primera derivada no nul·la d'ordre superior a dos classifica els punts crítics en extrems o inflexions. COMPROVA EL QUE HAS APRÈS 22. En què es diferencia el teorema de Cauchy del teorema de Lagrange? 23. Quin valor pren el coeficient del terme en la sèrie de Taylor? Test Encercla la resposta correcta. Les solucions són al final. 24. Quin teorema assegura l'existència d'un punt amb derivada nul·la si f(a) = f(b)? 25. Quina és la derivada de la funció f(x) = arctan(x)? 26.

Si f'(a) = 0 i f''(a) < 0, quin comportament presenta la funció en x = a? 27. Quin límit determina l'error del residu de Taylor (x) quan x tendeix a a?

C k (x a)k Teorema de Rolle a) Teorema de Weierstrass b) Teorema de Heine-Cantor c) Teorema de Simpson d) 1 / (x) a) cosh2 1 / (1 + ) b) x2 1 / (1 - ) c) x2 -1 / (1 + ) d) x2 Discontinuïtat de salt a) Punt d'inflexió b) Màxim relatiu c) Mínim relatiu d) R n (x) és nul per a tot x a) R n (x) tendeix a infinit b) R n (x) / és sempre 1 c) R n (x a)n+1 (x) / tendeix a 0 d) R n (x a)n Càlcul d'una variable: apunts, teoremes i formulari 12 4 Càlcul integral: mètodes d'integració, suma de Riemann i teorema del valor mitjà EN ACABAR SABRÀS Resoldre integrals mitjançant la tècnica d'integració per parts. Descompondre fraccions racionals en termes simples per calcular les seves primitives.

Aplicar la regla de Barrow i el teorema del valor mitjà a integrals definides. PENSA-HI ABANS DE LLEGIR 28 Com pot ser que la integral definida d'una corba contínua doni zero sense que la funció sigui nul·la? El càlcul integral connecta la determinació de primitives (antiderivades) amb la mesura d'àrees contingudes sota el graf d'una corba contínua. Mètodes per al càlcul de primitives La resolució d'integrals indefinides disposa de procediments estructurats segons la tipologia de l'integrant: Integració per parts: es deriva de la regla del producte i respon a la fórmula .

Sovint s'assigna com a funció a derivar ( ) termes polinòmics o logarítmics, i com a terme a integrar ( ) funcions trigonomètriques o exponencials. Canvis de variable trigonomètrics: per a integrands que contenen arrels de la forma s'aplica la substitució . Per a funcions racionals trigonomètriques s'empra el canvi general , on , i .

Per a funcions racionals on el grau del numerador és menor que el del denominador, s'aplica la descomposició en fraccions simples segons la naturalesa de les arrels de : Tipus d'arrel de Termes associats en la descomposició Arrel real simple Arrel real múltiple d'ordre Arrel complexa simple Arrels complexes múltiples Els coeficients indeterminats es troben igualant els numeradors un cop fet el comú denominador i avaluant en les arrels o igualant coeficients grau a grau.

f (x)g(x) dx = f(x)g(x) f(x)g (x) dx u xn dv a x 2 2 x = a sin(t) t = tan(x/2) dx = 1+t2 2 dt sin(x) = 1+t2 2t cos(x) = 1+t2 1 t2 Q(x) P (x) Q(x) Q(x) x = a x a A m + x a A 1 + (x a)2 A 2 + (x a)m A m x = α ± iβ (x α) +β 2 2 M x+N + (x α) +β 2 2 M x+N 1 1 + [((x α) +β )] 2 2 k M x+N k k Càlcul d'una variable: apunts, teoremes i formulari 13 COMPROVA-HO 29 Quina substitució trigonomètrica estàndard s'utilitza per eliminar l'arrel (a^2 - x^2)? Integració numèrica Quan no és possible trobar una primitiva explícita, s'empren fórmules d'aproximació numèrica: Mètode dels trapezis: divideix l'àrea sota la corba en trapezis d'amplada uniforme . L'àrea de cada secció és .

Mètode de Simpson: aproxima blocs consecutius de la funció mitjançant paràboles de segon grau determinades a partir de tres punts consecutius. Integral de Riemann i regla de Barrow La integral de Riemann formalitza l'àrea sota una funció contínua a l'interval . Es fa una reticulació de l'interval en subintervals de base i s'escull un punt : Aquest valor és independent de la tria particular de la reticulació o dels punts d'altura . Cal considerar que les regions per sota de l'eix d'abscisses computen amb signe negatiu, de manera que la integral definida representa una àrea neta amb signe.

DEFINICIÓ La regla de Barrow afirma que si és qualsevol primitiva d'una funció contínua , el valor de la integral definida és: DEFINICIÓ El teorema del valor mitjà per a integrals estableix que si és contínua a , existeix un punt interior que satisfà: Geomètricament, l'àrea sota la corba equival a l'àrea d'un rectangle de base i alçada . ERROR FREQÜENT Confondre el càlcul d'una àrea geomètrica amb el càlcul d'una integral definida. Si una funció talla l'eix (com la funció sinus entre 0 i ), la integral definida és 0 perquè les àrees positiva i negativa es cancel·len, mentre que l'àrea geomètrica exigeix integrar el valor absolut de la funció.

h 2 y +y k 1 k h Ax + 2 Bx + C f [a, b] n Δx = i x i x i 1 c i [x , x ] i 1 i f(x) dx = a b f(c ) Δx n lim i=1 n i i c i F (x) f(x) f(x) dx = a b F (b) F (a) f [a, b] c [a, b] f(x) dx = a b (b a) f(c) b a f(c) x 2π Càlcul d'una variable: apunts, teoremes i formulari 14 COMPROVA-HO 30 Quin és el resultat geomètric de la integral definida de sin(x) entre 0 i 2π? PROCÉS Passos per integrar funcions racionals P(x)/Q(x) IDEES CLAU La integració per parts permet transformar integrals de productes mitjançant la tria adequada de la funció a derivar. El mètode de fraccions simples descompon funcions racionals segons la multiplicitat de les seves arrels reals o complexes.

La integral de Riemann expressa el límit d'un sumatori d'àrees de rectangles quan la reticulació es fa infinitament fina. La regla de Barrow connecta la primitiva d'una funció amb l'avaluació numèrica de la seva integral definida. COMPROVA EL QUE HAS APRÈS 31. Com expressa el teorema del valor mitjà per a integrals l'àrea sota una funció contínua? 32. Quina fracció simple s'associa a una arrel complexa simple + β^2 en una funció racional?

Comprovació de graus Verificar que grau(P) < grau(Q); altrament fer divisió polinòmica 1 Factorització Trobar totes les arrels reals i complexes del denominador Q(x) 2 Fraccions simples Plantejar la suma de termes amb coeficients indeterminats 3 Càlcul de coeficients Avaluar en les arrels o igualar coeficients grau a grau 4 Integració directa Calcular primitives immediates de tipus logarítmic o arc tangent 5 (x α)2 Càlcul d'una variable: apunts, teoremes i formulari 15 Test Encercla la resposta correcta. Les solucions són al final. 33. Quin canvi de variable s'utilitza habitualment per a funcions racionals trigonomètriques? 34. Com s'aproxima la funció en el mètode de Simpson? 35.

Què afirma directament la regla de Barrow? 36. Què representa la integral definida d'una funció que pren valors positius i negatius? 5 Nombres complexos i còniques EN ACABAR SABRÀS Operar amb nombres complexos en forma binòmica, polar i exponencial. Calcular totes les arrels n-èsimes d'un nombre complex aplicant la relació de De Moivre i Euler. Identificar i formular les equacions canòniques d'el·lipses, hipèrboles i paràboles. PENSA-HI ABANS DE LLEGIR 37 Quina figura geomètrica formen al pla complex totes les arrels d'ordre n d'un nombre qualsevol? El sistema dels nombres complexos estén els nombres reals a partir de la definició de la unitat imaginària , complint .

Un nombre complex es representa en la seva forma binòmica com , on és la part real i és la part imaginària. Operacions bàsiques i formes de representació Els nombres complexos es representen al pla complex, el qual actua com un cos d'escalars.

Les operacions fonamentals operen de la següent manera: t = cos(2x) a) t = tan(x/2) b) t = c) ex t = sin(x) d) Mitjançant rectangles constants a) Mitjançant polinomis de grau quatre b) Mitjançant paràboles de segon grau c) Mitjançant segments lineals d) L'àrea sota la corba és sempre positiva a) La integral definida és igual a F(b) - F(a) b) La derivada d'una integral és sempre zero c) Tota funció derivable és integrable d) Una àrea amb signe (neta) a) Sempre el valor zero b) L'àrea geomètrica total absoluta c) El perímetre de la regió tancada d) i = 1 i = 2 1 z = x + iy x = Re(z) y = Im(z) Càlcul d'una variable: apunts, teoremes i formulari 16 Suma: s'agrupen parts reals i imaginàries de manera independent: .

Producte: s'aplica la propietat distributiva tenint en compte que : . Conjugat: el conjugat de és . Es verifica que . Invers: per a qualsevol element no nul, . A més de la forma binòmica, un complex admet forma polar i exponencial gràcies a la relació d'Euler: on el mòdul és i l'argument és . Aquesta relació permet formular les funcions trigonomètriques en termes d'exponencials complexes: COMPROVA-HO 38 Quant val el producte d'un nombre complex z = x + iy pel seu conjugat? Teorema fonamental de l'àlgebra i arrels de nombres complexos El teorema fonamental de l'àlgebra afirma que tot polinomi de grau amb coeficients complexos té exactament arrels en el cos dels complexos.

Si els coeficients són estrictament reals, les arrels no reals apareixen obligatòriament en parelles conjugades. Per calcular les arrels d'un nombre complex mitjançant l'equació , s'utilitza la fórmula: Aquestes arrels formen els vèrtexs d'un polígon regular de costats inscrit en una circumferència de radi . A més, la suma de totes les arrels n-èsimes d'un nombre complex és sempre igual a 0. Seccions còniques: el·lipse, hipèrbola i paràbola Les seccions còniques s'obtenen a partir de la intersecció d'un con doble amb un pla segons la seva inclinació: El·lipse: lloc geomètric dels punts tals que la suma de distàncies als dos focus i és constant: .

La seva equació canònica és , complint-se la relació pitagòrica . La seva excentricitat satisfà . Hipèrbola: lloc geomètric dels punts tals que la diferència de distàncies als focus és constant: . La seva equació canònica és , amb excentricitat . Les seves asímptotes responen a les rectes . Paràbola: es pot obtenir com el cas límit d'una el·lipse quan un dels focus i l'eix major tendeixen a l'infinit ( , ) mantenint fixa la distància focal . En aquest cas crític l'excentricitat pren el valor límit , resultant l'equació parabòlica .

(x + 1 iy ) + 1 (x + 2 iy ) = 2 (x + 1 x ) + 2 i(y + 1 y ) 2 i = 2 1 (x + 1 iy )(x + 1 2 iy ) = 2 (x x 1 2 y y ) + 1 2 i(x y + 1 2 x y ) 2 1 z = x + iy = z ˉ x iy z = z ˉ x + 2 y 2 0 = z 1 = z 2 z ˉ x +y 2 2 x i x +y 2 2 y z = ρ(cos α + i sinα) = ρeiα ρ = x + y 2 2 α = arccos(x/ρ) = arctan(y/x) cos(x) = , sin(x) = 2 e + e ix ix 2i e e ix ix n n n w = ρeiα z = n w z = k e , k = n ρ i ( n α+2kπ ) 0, 1, …

, n 1 n n ρ (x, y) F F d(P , F ) + d(P , F ) = 2a + a2 x2 = b2 y2 1 a 2 c = 2 b2 ε = < a c 1 d(P , F ) d(P , F ) = 2a a2 x2 = b2 y2 1 ε = > a c 1 y = ± x a b a c p = a c ε = 1 x = y 4p 1 2 Càlcul d'una variable: apunts, teoremes i formulari 17 ERROR FREQÜENT Confondre les relacions mètriques entre semieixos de l'el·lipse i de la hipèrbola: en l'el·lipse el semieix major és el més gran ( , per tant ), mentre que en la hipèrbola la distància focal supera el semieix real ( ). COMPROVA-HO 39 Quina relació defineix l'excentricitat ε per a una el·lipse i quins valors pot prendre?

ESQUEMA Classificació de les seccions còniques segons l'excentricitat IDEES CLAU Tot nombre complex es pot expressar en forma binòmica (x + iy) o en forma polar i exponencial mitjançant la fórmula d'Euler. El teorema fonamental de l'àlgebra assegura l'existència de n arrels complexes per a qualsevol polinomi de grau n. Les n arrels d'un complex es distribueixen simètricament en la circumferència i la seva suma és sempre zero. L'el·lipse (ε < 1), la paràbola (ε = 1) i la hipèrbola (ε > 1) queden determinades per les distàncies focals i la seva excentricitat. COMPROVA EL QUE HAS APRÈS 40. Com s'expressa la funció sin(x) en termes d'exponencials complexes segons Euler? 41.

Quines són les equacions de les asímptotes per a una hipèrbola canònica /a^2 - /b^2 = 1? a = 2 b + 2 c2 a 2 c = 2 b2 c a c = 2 a + 2 b2 El·lipse Excentricitat ε < 1; suma de distàncies constant Paràbola Excentricitat ε = 1; cas límit a infinit Hipèrbola Excentricitat ε > 1; diferència de distàncies constant x2 y2 Càlcul d'una variable: apunts, teoremes i formulari 18 Test Encercla la resposta correcta. Les solucions són al final. 42. Quant val la suma de totes les arrels n-èsimes d'un nombre complex? 43. Quina condició defineix geomètricament els punts d'una el·lipse? 44. Quin valor pren l'excentricitat d'una paràbola? 45. Com són les arrels no reals d'un polinomi amb coeficients reals?

6 Formulari Topologia bàsica i mètode inductiu Fórmula o procediment Significat dels símbols Quan s'utilitza Comprovació base per a Suposició vàlida per a (hipòtesi) Demostració per a : índex inductiu Mètode d'inducció per a igualtats sobre naturals Desigualtat triangular en valor absolut : centre, : radi Definició d'entorn o bola oberta a la recta infinit i fitat : conjunt de punts d'acumulació Teorema de Bolzano- Weierstrass Depèn del radi a) 0 b) n c) 1 d) La distància a un punt és igual a la distància a una recta a) La diferència de distàncies als focus és constant b) El producte de distàncies als focus és constant c) La suma de distàncies als focus és constant d) ε = 0 a) ε < 1 b) ε > 1 c) ε = 1 d) Són totes de mòdul 1 a) Apareixen en parells conjugats b) Sempre nul·les c) No poden existir d) n = 1 n n + 1 n N x + y x + y x, y R B(a, r) = {x R : x a < r} a r > 0 S R x S S Càlcul d'una variable: apunts, teoremes i formulari 19 Límits, continuïtat i funcions hiperbòliques Fórmula o procediment Significat dels símbols Quan s'utilitza si : límit, : punt d'aproximació Definició formal de límit funcional Infinitèsims equivalents per resoldre indeterminacions Relació fonamental de les funcions hiperbòliques : interval tancat, : arrel Teorema de Bolzano per a arrels de funcions contínues Càlcul diferencial i desenvolupament de Taylor Fórmula o procediment Significat dels símbols Quan s'utilitza : pendent de la tangent a Equació de la recta tangent a la corba Teorema de Lagrange (valor mitjà del càlcul diferencial) o Regla de l'Hôpital per a quocients indeterminats : derivada -èsima, : centre Aproximació polinòmica de Taylor d'ordre Terme de residu de Lagrange en el desenvolupament de Taylor Càlcul integral i primitives Fórmula o procediment Significat dels símbols Quan s'utilitza : funcions derivables Mètode d'integració per parts Comprovar Factoritzar Descompondre en fraccions simples reals/complexes Integrar per separat : funció racional Mètode d'integració de funcions racionals ϵ > 0, δ > 0 : f(x) L < ϵ 0 < x a < δ L a sin x x, 1 cos x , ln(1 + 2 x 2 x) x, a x 1 x ln a x 0 cosh (x) 2 sinh (x) = 2 1 sinh x = , cosh x = 2 e e x x 2 e +e x x f C[a, b], f(a)f(b) < 0 c (a, b) : f(c) = 0 [a, b] c y f(a) = f (a)(x a) f (a) x = a = b a f(b) f(a) f (c) c (a, b) lim = x a g(x) f(x) lim x a g (x) f (x) f(a) = g(a) = 0 ± T (x) = n (x k=0 n k!

f (a) (k) a)k f (a) (k) k a n R (x) = n (x (n+1)!

f (c) (n+1) a)n+1 c (a, x) f (x)g(x)dx = f(x)g(x) f(x)g (x)dx f, g deg(P ) < deg(Q) Q(x) Q(x) P(x) Càlcul d'una variable: apunts, teoremes i formulari 20 Fórmula o procediment Significat dels símbols Quan s'utilitza (primitiva de ) Regla de Barrow per avaluar la integral definida Teorema del valor mitjà per al càlcul integral Nombres complexos i còniques Fórmula o procediment Significat dels símbols Quan s'utilitza Representació polar i exponencial d'Euler , arrels; la seva suma val sempre 0 Arrels -èsimes de l'equació , , : semieix major, : distància focal Equació canònica de l'el·lipse , , asímptotes : semieix real, : semieix no real Equació canònica de la hipèrbola , fixat quan Equació de la paràbola com a cas límit de l'el·lipse Errors típics Adherent vs.

acumulació: tot punt d'un conjunt és adherent, però només és d'acumulació si qualsevol entorn seu conté altres punts de diferents d'ell mateix. Intervals tancats: els teoremes de Bolzano i Weierstrass exigeixen que l'interval sigui tancat i fitat ; no es poden aplicar directament sobre intervals oberts. Regla de l'Hôpital: cal derivar numerador i denominador per separat ( ) i no aplicar la regla de derivació del quocient, verificant abans que hi ha indeterminació o . Integral vs. àrea: la integral definida computa àrea neta amb signe; si la corba talla l'eix d'abscisses, cal integrar per trams separats per obtenir l'àrea geomètrica total.

Semieixos de còniques: a l'el·lipse es compleix amb ; a la hipèrbola la distància focal és més gran que el semieix ( , ). f(x)dx = a b F (b) F (a) F (x) = f(x) f f(x)dx = a b (b a) f(c) c [a, b] z = x + iy = ρe = iα ρ(cos α + i sin α) ρ = , α = x + y 2 2 arccos(x/ρ) z = k e n ρ i ( n α+2kπ ) k = 0, … , n 1 n n z = n w + a2 x2 = b2 y2 1 a 2 c = 2 b2 ϵ = < a c 1 a c a2 x2 = b2 y2 1 ϵ = > a c 1 y = ± x a b a b x = y 4p 1 2 ϵ = 1 p = a c a, c S [a, b] f /g 0/0 / a 2 c = 2 b2 ϵ < 1 c > a ϵ > 1 Càlcul d'una variable: apunts, teoremes i formulari 21 Solucions de les preguntes de repàs 1.

Sí, els punts frontera o d'acumulació exteriors (com el 0 per a l'interval (0, 1)) pertanyen a la clausura perquè qualsevol entorn seu talla el conjunt. 2. Equival a dir que el nombre real x pertany a l'interval obert (-a, a), és a dir, -a < x < a. 3. Tot i ser un conjunt fitat, no és tancat perquè el seu punt d'acumulació, el 0, no pertany al conjunt. 4. Un punt d'acumulació té en qualsevol entorn seu elements de S diferents d'ell mateix, mentre que un punt aïllat admet un entorn on ell és l'únic element de S. 5. La unió de qualsevol família arbitrària d'oberts és oberta, però només la intersecció d'un nombre finit de conjunts oberts garanteix un resultat obert. 6. b) Ser tancat i fitat.

A la recta real un conjunt és compacte si i només si és simultàniament tancat i fitat. 7. c) Tot conjunt infinit i fitat té punts d'acumulació. El teorema garanteix almenys un punt d'acumulació per a qualsevol subconjunt infinit i fitat de reals. 8. a) Suprem. El suprem és, per definició, la mínima fita superior d'un conjunt. 9. d) El màxim comú divisor és combinació lineal d'ells. Afirma que el divisor comú d admet l'expressió d = ax + by amb x i y enters. 10. Sí, el límit depèn exclusivament dels valors que pren la funció a l'entorn del punt, mai del valor exacte en aquest punt. 11.

Com que 1 - cos(x) és equivalent a x^2 / 2 quan x tendeix a 0, el quocient (x^2 / 2) / x^2 dóna un límit d'1/2. 12. A la continuïtat uniforme, el delta depèn exclusivament de l'èpsilon escollit i és vàlid per a qualsevol parell de punts de l'interval tancat, sense dependre del punt concret avaluat. 13. Es defineix com la semisuma d'exponencials: . 14. Es tracta d'una discontinuïtat evitable. 15. c) / 2. L'aproximació de Taylor de segon ordre de 1 - cos(x) és precisament / 2. 16. d) Que f(a) i f(b) tinguin signes contraris. La condició f(a) · f(b) < 0 garanteix el tall amb l'eix d'abscisses per continuïtat. 17. c) domina sobre i ln(x).

La jerarquia d'infinits estableix que ln(x) creix més lentament que les potències , i aquestes més lentament que . 18. b) És uniformement contínua. El teorema assegura que la continuïtat sobre un conjunt compacte implica la continuïtat uniforme. 19. Si la funció presenta un punt angulós o discontinuïtat a l'interior, la corba pot canviar de pendent bruscament sense que cap tangent iguali el pendent mitjà de la secant. 20. Derivant implícitament: 2x + 2y·y' = 0. Avaluant a (1, 1): 2(1) + 2(1)y' = 0, d'on resulta y' = -1. 21. Cal que la primera derivada s'anul·li, f'(a) = 0, i que la segona derivada sigui estrictament positiva, f''(a) > 0. 22.

El teorema de Cauchy compara dues funcions f(x) i g(x) simultàniament a l'interval, mentre que Lagrange és el cas particular on g(x) = x. 23. El coeficient és igual a . cosh(x) = 2 e +e x x x2 x2 ex xa xa ex k! f (a) (k) Càlcul d'una variable: apunts, teoremes i formulari 22 24. a) Teorema de Rolle. El teorema de Rolle exigeix f(a) = f(b) per concloure l'existència d'un punt amb f'(c) = 0. 25. b) 1 / (1 + ). La derivada estàndard de l'arctangent és 1/(1+ ). 26. c) Màxim relatiu. Una curvatura cap avall (f''(a) < 0) en un punt crític correspon a un màxim local. 27. d) (x) / tendeix a 0. El residu és un infinitèsim d'ordre superior al grau del polinomi utilitzat. 28.

Això passa quan la funció pren valors positius i negatius de manera que les àrees situades per sobre i per sota de l'eix x són exactament iguals i es cancel·len. 29. S'aplica el canvi x = a·sin(t), ja que a^2 - a^2·sin^2(t) = a^2·cos^2(t), permetent extreure una expressió sense arrel. 30. El valor és exactament 0, ja que l'àrea positiva del semicle superior entre 0 i π cancel·la l'àrea negativa idèntica entre π i 2π. 31. La descriu com l'àrea d'un rectangle de base i altura per a un determinat punt . 32. S'associa una fracció de la forma . 33. b) t = tan(x/2). El canvi t = tan(x/2) permet transformar totes les funcions trigonomètriques en funcions racionals en t. 34.

c) Mitjançant paràboles de segon grau. Simpson aproxima la funció per trossos parabòlics a partir de tres punts ordenats. 35. b) La integral definida és igual a F(b) - F(a). La regla de Barrow permet calcular la integral definida a partir de la diferència dels valors d'una primitiva als extrems. 36. a) Una àrea amb signe (neta). La integral computa les àrees per sobre de l'eix com a positives i les inferiors com a negatives. 37. Formen sempre els vèrtexs d'un polígon regular de n costats centrat a l'origen de coordenades. 38. El producte z · z̄ dóna exactament la suma dels quadrats dels seus components, x^2 + y^2, que equival al quadrat del seu mòdul "z"^2. 39.

L'excentricitat és el quocient ε = c / a, i per a tota el·lipse pren un valor estrictament menor que 1 (ja que la distància focal c és menor que el semieix major a). 40. S'expressa com . 41. Són les rectes . 42. b) 0. La suma geomètrica de les arrels n-èsimes de qualsevol nombre complex s'anul·la completament. 43. d) La suma de distàncies als focus és constant. L'el·lipse és el lloc geomètric on la suma de distàncies als dos focus es manté fixa (2a). 44. d) ε = 1. La paràbola és la cònica límit d'excentricitat exactament igual a 1. 45. b) Apareixen en parells conjugats.

Pel teorema fonamental de l'àlgebra, si els coeficients són reals les arrels complexes no reals van obligatòriament per parelles conjugades. x2 x2 R n (x a)n b a f(c) c [a, b] (x α) +β 2 2 M x+N sin(x) = 2i e e ix ix y = ± x a b Càlcul d'una variable: apunts, teoremes i formulari 23