Apunts de nombres complexos i seccions còniques

I 0 flashcards i 3 preguntes més al document.

Text del document

APUNTS CÀLCUL D'UNA VARIABLE Grau en Física Universitat de Barcelona AprenAI 2026-2027 Repàs de nombres complexos (forma polar, Euler, logaritme i arrels n- èsimes) i còniques (el·lipse, hipèrbola, paràbola i asímptotes) per a Càlcul.

APREN.AI Índex 1 Fonaments i operacions dels nombres complexos Forma binòmica i representació cartesiana Àlgebra elemental: suma, producte i conjugació Forma polar i interpretació geomètrica 2 Funcions transcendentals complexes, logaritme i arrels Funcions de variable complexa Logaritme complex i determinació principal Teorema fonamental de l'àlgebra i arrels de nombres complexos 3 Còniques: el·lipse, hipèrbola i paràbola L'el·lipse La hipèrbola La paràbola com a límit geomètric 4 Formulari Nombres complexos i àlgebra elemental Funcions complexes, logaritme i arrels Seccions còniques Errors típics Solucions de les preguntes de repàs Aquests apunts poden contenir errors o omissions.

Són un material de suport i no substitueixen el temari oficial ni el professorat: contrasta la informació important. Apunts de nombres complexos i seccions còniques 1 1 Fonaments i operacions dels nombres complexos EN ACABAR SABRÀS Expressar nombres complexos en forma binòmica i polar. Calcular la suma, el producte, el conjugat i l'invers d'un nombre complex. Interpretar geomètricament el producte d'exponencials en el pla complex. PENSA-HI ABANS DE LLEGIR 1 Com podem interpretar la multiplicació per un nombre complex que té mòdul 1 des del punt de vista geomètric? A l'anell dels nombres reals, certes equacions algebraiques elementals com ara no tenen solució.

Per resoldre aquesta limitació s'introdueix la unitat imaginària , definida formalment mitjançant la propietat fonamental (és a dir, ). Forma binòmica i representació cartesiana Tot nombre complex s'expressa de forma única en forma binòmica: on és la part real i és la part imaginària. Aquesta parella ordenada permet identificar geomètricament amb el pla cartesià , denominat pla complex. Esquema del pla complex identificant part real i imaginària. x + 2 1 = 0 i i = 2 1 i = 1 z C z = x + iy x = Re(z) R y = Im(z) R (x, y) C R2 Apunts de nombres complexos i seccions còniques 2 EXEMPLE L'equació amb condueix a . En extreure arrels quadrades s'obté , donant el parell de solucions conjugades .

Àlgebra elemental: suma, producte i conjugació Donats dos nombres en forma binòmica i : Suma: s'agrupen de manera independent components reals i imaginàries: . Producte: s'aplica la propietat distributiva tenint en compte que : El conjugat de , denotat o , s'obté substituint per : La multiplicació d'un nombre pel seu conjugat produeix una suma de quadrats en : . Aquest resultat només s'anul·la si . Aquesta identitat facilita el càlcul de l'invers d'un nombre no nul mitjançant la multiplicació simultània del numerador i del denominador pel conjugat: ERROR FREQÜENT En calcular el quocient o l'invers, multiplicar pel conjugat és obligatori per eliminar la unitat imaginària del denominador.

Recorda que i mai . COMPROVA-HO 2 Quin és el valor de l'invers de 3 + 5i en forma binòmica? Forma polar i interpretació geomètrica Mitjançant coordenades polars en el pla, la posició d'un punt s'expressa amb el mòdul i l'argument , de manera que i .

(z α) + 2 β = 2 0 α, β R (z α) = 2 β2 z α = ±iβ z = α ± iβ z = 1 x + 1 iy 1 z = 2 x + 2 iy 2 z + 1 z = 2 (x + 1 x ) + 2 i(y + 1 y ) 2 i = 2 1 z z = 1 2 (x x 1 2 y y ) + 1 2 i(x y + 1 2 x y ) 2 1 z = x + iy z z ˉ i i z = x iy R zz = (x + iy)(x iy) = x + 2 y ge0 2 x = y = 0 z = 0 = z 1 = zz z = x + y 2 2 x iy + x + y 2 2 x i x + y 2 2 y (x + iy)(x iy) = x + 2 y2 x 2 y2 ρ = z = = x + y 2 2 zz θ x = ρcosθ y = ρsinθ Apunts de nombres complexos i seccions còniques 3 Diagrama de coordenades polars amb mòdul i argument. Mitjançant la identitat d'Euler, s'obté la forma exponencial: Gràfica de la rotació d'un complex en multiplicar per exponencial.

z = ρ(cosθ + isinθ) = ρeiθ Apunts de nombres complexos i seccions còniques 4 Si es multiplica un complex per un operador de mòdul unitari , el resultat és . Geomètricament, aquesta operació representa una rotació del vector en sentit antihorari d'un angle al voltant de l'origen. PROCÉS Càlcul de l'invers d'un nombre complex 1 Partença Nombre complex no nul z = x + iy 2 Conjugació Trobar el conjugat z* = x - iy 3 Mòdul al quadrat Calcular el denominador real x² + y² 4 Forma canònica Expressar 1/z com a part real i imaginària IDEES CLAU La unitat imaginària es defineix mitjançant . El producte d'un nombre pel seu conjugat és real i estrictament positiu per a valors no nuls: .

L'invers d'un complex es calcula multiplicant numerador i denominador pel conjugat: . La multiplicació per actua geomètricament com una rotació d'angle en el pla complex. COMPROVA EL QUE HAS APRÈS 3. Com s'expressa el mòdul en termes del conjugat ? 4. Quin efecte geomètric produeix multiplicar un nombre complex per ? Test Encercla la resposta correcta. Les solucions són al final. 5. Quin és el resultat del producte z · z* si z = x + iy? 6. Com s'obté el conjugat d'un nombre complex? 7.

Geomètricament, multiplicar un complex per correspon a: z = ρeiθ w = eiα zw = ρei(θ+α) z α i = 2 1 zz = x + 2 y2 1/z = z /(x + 2 y ) 2 eiα α ρ z i 2x a) x² + y² b) x² - y² c) (x + y)² d) Canviant de signe la part imaginària a) Canviant de signe la part real b) Invertint el mòdul del vector c) Sumant π a l'argument principal d) eiα Una translació de vector α a) Una reflexió respecte l'eix real b) Una rotació pura d'angle α c) Una homotècia de raó α d) Apunts de nombres complexos i seccions còniques 5 8. Quant val el mòdul del nombre complex z = 1 + i?

2 Funcions transcendentals complexes, logaritme i arrels EN ACABAR SABRÀS Definir l'exponencial, el sinus i el cosinus complexos a partir d'Euler. Calcular branques del logaritme complex i avaluar potències complexes. Trobar les arrels d'un complex i verificar la seva suma nul·la. PENSA-HI ABANS DE LLEGIR 9 Pot el resultat d'elevar la unitat imaginària a ella mateixa ( ) donar un nombre completament real? A partir de la relació d'Euler per a , i el seu conjugat , s'obtenen les definicions de les funcions trigonomètriques: Funcions de variable complexa Aquestes identitats s'estenen de manera natural per a qualsevol valor : Exponencial complexa: . Funcions trigonomètriques: i .

Funcions hiperbòliques: i . Desenvolupant la definició per a s'arriba a la descomposició en parts real i imaginària: . Per exemple, per a ( ) tenim . Logaritme complex i determinació principal La funció logaritme complex es defineix com la inversa de l'exponencial: . Donat , tenim: És una funció multivaluada. Per convertir-la en univaluada es fixa la determinació principal restringint l'argument a l'interval habitual .

1 a) 2 b) 3 c) 2 d) n ii x R e = ix cosx + isinx e = ix cosx isinx sinx = , quadcosx = 2i e e ix ix 2 e + e ix ix z = x + iy C e = z e = x+iy e (cosy + x isiny) sinz = 2i e e iz iz cosz = 2 e +e iz iz shz = 2 e e z z chz = 2 e +e z z z = x + iy sinz = sinxchy + icosxshy z = i x = 0, y = 1 sin(i) = ish(1) = (e 2 i e ) 1 lnz = wiffe = w z z = ρeiθ lnz = lnρ + i(θ + 2πk), k Z π < θleπ Apunts de nombres complexos i seccions còniques 6 Diagrama de la determinació principal de l'argument en el pla. EXEMPLE Per calcular potències complexes com ara , s'empra la forma exponencial de la base : , amb part imaginària nul·la.

Teorema fonamental de l'àlgebra i arrels de nombres complexos DEFINICIÓ Segons el teorema fonamental de l'àlgebra, tot polinomi de grau amb coeficients a té exactament arrels en el cos dels nombres complexos (comptant multiplicitats). Per determinar les arrels de l'equació amb , s'utilitza la fórmula: Geomètricament, aquestes arrels formen els vèrtexs d'un polígon regular de costats centrat a l'origen. z = ii i = eiπ/2 i = i (e ) = iπ/2 i e = i π/2 2 e π/2 R n C n n z = n w w = ρeiθ a = k e , k = n ρ i n θ+2πk 0, 1, … , n 1 n Apunts de nombres complexos i seccions còniques 7 Distribució de les tres arrels cúbiques sobre la circumferència.

Una propietat fonamental és que la suma de les arrels -èsimes és sempre nul·la: ERROR FREQÜENT Oblidar les solucions periòdiques del logaritme o les solucions d'una arrel. Per a una arrel d'ordre cal indicar exactament valors diferents prenent . COMPROVA-HO 10 Quant val la suma de totes les arrels de l'equació cúbica z³ + 1 = 0? n n a = k=0 n 1 k e e = n ρ i n θ k=0 n 1 ( i n 2π ) k e = n ρ i n θ e 1 i n 2π e 1 ( i n 2π ) n 0 n n n kin[0, n 1] Apunts de nombres complexos i seccions còniques 8 CICLE Distribució de les arrels n-èsimes al pla complex 1. Mòdul comú: Radi constant igual a l'arrel n-èsima del mòdul 2. Argument inicial: Primer vèrtex situat a θ/n 3.

Separació angular: Pas constant de 2π/n entre arrels consecutives 4. Tancament regular: Suma vectorial de tots els vèrtexs igual a zero IDEES CLAU Les funcions trigonomètriques s'expressen mitjançant exponencials amb argument complex. El logaritme complex és una funció multivaluada que requereix triar un argument per a la seva branca principal. El teorema fonamental de l'àlgebra garanteix exactament arrels per a qualsevol polinomi de grau a . Les arrels -èsimes d'un complex equidisten en argument formant un polígon regular la suma dels vèrtexs del qual és zero. COMPROVA EL QUE HAS APRÈS 11. Quina és la determinació principal del logaritme per a un argument ? 12.

Quant val utilitzant la determinació principal? 1 Mòdul comú 2 Argument inicial 3 Separació angular 4 Tancament regular n n \bbbc n θ ii Apunts de nombres complexos i seccions còniques 9 Test Encercla la resposta correcta. Les solucions són al final. 13. Quantes arrels té un polinomi de grau 5 en els complexos? 14. Per què el logaritme complex és multivaluat? 15. Quant val la suma de les 4 arrels quartes d'un nombre complex? 16. Quina és la part imaginària de la potència complexa ? 3 Còniques: el·lipse, hipèrbola i paràbola EN ACABAR SABRÀS Distingir les definicions geomètriques d'el·lipse, hipèrbola i paràbola a partir dels focus.

Deduir les equacions canòniques i les relacions mètriques entre semieixos. Calcular l'excentricitat i les asímptotes de les còniques. PENSA-HI ABANS DE LLEGIR 17 Què tenen en comú geomètricament una circumferència, una el·lipse, una paràbola i una hipèrbola? Una cònica és el lloc geomètric obtingut en tallar un con doble mitjançant un pla secant. En coordenades cartesianes, les còniques generals responen a una equació quadràtica de la forma .

Depèn dels coeficients reals a) Com a mínim 6 b) Exactament 5 c) Com a màxim 3 d) Perquè la part real no és fitada a) Per la presència de singularitats a l'infinit b) Perquè pren valors reals i imaginaris c) Per la periodicitat 2π de l'argument d) 0 a) El propi mòdul b) 1 c) Depèn de l'argument d) ii 0 a) -1 b) 1 c) π/2 d) Ax + 2 By + 2 2Cxy + ux + vy + d = 0 Apunts de nombres complexos i seccions còniques 10 Intersecció cònica mitjançant el tall d'un pla secant. L'el·lipse L'el·lipse és el conjunt de punts tals que la suma de les seves distàncies a dos punts fixos (focus i ) és constant: Elements geomètrics principals i focus de l'el·lipse.

Situant els focus als punts , definim la distància focal , el semieix major i el semieix menor . La relació geomètrica fonamental és (amb ). Desenvolupant la condició de suma constant s'obté la forma canònica: (x, y) F F d + F d = F 2a (±c, 0) c a b a 2 c = 2 b2 c < a + a2 x2 = b2 y2 1 Apunts de nombres complexos i seccions còniques 11 L'excentricitat mesura l'aixafament: . Quan , els dos focus coincideixen ( ) i la figura esdevé una circumferència. La hipèrbola La hipèrbola és el lloc geomètric on el valor absolut de la diferència de distàncies als focus és constant: Definició focal i branques característiques de la hipèrbola. En aquest cas , i la relació de paràmetres s'escriu .

L'equació canònica de la hipèrbola centrada és: La seva excentricitat compleix . Per a valors grans de la variable ( ), les branques s'aproximen a les asímptotes rectes donades per . ϵ = < a c 1 c 0 ϵ = 0 d F d = F 2aquado b quadd e ˊ F d = F ±2a c > a b = 2 c 2 a2 a2 x2 = b2 y2 1 ϵ = > a c 1 xgga y = ± x a b Apunts de nombres complexos i seccions còniques 12 Comportament de les rectes asímptotes d'una hipèrbola. La paràbola com a límit geomètric La paràbola es pot interpretar com el límit d'una el·lipse quan un dels seus focus es desplaça cap a l'infinit mentre es manté fix el vèrtex i la distància vèrtex-focus .

Fent tendir en l'equació de l'el·lipse desplaçada, l'expressió canònica esdevé: La seva excentricitat límit és exactament . ERROR FREQÜENT Confondre la relació pitagòrica entre , i : a l'el·lipse la hipotenusa és ( ), mentre que a la hipèrbola la hipotenusa és ( ). COMPROVA-HO 18 Quina cònica té excentricitat ε = 1 i com s'obté geomètricament a partir de l'el·lipse? p = a c a x = y 4p 1 2 ϵ = = a c 1 a b c a a = 2 b + 2 c2 c c = 2 a + 2 b2 Apunts de nombres complexos i seccions còniques 13 ESQUEMA Classificació de les còniques segons l'excentricitat IDEES CLAU L'el·lipse s'obté quan la suma de distàncies als focus és constant ( ) amb excentricitat .

La hipèrbola es caracteritza per una diferència constant de distàncies ( ) i . Les asímptotes de la hipèrbola estan descrites per les rectes . La paràbola té excentricitat exactament igual a 1 i respon a . COMPROVA EL QUE HAS APRÈS 19. Quina és la relació entre els paràmetres , i en una hipèrbola? 20. Com són les asímptotes de la hipèrbola ? Test Encercla la resposta correcta. Les solucions són al final. 21. Quin valor d'excentricitat defineix una el·lipse? 22. En quina cònica es compleix que c² = a² + b²? 23. Quines són les asímptotes de la hipèrbola quan x és molt gran?

Còniques Interseccions d'un con amb un pla El·lipse Excentricitat 0 ε < 1 Paràbola Excentricitat ε = 1 Hipèrbola Excentricitat ε > 1 d + F d = F 2a ϵ < 1 d F d = F 2a ϵ > 1 y = ±(b/a)x x = y /(4p) 2 a b c x /a 2 2 y /b = 2 2 1 0 ε < 1 a) ε = 0 b) ε = 1 c) ε > 1 d) A la circumferència a) A la paràbola b) A la hipèrbola c) A l'el·lipse d) y = ±4px a) y = ±(a/b)x b) y = ±(c/a)x c) y = ±(b/a)x d) Apunts de nombres complexos i seccions còniques 14 24. Quin és el valor de l'excentricitat per a una paràbola? 4 Formulari Nombres complexos i àlgebra elemental Fórmula o procediment Significat dels símbols Quan s'utilitza (part real), (part imaginària) Forma binòmica canònica dun complex.

Conjugat complex (substitució de per ) Càlcul de mòduls, inverses i simplificació d'arrels. Quadrat del mòdul (sempre real i ) Eliminació de la unitat imaginària al denominador. Invers multiplicatiu dun nombre no nul Divisió de nombres complexos. (mòdul), (argument) Forma exponencial / polar per a productes i potències. és l'angle de rotació en radians Rotació antihorària al pla complex mantenint el mòdul. Procediment per invertir un complex: Trobar conjugat Calcular denominador real Separar parts: . Funcions complexes, logaritme i arrels Fórmula o procediment Significat dels símbols Quan s'utilitza , Exponencial dun nombre complex.

, Funcions trigonomètriques complexes Definició analítica a partir de la identitat d'Euler. , argument principal, Logaritme complex (branca principal amb , ). ε = a) ε < 1 b) ε = 1 c) ε = 0 d) z = x + iy x = Re(z) y = Im(z) z = x iy i i zz = x + 2 y2 z 2 0 = z 1 x +y 2 2 x iy z = ρeiθ ρ = x + y 2 2 θ z e = iα ρei(θ+α) α z = x + iy z = x iy x + 2 y2 x +y 2 2 x i x +y 2 2 y e = z e (cos y + x i sin y) x = Re(z) y = Im(z) sin z = 2i e e iz iz cos z = 2 e +e iz iz ln z = ln ρ + i(θ + 2πk) ρ = z θ k Z π < θ π k = 0 Apunts de nombres complexos i seccions còniques 15 Fórmula o procediment Significat dels símbols Quan s'utilitza Obtenció de les arrels -èsimes de .

Suma vectorial de tots els vèrtexs del polígon regular Propietat de cancel·lació de les arrels regulars centrades. Procediment per trobar les arrels -èsimes: Convertir el radicand a polar Calcular mòdul constant Variar l'argument amb pas prenent . Seccions còniques Fórmula o procediment Significat dels símbols Quan s'utilitza : semieix major, : semieix menor ( ) Equació canònica de l'el·lipse ( ). : semieix real, : semieix imaginari ( ) Equació canònica de la hipèrbola ( ). Rectes asímptotes centrades a l'origen Comportament asimptòtic de la hipèrbola quan . (distància del vèrtex al focus) Equació canònica de la paràbola com a límit quan .

Excentricitat: (cercle), (el·lipse), (paràbola), (hipèrbola) Classificació geomètrica de la cònica segons l'obertura. Errors típics Producte pel conjugat: Recorda que amb signe positiu, mai una diferència de quadrats reals . Relacions mètriques dels semieixos: A l'el·lipse el paràmetre més gran és ( ), mentre que a la hipèrbola el valor més gran és la distància focal ( ). Multivaluació del logaritme i arrels: Les arrels d'ordre requereixen exactament solucions ( ); ometre la periodicitat redueix incorrectament la solució a una sola branca. a = k e n ρ i n θ+2πk k = 0, 1, … , n 1 n n z = n w a = k=0 n 1 k 0 n ρeiθ n ρ 2π/n k = 0, 1, …

, n 1 + a2 x2 = b2 y2 1 a b a = 2 b + 2 c2 d + F d = F 2a a2 x2 = b2 y2 1 a b c = 2 a + 2 b2 d F d = F 2a y = ± x a b x a x = y 4p 1 2 p = a c a ε = a c ε = 0 < 1 = 1 > 1 zz = x + 2 y2 x 2 y2 a a = 2 b + 2 c2 c c = 2 a + 2 b2 n n k = 0, … , n 1 2πk Apunts de nombres complexos i seccions còniques 16 Solucions de les preguntes de repàs 1. Actua com un operador geomètric que gira qualsevol vector del pla un angle determinat sense alterar la seva longitud. 2. Es multiplica pel conjugat 3 - 5i: el denominador resulta 3^2 + 5^2 = 34, obtenint 3/34 - (5/34)i. 3. S'expressa com la relació . 4. Com que , multiplicar per equival a aplicar una rotació de radiants (90°) en sentit antihorari. 5.

b) x² + y². El terme creuat s'anul·la i -i²y² esdevé +y², donant la suma de quadrats real x² + y². 6. a) Canviant de signe la part imaginària. La conjugació complexa consisteix a substituir i per -i, modificant únicament el signe d'Im(z). 7. c) Una rotació pura d'angle α. Com que té mòdul unitari, el factor manté la distància a l'origen i suma l'angle α a l'argument. 8. b) 2. Aplicant la definició de mòdul s'obté (1² + 1²) = 2. 9. Sí, emprant la relació d'Euler es transforma en , que és un valor estrictament real. 10. Val 0, ja que la suma de les n arrels n-èsimes de qualsevol nombre complex sempre s'anul·la geomètricament per simetria regular. 11.

La determinació principal fixa l'interval per a l'angle del nombre complex. 12. Val , que és un nombre estrictament real i positiu. 13. c) Exactament 5. Segons el teorema fonamental de l'àlgebra, té exactament n arrels comptant multiplicitats. 14. d) Per la periodicitat 2π de l'argument. Com que l'exponencial té període 2πi, sumant múltiples enters de 2π a l'argument s'obté el mateix valor. 15. a) 0. La suma dels termes d'una progressió geomètrica d'arrels regulars sempre dóna exactament 0. 16. a) 0. El valor obtingut és , que no conté cap component imaginària (Im = 0). 17.

Totes corresponen a seccions còniques planes generades en tallar un con doble mitjançant un pla amb diferents inclinacions. 18. És la paràbola, obtinguda enviant el semieix major i un dels focus cap a l'infinit mantenint el paràmetre focal p fix. 19. La relació fonamental és , on la semidistància focal és superior al semieix real . 20. Són dues rectes que passen per l'origen de coordenades amb pendents . 21. a) 0 ε < 1. L'excentricitat d'una el·lipse compleix sempre 0 ε < 1 (esdevenint cercle si ε = 0). 22. c) A la hipèrbola. A la hipèrbola la distància focal c és més gran que a, per la qual cosa b² = c² - a². 23. d) y = ±(b/a)x.

Aïllant la relació asimptòtica per a x >> a s'obté el pendent y ±(b/a)x. 24. c) ε = 1. La paràbola és la cònica límit amb una excentricitat exacte igual a 1. ρ = \rootβzz = \rootβx + y 2 2 i = eiπ/2 i π/2 e π/2 pi < θlepi e π/2 e π/2 b = 2 c 2 a2 c a y = ± x a b Apunts de nombres complexos i seccions còniques 17