Optimización con restricciones de igualdad: Matemáticas II

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APUNTES MATEMÁTICAS II Grado en Economía Universidad de Barcelona AprenAI 2026-2027 Domina el método de Lagrange, directo y gráfico con clasificación hessiana, precios sombra y aplicaciones económicas para el examen de Matemáticas II.

APREN.AI Índice 1 Planteamiento del problema lagrangiano y conceptos básicos Definición formal del problema lagrangiano El conjunto factible Fundamentos topológicos: distancia y bola abierta Clasificación rigurosa de los óptimos condicionados Tipología y casos estructurales frecuentes 2 Resolución mediante el método directo Fundamento analítico y parametrización de restricciones Casos en dos variables con una restricción ( ) Casos en tres variables ( ) con una y dos restricciones Aplicación económica: equilibrio del consumidor 3 Resolución geométrica: el método gráfico Fundamentos y ámbito de aplicación del método gráfico Condición geométrica de tangencia y colinealidad de gradientes Estudio geométrico detallado: rectas de nivel y circunferencia Estudio geométrico detallado: hipérbolas y circunferencia Método de Lagrange 4 Función lagrangiana y condición de primer orden Puntos regulares y la condición de rango La función lagrangiana Condición necesaria de primer orden: Teorema de Lagrange Resolución de problemas canónicos 5 Condiciones suficientes de segundo orden y clasificación Estructura de la condición de segundo orden y matriz hessiana lagrangiana El subespacio de direcciones factibles S Resolución y clasificación de candidatos prácticos Condiciones suficientes de segundo orden global 6 Interpretación económica de los multiplicadores y análisis de sensibilidad La función de valor óptimo y el teorema de la envolvente Comprobación analítica paramétrica Aproximación por diferencial total y análisis de sensibilidad 7 Aplicaciones microeconómicas a la teoría de la empresa El modelo general de decisión empresarial y formulación de beneficios Resolución del caso libre y análisis de viabilidad n = 2, m = 1 n = 3 Optimización con restricciones de igualdad: Matemáticas II 1 Optimización con restricción de capacidad productiva Evaluación marginal ante ampliaciones de capacidad 8 Formulario Métodos directo y gráfico Método de los multiplicadores de Lagrange Condiciones suficientes de segundo orden y clasificación Sensibilidad e interpretación económica Errores típicos Soluciones de las preguntas de repaso Estos apuntes pueden contener errores u omisiones.

Son un material de apoyo y no sustituyen al temario oficial ni al profesorado: contrasta la información importante. Optimización con restricciones de igualdad: Matemáticas II 2 1 Planteamiento del problema lagrangiano y conceptos básicos AL ACABAR SABRÁS Formular analíticamente un problema lagrangiano identificando la función objetivo y las restricciones de igualdad. Determinar con precisión el conjunto factible F a partir del sistema de restricciones. Diferenciar de manera rigurosa entre óptimos condicionados globales y locales mediante entornos euclídeos.

PIÉNSALO ANTES DE LEER 1 ¿Por qué no se puede aplicar libremente la búsqueda de extremos mediante derivadas nulas cuando existen restricciones de igualdad? La optimización matemática condicionada busca determinar los valores extremos de una función cuando las variables independientes deben satisfacer obligatoriamente una serie de ecuaciones simultáneas. En esta unidad analizamos los problemas gobernados por restricciones de igualdad.

ESQUEMA Estructura del tema: Optimización con restricciones Planteamiento y conceptos Definición formal y conjunto factible F Método directo Parametrización del conjunto factible Método gráfico Resolución visual cuando n=2 y m=1 Método de Lagrange Enfoque analítico general para cualquier dimensión Condición primer orden Función lagrangiana y puntos críticos Condiciones segundo orden Clasificación local y global Sensibilidad y empresa Multiplicadores y aplicaciones económicas Optimización con restricciones de igualdad: Matemáticas II 3 Definición formal del problema lagrangiano Sea un subconjunto abierto. Consideramos números enteros y que satisfacen la relación estructural .

Disponemos de los siguientes elementos analíticos: Una función objetivo con derivadas parciales continuas en . Un conjunto de funciones de ligadura , todas con derivadas parciales continuas en . Un vector de términos independientes o constantes . DEFINICIÓN Un problema lagrangiano (PL) consiste en optimizar (hallar los máximos o los mínimos de) la función sobre los puntos admisibles de que verifican simultáneamente las restricciones: De forma abreviada, denotamos el vector de variables como y escribimos de manera compacta el sistema de restricciones como para . ERROR FRECUENTE Olvidar la condición de dimensiones .

Si tuviésemos restricciones independientes sobre incógnitas, el sistema determinaría típicamente puntos aislados fijados por las ecuaciones, eliminando los grados de libertad necesarios para optimizar la función objetivo. El conjunto factible El dominio de búsqueda de la optimización queda delimitado por los puntos que satisfacen todas las restricciones del problema de manera simultánea. DEFINICIÓN El conjunto factible o admisible de un problema lagrangiano es el subconjunto de definido analíticamente por: Cualquier punto evaluado para ser candidato a solución debe pertenecer obligatoriamente a .

Todo punto exterior a queda automáticamente descartado, con independencia del valor que alcance en él la función . A Rn n m 1 m < n f : A R n R A m g , … , g : 1 m A R n R A b , … , b 1 m R f(x) A m PL Optimizar sujeta a f(x , … , x ) 1 n g (x , … , x ) = b 1 1 n 1 g (x , … , x ) = b m 1 n m x = (x , … , x ) 1 n A g (x) = i b i i = 1, … , m 1 m < n m = n n F A F := (x , … , x ) A g (x , … , x ) = b , … , g (x , … , x ) = b { 1 n 1 1 n 1 m 1 n m} A F F f Optimización con restricciones de igualdad: Matemáticas II 4 COMPRUEBA 2 ¿Por qué se exige estrictamente que el número de restricciones m sea estrictamente menor que el número de variables n?

Fundamentos topológicos: distancia y bola abierta Para formular con rigor la noción de proximidad en y delimitar entornos de puntos, empleamos las herramientas topológicas de la métrica euclídea. DEFINICIÓN Dados dos puntos y , la distancia euclídea entre ambos se define como: A partir de esta distancia, construimos el entorno circular o esférico básico centrado en un punto de referencia.

DEFINICIÓN Dado un punto central y un radio real , la bola abierta de centro a y radio r es el conjunto de puntos de cuya distancia a es estrictamente menor que dicho radio: La bola abierta permite evaluar el comportamiento de la función objetivo únicamente sobre los puntos factibles que están a una distancia menor que del punto analizado, es decir, en la intersección . COMPRUEBA 3 ¿Qué elementos componen el conjunto de prueba al evaluar un óptimo local en a? Clasificación rigurosa de los óptimos condicionados Distinguimos dos tipos fundamentales de extremos según el alcance del conjunto donde se compara el valor de la función objetivo: óptimos globales y óptimos locales.

Tipo de óptimo Pertenencia Condición matemática Dominio de validez Máximo global Para todo Mínimo global Para todo Máximo local Existe tal que Mínimo local Existe tal que Rn a = (a , … , a ) 1 n Rn x = (x , … , x ) 1 n Rn d(a, x) := (x a ) + + (x a ) 1 1 2 n n 2 a Rn r > 0 Rn a B(a, r) := x R d(a, x) < r { n } Rn r F B(a, r) a F f(a) f(x) x F a F f(a) f(x) x F a F f(a) f(x) r > 0 x F B(a, r) a F f(a) f(x) r > 0 x F B(a, r) Optimización con restricciones de igualdad: Matemáticas II 5 Un óptimo global es automáticamente un óptimo local, pues si la desigualdad se cumple en todo el conjunto factible , se cumple de forma trivial en la intersección con cualquier entorno.

Sin embargo, el recíproco no es cierto en general. COMPRUEBA 4 Si un punto a F es un mínimo local del problema lagrangiano, ¿es necesariamente un mínimo global? Tipología y casos estructurales frecuentes Según la dimensión del espacio y la cantidad de ecuaciones de ligadura, los problemas más habituales se clasifican en las siguientes configuraciones canónicas: EJEMPLO Casos estructurales representativos: 1. Dos variables y una restricción ( ): Otro ejemplo con frontera no lineal: 2. Tres variables y una restricción ( ): 3.

Tres variables y dos restricciones ( ): Para abordar la resolución de estos modelos, el curso contempla tres metodologías principales: Método directo: aplicable cuando resulta factible parametrizar analíticamente el conjunto admisible (véase «Resolución mediante el método directo»). Método gráfico: técnica geométrica restringida al plano bidimensional con una única ligadura, (véase «Resolución geométrica: el método gráfico»). Método de los multiplicadores de Lagrange: procedimiento analítico general que puede aplicarse siempre que se verifiquen las condiciones de diferenciabilidad (véase «Método de Lagrange — Función lagrangiana y condición de primer orden»).

F n = 2, m = 1 { Maximizar sujeta a f(x, y) := xy 2x + y = 100 { Optimizar sujeta a f(x, y) := 3x + 4y x + y = 1 2 2 n = 3, m = 1 { Optimizar sujeta a f(x, y, z) := x + y + z 2 2 2 x + y + z = 1 n = 3, m = 2 Optimizar sujeta a f(x, y, z) := x + y + z 2 2 2 x + 2y + z = 1 2x y 3z = 4 F n = 2ym = 1 Optimización con restricciones de igualdad: Matemáticas II 6 IDEAS CLAVE Un problema lagrangiano consiste en optimizar una función diferenciable bajo restricciones de igualdad con . El conjunto factible está formado por todos los puntos de que satisfacen simultáneamente las ecuaciones de restricción.

Un óptimo es global si supera o iguala a todos los puntos de , y es local si la desigualdad se cumple en un entorno restringido . La bola abierta se define mediante la distancia euclídea euclidiana en . Los métodos principales de resolución son el método directo, el método gráfico ( ) y el método general de Lagrange. COMPRUEBA LO QUE HAS APRENDIDO 5. ¿Cuál es la expresión formal del conjunto factible F en un problema lagrangiano? 6. ¿Qué diferencia formalmente la definición de un mínimo global de la de un mínimo local? Test Rodea la respuesta correcta. Las soluciones están al final. 7.

¿Qué relación dimensional debe cumplirse obligatoriamente en un problema lagrangiano con n variables y m restricciones? 8. ¿Cuál es la condición para que a F sea un máximo global condicionado? 9. ¿Bajo qué dimensiones específicas es aplicable la resolución por el método gráfico? 10. ¿Cómo se define analíticamente la bola abierta B(a, r) en ?

m 1 m < n F A m F F B(a, r) B(a, r) Rn n = 2, m = 1 1 < n m a) m n b) 1 m < n c) m = n + 1 d) f(a) f(x) para todo x F a) f(a) f(x) solo en una bola B(a,r) b) f(a) = 0 para todo x F c) f(a) f(x) para todo x A d) n = 3 y m = 1 a) Cualquier n con m = 1 b) n = 3 y m = 2 c) n = 2 y m = 1 d) Rn Puntos con d(a, x) < r a) Puntos con d(a, x) = r b) Puntos con d(a, x) > r c) Puntos con d(a, x) r d) Optimización con restricciones de igualdad: Matemáticas II 7 2 Resolución mediante el método directo AL ACABAR SABRÁS Parametrizar el conjunto factible despejando incógnitas de forma global a partir de restricciones de igualdad.

Transformar problemas condicionados en problemas de optimización libre con dimensión reducida. Clasificar extremos condicionados mediante derivadas de primer y segundo orden o la matriz hessiana de la función reducida. Plantear y resolver analíticamente el problema clásico de maximización de la utilidad del consumidor sujeto a restricción presupuestaria. PIÉNSALO ANTES DE LEER 11 ¿Cómo podemos transformar un problema de optimización con restricciones en uno estándar sin restricciones utilizando álgebra básica?

Fundamento analítico y parametrización de restricciones El método directo consiste en transformar un problema lagrangiano con restricciones de igualdad en un problema de optimización libre con un menor número de variables. Para el planteamiento general del problema condicionado y la noción de restricción, véase «Planteamiento del problema lagrangiano y conceptos básicos». Consideremos un problema con variables y restricciones de igualdad, con : El conjunto de puntos que satisfacen simultáneamente todas las ecuaciones constituye el conjunto factible . Este método requiere parametrizar globalmente el conjunto factible.

Esto significa que en el sistema de ecuaciones podemos despejar de forma unívoca y global variables en función de las variables restantes: Al sustituir estas expresiones en la función objetivo , construimos una nueva función que depende exclusivamente de las n - m variables independientes: n m m < n Optimizar sujeto a f(x , … , x ) 1 n g (x , … , x ) = b 1 1 n 1 … g (x , … , x ) = b m 1 n m F m m n m x = G (x , … , x ) i 1 1 i m+1 i n … x = G (x , … , x ) i m m i m+1 i n f h h(x , … , x ) = i m+1 i n f(x , …

, x ) 1 n ( ) Optimización con restricciones de igualdad: Matemáticas II 8 De este modo, cualquier óptimo local o global de la función reducida sobre su dominio proporciona directamente las coordenadas correspondientes del óptimo condicionado sobre . PROCESO Etapas del método directo COMPRUEBA 12 ¿Cuántas variables independientes tiene la función reducida obtenida mediante el método directo? Casos en dos variables con una restricción ( ) Cuando el problema involucra dos variables y una sola restricción, la función resultante depende de una única variable. Por tanto, la búsqueda y clasificación de extremos se reduce al análisis clásico mediante la primera y segunda derivada ordinarias.

h F Sistema factible Identificar las m restricciones con n variables. 1 Despeje global Expresar m incógnitas en función de n - m parámetros. 2 Función reducida Sustituir las variables en f para obtener h. 3 Optimización libre Hallar extremos mediante gradiente y matriz hessiana. 4 Punto óptimo condicionado Recuperar el vector original completo en el conjunto factible. 5 Identificar variables y restricciones: Comprobar que el número de variables supera al número de igualdades independientes . 1 n m Despejar variables dependientes: Resolver el sistema de restricciones expresando variables en función de las restantes.

2 m n m Construir la función reducida: Introducir las relaciones obtenidas dentro de la función objetivo original para obtener . 3 h Optimizar sin restricciones: Calcular los puntos críticos de mediante su gradiente o primera derivada y clasificarlos según la condición de segundo orden. 4 h Recuperar el punto original: Evaluar las variables despejadas en el paso 2 para dar la solución completa y calcular su valor óptimo. 5 (x , … , x ) 1 n n = 2, m = 1 h Optimización con restricciones de igualdad: Matemáticas II 9 EJEMPLO Maximizar sujeto a . Despejamos a partir de la restricción lineal: El conjunto factible queda parametrizado como .

Sustituyendo en la función objetivo: Derivamos respecto a para hallar los puntos estacionarios: Comprobamos la condición de segundo orden calculando la segunda derivada: Al ser negativa para todo , es un máximo estricto. Obtenemos el valor de la segunda coordenada sustituyendo en la ecuación de la restricción: . Así, el único punto óptimo es (25, 50), donde la función alcanza su valor máximo: f(x, y) = xy 2x + y = 100 y y = 100 2x F = {(x, 100 2x) x R} h(x) = f(x, 100 2x) = x(100 2x) = 2x + 2 100x x h (x) = 4x + 100 = 0 x = 25 h (x) = 4 < 0 x x = 25 y = 100 2(25) = 50 f(25, 50) = 25 50 = 1250 Optimización con restricciones de igualdad: Matemáticas II 10 EJEMPLO Optimizar sujeto a .

Despejamos la variable de la restricción: El conjunto factible es . Planteamos la función reducida de una variable: Buscamos los puntos críticos igualando la derivada a cero: Analizamos la concavidad mediante la segunda derivada: Por tanto, se trata de un máximo. Determinamos la coordenada asociada: El óptimo se sitúa en el punto con un valor óptimo condicionado de: ERROR FRECUENTE Concluir el ejercicio proporcionando únicamente el valor de la variable independiente (por ejemplo, o ). El problema original está definido en ; por tanto, es obligatorio sustituir en la parametrización para reportar el vector completo del conjunto factible y calcular el valor alcanzado por la función objetivo.

COMPRUEBA 13 En el problema con objetivo y restricción , ¿por qué la solución es un máximo a pesar de que la función original no tiene máximos globales en ? Casos en tres variables ( ) con una y dos restricciones Al aumentar el número de variables, el sistema resultante tras despejar puede generar funciones reducidas de una o varias dimensiones, según el número de restricciones activas.

f(x, y) = x 2 y2 2x + y = 1 y y = 1 2x F = {(x, 1 2x) x R} h(x) = x 2 (1 2x) = 2 x 2 (1 4x + 4x ) = 2 3x + 2 4x 1 h (x) = 6x + 4 = 0 x = 3 2 h (x) = 6 < 0 y y = 1 2 = ( 3 2 ) 3 1 , (3 2 3 1 ) f , = ( 3 2 3 1 ) ( 3 2 ) 2 = ( 3 1 ) 2 9 4 = 9 1 = 9 3 3 1 x = 25 x = 2/3 Rn f(x, y) = x 2 y2 2x + y = 1 R2 n = 3 Optimización con restricciones de igualdad: Matemáticas II 11 Dos restricciones ( ): reducción a una variable EJEMPLO Optimizar la distancia al origen al cuadrado sujeta a la intersección de dos planos: Resolvemos el sistema lineal para expresar e en términos del parámetro libre : El conjunto factible queda descrito por .

Sustituimos en para construir : Derivamos para localizar el punto estacionario: La segunda derivada vale , confirmando la existencia de un mínimo. Calculamos las restantes coordenadas: El mínimo condicionado se ubica en , con un valor mínimo de .

n = 3,m = 2 f(x, y, z) = x + 2 y + 2 z2 { x + 2y + z = 1 2x y 3z = 4 x y z x = z + 5 9 y = z 5 2 F = z + , z , z z R {( 5 9 5 2 ) } f h(z) h(z) = z + + ( 5 9 ) 2 z + ( 5 2 ) 2 z = 2 3z + 2 z + 5 22 5 17 h (z) = 6z + = 5 22 0 z = 15 11 h (z) = 6 > 0 x = + 15 11 = 5 9 , y = 15 16 ( 15 11 ) = 5 2 3 1 , , (15 16 3 1 15 11 ) h = ( 15 11 ) 75 134 Optimización con restricciones de igualdad: Matemáticas II 12 Una restricción ( ): optimización libre multivariable EJEMPLO Optimizar sujeta al plano . Despejamos directamente . El conjunto factible es .

La función reducida consta de dos variables: Calculamos las derivadas parciales de primer orden e igualamos a cero: Resolviendo el sistema lineal simultáneo encontramos la solución crítica . Para clasificar el punto estacionario, construimos la matriz hessiana de : Evaluamos el carácter de la matriz mediante los menores principales dominantes: Una forma cuadrática es definida positiva si y solo si todos los menores principales dominantes D_r(A) son estrictamente positivos para r = 1, ..., n. Como ambos menores son positivos, la matriz hessiana es definida positiva en todo el dominio y el punto representa un mínimo estricto. Determinamos la tercera componente: .

El punto óptimo condicionado es , con valor objetivo: COMPRUEBA 14 ¿Cómo se determina si la matriz hessiana en un problema de optimización libre de dos variables garantiza un mínimo local? Aplicación económica: equilibrio del consumidor El método directo se aplica de forma natural en microeconomía básica para resolver la elección óptima de consumo.

Consideremos un agente económico que reparte su renta disponible entre dos alternativas: n = 3,m = 1 f(x, y, z) = x + 2 y + 2 z2 x + y + z = 1 z = 1 x y F = {(x, y, 1 x y) x, y R} h(x, y) = x + 2 y + 2 (1 x y) = 2 2x + 2 2xy + 2y 2 2x 2y + 1 = 4x + 2y 2 = 0 2x + y = 1 x h = 2x + 4y 2 = 0 x + 2y = 1 y h (x, y) = , (3 1 3 1 ) h(x, y) Hh(x, y) = = x2 h 2 y x h 2 x y h 2 y2 h 2 ( 4 2 2 4 ) D = 1 4 > 0, D = 2 det = ( 4 2 2 4 ) 16 4 = 12 > 0 z = 1 3 1 = 3 1 3 1 , , (3 1 3 1 3 1 ) f , , = ( 3 1 3 1 3 1 ) + ( 3 1 ) 2 + ( 3 1 ) 2 = ( 3 1 ) 2 = 9 3 3 1 r Optimización con restricciones de igualdad: Matemáticas II 13 Adquirir unidades de un bien determinado a un precio unitario de mercado .

Reservar la cantidad restante para gastar en el resto de bienes de la economía.

El consumidor queda sujeto a la restricción presupuestaria lineal: Si sus preferencias sobre ambas opciones de gasto vienen dadas por una función de utilidad , el objetivo del individuo consiste en resolver el problema lagrangiano: Aplicando el método directo, despejamos inmediatamente el gasto reservado para otros bienes en función de las compras del bien : Al incorporar esta condición en la función de utilidad, la decisión se reduce a optimizar sin restricciones una única función en variable : Resolviendo este problema libre unidimensional mediante se determina la cantidad óptima que maximiza la satisfacción del consumidor respetando su presupuesto.

Problema analizado Variables iniciales ( ) Restricciones ( ) Función reducida Óptimo obtenido Cuadrático simple 2 1 Máximo en Diferencia de cuadrados 2 1 Máximo en Distancia con dos restricciones 3 2 Mínimo en Distancia con un plano 3 1 Mínimo en Consumidor con renta 2 1 Depende de COMPRUEBA 15 En el modelo del consumidor con restricción , ¿cuál es el significado económico de la variable reducida ?

x p y px + y = r U(x, y) { Maximizar sujeto a U(x, y) px + y = r x y = r px x h(x) = U(x, r px) h (x) = 0 n m h h(x) = 2x + 2 100x (25, 50) h(x) = 3x + 2 4x 1 , (3 2 3 1 ) h(z) = 3z + 2 z + 5 22 5 17 , , (15 16 3 1 15 11 ) h(x, y) = 2x + 2 2xy + 2y 2 2x 2y + 1 , , (3 1 3 1 3 1 ) r h(x) = U (x, r px) U px + y = r h(x) Optimización con restricciones de igualdad: Matemáticas II 14 IDEAS CLAVE El método directo requiere parametrizar de forma unívoca y global las restricciones de igualdad para despejar variables. Al sustituir las variables despejadas en la función objetivo se obtiene un problema de optimización libre con variables independientes.

La clasificación del óptimo se realiza mediante las condiciones de segundo orden sobre la función reducida: derivada segunda en problemas unidimensionales y matriz hessiana en problemas multidimensionales. Para garantizar un mínimo libre en varias variables, la matriz hessiana debe ser definida positiva, lo que exige que todos sus menores principales dominantes sean estrictamente positivos. El punto óptimo final debe expresarse siempre con todas las coordenadas del espacio original pertenecientes al conjunto factible. COMPRUEBA LO QUE HAS APRENDIDO 16. ¿En qué condición matemática concreta se fundamenta la aplicabilidad del método directo en un problema con restricciones? 17.

Si optimizamos una función de tres variables con una restricción de igualdad, ¿cómo se clasifica el punto crítico obtenido en la función reducida? Test Rodea la respuesta correcta. Las soluciones están al final. 18. ¿Cuántas variables independientes tiene la función reducida en un problema de 3 variables con 2 restricciones? 19. En el problema f(x, y) = xy sujeto a 2x + y = 100, ¿cuál es el punto óptimo? 20. ¿Qué condición sobre los menores principales dominantes garantiza que una matriz simétrica de 2x2 sea definida positiva?

m m n m Tres variables a) Ninguna variable b) Dos variables c) Una variable d) (50, 25) a) (10, 80) b) (20, 60) c) (25, 50) d) D > 0 y D < 0 a) D > 0 y D > 0 b) D < 0 y D > 0 c) D < 0 y D = 0 d) Optimización con restricciones de igualdad: Matemáticas II 15 21. En el modelo del consumidor px + y = r con U(x, y), ¿cuál es la función reducida en x? 3 Resolución geométrica: el método gráfico AL ACABAR SABRÁS Identificar el ámbito de aplicación del método gráfico en problemas con dos variables y una restricción. Interpretar la condición geométrica de tangencia entre curvas de nivel y el conjunto factible. Deducir analíticamente la colinealidad de los gradientes a partir de la tangencia geométrica.

Calcular los extremos condicionados combinando la inspección gráfica con la resolución algebraica de tangencia. PIÉNSALO ANTES DE LEER 22 ¿Por qué un punto donde una curva de nivel corta transversalmente a la frontera factible nunca puede ser un máximo ni un mínimo condicionado? Fundamentos y ámbito de aplicación del método gráfico El método gráfico es una técnica cualitativa y visual para analizar problemas de optimización con restricciones de igualdad. Su campo de aplicación se restringe a modelos con dos variables y una restricción ( y ), lo que permite trabajar directamente sobre el plano euclídeo .

El problema matemático general bajo este enfoque adopta la forma: Para abordar su análisis, se dibujan simultáneamente en los mismos ejes de coordenadas dos elementos esenciales: El conjunto factible , que representa el lugar geométrico de los puntos admisibles (véase «Planteamiento del problema lagrangiano y conceptos básicos»). El mapa de curvas de nivel de la función objetivo, definidas por para distintos valores constantes . La inspección visual del trazado conjunto permite reconocer la existencia de candidatos a óptimo condicionado y predecir cuántos máximos y mínimos presenta el problema.

Sin embargo, la gráfica por sí misma no proporciona las coordenadas numéricas exactas, por lo que debe complementarse con un planteamiento algebraico riguroso. h(x) = U(x, r + px) a) h(x) = U(x, r/p) b) h(x) = U(x, px - r) c) h(x) = U(x, r - px) d) n = 2 m = 1 R2 Optimizar f(x, y) sujeto a g(x, y) = b F = {(x, y) R 2 g(x, y) = b} f(x, y) = k k R Optimización con restricciones de igualdad: Matemáticas II 16 PROCESO Procedimiento de resolución mediante el método gráfico COMPRUEBA 23 ¿Por qué el método gráfico se limita a problemas con dos variables y una sola restricción?

Condición geométrica de tangencia y colinealidad de gradientes Al desplazarnos a lo largo de la curva de restricción , el valor de varía al cruzar sucesivas curvas de nivel. Si una curva de nivel interseca transversalmente a la curva de la restricción, existen puntos admisibles a ambos lados que toman valores estrictamente mayores y menores de la función. Por tanto, ese cruce no puede ser un extremo. Los óptimos condicionados aparecen en los puntos de tangencia entre una curva de nivel y la curva del conjunto factible. En dicho punto de contacto, ambas trayectorias comparten la misma recta tangente.

Desde el punto de vista del cálculo diferencial, el vector gradiente de una función en un punto es ortogonal a su curva de nivel. En consecuencia: El vector gradiente de la función objetivo, , es perpendicular a la recta tangente a la curva de nivel . El vector gradiente de la restricción, , es perpendicular a la recta tangente a la curva . Al compartir ambas curvas la misma recta tangente en el punto de contacto, sus vectores perpendiculares deben tener forzosamente la misma dirección.

Esto exige que , lo que significa que un vector es combinación lineal o múltiplo escalar del otro: Trazado conjunto Dibujar el conjunto factible F y las curvas de nivel f=k 1 Identificación visual Detectar los puntos de contacto tangencial entre curvas 2 Colinealidad de gradientes Plantear que grad f es múltiplo escalar de grad g 3 Resolución del sistema Resolver la relación analítica junto con la restricción factible 4 Cálculo de óptimos Evaluar la función objetivo y clasificar máximos y mínimos 5 F f(x, y) f(x , y ) f(x, y) = k g(x , y ) g(x, y) = b f(x , y ) sea colineal con g(x , y ) f(x , y ) = λ g(x , y ), λ R Optimización con restricciones de igualdad: Matemáticas II 17 Esta relación vectorial se formaliza en el marco general de multiplicadores (véase «Método de Lagrange — Función lagrangiana y condición de primer orden»).

ERROR FRECUENTE No asumas las coordenadas de los extremos a partir del dibujo a simple vista. El método gráfico señala el número y tipo de extremos, pero calcular su valor exige resolver el sistema formado por la colinealidad de gradientes y la propia restricción. COMPRUEBA 24 ¿Qué implicación geométrica tiene que dos curvas compartan la misma recta tangente en un punto? Estudio geométrico detallado: rectas de nivel y circunferencia Analicemos el siguiente problema de optimización: El conjunto factible corresponde a una circunferencia con centro en el origen y radio unitario.

Las curvas de nivel de la función objetivo vienen dadas por la familia de rectas paralelas , cuya pendiente constante es . Los valores crecientes de desplazan la recta hacia el cuadrante superior derecho. Optimizar f(x, y) = 3x + 4y sujeto a x + y = 1 2 2 F = {(x, y) R 2 x + 2 y = 2 1} 3x + 4y = k 4 3 k Optimización con restricciones de igualdad: Matemáticas II 18 Gráfica de rectas de nivel tangentes a la circunferencia unidad Como muestra la figura, existen dos rectas de la familia que tocan la circunferencia en un único punto sin atravesarla: Concluimos analíticamente: Máximo condicionado: se alcanza en el punto con valor óptimo y multiplicador .

Mínimo condicionado: se ubica en con valor y multiplicador . Determinación del número de extremos: Se observa visualmente que la recta más alejada en sentido positivo que toca a la circunferencia corresponde al máximo, mientras que la opuesta hacia el sentido negativo corresponde al mínimo. El problema presenta exactamente un máximo y un mínimo condicionados. 1 Planteamiento de colinealidad: Calculamos los vectores gradiente: y . En el óptimo debe cumplirse . 2 f(x, y) = (3, 4) g(x, y) = (2x, 2y) (3, 4) = λ (2x , 2y ) Relación entre variables: De la igualdad vectorial se desprende que , lo que conduce a la condición algebraica , es decir, .

3 2λ = = x 3 y 4 3y 4x = 0 y = x 3 4 Sustitución en la restricción: Reemplazando en la circunferencia: Obtenemos y, por tanto, . 4 x + 2 x = ( 3 4 ) 2 1 x + 2 x = 9 16 2 1 x = 9 25 2 1 x = 2 25 9 x = ± 5 3 y = ± 5 4 , (5 3 5 4 ) f , = (5 3 5 4 ) 3 + (5 3 ) 4 = (5 4 ) 5 λ = 2 5 , ( 5 3 5 4 ) f , = ( 5 3 5 4 ) 5 λ = 2 5 Optimización con restricciones de igualdad: Matemáticas II 19 COMPRUEBA 25 ¿Cómo se distingue visualmente cuál de los dos puntos de tangencia es el máximo en el caso de las rectas de nivel? Estudio geométrico detallado: hipérbolas y circunferencia Consideremos ahora el problema no lineal: Nuevamente, el conjunto factible es la circunferencia de radio 1 centrada en .

Por su parte, para , las curvas de nivel describen hipérbolas equiláteras asintóticas a los ejes cartesianos: Si , las ramas hiperbólicas se sitúan en el primer y tercer cuadrante. Si , las ramas se sitúan en el segundo y cuarto cuadrante.

Gráfica de hipérbolas de nivel tangentes a la circunferencia factible A partir de la representación se comprueba que existen cuatro puntos de tangencia con la circunferencia: Extremo Cuadrantes Signo de f(x,y) Valor óptimo Dos máximos condicionados Primer y tercer cuadrante Positivo ( ) Optimizar f(x, y) = xy sujeto a x + y = 1 2 2 (0,0) k = 0 xy = k k > 0 k < 0 k > 0 f = 2 1 Optimización con restricciones de igualdad: Matemáticas II 20 Extremo Cuadrantes Signo de f(x,y) Valor óptimo Dos mínimos condicionados Segundo y cuarto cuadrante Negativo ( ) Para obtener los valores numéricos, aplicamos la condición de proporcionalidad de gradientes: La condición exige que: Introduciendo esta relación en la ecuación del círculo unitario: De este modo, se obtienen los cuatro puntos críticos: Máximos condicionados: en y , donde .

Mínimos condicionados: en y , donde . PARA RECORDARLO La simetría geométrica de las curvas de nivel y de la restricción anticipa la multiplicidad de los óptimos. Una circunferencia combinada con ramas hiperbólicas simétricas en los cuatro cuadrantes genera de forma natural cuatro puntos de tangencia idénticos salvo signo. COMPRUEBA 26 ¿Por qué aparecen dos puntos de máximo en lugar de uno al optimizar xy sobre la circunferencia? IDEAS CLAVE El método gráfico se aplica a problemas bidimensionales con dos variables y una restricción de igualdad.

Los extremos condicionados se localizan en los puntos de contacto tangencial entre las curvas de nivel de la función objetivo y la curva del conjunto factible. La tangencia geométrica equivale algebraicamente a la colinealidad de los gradientes: . La representación gráfica informa sobre la existencia, el tipo y el número de extremos, pero las coordenadas exactas requieren resolver el sistema de ecuaciones. Para sobre el círculo unitario, existe un máximo en con y un mínimo en con . Para sobre la circunferencia unitaria, existen dos máximos con valor y dos mínimos con valor debido a la simetría hiperbólica.

k < 0 f = 2 1 f(x , y ) = (y , x ), g(x , y ) = (2x , 2y ) (y , x ) = λ (2x , 2y ) = 2x y 2y x (y ) = 2 (x ) 2 y = ±x x + 2 (±x) = 2 1 2x = 2 1 x = ± 2 2 , ( 2 2 2 2 ) , ( 2 2 2 2 ) f = 2 1 , ( 2 2 2 2 ) , ( 2 2 2 2 ) f = 2 1 f(x , y ) = λ g(x , y ) f(x, y) = 3x + 4y (3/5, 4/5) f = 5 ( 3/5, 4/5) f = 5 f(x, y) = xy 1/2 1/2 Optimización con restricciones de igualdad: Matemáticas II 21 COMPRUEBA LO QUE HAS APRENDIDO 27. ¿Por qué un punto donde una curva de nivel corta transversalmente a la restricción no puede constituir un extremo? 28. ¿Cuál es la relación matemática entre el gradiente de la función objetivo y el gradiente de la restricción en un punto óptimo? 29.

¿Cuáles son las coordenadas y el valor óptimo del máximo para sujeta a ? Test Rodea la respuesta correcta. Las soluciones están al final. 30. ¿En qué condiciones es aplicable el método gráfico en optimización restringida? 31. ¿Qué condición geométrica caracteriza a los óptimos condicionados en el plano? 32. ¿Cómo se vinculan los gradientes f y g en el punto óptimo? 33. ¿Cuántos óptimos locales presenta f(x, y) = xy sujeta a x² + y² = 1?

f(x, y) = 3x + 4y x + 2 y = 2 1 Tres variables y dos restricciones a) Dos variables y una única restricción b) Cualquier número de variables y restricciones c) Dos variables y dos restricciones independientes d) Anulación obligatoria de ambos gradientes a) Intersección perpendicular entre curvas b) Tangencia entre curva de nivel y restricción c) Punto de corte con los ejes cartesianos d) Su producto escalar es siempre nulo a) Son siempre perpendiculares entre sí b) Son vectores colineales y proporcionales c) Tienen exactamente el mismo módulo unitario d) Dos puntos de inflexión globales a) Dos máximos y dos mínimos b) Cuatro máximos y ningún mínimo c) Un máximo y un mínimo d) Optimización con restricciones de igualdad: Matemáticas II 22 4 Función lagrangiana y condición de primer orden AL ACABAR SABRÁS Verificar la hipótesis de regularidad matricial comprobando el rango de la matriz jacobiana.

Construir formalmente la función lagrangiana para problemas con una o múltiples restricciones. Formular y resolver el sistema de primer orden de n + m ecuaciones con n + m incógnitas para obtener los puntos estacionarios. PIÉNSALO ANTES DE LEER 34 ¿Cómo podemos convertir un problema de optimización con restricciones en uno sin restricciones sin alterar el valor de la función en la zona permitida? El método de los multiplicadores ideado por Joseph-Louis Lagrange permite transformar un problema de optimización con restricciones de igualdad en la búsqueda de puntos críticos de una nueva función sin restricciones directas.

Esta técnica unifica el análisis geométrico y algebraico para hallar candidatos a óptimos relativos. Método de Lagrange 4 Función lagrangiana y condición de primer orden 5 Condiciones suficientes de segundo orden y clasificación Optimización con restricciones de igualdad: Matemáticas II 23 PROCESO Fases del Método de Lagrange Puntos regulares y la condición de rango Consideramos un problema lagrangiano con función objetivo y un conjunto de restricciones , donde la dimensión cumple siempre 1 m < n (véase «Planteamiento del problema lagrangiano y conceptos básicos»). El conjunto admisible o factible se define como .

DEFINICIÓN Un punto es un punto regular del problema lagrangiano si la matriz jacobiana de las restricciones evaluada en tiene rango máximo pleno por filas: La condición de regularidad garantiza que los gradientes de las restricciones, , resulten linealmente independientes en dicho punto. Si el rango fuese inferior a , las superficies de nivel de las restricciones tendrían cúspides o tangencias singulares, impidiendo caracterizar algebraicamente las direcciones admisibles. COMPRUEBA 35 ¿Por qué se exige estrictamente que el número de restricciones m sea estrictamente menor que n en el problema de optimización?

Verificar regularidad Comprobar que el rango jacobiano es m en F 1 Construir función L Agregar restricciones penalizadas a la función objetivo 2 Anular gradiente Resolver sistema de n + m ecuaciones e incógnitas 3 Obtener candidatos Determinar puntos estacionarios y multiplicadores 4 Clasificación de orden 2 Verificar extremos mediante condiciones de segundo orden 5 f : A R n R g(x) = (g (x), … , g (x)) = 1 m (b , … , b ) 1 m F = {x A g (x) = j b , j = j 1, … , m} a = (a , … , a ) 1 n F a rg(Jg(a)) = rg = (a) x 1 g 1 (a) x 1 g m … … (a) x n g 1 (a) x n g m m g (a), …

, g (a) 1 m m Optimización con restricciones de igualdad: Matemáticas II 24 La función lagrangiana Para construir el problema equivalente introducimos variables auxiliares denominadas multiplicadores de Lagrange. Definimos la función lagrangiana de orden variables de la siguiente forma: Observemos una propiedad matemática fundamental: para todo punto admisible se cumple de forma idéntica que para todo .

Por consiguiente, L(x, ) coincide exactamente con f(x) sobre el conjunto factible: La formulación general según el número de variables y restricciones se resume en la siguiente tabla: Dimensiones Restricciones Expresión de la función lagrangiana COMPRUEBA 36 ¿En qué cambia el resultado numérico de los puntos óptimos si se escribe la lagrangiana sumando los términos lambda en lugar de restarlos? Condición necesaria de primer orden: Teorema de Lagrange Desde el punto de vista geométrico, en un extremo condicionado las curvas o superficies de nivel de la función objetivo resultan tangentes al conjunto factible (véase «Resolución geométrica: el método gráfico»).

Lagrange tradujo este hecho demostrando que el gradiente de debe expresarse como combinación lineal de los gradientes de las restricciones activas. TEOREMA DE LAGRANGE Sea un punto regular y un óptimo relativo del problema lagrangiano. Entonces existen escalares reales únicos tales que el vector es un punto estacionario de la función lagrangiana, satisfaciendo: Equivalentemente, el gradiente de la función objetivo satisface: λ , … , λ 1 m L(x, λ) n + m L(x , … , x , λ , … , λ ) := 1 n 1 m f(x) λ (g (x) j=1 m j j b ) = j f(x) + λ (b j=1 m j j g (x)) j x F g (x) j b = j 0 j = 1, … , m λ L(x , … , x , λ , … , λ ) = 1 n 1 m f(x , …

, x ), x 1 n F n = 2, m = 1 g(x, y) = b L(x, y, λ) = f(x, y) λ(g(x, y) b) n = 3, m = 1 g(x, y, z) = b L(x, y, z, λ) = f(x, y, z) λ(g(x, y, z) b) n = 3, m = 2 g = 1 b , g = 1 2 b 2 L(x, y, z, λ , λ ) = 1 2 f(x, y, z) λ (g 1 1 b ) 1 λ (g 2 2 b ) 2 f a = (a , … , a ) 1 n F m λ , … , λ 1 m R (a, λ ) = (a , … , a , λ , … , λ ) 1 n 1 m L(a , … , a , λ , … , λ ) = 1 n 1 m (0, … , 0) f(a) = λ g (a) j=1 m j j Optimización con restricciones de igualdad: Matemáticas II 25 Para determinar los candidatos a óptimos condicionados planteamos un sistema algebraico de n + m ecuaciones con n + m incógnitas: ERROR FRECUENTE Confundir un punto estacionario lagrangiano con un extremo condicionado garantizado.

Anular el gradiente de la función de Lagrange es solo una condición necesaria, no suficiente. Un punto crítico obtenido puede ser un máximo, un mínimo o un punto de ensilladura. Para determinar su naturaleza es obligatorio aplicar las condiciones suficientes de segundo orden mediante la matriz hessiana lagrangiana (véase «Método de Lagrange — Condiciones suficientes de segundo orden y clasificación»). COMPRUEBA 37 ¿Qué derivadas parciales de la función lagrangiana recuperan directamente las restricciones originales del problema? Resolución de problemas canónicos Ejemplo 1: Optimización bidimensional con restricción lineal Se desea maximizar la función sujeta a la restricción lineal .

Se obtiene el único punto estacionario , el cual arroja un valor objetivo de . Las coordenadas representan el único candidato a resolver el problema lagrangiano. = λ = 0, x i L x i f j=1 m j x i g j = (g (x) b ) = 0, λ j L j j i = 1, … , n j = 1, … , m = λ , x i f j=1 m j x i g j g (x , … , x ) = b , j 1 n j i = 1, … , n j = 1, … , m f(x, y) = xy 2x + y = 100 Construcción de la función lagrangiana: 1 L(x, y, λ) = xy λ(2x + y 100) Planteamiento del sistema de primer orden: 2 = y 2λ = 0 x L = x λ = 0 y L = (2x + y 100) = 0 λ L Resolución del sistema: de las dos primeras relaciones se obtiene y . Al sustituir estas expresiones en la restricción: Por tanto, e .

3 y = 2λ x = λ 2(λ) + (2λ) = 100 4λ = 100 λ = 25 x = 25 y = 50 (x , y , λ ) = (25, 50, 25) f(25, 50) = 1250 (25, 50) Optimización con restricciones de igualdad: Matemáticas II 26 Ejemplo 2: Función lineal sobre la circunferencia unidad Consideramos optimizar sujeta a . Ejemplo 3: Optimización tridimensional con restricción no lineal Se plantea optimizar sujeta a con variables no nulas.

f(x, y) = 3x + 4y x + 2 y = 2 1 Definición lagrangiana: 1 L(x, y, λ) = 3x + 4y λ(x + 2 y 2 1) Sistema de derivadas parciales nulas: 2 = 3 2λx = 0 x L = 4 2λy = 0 y L = (x + y 1) = 0 λ L 2 2 x = 2λ 3 y = 2λ 4 x + y = 1 2 2 Cálculo de los multiplicadores: sustituyendo las variables en la ecuación de la circunferencia: 3 + ( 2λ 3 ) 2 = ( 2λ 4 ) 2 1 = 4λ2 9 + 16 1 = 4λ2 25 1 λ = 2 4 25 λ = ± 2 5 Obtención de los candidatos: Si : obtenemos el punto estacionario con . Si : obtenemos con .

4 λ = 1 2 5 (x , y , λ ) = 1 1 1 , , (5 3 5 4 2 5 ) f , = (5 3 5 4 ) 5 λ = 2 2 5 (x , y , λ ) = 2 2 2 , , ( 5 3 5 4 2 5 ) f , = ( 5 3 5 4 ) 5 f(x, y, z) = xy + xz + yz xyz = 8 Formulación lagrangiana: 1 L(x, y, z, λ) = xy + xz + yz λ(xyz 8) Sistema de condiciones necesarias: 2 = y + z λyz = 0 λ = x L yz y + z = x + z λxz = 0 λ = y L xz x + z = x + y λxy = 0 λ = z L xy x + y (xyz 8) = 0 xyz = 8 Deducción de simetría y coordenadas: igualando las expresiones de : De forma análoga, igualando el primer y tercer término resulta . Por tanto, . 3 λ = yz y + z xz x + z + z 1 = y 1 + z 1 x 1 = y 1 x 1 x = y x = z x = y = z Sustitución en la restricción: Sustituyendo en el multiplicador: .

4 x = 3 8 x = y = z = 2 λ = = 2 2 2+2 1 Optimización con restricciones de igualdad: Matemáticas II 27 El único punto estacionario de la lagrangiana es , con candidato admisible y valor . PARA RECORDARLO Al resolver el sistema no lineal de Lagrange, busca simetrías e iguala expresiones de entre sí. Despejar el multiplicador en función de las variables suele reducir drásticamente el grado de dificultad algebraica de las ecuaciones. IDEAS CLAVE Un punto factible es regular si la matriz jacobiana de orden tiene rango pleno igual a . Sobre cualquier punto admisible del conjunto factible, el valor numérico de la función de Lagrange coincide con el de la función objetivo original.

El teorema de Lagrange establece como condición necesaria de primer orden que el gradiente de la función objetivo sea combinación lineal de los gradientes de las restricciones. La anulación del gradiente lagrangiano genera un sistema de ecuaciones con incógnitas. Hallar un punto estacionario solo proporciona un candidato a extremo, requiriendo su posterior verificación con las condiciones de segundo orden. COMPRUEBA LO QUE HAS APRENDIDO 38. ¿Qué condición matricial garantiza que un punto admisible sea regular? 39. ¿Por qué la función lagrangiana toma el mismo valor que la función objetivo f(x) sobre el conjunto factible F? 40.

¿Es suficiente que grad L(a, lambda*) = 0 para afirmar que 'a' es un máximo o un mínimo local? (x , y , z , λ ) = (2, 2, 2, 1) (2, 2, 2) f(2,2,2) = 12 λ a F Jg(a) m × n m n + m n + m Optimización con restricciones de igualdad: Matemáticas II 28 MÉTODO DE LAGRANGE 5 Condiciones suficientes de segundo orden y clasificación AL ACABAR SABRÁS Calcular la matriz hessiana lagrangiana respecto a las variables de decisión para clasificar candidatos. Determinar el subespacio tangente de direcciones factibles a partir del núcleo de la jacobiana de restricciones. Restringir formas cuadráticas al subespacio factible mediante sustitución paramétrica de variables.

Aplicar los teoremas globales de convexidad y concavidad para deducir extremos globales en conjuntos factibles convexos. PIÉNSALO ANTES DE LEER 41 ¿Por qué un punto estacionario puede ser un mínimo condicionado aunque la matriz hessiana completa sea indefinida? Estructura de la condición de segundo orden y matriz hessiana lagrangiana Una vez hallados los puntos estacionarios mediante la condición necesaria de primer orden (véase «Método de Lagrange — Función lagrangiana y condición de primer orden»), es indispensable determinar la naturaleza de cada candidato.

Para un problema con variables y restricciones de igualdad, la información de curvatura proviene de las segundas derivadas respecto a las variables de decisión . DEFINICIÓN Sea la función lagrangiana. La matriz hessiana lagrangiana respecto a , denotada por , es la matriz cuadrada simétrica de orden formada por las segundas derivadas parciales de : Consideremos un punto regular donde el rango de la matriz jacobiana es exactamente , junto a su multiplicador asociado . Para clasificar el punto , evaluamos la forma cuadrática asociada a . El criterio de Sylvester permite clasificar formas cuadráticas libres examinando sus menores principales dominantes con : Definida positiva: para todo .

Si es definida positiva en todo , entonces el punto a es un mínimo local estricto. n m x = (x , … , x ) 1 n L(x, λ) = f(x) λ (g (x) j=1 m j j b ) j x H L(x, λ) x n × n L H L(x, λ) = x x 1 2 L 2 x x n 1 L 2 x x 1 n L 2 x n 2 L 2 a F Jg(a) m λ a H L(a, λ ) x D r r = 1, … , n D > r 0 r = 1, … , n H L(a, λ ) x Rn Optimización con restricciones de igualdad: Matemáticas II 29 Definida negativa: los signos alternan comenzando por negativo, es decir, para todo . Si se cumple esta condición, entonces el punto a es un máximo local estricto. Cuando la hessiana lagrangiana resulta ser definida en todo el espacio, el análisis concluye inmediatamente.

Sin embargo, en una gran cantidad de problemas económicos y geométricos, la matriz hessiana libre no es definida. COMPRUEBA 42 Si la matriz hessiana libre de la función lagrangiana evaluada en un candidato resulta definida negativa, ¿es necesario calcular el espacio tangente? El subespacio de direcciones factibles S En optimización con restricciones, el movimiento del sistema no es libre en todas las direcciones de , sino que queda confinado a desplazamientos que preservan las restricciones de igualdad.

Por tanto, si resulta semidefinida o indefinida en todo el espacio, no podemos descartar la existencia de un extremo local sin antes examinar la curvatura sobre el conjunto de trayectorias permitidas. DEFINICIÓN El subespacio de direcciones factibles o espacio tangente en un punto regular se define como el núcleo o kernel de la matriz jacobiana de las restricciones evaluada en dicho punto: El procedimiento de segundo orden local sigue una jerarquía clara: PROCESO Algoritmo de clasificación de segundo orden ( 1) D > r r 0 r = 1, …

, n Rn H L(a, λ ) x S a S = v R Jg(a) v = 0 { n t } Evaluar H_x L en candidato Calcular la matriz hessiana lagrangiana en el punto estacionario 1 ¿Es definida en todo R^n?

Comprobar signos de menores principales dominantes libres 2 Clasificación directa Si es definida positiva es mínimo; si es negativa es máximo 3 Obtener subespacio S Si es semidefinida o indefinida, plantear núcleo de Jg(a) 4 Restringir sobre S Sustituir variables dependientes y evaluar signo en S 5 Optimización con restricciones de igualdad: Matemáticas II 30 Clasificación de H_x L en todo R^n Comportamiento sobre el subespacio S Conclusión sobre el candidato a Definida positiva No requiere proyectar (hereda signo) Mínimo local estricto Definida negativa No requiere proyectar (hereda signo) Máximo local estricto Semidefinida o indefinida Definida positiva sobre S Mínimo local estricto Semidefinida o indefinida Definida negativa sobre S Máximo local estricto ERROR FRECUENTE Descartar un punto crítico porque su hessiana lagrangiana es indefinida en .

En optimización condicionada, una matriz indefinida en el espacio completo puede ser perfectamente definida positiva o negativa cuando se restringe a las direcciones tangentes . Concluir que no existe extremo sin proyectar anula la validez del ejercicio. COMPRUEBA 43 ¿Por qué una hessiana indefinida globalmente puede dar lugar a un máximo o mínimo local condicionado? Resolución y clasificación de candidatos prácticos Ejemplo 1: Optimización de producto con restricción lineal Consideremos el problema: A partir de la función lagrangiana , las derivadas de primer orden son y . El único punto estacionario obtenido es con .

H L(a, λ ) x Rn S Maximizar f(x, y) = xy sujeto a 2x + y = 100 L(x, y, λ) = xy λ(2x + y 100) = x L y 2λ = y L x λ (x , y ) = (25, 50) λ = 25 Cálculo de la hessiana lagrangiana: Evaluando en el candidato: . Su determinante es , por lo que la matriz es indefinida en . Debemos restringirla a . 1 H L(x, y, λ) = (x,y) = ( x2 L 2 y x L 2 x y L 2 y2 L 2 ) ( 0 1 1 0 ) H L(25, 50, 25) = (x,y) ( 0 1 1 0 ) H = 1 < 0 R2 S Construcción del subespacio tangente S: La restricción es , cuyo gradiente es .

Por tanto: 2 g(x, y) = 2x + y Jg(25, 50) = (2 1) S = (x, y) R = 0 = { 2 (2 1) ( x y ) } (x, y) R 2x + y = 0 = { 2 } {(x, y) R 2 y = 2x} Optimización con restricciones de igualdad: Matemáticas II 31 Ejemplo 2: Clasificación directa mediante hessiana definida Consideremos el problema sobre la circunferencia unidad: La función lagrangiana es . Sus derivadas parciales primeras son y . La resolución del sistema arroja dos candidatos estacionarios: Primer candidato: Segundo candidato: Calculamos la matriz hessiana lagrangiana genérica: Evaluamos individualmente cada punto: Para : . Sus menores principales dominantes son y .

Es definida negativa en todo ; por consiguiente, es un máximo local con valor . Para : . Sus menores dominantes son y . Es definida positiva en todo ; por consiguiente, es un mínimo local con valor . En este caso particular, no es necesario construir el espacio tangente porque la matriz hessiana libre ya resulta definida de forma estricta. COMPRUEBA 44 En el problema sobre x^2 + y^2 = 1, ¿por qué no hizo falta parametrizar el núcleo de la restricción?

Ejemplo 3: Proyección en tres variables Sea el problema en dimensión tres: Restricción de la forma cuadrática a S: Sustituimos la relación lineal paramétrica en la forma cuadrática: Como para todo , la forma cuadrática restringida a es definida negativa. En consecuencia, el punto (25, 50) es un máximo local del problema, alcanzando un valor óptimo de .

3 y = 2x q(x, y) = = (x y) ( 0 1 1 0 ) ( x y ) 2xy = y= 2x 2x( 2x) = 4x2 4x < 2 0 x = 0 S f(25, 50) = 1250 Optimizar f(x, y) = 3x + 4y sujeto a x + y = 1 2 2 L(x, y, λ) = 3x + 4y λ(x + 2 y 2 1) = x L 3 2λx = y L 4 2λy (x , y , λ ) = , , (5 3 5 4 2 5 ) (x , y , λ ) = , , ( 5 3 5 4 2 5 ) H L(x, y, λ) = (x,y) ( 2λ 0 0 2λ ) λ = 2 5 H L , , = (x,y) (5 3 5 4 2 5 ) ( 5 0 0 5 ) D = 1 5 < 0 D = 2 25 > 0 R2 , (5 3 5 4 ) f = 5 λ = 2 5 H L , , = (x,y) ( 5 3 5 4 2 5 ) ( 5 0 0 5 ) D = 1 5 > 0 D = 2 25 > 0 R2 , ( 5 3 5 4 ) f = 5 S Optimizar f(x, y, z) = xy + xz + yz sujeto a xyz = 8 Optimización con restricciones de igualdad: Matemáticas II 32 Formulamos la lagrangiana .

Igualando a cero sus derivadas parciales: De donde . Resolviendo junto a , se obtiene el candidato único . La matriz hessiana lagrangiana general es: Evaluamos en : Comprobamos sus menores dominantes: , . La matriz libre es indefinida. Determinamos el subespacio tangente a partir del gradiente de la restricción : El subespacio de direcciones factibles queda definido por: Despejamos una variable en función de las demás: .

Restringimos ahora la forma cuadrática sustituyendo : Esta expresión se expresa en forma matricial sobre las variables independientes como: Aplicando el criterio de menores dominantes sobre la matriz reducida : L(x, y, z, λ) = xy + xz + yz λ(xyz 8) = x L y + z λyz = 0, = y L x + z λxz = 0, = z L x + y λxy = 0 λ = = yz y+z = xz x+z xy x+y xyz = 8 (x , y , z , λ ) = (2, 2, 2, 1) H L(x, y, z, λ) = (x,y,z) 0 1 λz 1 λy 1 λz 0 1 λx 1 λy 1 λx 0 (2,2,2,1) H L(2,2,2,1) = (x,y,z) 0 1 1 1 0 1 1 1 0 D = 1 0 D = 2 = 0 1 1 0 1 < 0 S g(x, y, z) = xyz Jg(x, y, z) = (yz xz xy) Jg(2,2,2) = (4 4 4) S S = (x, y, z) R = 0 = 3 (4 4 4) x y z {(x, y, z) R 3 x + y + z = 0} z = x y z q(x, y, z) = = 2xy 2xz 2yz (x y z) 0 1 1 1 0 1 1 1 0 x y z = 2xy 2x( x y) 2y( x y) = 2xy + 2x + 2xy + 2xy + 2y = 2x + 2xy + 2y 2 2 2 2 (x, y) (x y) ( 2 1 1 2 ) ( x y ) A = S ( 2 1 1 2 ) D = 1 2 > 0 D = 2 (2)(2) (1)(1) = 3 > 0 Optimización con restricciones de igualdad: Matemáticas II 33 Al ser todos los menores principales estrictamente positivos, la forma cuadrática restringida a es definida positiva.

Por tanto, el punto (2, 2, 2) es un mínimo local estricto del problema. COMPRUEBA 45 Al restringir una forma cuadrática tridimensional mediante una única restricción lineal, ¿cuál es la dimensión de la matriz reducida resultante? Condiciones suficientes de segundo orden global Las condiciones analizadas hasta ahora garantizan optimalidad en un entorno local del punto analizado. Para asegurar que un candidato es un extremo en todo el conjunto factible (véase «Planteamiento del problema lagrangiano y conceptos básicos»), se requiere estudiar las propiedades de convexidad de la función objetivo y del propio conjunto factible.

PARA RECORDARLO Un conjunto es convexo si el segmento rectilíneo que une cualquiera de sus puntos está íntegramente contenido en . Para que un conjunto definido por igualdades sea convexo, dichas restricciones deben ser necesariamente afines o lineales. Sea un punto estacionario de la función lagrangiana asociada a un problema cuyo conjunto factible es convexo: Si la función objetivo es cóncava en todo el conjunto abierto (lo cual equivale a que su matriz hessiana sea semidefinida negativa para todo ), entonces el candidato a es un máximo global.

Si la función objetivo es convexa en todo el conjunto abierto (lo cual equivale a que su matriz hessiana sea semidefinida positiva para todo ), entonces el candidato a es un mínimo global. Estas condiciones globales permiten prescindir de comprobaciones adicionales sobre la frontera o de cálculos locales complejos siempre que la geometría del problema cumpla los supuestos de convexidad requeridos. S F F F (a, λ ) F A f(x) A Hf(x) x A f(x) A Hf(x) x A Optimización con restricciones de igualdad: Matemáticas II 34 IDEAS CLAVE La matriz hessiana lagrangiana recoge las derivadas segundas de la función lagrangiana únicamente respecto a las variables de decisión espaciales.

Si es definida positiva o negativa en todo el espacio, el candidato clasifica directamente como mínimo o máximo local estricto. Si la matriz libre es semidefinida o indefinida, es obligatorio restringir la forma cuadrática al subespacio tangente . Una forma cuadrática libremente indefinida puede resultar definida positiva o negativa sobre , revelando la presencia de un extremo condicionado. En presencia de un conjunto factible convexo, la concavidad o convexidad global de asegura que el punto crítico sea un máximo o mínimo global respectivamente. COMPRUEBA LO QUE HAS APRENDIDO 46. ¿Qué describe algebraicamente el subespacio de direcciones factibles S en un punto regular a? 47.

¿Qué condición sobre la matriz hessiana Hf(x) y el conjunto F garantiza que un punto estacionario sea un máximo global? Test Rodea la respuesta correcta. Las soluciones están al final. 48. ¿Cuál es la condición de rango exigida para que un punto sea regular en un problema lagrangiano? 49. ¿Cuántas ecuaciones e incógnitas componen el sistema de primer orden del método de Lagrange? 50. Para f(x,y) = xy sujeta a 2x + y = 100, ¿cuál es el punto estacionario (x*, y*, lambda*)?

H L(x, λ) x H L(a, λ ) x S = {v Jg(a) v = t 0} S f(x) Rango de Jg(a) estrictamente menor que m a) Rango de Jg(a) igual a m b) Rango de la matriz hessiana igual a m c) Rango de Jg(a) igual a n d) n ecuaciones y n incógnitas a) n - m ecuaciones y n incógnitas b) n + m ecuaciones y n + m incógnitas c) m ecuaciones y m incógnitas d) (50, 50, 25) a) (50, 25, 25) b) (25, 50, 25) c) (25, 50, 50) d) Optimización con restricciones de igualdad: Matemáticas II 35 51. ¿Qué representa geométricamente la condición necesaria grad f(a) = sum grad (a)? 52. ¿Qué variables intervienen en la matriz hessiana lagrangiana L? 53. Si L(a, λ*) resulta ser indefinida en , ¿qué debe hacerse? 54.

¿Cómo se define formalmente el subespacio de direcciones factibles S en a? 55. Si f(x) es convexa en un conjunto factible F convexo, el punto crítico es: 6 Interpretación económica de los multiplicadores y análisis de sensibilidad AL ACABAR SABRÁS Interpretar los multiplicadores de Lagrange como precios sombra o valores marginales de los recursos limitados. Comprobar analíticamente la igualdad entre la derivada del valor óptimo y el multiplicador mediante funciones paramétricas. Aproximar linealmente variaciones en el valor óptimo mediante el diferencial total ante perturbaciones en los términos independientes.

lambda j gj Gradiente de f nulo en el punto admisible a) Tangencia entre nivel de f y conjunto admisible b) Ortogonalidad estricta entre grad f y las restricciones c) Independencia lineal entre todos los gradientes involucrados d) H x Las variables de holgura del sistema a) Variables de decisión y multiplicadores simultáneamente b) Únicamente las variables de decisión espaciales c) Solo los multiplicadores de Lagrange d) H x Rn Calcular derivadas de tercer orden inmediatamente a) Descartar el candidato por punto de silla b) Cambiar los signos de los multiplicadores obtenidos c) Estudiar la forma cuadrática restringida a S d) Jg(a) · = 0 a) vt Hf(a) · = 0 b) vt Jg(a) con determinante estrictamente positivo c) gradiente de f en a igual a cero d) Un punto de inflexión local a) Un mínimo global condicionado b) Un máximo global condicionado c) Un máximo local no diferenciable d) Optimización con restricciones de igualdad: Matemáticas II 36 PIÉNSALO ANTES DE LEER 56 ¿Es imprescindible resolver un problema de optimización desde el inicio para saber cómo cambiará el beneficio máximo si aumenta un recurso?

Cuando resolvemos un problema de optimización condicionada, solemos buscar el valor óptimo para unos niveles de recursos fijos. Sin embargo, en la práctica interesa predecir cómo se altera dicho resultado óptimo si los límites disponibles sufren ligeras modificaciones, sin necesidad de calcular la solución desde cero. ESQUEMA Análisis de sensibilidad y aplicaciones La función de valor óptimo y el teorema de la envolvente Consideremos un problema lagrangiano general (véase «Planteamiento del problema lagrangiano y conceptos básicos») en el que se optimiza una función sujeta a restricciones de igualdad de la forma para .

Al resolver este problema mediante los multiplicadores de Lagrange (véase «Método de Lagrange — Función lagrangiana y condición de primer orden»), las coordenadas del óptimo condicionado y los multiplicadores asociados dependen directamente del vector de términos independientes .

DEFINICIÓN La función de valor óptimo asigna a cada vector de recursos o disponibilidades el valor extremo alcanzado por la función objetivo en dicho escenario: El comportamiento de ante cambios en el término independiente queda determinado por el siguiente resultado fundamental: Sensibilidad y multiplicadores Interpretación marginal de los multiplicadores Función de valor óptimo V(b) y teorema de la envolvente Precio sombra Valor marginal del recurso Aproximación diferencial Estimación lineal por incrementos Aplicaciones a la empresa Teoría de producción y costes f(x) m g (x) = j b j j = 1, … , m x (b) = (x (b), … , x (b)) 1 n λ (b) = (λ (b), … , λ (b)) 1 m b = (b , …

, b ) 1 m V (b) b V (b) = f(x (b)) = f(x (b), … , x (b)) 1 n V (b) b j Optimización con restricciones de igualdad: Matemáticas II 37 PARA RECORDARLO La tasa instantánea de variación del valor óptimo respecto al recurso coincide con su multiplicador: Desde la perspectiva económica, este resultado confiere un papel crucial a los multiplicadores. A cada componente se le denomina precio sombra o valor marginal del recurso . Representa la cuantía en la que mejoraría la función objetivo si contásemos con una unidad marginal adicional del recurso limitado . COMPRUEBA 57 ¿Qué magnitud matemática determina exactamente la derivada parcial…