Col·lecció de problemes: Funcions de n variables i optimització lliure

Per a la funció $f(x, y) = \sqrt{y - x^2 + 1}$:

Tema 2.1 - Exercici 1. Domini funció logarítmica

Determineu el domini de definició de la funció escalar:

$$f(x,y) = \ln\left(\frac{xy}{x^2 + y^2 - 4}\right)$$

Per a la funció $f(x, y) = \sqrt{y - x^2 + 1}$:

Tema 2.1 - Exercici 2. Representació gràfica de dominis

Descriviu geomètricament el domini de cadascuna de les funcions següents per tal de representar-los gràficament:

a)

$f(x,y) = \sqrt{\frac{2x-y}{x+y}}$

b)

$f(x,y) = \frac{x+5y}{\sqrt{y-x^2}}$

c)

$f(x,y) = \sqrt{x^2 + y^2 - 4}$

d)

$f(x,y) = \sqrt{y - x^2}$

Per a la funció $f(x, y) = \sqrt{y - x^2 + 1}$:

Tema 2.1 - Exercici 3. Topologia del domini

Donada la funció $f(x,y) = \frac{\ln(y)}{\sqrt{x}}$, determineu quina de les opcions caracteritza el seu domini:

Per a la funció $f(x, y) = \sqrt{y - x^2 + 1}$:

Per a la funció $f(x, y) = \ln(1 - y)\sqrt{1 - x^2 - y^2}$, indiqueu si el seu domini és:

Per a la funció $f(x, y) = \sqrt{y - x^2 + 1}$:

Considerant la funció $f(x, y) = x(y - 2)$, assenyaleu l'afirmació correcta:

Per a la funció $f(x, y) = \sqrt{y - x^2 + 1}$:

Donada la funció $f(x, y) = (x - 2)^2 + (y - 1)^2$, determineu quina de les afirmacions següents és FALSA:

Per a la funció $f(x, y) = \sqrt{y - x^2 + 1}$:

Determineu l'equació general de les corbes de nivell de les següents funcions escalars i descriviu la seva geometria:

a)

$f(x, y) = x + 2y$

b)

$g(x, y) = (x - 2)^2 + y^2$

c)

$h(x, y) = xy$

Per a la funció $f(x, y) = \sqrt{y - x^2 + 1}$:

Trobeu la norma del vector gradient de la funció $f(x, y, z) = 4y^2 + \cos(z - x)$ en el punt $(x, y, z) = (0, \pi, \pi/2)$:

Per a la funció $f(x, y) = \sqrt{y - x^2 + 1}$:

Tema 2.1 - Exercici 9. Càlcul del vector gradient

El gradient de la funció $f(x, y) = x^2 + \frac{y^2}{2}$ en el punt $(2,1)$ és:

Tema 2.1 - Exercici 10 - Domini i corbes de nivell

Per a la funció $f(x, y) = \sqrt{y - x^2 + 1}$:

a.

Descriviu el domini i les seves corbes de nivell.

Tema 2.1 - Exercici 10 - Gradient i derivada direccional

Per a la funció $f(x, y) = \sqrt{y - x^2 + 1}$:

b.

Calculeu el gradient de la funció en el punt $(0,0)$.

,

c.

Trobeu la derivada direccional d'$f$ en el punt $(0,0)$ segons la direcció del vector $(0, -1)$.

Per a la funció $f(x, y) = \sqrt{y - x^2 + 1}$:

Tema 2.1 - Exercici 11. Relació d'Euler per a homogènies

El valor de $a$ que fa que la funció $f(x, y) = x \ln\left(\frac{y}{ax}\right)$, amb $a > 0$, compleixi la relació $x\frac{\partial f}{\partial x} + y\frac{\partial f}{\partial y} = f$ és:

Per a la funció $f(x, y) = \ln\left(\frac{x}{y}\right)$:

a. Descriviu el domini i les corbes de nivell.

Per a la funció $f(x, y) = \ln\left(\frac{x}{y}\right)$:

b.

Trobeu el vector gradient d'$f$ en el punt $(1/2, 1)$.

c.

Calculeu la derivada direccional en el punt $(1/2, 1)$ en la direcció del vector $(1,1)$.

Donada la funció $f(x, y) = \sqrt{\frac{x}{y}}$:

a. Descriviu analíticament el domini i les seves corbes de nivell.

Donada la funció $f(x, y) = \sqrt{\frac{x}{y}}$:

b.

Determineu el vector gradient $\nabla f(1,1)$.

c.

Calculeu la derivada direccional d'$f$ en $(1,1)$ segons el vector $(-3,4)$.

Per a la funció $f(x, y) = \sqrt{y - x^2 + 1}$:

Tema 2.1 - Exercici 14. Elasticitat d'una variable

Calculeu l'elasticitat de cadascuna de les funcions reals següents en el punt $x_0$ indicat:

a)

$f(x) = (10 - 3x)^2$ en $x_0 = 5$

b)

$f(x) = \frac{3}{x}$ en $x_0 = 2$, $x_0 = 1$ i $x_0 = 0$

c)

$f(x) = (x^2 - 1)^3$ en $x_0 = 0$

d)

$f(x) = x^4 + 3$ en $x_0 = 3$

Per a la funció $f(x, y) = \sqrt{y - x^2 + 1}$:

Donada la funció $f(x, y, z) = 6x^2y + e^{y-z}$, calculeu les següents elasticitats parcials:

a.

b.

c.

Per a la funció $f(x, y) = \sqrt{y - x^2 + 1}$:

Donada la funció diferenciable $f(x, y) = x^2 y^2 - 3xy$:

a.

b.

Per a la funció $f(x, y) = \sqrt{y - x^2 + 1}$:

Donada la funció $f(x, y) = 2x^2y + 3y$, calculeu la derivada d'$f$ en el punt $(0,3)$ segons la direcció del vector $(4,5)$.

$D_u f(0,3)$:

Donada la funció $f(x, y) = 2x^2y - xy^2$:

a.

Avalueu $f(10,5)$.

b.

Determineu l'hiperplà tangent en el punt $(10,5)$ i utilitzeu-lo per estimar $f(10.1, 5)$.

Donada la funció $f(x, y) = 2x^2y - xy^2$:

c)

Mantenint $y = 5$ constant, apliqueu el concepte d'elasticitat per analitzar com varia relativament la funció respecte a $x$ en el punt $(10,5)$.

d)

Compareu els valors obtinguts als apartats anteriors amb el valor exacte de $f(10.1, 5)$.

Per a la funció $f(x, y) = \sqrt{y - x^2 + 1}$:

Donada la funció $f(x, y, z) = (x - y)(y - z)(z - x)$, calculeu:

$$\frac{\partial f}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial y} + \frac{\partial f}{\partial z}$$

Per a la funció $f(x, y) = \sqrt{y - x^2 + 1}$:

Donada la funció $f(x, y) = e^x \cos(y)$, calculeu la seva expressió general pel gradient $\nabla f(x, y)$ i avalueu-lo en el punt $(0, \pi)$.

(,)

Per a la funció $f(x, y) = \sqrt{y - x^2 + 1}$:

Donades les funcions $f(x, y, z) = x^2 y - y z^2$ i $g(x, y) = \frac{e^{x+2y}}{x}$, calculeu les següents derivades d'ordre superior:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

Per a la funció $f(x, y) = \sqrt{y - x^2 + 1}$:

Donada la funció $f(x, y, z) = xy + xz - y^2 z^2$, determineu la seva matriu hessiana en el punt $(1, 0, 3)$.

Introduïu els elements de la matriu hessiana $Hf(1, 0, 3)$:

Per a la funció $f(x, y) = \sqrt{y - x^2 + 1}$:

En una fàbrica la producció diària ve donada per la funció:

$$Q(K, L) = 60 K^{1/2} L^{1/3}$$

on $K$ és el capital invertit (en milers d'euros) i $L$ és la força de treball diària (en hores de treballador). Suposem que el capital invertit actual és de $900.000\text{ €}$ ($K = 900$) i s'utilitzen $1.000$ hores de treballador al dia ($L = 1000$).

Utilitzeu l'anàlisi marginal per estimar l'efecte sobre la producció diària d'una inversió addicional d'$1.000\text{ €}$ ($\Delta K = 1$), si el treball no varia. Compareu aquest valor amb el canvi exacte en la producció.

a)

b)

Per a la funció $f(x, y) = \sqrt{y - x^2 + 1}$:

Una empresa importadora d'un producte X ven al mes aproximadament:

$$q = \frac{d^2}{2000p} + \frac{v^2}{100} - v \quad \text{unitats per venedor}$$

on $v$ és el nombre de venedors, $p$ el preu unitari i $d$ la despesa mensual en publicitat. Actualment compta amb $v = 10$ venedors, una despesa en publicitat $d = 6000\text{ €}$ i ven a $p = 800\text{ €}$. El cost de compra de cada unitat és de $80\text{ €}$, i el sou de cada venedor és de $600\text{ €}$ mensuals.

Empreu l'anàlisi marginal per estimar el canvi aproximat en el benefici mensual de l'empresa com a resultat de contractar un venedor més ($\Delta v = 1$).

Per a la funció $f(x, y) = \sqrt{y - x^2 + 1}$:

Si $z = x^2 e^y$, amb $x = u + v$ i $y = uv$, aleshores $\frac{\partial z}{\partial u}$ és:

Per a la funció $f(x, y) = \sqrt{y - x^2 + 1}$:

Per a la mateixa funció de l'exercici anterior ($z = x^2 e^y$, $x = u + v$, $y = uv$), avalueu $\frac{\partial z}{\partial v}$:

Per a la funció $f(x, y) = \sqrt{y - x^2 + 1}$:

Tema 2.1 - Exercici 27. Derivació en cadena composta

Si $z = f(x, y)$, amb $x = uw$ i $y = vw$, determineu $\frac{\partial z}{\partial u}$, $\frac{\partial z}{\partial v}$ i $\frac{\partial z}{\partial w}$. Quant val la suma $\frac{\partial z}{\partial u} + \frac{\partial z}{\partial v} + \frac{\partial z}{\partial w}$ en el punt $(u, v, w) = (1, 1, -1)$?

Per a la funció $f(x, y) = \sqrt{y - x^2 + 1}$:

Tema 2.1 - Exercici 28. Derivació implícita polinòmica

La relació $y^3 - x^3 - y = -1$ defineix implícitament $y$ com a funció de $x$ a l'entorn del punt $(1, 1)$. Llavors, el valor de $\frac{dy}{dx}$ en aquest punt és:

Per a la funció $f(x, y) = \sqrt{y - x^2 + 1}$:

Tema 2.1 - Exercici 29. Derivació implícita exponencial

La relació $y^2 - x^2 e^{y^2} = 1$ defineix implícitament $y = y(x)$ en un entorn del punt $(0, 1)$. Calculeu el valor de $\frac{dy}{dx}$ en aquest punt:

Per a la funció $f(x, y) = \sqrt{y - x^2 + 1}$:

Tema 2.1 - Exercici 30. Derivació implícita logarítmica

La relació $(\ln(xy))^2 - \ln(x^2 y^2) = 0$ defineix implícitament $y = y(x)$ en l'entorn de $(1, e^2)$. Trobeu el valor de $\frac{dy}{dx}$ en aquest punt:

Per a la funció $f(x, y) = \sqrt{y - x^2 + 1}$:

Tema 2.1 - Exercici 31. Derivació implícita transcendent

La relació $\ln(x + y) - x - y + \frac{3}{2} = 0$ defineix una funció implícita $y = y(x)$ a l'entorn del punt $(0, 0.3017)$. Llavors, el valor de la derivada $\frac{dy}{dx}$ és:

Per a la funció $f(x, y) = \sqrt{y - x^2 + 1}$:

Tema 2.1 - Exercici 32. Derivació implícita dues variables

Donada l'equació $y^2 + xz + z^2 - e^z - c = 0$, que defineix implícitament $z = z(x,y)$:

a.

c =

b.

Quines són les derivades parcials $\frac{\partial z}{\partial x}$ i $\frac{\partial z}{\partial y}$ en el punt $(x, y) = (0,e)$?

$\frac{\partial z}{\partial x}(0,e) =$

$\frac{\partial z}{\partial y}(0,e) =$

Per a la funció $f(x, y) = \sqrt{y - x^2 + 1}$:

Tema 2.1 - Exercici 33. Grau d'homogeneïtat trigonomètric

Calculeu, si és possible, el grau d'homogeneïtat de les funcions següents:

a.

$f(x, y) = \frac{x^4 \sin(x/y) e^{x/y}}{2y}$

Grau d'homogeneïtat:

b.

$f(x, y) = \frac{\sqrt{x} \cos(x/y)}{2y}$

Grau d'homogeneïtat:

Per a la funció $f(x, y) = \sqrt{y - x^2 + 1}$:

Tema 2.1 - Exercici 34. Grau d'homogeneïtat algebraic

Determineu el grau d'homogeneïtat de les següents funcions:

a.

$f(K, L) = K^\alpha L^\beta$, amb $\alpha + \beta = 1$

Grau d'homogeneïtat:

b.

$f(x, y, z) = \frac{y z^2}{x^2}$

Grau d'homogeneïtat:

c.

$f(x, y, z) = \frac{y z^2}{x^3}$

Grau d'homogeneïtat:

Per a la funció $f(x, y) = \sqrt{y - x^2 + 1}$:

Tema 2.2 - Exercici 1. Aplicabilitat del teorema de Weierstrass

Donada la funció $f(x, y) = \frac{e^{x+y}}{x^2 - 4}$, estudieu l'aplicabilitat del teorema de Weierstrass per als conjunts següents:

a.

$D = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid -1 \le x \le 1, -3 \le y \le 3\}$

Sí

No

b.

$D = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid -3 \le x \le 3, -1 \le y \le 1\}$

Sí

No

c.

$D = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid y \ge x^2 - 6x + 18\}$

Sí

No

Per a la funció $f(x, y) = \sqrt{y - x^2 + 1}$:

36. Tema 2.2 - Exercici 2. Teorema de Weierstrass en conjunts

Donada la funció $f(x, y) = x^2 + y^2$, estudieu l'aplicabilitat del teorema de Weierstrass per als conjunts següents:

a)

$D = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid -1 \le x \le 1, -1 \le y \le 1\}$

b)

$D = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid x^2 + y^2 \le 4\}$

c)

$D = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid x^2 + y^2 < 4\}$

Per a la funció $f(x, y) = \sqrt{y - x^2 + 1}$:

Tema 2.2 - Exercici 3. Naturalesa de punts estacionaris

Siguin $x_1, x_2 \in \mathbb{R}^2$ dos punts tals que $\nabla f(x_1) = 0$ i $\nabla f(x_2) = 0$. Llavors:

Per a la funció $f(x, y) = \sqrt{y - x^2 + 1}$:

Tema 2.2 - Exercici 4. Classificació d'anul·lació del gradient

Donada una funció tal que $\nabla f(x_0) = 0$:

.

Per a la funció $f(x, y) = \sqrt{y - x^2 + 1}$:

Tema 2.2 - Exercici 5. Càlcul de punts crítics

Calculeu els punts crítics de la funció escalar de tres variables:$$f(x, y, z) = 2x^2 + y^2 - z^2 + x + 5$$

$($ $,$ $,$ $)$

Per a la funció $f(x, y) = \sqrt{y - x^2 + 1}$:

Tema 2.2 - Exercici 6. Gradient no nul i Hessiana

En resoldre un problema d'optimització lliure, ens trobem que el gradient de la funció en un determinat punt no s'anul·la, però la matriu hessiana és, en aquest punt, definida positiva. Llavors:

.

Per a la funció $f(x, y) = \sqrt{y - x^2 + 1}$:

Tema 2.2 - Exercici 7. Màxim de funció de tres variables

Donada la funció $f(x, y, z) = -4x^2 - y^2 + 6x + 3y + z$, el màxim d'aquesta funció s'assoleix a:

.

Per a la funció $f(x, y) = \sqrt{y - x^2 + 1}$:

Una empresa produeix dos articles amb preus de mercat $p_1 = 42$ i $p_2 = 51$. Si $q_1$ i $q_2$ són les quantitats produïdes de cadascun, i la funció de costos és:

$$C(q_1, q_2) = 3q_1 q_2 + \frac{3}{2}q_1^2 + 2q_2^2$$

calculeu la combinació de producció que maximitza el benefici.

Per a la funció $f(x, y) = \sqrt{y - x^2 + 1}$:

Trobeu els punts crítics i doneu-ne la seva classificació per a la funció:

$$f(x, y) = x^2 + y^2 - 6xy - 39x + 18y + 20$$

a)

b)

c)

Per a la funció $f(x, y) = \sqrt{y - x^2 + 1}$:

Calculeu els punts crítics de la funció següent i classifiqueu-los:

$$f(x, y) = 2x + 3y - x^2 - 2y^2 + xy$$

a)

b)

c)

Per a la funció $f(x, y) = \sqrt{y - x^2 + 1}$:

Determineu els punts crítics de la funció $f(x, y) = x^2 + y^2 - 2\ln(x) - 18\ln(y)$ en el domini $x > 0, y > 0$, i procediu a la seva classificació.

a)

b)

c)

Per a la funció $f(x, y) = \sqrt{y - x^2 + 1}$:

Estudieu els òptims de la funció escalar:

$$f(x, y) = (1 + e^y)\cos(x) - y e^y$$

a)

$x =$

$y =$

b)

c)

Per a la funció $f(x, y) = \sqrt{y - x^2 + 1}$:

Estudieu els punts crítics i la possible existència d'òptims per a la funció:$$f(x, y, z) = x^2 + 4y^2 + 4z^2 + 4xy + 4xz + 12yz$$

a)

b)

c)

Per a la funció $f(x, y) = \sqrt{y - x^2 + 1}$:

Determineu si el punt $(0,0)$ és un extrem relatiu de la funció $f(x, y) = 12y^2 - 8x^2$.

a)

b)

c)

Per a la funció $f(x, y) = \sqrt{y - x^2 + 1}$:

Sigui $f(x, y) = 2xy + x^2 + xy^2 + y^3$. Indiqueu quina de les següents afirmacions és correcta:

Per a la funció $f(x, y) = \sqrt{y - x^2 + 1}$:

Tema 2.2 - Exercici 16. Extrems de funció lineal en R2

Sigui $f(x, y) = x + y$ definida en tot el pla $D = \mathbb{R}^2$. Assenyaleu l'opció correcta:

.

Per a la funció $f(x, y) = \sqrt{y - x^2 + 1}$:

Sabent que $\frac{\partial f}{\partial x} = 2x + y$ i que $\frac{\partial f}{\partial y} = x + 2y + 3$, podem afirmar que:

Per a la funció $f(x, y) = \sqrt{y - x^2 + 1}$:

Donada la funció $f(x, y) = x^2 + y^2 + axy$, on $a \in \mathbb{R}$, determineu per a quins valors del paràmetre $a$ la funció $f$ és una funció convexa.

Per a la funció $f(x, y) = \sqrt{y - x^2 + 1}$:

Donada la funció $f(x, y) = x^2 + y^2 + xy$, determineu els seus punts crítics i establiu els seus òptims globals.

Per a la funció $f(x, y) = \sqrt{y - x^2 + 1}$:

Per a la funció $f(x, y) = x^4 - 8x^3 + 24x^2 - 32x + y^2 + 4y + 36$, trobeu els seus òptims globals.

Per a la funció $f(x, y) = \sqrt{y - x^2 + 1}$:

Tema 2.2 - Exercici 21. Maximització beneficis producció tovallons

Una empresa fabrica dos tipus de tovallons de paper (grans i petits) en paquets de 1.000 unitats. El preu de venda de cada paquet petit és de 1.000 u.m., mentre que el paquet gran té un preu de 2.000 u.m. Els costos horaris de producció són:

$$C_x(x) = 5x^2 \quad \text{i} \quad C_y(y) = 5y^2$$

on $x$ i $y$ són els paquets produïts per hora de petits i grans, respectivament. Les despeses d'administració fixes són de 10.000 u.m./hora.

a)

Obtingueu el nombre de paquets de cada tipus que s'haurien de vendre per hora per maximitzar el benefici lliure.

b)

Si per limitacions tècniques s'ha de fabricar exactament el triple de tovallons grans que de petits ($y = 3x$), determineu quina quantitat de cadascun s'haurà de produir i vendre per hora.

Per a la funció $f(x, y) = \sqrt{y - x^2 + 1}$:

Una empresa fabrica dos articles, A i B. Respecte a l'article A, la setmana passada es van vendre 400 unitats a 720 €, i un estudi de mercat estima que per cada 10 € de disminució en el preu, les vendes augmentaran en 2 unitats. Per a l'article B es recomana mantenir un preu fix de 1.480 €. La funció de costos totals és:

$$C(q_1, q_2) = 5q_1^2 + 10q_2^2 + 50000$$

on $q_1$ i $q_2$ són les unitats venudes setmanalment d'A i B, respectivament.

a)

Obtingueu el nombre òptim d'articles de cada tipus que s'hauran de vendre a la setmana per maximitzar el benefici.

b)

Si per restriccions del procés de producció només es poguessin fabricar 100 unitats setmanals en total ($q_1 + q_2 = 100$), determineu quantes unitats de cada article s'haurien de fabricar.