Cuestiones tipo examen de Matemáticas

Pregunta 1. Conjuntos implicados en una función

En el contexto de la definición formal de una función o aplicación $f: A \to B$, detalle cuáles son los conjuntos que intervienen y qué papel desempeña cada uno.

Pregunta 2. Funciones reales y vectoriales (FRVR, FNVR)

Defina conceptualmente y proporcione un ejemplo de:

a.

Una Función Real de Variable Real (FRVR).

Pregunta 2. Funciones reales y vectoriales (FRVR, FNVR)

Defina conceptualmente y proporcione un ejemplo de:

b.

Una Función Numérica/Vectorial según corresponda (por ejemplo, FNVR: función de varias variables o vectorial).

Pregunta 3. Estructuras algebraicas (magma, semigrupo, monoide, grupo)

Explique los criterios necesarios para clasificar un par $(A, *)$ (un conjunto provisto de una operación binaria interna) como magma, semigrupo, monoide o grupo.

Pregunta 4. Tipos de aplicación: inyectiva, exhaustiva o biyectiva

Defina con precisión matemática cuándo una función $f: A \to B$ es inyectiva, exhaustiva (suprayectiva) o biyectiva.

Pregunta 5. Elementos de un conjunto definido

Explique el procedimiento para justificar rigurosamente que un elemento dado pertenece a un conjunto definido por comprensión, tomando como ejemplo $S = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid 2x - 3y = 1\}$.

Pregunta 6. Reconstrucción gráfica a partir de la derivada

¿Cómo se deduce la gráfica cualitativa de una función continua $f(x)$ si se conoce la gráfica o el signo de su función derivada $f'(x)$?

Pregunta 7. Dominio y recorrido de una función

Indique las directrices para calcular analíticamente el dominio y el recorrido (o imagen) de una función real.

Pregunta 8. Cálculo del núcleo o antiimagen

Explique qué representa el núcleo ($\ker f$) de una aplicación lineal y cómo se relaciona conceptualmente con el cálculo de una antiimagen puntual.

Pregunta 9. Utilidad y significado del determinante

¿Para qué sirve un determinante en álgebra lineal? Enumere sus principales aplicaciones prácticas y conceptuales.

Pregunta 10. Análisis conceptual de sistemas y rango

En lugar de resolver numéricamente un sistema lineal, explique cómo interpretar la noción de 'a qué espacio llega' una aplicación asociada a la matriz del sistema y cómo se clasifica según el Teorema de Rouché-Frobenius.

Pregunta 11. Determinación de los puntos que van a (0,0)

Dada una aplicación $f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^2$, explique cómo se halla su $\operatorname{ker}(f)$ y cómo se determina el conjunto de puntos del dominio cuya imagen es exactamente el vector nulo $(0,0)$.

Pregunta 12. Antiimagen de tres puntos en matrices 3×3

Explique el procedimiento algebraico para calcular simultáneamente la antiimagen de tres vectores o puntos $\mathbf{b}_1, \mathbf{b}_2, \mathbf{b}_3 \in \mathbb{R}^3$ bajo una transformación lineal definida por una matriz $A \in M_{3\times 3}(\mathbb{R})$.

Pregunta 13. Semejanza entre matrices

Dadas tres matrices cuadradas $A_1, A_2, A_3$, defina formalmente la relación de semejanza entre matrices y detalle qué invariantes algebraicos deben cotejarse para determinar a cuál de las otras dos se asemeja $A_1$.

Pregunta 14. Búsqueda de antiimágenes mediante sistemas de ecuaciones

Explique cómo se formulan y resuelven las ecuaciones necesarias para determinar qué elemento o elementos del dominio tienen por imagen un vector o conjunto de valores fijado $\mathbf{c}$.

Pregunta 15. Determinante no nulo y término independiente del polinomio característico

Si una matriz cuadrada $A$ tiene determinante distinto de cero ($\det(A) \neq 0$), ¿puede ocurrir que su polinomio característico carezca de término independiente? Justifique la respuesta.

Sí

No

Pregunta 16. Aproximación polinómica de Taylor

Explique el concepto de aproximación polinómica local mediante el polinomio de Taylor para una función dada, y detalle cómo se calcula el polinomio de Taylor de la función $f(x) = \sin(x)$ en el punto $a = \pi/2$.