Pràctica 3. Inferència estadística i control de qualitat (Qüestionaris 3.1 i 3.2)

Context

Una empresa elaboradora de suc de poma 100% ecològic estableix les següents especificacions en etiqueta per unitat: contingut efectiu de suc d'1 L ($1.000\text{ cm}^3$), hidrats de carboni de $9{,}2\text{ g}/100\text{ g}$, pH de $4$, greixos de $0{,}02\text{ g}/100\text{ g}$ ($20\text{ mg}/100\text{ g}$) i terbolesa de $200\text{ NTU}$. El marc normatiu i de qualitat exigeix que el volum efectiu no difereixi de l'etiquetat, el contingut mitjà de greixos no sigui inferior a la referència, la mitjana d'hidrats no la superi, i tant el pH com la turbiditat no en difereixin. Paral·lelament, es controla la matèria primera (volum de pomes petites històricament al voltant del $12\%$).

Qüestionari 3.1 - Pregunta 1. Plantejament estadístic de la inferència i control de qualitat del suc

A partir de la informació del procés d'envasat i del mostreig d'un lot mitjançant 12 ampolles, responeu:

a.

Quina és l'estratègia metodològica indicada per avaluar el compliment de les especificacions de consum del lot a partir de les 12 ampolles mesurades?

Context

Una empresa elaboradora de suc de poma 100% ecològic estableix les següents especificacions en etiqueta per unitat: contingut efectiu de suc d'1 L ($1.000\text{ cm}^3$), hidrats de carboni de $9{,}2\text{ g}/100\text{ g}$, pH de $4$, greixos de $0{,}02\text{ g}/100\text{ g}$ ($20\text{ mg}/100\text{ g}$) i terbolesa de $200\text{ NTU}$. El marc normatiu i de qualitat exigeix que el volum efectiu no difereixi de l'etiquetat, el contingut mitjà de greixos no sigui inferior a la referència, la mitjana d'hidrats no la superi, i tant el pH com la turbiditat no en difereixin. Paral·lelament, es controla la matèria primera (volum de pomes petites històricament al voltant del $12\%$).

Qüestionari 3.1 - Pregunta 1. Plantejament estadístic de la inferència i control de qualitat del suc

A partir de la informació del procés d'envasat i del mostreig d'un lot mitjançant 12 ampolles, responeu:

b.

Assumint normalitat per a totes les variables contínues, quina tipologia de prova d'hipòtesis cal aplicar a cadascuna?

c.

En el cas de voler comprovar que el contingut mitjà de suc no difereix d'1 L, quin contrast d'hipòtesis cal formular?

Context

Una empresa elaboradora de suc de poma 100% ecològic estableix les següents especificacions en etiqueta per unitat: contingut efectiu de suc d'1 L ($1.000\text{ cm}^3$), hidrats de carboni de $9{,}2\text{ g}/100\text{ g}$, pH de $4$, greixos de $0{,}02\text{ g}/100\text{ g}$ ($20\text{ mg}/100\text{ g}$) i terbolesa de $200\text{ NTU}$. El marc normatiu i de qualitat exigeix que el volum efectiu no difereixi de l'etiquetat, el contingut mitjà de greixos no sigui inferior a la referència, la mitjana d'hidrats no la superi, i tant el pH com la turbiditat no en difereixin. Paral·lelament, es controla la matèria primera (volum de pomes petites històricament al voltant del $12\%$).

Qüestionari 3.1 - Pregunta 1. Plantejament estadístic de la inferència i control de qualitat del suc

A partir de la informació del procés d'envasat i del mostreig d'un lot mitjançant 12 ampolles, responeu:

d.

Si es vol comparar el contingut mitjà produït entre dos períodes temporals independents, quin procediment és l'adequat?

e.

Considerant que l'històric de pomes petites és del 12% i que enguany s'ha registrat una mostra de 400 pomes de les quals 55 eren de mida petita, quin mètode cal emprar per analitzar si la fracció poblacional ha canviat respecte al valor de referència?

Qüestionari 3.2 - Pregunta 1. Anàlisi del contingut d'ampolles i proporció de pomes adequades

Es disposa dels registres de contingut efectiu (en $\text{cm}^3$) per a una mostra de 12 ampolles:

Es disposa dels registres de contingut efectiu (en cm³) per a una mostra de 12 ampolles:

Ampolla · Contingut (cm³)

1 · 1001,6

2 · 992,0

3 · 1003,2

4 · 992,4

5 · 1005,1

6 · 990,8

7 · 1001,0

8 · 995,3

9 · 993,8

10 · 989,6

11 · 999,9

12 · 997,2

a)

b)

c)

d)

e)

Es disposa dels registres de contingut efectiu (en cm³) per a una mostra de 12 ampolles:

Ampolla · Contingut (cm³)

1 · 1001,6

2 · 992,0

3 · 1003,2

4 · 992,4

5 · 1005,1

6 · 990,8

7 · 1001,0

8 · 995,3

9 · 993,8

10 · 989,6

11 · 999,9

12 · 997,2

f.

Definiu la hipòtesi nul·la i l'alternativa per al contrast de volum sobre el valor nominal de 1.000 cm³.

g.

Calculeu el valor de l'estadístic de test $t$ observat.

h.

Quins són els graus de llibertat associats a la prova?

i.

Quin és el p-valor obtingut?

j.

Quina conclusió estadística es deriva amb un nivell de significació $\alpha = 0{,}05$?

k.

Determineu el valor crític de referència en valor absolut per a $\alpha = 0{,}05$ a partir de la distribució $t$ de Student.

Es disposa dels registres de contingut efectiu (en cm³) per a una mostra de 12 ampolles:

Ampolla · Contingut (cm³)

1 · 1001,6

2 · 992,0

3 · 1003,2

4 · 992,4

5 · 1005,1

6 · 990,8

7 · 1001,0

8 · 995,3

9 · 993,8

10 · 989,6

11 · 999,9

12 · 997,2

l.

cm³

m.

cm³

n.

o.

p.

Qüestionari 3.2 - Pregunta 2. Anàlisi d'hidrats, greixos i pH, i determinació de la grandària mostral

S'analitzen les variables hidrats de carboni (g/100 g), greixos (mg/100 g) i pH en la mateixa tanda d'ampolles:

S'analitzen les variables hidrats de carboni (g/100 g), greixos (mg/100 g) i pH en la mateixa tanda d'ampolles:

Ampolla · Hidrats de carboni · Greixos (mg/100 g) · pH

1 · 9,23 · 19,79 · 5,05

2 · 9,16 · 19,67 · 4,00

3 · 9,22 · 19,44 · 4,79

4 · 9,23 · 20,28 · 4,43

5 · 9,27 · 19,80 · 4,12

6 · 9,21 · 19,83 · 4,36

7 · 9,24 · 20,00 · 1,58

8 · 9,15 · 19,81 · 3,96

9 · 9,13 · 19,99 · 3,45

10 · 9,20 · 19,91 · 3,60

11 · 9,18 · 19,52 · 4,33

12 · NA · 19,76 · 5,08

a.

Calculeu la mitjana mostral per a greixos.

mg/100 g

b.

Calculeu la mitjana mostral per al pH.

c.

Determineu la desviació estàndard corregida per a hidrats de carboni.

g/100 g

d.

Determineu la desviació estàndard corregida per al pH.

Qüestionari 3.2 - Pregunta 2. Anàlisi d'hidrats, greixos i pH, i determinació de la grandària mostral

S'analitzen les variables hidrats de carboni (g/100 g), greixos (mg/100 g) i pH en la mateixa tanda d'ampolles:

S'analitzen les variables hidrats de carboni (g/100 g), greixos (mg/100 g) i pH en la mateixa tanda d'ampolles:

Ampolla · Hidrats de carboni · Greixos (mg/100 g) · pH

1 · 9,23 · 19,79 · 5,05

2 · 9,16 · 19,67 · 4,00

3 · 9,22 · 19,44 · 4,79

4 · 9,23 · 20,28 · 4,43

5 · 9,27 · 19,80 · 4,12

6 · 9,21 · 19,83 · 4,36

7 · 9,24 · 20,00 · 1,58

8 · 9,15 · 19,81 · 3,96

9 · 9,13 · 19,99 · 3,45

10 · 9,20 · 19,91 · 3,60

11 · 9,18 · 19,52 · 4,33

12 · NA · 19,76 · 5,08

e.

Formuleu la hipòtesi nul·la i alternativa per a hidrats de carboni tenint en compte que la mitjana no ha de superar 9,2 g/100 g.

f.

Formuleu les hipòtesis per a greixos sabent que no pot ser inferior a 20 mg/100 g.

g.

Formuleu les hipòtesis per comprovar si el pH mitjà és igual a 4.

h.

Indiqueu l'estadístic de test t obtingut per a greixos.

i.

Indiqueu l'estadístic de test t obtingut per al pH.

j.

Quin és el p-valor per al test d'hidrats de carboni?

k.

Quin és el p-valor per al test de greixos?

l.

A un nivell de significació del 5%, quina deducció pràctica es desprèn dels resultats de greixos?

S'analitzen les variables hidrats de carboni (g/100 g), greixos (mg/100 g) i pH en la mateixa tanda d'ampolles:

Ampolla · Hidrats de carboni · Greixos (mg/100 g) · pH

1 · 9,23 · 19,79 · 5,05

2 · 9,16 · 19,67 · 4,00

3 · 9,22 · 19,44 · 4,79

4 · 9,23 · 20,28 · 4,43

5 · 9,27 · 19,80 · 4,12

6 · 9,21 · 19,83 · 4,36

7 · 9,24 · 20,00 · 1,58

8 · 9,15 · 19,81 · 3,96

9 · 9,13 · 19,99 · 3,45

10 · 9,20 · 19,91 · 3,60

11 · 9,18 · 19,52 · 4,33

12 · NA · 19,76 · 5,08

m)

L'empresa accepta el lot si el pH mitjà no excedeix 4,1 (caducitat) i supera 3,9 (gust agradable). Calculeu l'extrem inferior de l'interval de confiança al 95% per al pH.

n)

Calculeu l'extrem superior de l'interval de confiança al 95% per al pH.

o)

Quina decisió s'ha de prendre respecte a l'acceptació del lot segons aquest interval?

p)

Es pretén estimar el percentatge de pomes defectuoses amb un marge d'error (precisió) del 10% i una confiança del 95%. Quina és l'amplitud total de l'interval en percentatge?

%

q)

Quin valor crític de la distribució normal estàndard s'ha d'emprar?

r)

Calculeu la grandària mostral necessària aplicant el cas més desfavorable ($p = 0{,}5$).