Estimación por Intervalos de Confianza - Estadística II

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APUNTES ESTADÍSTICA II Grado en Administración y Dirección de Empresas Universidad de Barcelona AprenAI 2026-2027 Apuntes completos de intervalos de confianza: medias, proporciones, varianzas, diferencia de medias y cálculo del tamaño muestral con ejercicios resueltos.

APREN.AI Índice 1 Fundamentos de la Estimación por Intervalos y Concepto de Confianza De la estimación puntual a la estimación por intervalos Definición formal y naturaleza de los extremos Construcción matemática para estimadores simétricos y unimodales Procedimiento operativo en seis pasos 2 Intervalos de Confianza para la Media Poblacional Procedimiento general de inferencia para la media Intervalo para la media con varianza poblacional conocida Factores determinantes del margen de error y la amplitud Resolución del Ejemplo 4.1: Varianza poblacional conocida Intervalo para la media con varianza poblacional desconocida Resolución del Ejemplo 4.2: Facturas comerciales con muestra grande Resolución del Ejemplo 4.3: Tiempos de transporte con muestra pequeña Resolución del Ejemplo 4.4 y aplicación con software estadístico 3 Intervalos de Confianza para la Diferencia de Medias Poblacionales Escenario 1: Varianzas poblacionales conocidas Escenario 2: Varianzas poblacionales desconocidas pero homogéneas (homocedasticidad) Escenario 3: Varianzas poblacionales desconocidas y distintas (heterocedasticidad) Interpretación del valor cero en la diferencia de medias 4 Intervalos de Confianza para la Varianza y Desviación Típica Poblacional Distribución muestral para la varianza en poblaciones normales Deducción matemática e inversión de desigualdades Resolución paso a paso: Ejemplo 4.7 5 Intervalos de Confianza para Proporciones y Diferencia de Proporciones Inferencia sobre una Proporción Poblacional Aplicación Práctica: Renovación de un Producto Financiero (Ejemplo 4.8) Comparación de Dos Proporciones Independientes Resolución de Diferencia y Deducción Inversa del Grado de Confianza (Ejemplo 4.9) 6 Determinación y Control del Tamaño Muestral Mecanismos de control del intervalo de confianza Estimación de la media con varianza conocida Estimación de la media con varianza desconocida y muestra piloto Estimación de proporciones y método de máxima holgura 7 Formulario Estimación por Intervalos de Confianza - Estadística II 1 Media Poblacional ( ) Diferencia de Medias ( ) en Muestras Independientes Varianza Poblacional ( ) y Desviación Típica ( ) Proporciones ( ) y Diferencia de Proporciones ( ) Determinación del Tamaño Muestral ( ) Valores Críticos y Errores Típicos Soluciones de las preguntas de repaso Estos apuntes pueden contener errores u omisiones.

Son un material de apoyo y no sustituyen al temario oficial ni al profesorado: contrasta la información importante. μ μ x μ y σ2 σ p p x p y n Estimación por Intervalos de Confianza - Estadística II 2 1 Fundamentos de la Estimación por Intervalos y Concepto de Confianza AL ACABAR SABRÁS Diferenciar la estimación por intervalos de la estimación puntual identificando sus ventajas. Interpretar con rigor frecuentista el nivel de confianza y el nivel de significación. Formular algebraicamente los límites aleatorios y el error de estimación en estimadores simétricos. Aplicar el procedimiento de seis pasos para plantear un intervalo de confianza.

PIÉNSALO ANTES DE LEER 1 ¿Por qué un nivel de confianza del 95 % no significa que haya un 95 % de probabilidad de que el parámetro esté en el intervalo numérico ya calculado? La inferencia estadística busca extraer conclusiones válidas sobre una población a partir de la información incompleta de una muestra. Los parámetros que describen a dicha población suelen ser constantes desconocidas en la práctica.

ESQUEMA Estructura del tema: Estimación por Intervalos Fundamentos y Confianza Bases teóricas, probabilidad frecuentista y pasos operativos Media Poblacional Casos con varianza conocida o desconocida Diferencia de Medias Comparación de dos poblaciones independientes Varianza y Desviación Inferencia sobre la dispersión poblacional Proporciones Estimación para variables dicotómicas Tamaño Muestral Determinación de n para controlar el error Estimación por Intervalos de Confianza - Estadística II 3 De la estimación puntual a la estimación por intervalos En la estimación puntual, se calcula un único valor numérico mediante un estimador para aproximar el parámetro desconocido .

No obstante, este enfoque presenta una limitación crítica: no proporciona ninguna medida directa sobre la precisión lograda ni sobre la magnitud del error de estimación, definido como . Como el verdadero valor de se desconoce, resulta imposible saber cuán cerca se encuentra dicho valor puntual de la realidad. Para resolver esta deficiencia, la estimación por intervalos determina una región acotada por dos límites numéricos que contiene el valor del parámetro con una probabilidad fijada de antemano.

A este procedimiento se le exigen simultáneamente dos condiciones contrapuestas: Alta fiabilidad: el intervalo debe incluir el verdadero parámetro con una probabilidad elevada (típicamente del 90 %, 95 % o 99 %). Alta precisión: la amplitud del intervalo debe ser lo más pequeña posible para acotar el parámetro a un rango útil. COMPRUEBA 2 ¿Por qué una estimación puntual aislada carece de utilidad operativa completa frente a un intervalo?

Definición formal y naturaleza de los extremos De forma rigurosa, un intervalo de confianza se apoya en dos funciones estadísticas, y , tales que se verifica la condición de cobertura: En esta relación probabilística intervienen dos conceptos esenciales: Término Símbolo Significado e interpretación Nivel de confianza Probabilidad de que el intervalo aleatorio contenga el valor del parámetro poblacional desconocido. Nivel de significación Probabilidad de riesgo asumida de que el parámetro quede situado fuera de los límites calculados. Es indispensable distinguir entre los extremos aleatorios y sus realizaciones numéricas.

Antes de observar los datos, los límites y son estadísticos muestrales, es decir, variables aleatorias cuya posición fluctúa según la muestra extraída. Una vez recolectados los datos observados , dichos estadísticos adoptan valores constantes fijos . θ e = θ ^ θ θ θ ^I θ ^S P ( θ ^I θ ) = θ ^S 1 α con < θ ^I θ ^S 1 α α (X , … , X ) θ ^I 1 n (X , … , X ) θ ^S 1 n (x , … , x ) 1 n [a, b] Estimación por Intervalos de Confianza - Estadística II 4 ERROR FRECUENTE Un error grave en los exámenes consiste en afirmar que, tras calcular un intervalo concreto como , existe una probabilidad del 95% de que pertenezca a ese intervalo fijado.

Desde el punto de vista frecuentista, tanto como los límites calculados son números constantes: el parámetro o bien se encuentra dentro o bien está fuera (probabilidad 1 o 0). La confianza del 95% describe las propiedades del proceso de muestreo a largo plazo, no a un intervalo ya obtenido. Bajo la interpretación frecuentista, si se extrajeran 100 muestras independientes del mismo tamaño bajo idénticas condiciones y se construyera un intervalo para cada una, exactamente intervalos contendrían el verdadero parámetro y intervalos lo excluirían. COMPRUEBA 3 ¿Por qué los extremos del intervalo dejan de ser variables aleatorias al evaluar la muestra?

Construcción matemática para estimadores simétricos y unimodales Cuando la distribución muestral del estimador puntual óptimo es simétrica y unimodal (como la distribución Normal o la t de Student, véase «Intervalos de Confianza para la Media Poblacional»), el intervalo de longitud mínima se obtiene repartiendo el nivel de significación equitativamente: un área de probabilidad en la cola inferior y en la cola superior. Supongamos un estimador insesgado con distribución , donde representa su desviación estándar o error estándar. Al tipificar la variable se obtiene una normal estándar .

Para fijar un nivel de confianza del 90 % ( , lo que implica ), el cuantil que deja una cola superior de 0,05 es .

El despeje algebraico del parámetro desconocido dentro de la probabilidad procede de la siguiente manera: Multiplicando toda la desigualdad por el error estándar : Restando el estadístico en los tres miembros: Multiplicando por -1 e invirtiendo el sentido de las desigualdades: Reordenando los términos de menor a mayor se llega a la expresión del intervalo: [12, 18] θ θ 100(1 α) θ 100α α/2 α/2 θ ^ N(θ, σ ) θ ^ 2 σ θ ^ Z = ( θ ^ θ)/σ θ ^ N(0, 1) 1 α = 0,90 α = 0,10 z = α/2 1,64 θ P 1,64 < < 1,64 = ( σ θ ^ θ θ ^ ) 0,90 σ > θ ^ 0 P ( 1,64σ < θ ^ θ ^ θ < 1,64σ ) = θ ^ 0,90 θ ^ P ( θ ^ 1,64σ < θ ^ θ < + θ ^ 1,64σ ) = θ ^ 0,90 P ( + θ ^ 1,64σ > θ ^ θ > θ ^ 1,64σ ) = θ ^ 0,90 P ( θ ^ 1,64σ < θ ^ θ < + θ ^ 1,64σ ) = θ ^ 0,90 Estimación por Intervalos de Confianza - Estadística II 5 Generalizando para cualquier nivel de confianza , la estructura canónica simétrica queda formulada como: La amplitud del intervalo equivale a dos veces el error de estimación ( ).

Existe un compromiso inherente entre amplitud y fiabilidad: aumentar la confianza exige un cuantil mayor, lo cual ensancha el intervalo y reduce la precisión de la inferencia. COMPRUEBA 4 ¿Cómo influye un incremento del nivel de confianza en la amplitud y la precisión del intervalo? Procedimiento operativo en seis pasos Para construir formalmente un intervalo de confianza en cualquier problema de inferencia paramétrica se sigue una metodología estructurada: IDEAS CLAVE La estimación puntual no informa sobre la magnitud del error cometido, necesidad que resuelve la estimación por intervalos.

El nivel de confianza representa la probabilidad a priori de que el intervalo aleatorio contenga al parámetro poblacional. Los límites del intervalo son variables aleatorias antes de extraer la muestra, pero se convierten en valores numéricos constantes tras observar los datos. En distribuciones simétricas e insesgadas, la estructura general del intervalo viene dada por . Existe una relación de compromiso entre fiabilidad y precisión: una mayor confianza requiere una mayor amplitud del intervalo a igualdad de tamaño muestral.

1 α ± θ ^ z α/2 σ = θ ^ ± θ ^ Error de Estimaci n o ˊ 2 z α/2 σ θ ^ z α/2 Elección del estimador: Definir la muestra aleatoria e identificar el estimador puntual óptimo para el parámetro de interés. 1 θ ^ Determinación del error estándar: Obtener la desviación típica de la distribución muestral del estimador ( ). 2 σ θ ^ Selección del nivel de confianza: Fijar el valor de y hallar el valor crítico correspondiente en la tabla de la distribución de probabilidad asociada. 3 1 α Cálculo del margen de error: Multiplicar el valor crítico tabulado por el error estándar del estimador ( ).

4 z α/2 σ θ ^ Construcción del intervalo aleatorio: Sumar y restar el margen de error al estimador teórico para definir los límites aleatorios del intervalo centrado. 5 Evaluación numérica muestral: Sustituir los datos observados en la muestra para calcular los límites numéricos finales del intervalo. 6 1 α ± θ ^ z α/2 σ θ ^ Estimación por Intervalos de Confianza - Estadística II 6 COMPRUEBA LO QUE HAS APRENDIDO 5. ¿Por qué es erróneo asignar una probabilidad al parámetro tras haber calculado los extremos numéricos del intervalo? 6. En una distribución normal estandarizada, ¿cuál es el valor crítico para un nivel de confianza del 90 %? Test Rodea la respuesta correcta.

Las soluciones están al final. 7. ¿Qué representa el nivel de significación α en un intervalo de confianza? 8. Antes de observar los datos muestrales concretos, ¿qué naturaleza poseen los extremos del intervalo? 9. ¿Qué ocurre con la amplitud de un intervalo de confianza simétrico si se incrementa el nivel de confianza? 10. ¿Qué componente define el radio o semiamplitud en un intervalo de confianza simétrico? 2 Intervalos de Confianza para la Media Poblacional AL ACABAR SABRÁS Construir intervalos de confianza para la media con varianza conocida mediante la distribución normal. Aplicar la distribución t de Student cuando la varianza poblacional es desconocida.

Analizar el impacto del tamaño muestral y del nivel de confianza en el margen de error.

θ z α/2 El tamaño mínimo de muestra a) La amplitud total del intervalo b) La probabilidad de excluir el parámetro c) El sesgo del estimador puntual d) Constantes numéricas fijas a) Variables aleatorias teóricas b) Parámetros poblacionales c) Factores de corrección fijos d) Disminuye notablemente a) Se anula por completo b) Aumenta de tamaño c) Permanece inalterada d) El parámetro poblacional a) El error de estimación b) El nivel de significación c) El estimador puntual d) Estimación por Intervalos de Confianza - Estadística II 7 PIÉNSALO ANTES DE LEER 11 ¿Por qué no podemos utilizar directamente la distribución Normal cuando sustituimos la desviación típica poblacional por la muestral?

Procedimiento general de inferencia para la media La estimación por intervalos delimita una región numérica donde esperamos encontrar la media poblacional ( ). Para formalizar esta inferencia, se parte de un esquema de trabajo riguroso que transforma la información muestral en límites operativos: PROCESO Fases para construir el intervalo de la media μ Seleccionar la muestra aleatoria y calcular el estimador puntual óptimo, que corresponde a la media muestral ( ). 1 X ˉ Determinar el error estándar del estimador, calculando la desviación típica de la distribución muestral del estadístico. 2 Fijar el nivel de confianza ( ), obteniendo el cuantil o valor crítico de la distribución de referencia.

3 1 α Calcular el margen de error multiplicando el valor crítico por el error estándar. 4 Definir los límites aleatorios sumando y restando dicho margen de error al estimador en intervalos simétricos. 5 Sustituir la realización muestral concreta para obtener los extremos numéricos finales del intervalo.

6 Muestreo aleatorio Obtener observaciones y calcular la media muestral 1 Evaluación de varianza Comprobar si sigma es conocida o desconocida 2 Selección del cuantil Obtener valor crítico en Normal o t de Student 3 Cálculo del error Multiplicar el cuantil por el error estándar 4 Delimitación final Sumar y restar el margen al estimador puntual 5 Estimación por Intervalos de Confianza - Estadística II 8 Intervalo para la media con varianza poblacional conocida Consideremos una población modelizada por una variable aleatoria . Si extraemos una muestra aleatoria simple de tamaño , la media muestral sigue una distribución normal: .

Al tipificar esta variable, obtenemos la media muestral estandarizada: Para un nivel de confianza , determinamos dos cuantiles simétricos y que encierran una probabilidad central de , dejando un área de cola de a cada lado: Gráfica de la distribución normal estándar con cuantiles simétricos y colas. La condición de probabilidad se escribe como . Al sustituir la expresión tipificada y despejar el parámetro , llegamos a la estructura del intervalo: Cuando la población de origen no sigue una distribución normal (por ejemplo, si es Uniforme, Poisson o Binomial), el Teorema Central del Límite garantiza que para tamaños muestrales la distribución de aproxima a una Normal.

Por lo tanto, esta misma expresión analítica sigue siendo plenamente válida en muestras grandes. X N(μ, σ ) 2 n X ˉ N μ, ( n σ2 ) Z = X ˉ σ/ n μ X ˉ N(0, 1) 1 α z α/2 z α/2 1 α α/2 P ( z < α/2 Z < X ˉ z ) = α/2 1 α μ P z < μ < + z = (X ˉ α/2 n σ X ˉ α/2 n σ ) 1 α n > 30 X ˉ Estimación por Intervalos de Confianza - Estadística II 9 Esquema del intervalo de confianza simétrico centrado en la media muestral. Factores determinantes del margen de error y la amplitud El margen de error o radio de la estimación representa la semiamplitud del intervalo y viene dado por: La amplitud del intervalo ( ) equivale a la distancia total entre sus extremos numéricos: .

A partir de estas relaciones, se deducen tres dependencias estructurales: El margen de error es directamente proporcional al cuantil crítico . Al exigir mayor nivel de confianza ( ), el valor crítico se aleja del centro y la amplitud se incrementa, perdiendo precisión. El margen de error es directamente proporcional a la dispersión poblacional ( ). Cuanta mayor variabilidad posea la población, mayor será la imprecisión del intervalo. El margen de error es inversamente proporcional a la raíz cuadrada del tamaño muestral ( ). Al elevar el número de observaciones, la dispersión de se reduce.

En el trabajo experimental, el analista no puede modificar la variabilidad inherente de la población ( ) y no desea renunciar a una confianza alta. Por consiguiente, incrementar el tamaño muestral ( ) constituye la única alternativa práctica para estrechar el intervalo sin deteriorar el nivel de confianza elegido.

Nivel de confianza ( ) Significación ( ) Cola lateral ( ) Valor crítico ( ) 80% 0,20 0,10 1,28 85% 0,15 0,075 1,44 90% 0,10 0,05 1,64 95% 0,05 0,025 1,96 99% 0,01 0,005 2,58 e = z α/2 n σ A A = 2e = 2z α/2 n σ z α/2 1 α σ n X ˉ σ n 1 α α α/2 z α/2 Estimación por Intervalos de Confianza - Estadística II 10 Gráfica de 100 realizaciones muestrales y su cobertura de la media poblacional. PARA RECORDARLO Si pretendiéramos diseñar un intervalo con una confianza perfecta del 100%, los valores críticos se situarían en y . El intervalo resultante cubriría toda la recta real sin proporcionar ninguna información útil sobre la verdadera media poblacional.

ERROR FRECUENTE Una vez calculados los extremos numéricos concretos a partir de los datos observados (por ejemplo, ), es incorrecto afirmar que la probabilidad de que pertenezca a ese intervalo numérico es del 95%. La media poblacional es un parámetro constante y los extremos ya son números fijos; la probabilidad de que esté dentro es exactamente 1 o 0. El 95% califica al procedimiento global de muestreo a largo plazo: el 95% de los intervalos construidos bajo este diseño cubrirán la media real. COMPRUEBA 12 ¿Por qué duplicar el tamaño de la muestra no reduce el margen de error a la mitad?

+ [9,01; 12,53] μ Estimación por Intervalos de Confianza - Estadística II 11 Resolución del Ejemplo 4.1: Varianza poblacional conocida EJEMPLO 4.1 El gerente de un supermercado analiza el gasto semanal en lácteos de las familias de un barrio. Se sabe que dicho gasto se distribuye según una Normal con desviación típica euros. A partir de una muestra aleatoria de 31 familias, se obtienen los siguientes registros: 10, 15, 9, 6, 8, 4, 7, 10, 14, 16, 21, 10, 13, 7, 8, 4, 9, 12, 24, 15, 9, 8, 12, 6, 8, 5, 30, 9, 10, 9, 6.

Apartado a: Intervalo al 95% de confianza La suma muestral es , por lo que la media muestral vale: Para una confianza del 95% ( ), tenemos y el valor crítico de las tablas normales es . Aplicando la fórmula con y : El gasto medio poblacional se encuentra en el intervalo numérico [9,01 ; 12,53] con una confianza del 95%. Apartado b: Margen de error y precisión El error máximo de estimación equivale al radio del intervalo: Apartado c: Distribución poblacional desconocida Si se desconociera la normalidad de la variable, el resultado se mantendría inalterado. Al cumplirse , el Teorema Central del Límite asegura la aproximación asintótica a la distribución normal.

Apartado d: Reducción de la amplitud sin sacrificar confianza Dado que el radio es y la variabilidad es constante, para disminuir la amplitud manteniendo inalterado el nivel de confianza del 95% es indispensable elevar el tamaño muestral . Apartado e: Evaluación del valor medio de 10 euros Resulta admisible suponer que el gasto medio poblacional sea de 10 euros, ya que .

σ = 5 X = i 334 = x ˉ = 31 334 10,77 1 α = 0,95 α = 0,05 z = 0,025 1,96 n = 31 σ = 5 P 10,77 1,96 < μ < 10,77 + 1,96 = ( 31 5 31 5 ) 0,95 9,01 < μ < 12,53 e = 1,96 = 31 5 1,76 n = 31 > 30 z α/2 n σ σ n 10 [9,01; 12,53] Estimación por Intervalos de Confianza - Estadística II 12 Intervalo para la media con varianza poblacional desconocida En la práctica experimental rara vez se conoce la dispersión de la población general. Cuando es desconocida, debe aproximarse mediante la desviación típica muestral ( ).

Al sustituir por su estimador insesgado en la variable tipificada de una población normal, el cociente ya no sigue una distribución normal estándar, sino una distribución t de Student con n - 1 grados de libertad: La distribución t de Student presenta una forma acampanada y simétrica alrededor del cero, pero exhibe colas más pesadas que la Normal estándar debido a la variabilidad adicional que introduce el cálculo de . Al aumentar los grados de libertad ( ), la distribución t converge hacia la distribución , y sus cuantiles críticos tienden a coincidir con los valores .

Para un nivel de confianza , la relación probabilística se establece con el cuantil crítico correspondiente: Despejando analíticamente la media poblacional, el intervalo toma la estructura definitiva: ESQUEMA Criterio de distribución para la media poblacional COMPRUEBA 13 ¿Por qué el cuantil crítico de la t de Student es estrictamente mayor que el valor crítico Z para un mismo nivel de significación?

σ S σ t = X ˉ S/ n μ X ˉ t n 1 S n 1 N(0, 1) t n 1,α/2 z α/2 1 α P t < < t = ( n 1,α/2 S/ n μ X ˉ n 1,α/2) 1 α P t < μ < + t = (X ˉ n 1,α/2 n S X ˉ n 1,α/2 n S ) 1 α Varianza conocida Población normal o tamaño n > 30 Distribución Normal N(0,1) Uso de cuantiles z Varianza desconocida Se sustituye sigma por S Muestra pequeña (n <= 30) Población de origen normal t de Student (n - 1 gl) Colas más pesadas que la Normal Muestra grande (n > 30) Aproximación por TCL Convergencia a Normal N(0,1) Cuantiles t convergen a cuantiles z Estimación por Intervalos de Confianza - Estadística II 13 Resolución del Ejemplo 4.2: Facturas comerciales con muestra grande EJEMPLO 4.2 El Director Financiero de CONGOST S.A.

analiza el importe medio de las facturas pendientes de pago de proveedores en Asia. A partir de una muestra de facturas, el responsable contable calcula una media muestral de 204.000 u.m. y una desviación típica de 90.000 u.m. Se solicita la longitud del intervalo de confianza al 99%. Solución paso a paso: n = 100 Aproximación por tamaño muestral: Como el tamaño de la muestra es muy grande ( ), por el Teorema Central del Límite la distribución de la media muestral aproxima a una Normal y los cuantiles críticos de la t de Student convergen a la Normal estándar. 1 n = 100 Cálculo del valor crítico: Con una confianza del 99% ( ), el nivel de significación es , correspondiendo .

2 1 α = 0,99 α = 0,01 z = 0,005 2,58 Planteamiento del intervalo: 3 P 204.000 2,58 < μ < 204.000 + 2,58 = ( 100 90.000 100 90.000 ) 0,99 Obtención de extremos y amplitud: La longitud o amplitud total del intervalo es A = 227.220 - 180.780 = 46.440 u.m. Con una confianza del 99%, el importe promedio se sitúa en [180.780 ; 227.220]. 4 204.000 23.220 < μ < 204.000 + 23.220 180.780 < μ < 227.220 Estimación por Intervalos de Confianza - Estadística II 14 Resolución del Ejemplo 4.3: Tiempos de transporte con muestra pequeña EJEMPLO 4.3 La empresa PROTOC S.L. subcontrata el transporte de mercancías a TRANSPORT S.A.

El tiempo de traslado entre el departamento de expediciones y el cliente sigue una distribución normal de parámetros desconocidos. Una muestra aleatoria de 20 camiones arroja una media de 50,3 minutos y una varianza muestral de 25 minutos cuadrados. Se determinan los límites y el margen de error para un nivel de confianza del 99%. Solución paso a paso: Identificación de parámetros: El tamaño es , la media muestral es y la varianza muestral es , lo que implica una desviación típica . 1 n = 20 = x ˉ 50,3 S = 2 25 S = = 25 5 Búsqueda del cuantil t: Con varianza poblacional desconocida y población normal, se utiliza la distribución t con grados de libertad.

Para un nivel de confianza del 99% ( ), el valor crítico bilateral que acumula 0,995 a su izquierda es . 2 n 1 = 19 α = 0,01 t = 19;0,005 2,851 Cálculo de extremos numéricos: 3 P 50,3 2,851 < μ < 50,3 + 2,851 = ( 20 5 20 5 ) 0,99 47,101 < μ < 53,499 Determinación de amplitud y margen de error: La amplitud resultante es minutos. El margen de error cometido es exactamente la mitad: e = = 3,199 minutos. 4 A = 53,499 47,101 = 6,398 2 A Estimación por Intervalos de Confianza - Estadística II 15 Resolución del Ejemplo 4.4 y aplicación con software estadístico EJEMPLO 4.4 Tomando los registros de las 31 familias del Ejemplo 4.1, supongamos ahora que la varianza poblacional es desconocida.

Se calcula el intervalo de confianza de la media poblacional al 95%. Cálculos manuales: A partir de los datos muestrales se obtienen las sumas: y . Calculamos la media muestral y la cuasivarianza muestral: Para grados de libertad y una confianza del 95% ( ), el cuantil en la tabla t de Student corresponde a . Sustituyendo en la expresión: El margen de error asociado es . Implementación en Microsoft Excel: En la herramienta de análisis estadístico de Excel se configuran los siguientes parámetros: Rango de entrada: selección de las celdas con los datos muestrales ( ), agrupados por columnas.

Opciones de salida: marcar la casilla de «Resumen de estadísticas» e indicar el rango de destino (por ejemplo, celda ). Nivel de confianza para la media: marcar la casilla y fijar el valor en 95%. La hoja de resultados proporciona directamente la media ( ) y el margen de error bajo la etiqueta «Nivel de confianza (95,0%)», cuyo valor es 2,1192. Los límites se obtienen operando sobre las celdas: Extremo superior: . Extremo inferior: .

X = i 334 X = i 2 4600 = x ˉ = 31 334 10,77 S = 2 = 30 4600 31 (10,77)2 33,4 S = = 33,4 5,78 n 1 = 30 α = 0,05 t = 30;0,025 2,042 P 10,77 2,042 < μ < 10,77 + 2,042 = ( 31 5,78 31 5,78 ) 0,95 8,65 < μ < 12,89 e = 2,042 = 31 5,78 2,12 $A$1 : $A$32 $C$3 = x ˉ 10,7742 10,7742 + 2,1192 = 12,8934 10,7742 2,1192 = 8,6550 Estimación por Intervalos de Confianza - Estadística II 16 IDEAS CLAVE Con varianza poblacional conocida o muestras grandes ( ), el intervalo para la media se construye a partir de la distribución normal estándar . Cuando la varianza poblacional es desconocida y la población es normal, el estadístico tipificado sigue una distribución t de Student con grados de libertad.

El margen de error es directamente proporcional al cuantil crítico y a la desviación típica, e inversamente proporcional a . Aumentar el tamaño muestral constituye el único mecanismo experimental para reducir la amplitud del intervalo sin renunciar al nivel de confianza deseado. Los extremos numéricos calculados no son probabilísticos; representan un grado de confianza derivado de la variabilidad del procedimiento de muestreo. COMPRUEBA LO QUE HAS APRENDIDO 14. ¿Qué distribución debe utilizarse para estimar la media poblacional si la varianza es desconocida, la muestra es de 18 elementos y la población de origen es normal? 15.

En una estimación de la media con nivel de confianza del 95% y varianza conocida, ¿cuál es el margen de error si y ? Test Rodea la respuesta correcta. Las soluciones están al final. 16. ¿Cuál es la única vía práctica para estrechar un intervalo de confianza sin perder nivel de confianza? 17. Cuando se desconoce la varianza poblacional en una muestra de tamaño n de una población normal, ¿qué distribución rige? 18. ¿Qué valor crítico bilateral de la normal estándar corresponde exactamente a un nivel de confianza del 95%?

n > 30 N(0, 1) n 1 n σ = 5 n = 31 Aumentar el cuantil crítico z a) Incrementar la dispersión poblacional b) Disminuir los grados de libertad c) Aumentar el tamaño de la muestra d) Distribución normal estándar N(0,1) a) Distribución t con n grados de libertad b) Distribución Chi-cuadrado con n grados c) Distribución t con n - 1 grados d) 2,58 a) 1,96 b) 1,64 c) 2,04 d) Estimación por Intervalos de Confianza - Estadística II 17 19. Si un intervalo numérico calculado al 95% resulta ser [9,01 ; 12,53], ¿cuál es la interpretación técnica correcta?

3 Intervalos de Confianza para la Diferencia de Medias Poblacionales AL ACABAR SABRÁS Distinguir los tres escenarios de inferencia para la diferencia de medias según el conocimiento de las varianzas. Calcular e interpretar la varianza muestral ponderada en contextos con varianzas homogéneas. Determinar los grados de libertad mediante la aproximación de Welch en poblaciones con heterocedasticidad. Juzgar a través de los límites del intervalo si es estadísticamente viable la igualdad de medias poblacionales. PIÉNSALO ANTES DE LEER 20 ¿Por qué no basta con comprobar si las medias muestrales son iguales para saber si dos poblaciones tienen el mismo promedio?

Al comparar dos poblaciones independientes a través de sus medias, el objetivo central radica en evaluar la magnitud de la discrepancia real entre ambos colectivos, . Para abordar esta inferencia, se extraen dos muestras aleatorias independientes de tamaños y de sendas poblaciones con distribución normal (o suficientemente grandes para aplicar el teorema central del límite). La construcción analítica del intervalo dependerá críticamente de la información disponible sobre las varianzas de las poblaciones de origen.

La media tiene 95% de probabilidad de caer dentro a) Se confía al 95% en que el intervalo contenga a la media b) El 95% de los datos muestrales está en ese rango c) La media varía dentro de esos límites numéricos fijos d) μ x μ y n x n y Estimación por Intervalos de Confianza - Estadística II 18 ESQUEMA Estimación de la diferencia de medias independientes Escenario 1: Varianzas poblacionales conocidas Cuando los valores de las varianzas de ambas poblaciones ( y ) son datos conocidos de antemano, el estimador natural para contrastar la discrepancia poblacional es la diferencia de medias muestrales .

Debido a la propiedad de aditividad en variables normales independientes, este estimador sigue de manera exacta un modelo de probabilidad normal: Al tipificar la diferencia muestral restando su valor esperado y dividiendo por la desviación típica del estimador, se utiliza el valor crítico obtenido de las tablas de la normal estándar . Para los conceptos generales de cuantiles y margen de error, véase «Intervalos de Confianza para la Media Poblacional».

Varianzas conocidas Modelo normal con z crítico Varianzas desconocidas Uso de la distribución t Iguales (homocedasticidad) Usa Sp² y t con nx+ny-2 gl Distintas (heterocedasticidad) Usa varianzas separadas y gamma gl σ x 2 σ y 2 x ˉ y ˉ ( x ˉ ) y ˉ N μ μ , ( x y + n x σ x 2 n y σ y 2 ) z α/2 N(0,1) P ( ) z μ μ ( ) + z = ( x ˉ y ˉ α/2 + n x σ x 2 n y σ y 2 x y x ˉ y ˉ α/2 + n x σ x 2 n y σ y 2 ) 1 α Estimación por Intervalos de Confianza - Estadística II 19 EJEMPLO Ejemplo 4.5: Comparación de ventas diarias en dos zonas comerciales. Una firma suministradora de componentes para el motor implementa dos estrategias de mercado en talleres de dos zonas geográficas distintas.

Tras un año, recopila datos de ventas en muestras independientes de jornadas en la zona A y jornadas en la zona B. Las ventas promedio observadas son euros y euros. Se conoce por registros históricos que las varianzas poblacionales son euros² y euros². Para calcular el intervalo de confianza al 95 % ( ), se recurre a la abscisa crítica : Conclusión sobre el valor 240: Dado que el valor planteado de 240 queda por debajo del extremo inferior del intervalo (535,91), no resulta razonable asumir que la diferencia media poblacional sea únicamente de 240 unidades monetarias; la evidencia muestral apunta a una ventaja significativamente más amplia para la zona A.

COMPRUEBA 21 ¿Por qué la varianza de la diferencia de medias es la suma y no la resta de las varianzas de cada muestra? Escenario 2: Varianzas poblacionales desconocidas pero homogéneas (homocedasticidad) En muchas situaciones prácticas, las varianzas poblacionales exactas no están disponibles, pero se asume que ambas poblaciones presentan una dispersión idéntica, es decir, homocedasticidad ( ).

Para no estimar por separado dos varianzas que en teoría coinciden, se agrupan ambas muestras en una sola medida denominada varianza muestral ponderada ( ): La variable tipificada resultante adopta una distribución t de Student cuyos grados de libertad surgen de sumar las observaciones de ambos grupos y restar dos restricciones muestrales: n = x 60 n = y 70 = x ˉ 6.500 = y ˉ 5.950 σ = x 2 1.500 σ = y 2 1.870 α = 0,05 z = 0,025 1,96 Calcular la diferencia muestral central: 1 x ˉ = y ˉ 6.500 5.950 = 550 Calcular la desviación típica del estimador combinando las varianzas conocidas: 2 = + 60 1.500 70 1.870 = 25 + 26,714 51,714 7,191 Multiplicar por el cuantil normal: .

3 1,96 × 7,191 14,09 Determinar los límites: 4 550 ± 14,09 (535,91 ; 564,09) σ = x 2 σ = y 2 σ2 S p 2 S = p 2 n + n 2 x y (n 1)S + (n 1)S x x 2 y y 2 Estimación por Intervalos de Confianza - Estadística II 20 A partir de esta distribución, el intervalo con nivel de confianza toma la siguiente estructura analítica: EJEMPLO Ejemplo 4.6: Rendimiento de dos máquinas industriales. El responsable de una planta analiza la producción diaria de dos maquinarias en sendas muestras de y jornadas. Las producciones se suponen normales y con idéntica dispersión poblacional. a) Estimaciones puntuales: Máquina A: piezas/día y piezas/día. Máquina B: piezas/día y piezas/día.

b) Intervalo al 95 %: Los grados de libertad son . Para un nivel de significación , la tabla proporciona . Se halla en primer lugar la varianza ponderada combinada: Calculando los extremos alrededor de la diferencia muestral : Resultando el intervalo definitivo (-12,72 \; ; \; 14,84). c) Margen o error de estimación: El término de tolerancia equivale a piezas diarias. d) Evaluación de igualdad de producciones: La hipótesis de que las dos maquinarias fabrican igual volumen medio implica . Al quedar el 0 integrado dentro del intervalo (-12,72 a 14,84), la suposición de rendimientos idénticos es totalmente plausible.

No obstante, al sustentarse en muestras reducidas ( ), el intervalo resultante posee una amplitud elevada, por lo que conviene elevar el tamaño muestral para ganar precisión. COMPRUEBA 22 ¿Por qué la varianza ponderada divide entre nx + ny - 2 y no entre nx + ny?

S + p 2 (n x 1 n y 1 ) ( ) (μ μ ) x ˉ y ˉ x y t (n +n 2) x y 1 α P ( ) t < μ μ < ( ) + t = ( x ˉ y ˉ α/2 S + p 2 ( n x 1 n y 1 ) x y x ˉ y ˉ α/2 S + p 2 ( n x 1 n y 1 )) 1 α n = x 5 n = y 5 = x ˉ 47,2 S = x 6,16 = y ˉ 46,14 S = y 11,86 5 + 5 2 = 8 α = 0,05 t = 8; 0,025 2,306 S = p 2 = 5 + 5 2 (5 1)(6,16 ) + (5 1)(11,86 ) 2 2 = 8 4(37,946) + 4(140,66) 89,3 47,2 46,14 = 1,06 1,06 ± 2,306 = 89,3 + ( 5 1 5 1 ) 1,06 ± 2,306 = 35,72 1,06 ± 13,78 e = 2,306 = 89,3 + (5 1 5 1 ) 13,78 μ x μ = y 0 n = 5 Estimación por Intervalos de Confianza - Estadística II 21 Escenario 3: Varianzas poblacionales desconocidas y distintas (heterocedasticidad) Cuando las dispersiones de ambas poblaciones no pueden suponerse semejantes ( ) y se desconocen por completo, el estadístico no admite una distribución paramétrica exacta simple.

En esta situación se utiliza la aproximación de grados de libertad de Welch-Satterthwaite. El estadístico que se forma preserva cada varianza cuasimuestral dividida por su respectivo tamaño de muestra en el denominador: Los grados de libertad efectivos designados por la letra griega se calculan mediante el siguiente cociente ponderado: Como arroja habitualmente un valor con decimales, por convención conservadora se selecciona el entero anterior más cercano (truncamiento hacia abajo).

Tras fijar , los límites del intervalo se formulan del siguiente modo: Condición sobre varianzas Estadístico empleado Distribución de referencia Error estándar del estimador Conocidas ( ) Z estandarizado Desconocidas pero iguales ( ) t con varianza combinada Desconocidas y distintas ( ) t con varianzas separadas ERROR FRECUENTE Un error muy extendido al calcular la varianza ponderada consiste en promediar directamente las desviaciones estándar en lugar de sus cuadrados ( y ), o calcular el intervalo del caso 2 aplicando una normal estándar en vez de la distribución cuando los tamaños muestrales son reducidos.

Para evitarlo, asegúrate siempre de elevar las desviaciones al cuadrado antes de ponderar por los grados de libertad de cada muestra.

σ = x 2 σ y 2 + n x S x 2 n y S y 2 ( ) (μ μ ) x ˉ y ˉ x y t γ γ γ = + n 1 x (S /n ) x 2 x 2 n 1 y (S /n ) y 2 y 2 + (n x S x 2 n y S y 2 ) 2 γ γ P ( ) t < μ μ < ( ) + t = ( x ˉ y ˉ (γ)α/2 + n x S x 2 n y S y 2 x y x ˉ y ˉ (γ)α/2 + n x S x 2 n y S y 2 ) 1 α σ , σ x 2 y 2 N(0, 1) + n x σ x 2 n y σ y 2 σ = x 2 σ y 2 t (n +n 2) x y S + p 2 (n x 1 n y 1 ) σ = x 2 σ y 2 t (γ) + n x S x 2 n y S y 2 S p 2 S x 2 S y 2 t (n +n 2) x y Estimación por Intervalos de Confianza - Estadística II 22 Interpretación del valor cero en la diferencia de medias El intervalo para funciona en la práctica como una regla directa para comparar el desempeño de dos poblaciones: Si el intervalo contiene el valor 0: El resultado no descarta la compatibilidad con una diferencia nula.

Se asume que no existe evidencia estadística concluyente para declarar desiguales ambas medias poblacionales al nivel fijado. Si ambos límites son positivos: Existe evidencia fiable de que la primera población presenta un promedio significativamente más elevado ( ). Si ambos límites son negativos: Se dictamina con la confianza indicada que la segunda media es cuantitativamente superior ( ). COMPRUEBA 23 Si un intervalo al 95 % para μ_x - μ_y es (-3,5 ; -0,8), ¿qué conclusión práctica se deduce sobre las poblaciones? IDEAS CLAVE La selección del estadístico pivote para contrastar dos medias poblacionales depende exclusivamente del grado de conocimiento sobre las varianzas de partida.

Bajo varianzas poblacionales conocidas se recurre a la normal estándar con varianza . Bajo varianzas desconocidas pero idénticas se emplea la varianza ponderada y una t de Student con grados de libertad. Con varianzas desiguales y desconocidas se aplican los grados de libertad reducidos mediante la fórmula de Welch-Satterthwaite. La presencia del valor cero en el interior del intervalo expresa que no existe evidencia empírica suficiente para descartar la igualdad de medias entre ambas poblaciones. COMPRUEBA LO QUE HAS APRENDIDO 24. ¿Cuál es la expresión analítica de la varianza ponderada en muestras homocedásticas? 25.

¿Qué criterio se sigue para ajustar el valor decimal obtenido al calcular gamma en muestras heterocedásticas? μ x μ y μ > x μ y μ < x μ y + n x σ x 2 n y σ y 2 S p 2 n + x n y 2 γ S p 2 Estimación por Intervalos de Confianza - Estadística II 23 Test Rodea la respuesta correcta. Las soluciones están al final. 26. ¿Qué distribución sigue la diferencia muestral estandarizada si se conocen ambas varianzas poblacionales? 27. En el caso homocedástico con nx=5 y ny=5, ¿cuántos grados de libertad tiene la t de Student? 28. ¿Qué implica que el intervalo de confianza al 95 % para μ_x - μ_y incluya el cero? 29. ¿Cuándo debe aplicarse el cálculo de grados de libertad gamma de Welch-Satterthwaite?

4 Intervalos de Confianza para la Varianza y Desviación Típica Poblacional AL ACABAR SABRÁS Deducir el intervalo de confianza para la varianza poblacional mediante la inversión de desigualdades. Ubicar correctamente los cuantiles asimétricos de Chi-cuadrado en los denominadores del intervalo. Calcular e interpretar el intervalo de confianza para la desviación típica poblacional en problemas prácticos. Distribución t de Student con nx+ny-2 g.l. a) Distribución normal tipificada N(0,1) b) Distribución Chi-cuadrado ponderada c) Distribución t de Student con gamma g.l.

d) 4 grados de libertad a) 10 grados de libertad b) 9 grados de libertad c) 8 grados de libertad d) La varianza ponderada es exactamente nula a) Ambas medias son necesariamente distintas b) El tamaño de la muestra es erróneo c) Es admisible asumir que las medias son iguales d) Con muestras dependientes apareadas a) Con varianzas poblacionales perfectamente conocidas b) Con varianzas desconocidas y no iguales c) Con varianzas desconocidas e iguales d) Estimación por Intervalos de Confianza - Estadística II 24 PIÉNSALO ANTES DE LEER 30 ¿Por qué no se puede construir el intervalo para la varianza sumando y restando un margen de error simétrico?

Distribución muestral para la varianza en poblaciones normales Para estimar la dispersión de una variable aleatoria normal mediante un intervalo de confianza (véase «Fundamentos de la Estimación por Intervalos y Concepto de Confianza»), no se utiliza directamente la distribución de la varianza muestral . En su lugar, se emplea una transformación que relaciona dicha varianza muestral con el parámetro poblacional desconocido .

ESTADÍSTICO PIVOTE PARA LA VARIANZA A partir de una muestra aleatoria simple de tamaño procedente de una distribución normal, el cociente escalado entre la cuasivarianza muestral y la varianza poblacional sigue una distribución Chi-cuadrado con n - 1 grados de libertad: A diferencia del modelo normal o de la distribución t de Student (véase «Intervalos de Confianza para la Media Poblacional»), la curva de la distribución Chi-cuadrado no es simétrica respecto al origen ni admite valores negativos. Toma valores estrictamente positivos y presenta una notable asimetría hacia la derecha. Gráfica de la distribución Chi-cuadrado con región central y cuantiles críticos asimétricos.

S2 σ2 n σ2 (n 1)S2 χ (n 1) 2 Estimación por Intervalos de Confianza - Estadística II 25 Para construir una región central que encierre una probabilidad igual al nivel de confianza , se reparte el nivel de significación de manera equitativa entre ambas colas, asignando una probabilidad de a cada extremo. Esto define dos valores críticos distintos: Valor crítico inferior ( ): punto que acumula un área de en la cola izquierda. Valor crítico superior ( ): punto que deja un área de en la cola derecha.

Por tanto, el estadístico muestral queda acotado inicialmente por la siguiente probabilidad: COMPRUEBA 31 ¿Por qué no es posible calcular los extremos del intervalo para la varianza sumando y restando un margen de error a la estimación puntual? Deducción matemática e inversión de desigualdades Para aislar el parámetro en el centro de la doble desigualdad, es necesario realizar operaciones algebraicas rigurosas. La posición de en el denominador exige invertir los términos, lo cual altera el sentido de las inecuaciones.

El proceso formal de despeje consta de tres pasos: 1 α α α/2 χ (n 1;I) 2 α/2 χ (n 1;S) 2 α/2 P χ < < χ = ( (n 1;I) 2 σ2 (n 1)S2 (n 1;S) 2 ) 1 α σ2 σ2 División por el numerador común: se dividen los tres miembros de la desigualdad entre la cantidad estrictamente positiva : 1 (n 1)S2 P < < = ( (n 1)S2 χ (n 1;I) 2 σ2 1 (n 1)S2 χ (n 1;S) 2 ) 1 α Inversión de las fracciones: al tomar el inverso multiplicativo de términos estrictamente positivos, el sentido de las desigualdades se invierte obligatoriamente ( ): 2 a < b 1/a > 1/b P > > = ( χ (n 1;I) 2 (n 1)S2 1 σ2 χ (n 1;S) 2 (n 1)S2 ) 1 α Reordenación en sentido creciente: se reescribe la desigualdad de menor a mayor para expresar el intervalo de confianza en su orden natural estándar: 3 P < σ < = ( χ (n 1;S) 2 (n 1)S2 2 χ (n 1;I) 2 (n 1)S2 ) 1 α Estimación por Intervalos de Confianza - Estadística II 26 INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA VARIANZA Y LA DESVIACIÓN TÍPICA El intervalo de confianza para la varianza poblacional al nivel viene dado por: De forma análoga, el intervalo para la desviación típica poblacional se obtiene aplicando la raíz cuadrada a ambos extremos: PROCESO Despeje algebraico del intervalo para la varianza 1 Plantea miento inicial Estadístico pivote acotado entre cuanti les Chi-cuadrado 2 División por el numerador Se divide entre (n - 1)S² quedando 1/σ² en el centro 3 Inversión de inecuaciones Se invierten las frac ciones cambiando el sentido de las desigualdades 4 Reordena ción creciente El cuantil superior pasa al denominador del límite inferior ERROR FRECUENTE Un error recurrente consiste en situar el cuantil menor en el denominador del límite inferior.

Como este valor es más pequeño que , al dividir entre él produce un cociente mayor. Por regla de proporcionalidad inversa, el cuantil superior debe ir siempre en el límite inferior del intervalo para que el extremo izquierdo sea numéricamente inferior al extremo derecho. COMPRUEBA 32 Si el cuantil Chi-cuadrado superior es 39,36 y el inferior es 12,40, ¿cuál de ellos se coloca en el denominador del límite izquierdo del intervalo? Resolución paso a paso: Ejemplo 4.7 A continuación se analiza la variabilidad de la rentabilidad anual de una cartera de activos a partir de los datos muestrales correspondientes a la sociedad inversora INVEST S.A.

σ2 1 α ; [ χ (n 1;S) 2 (n 1)S2 χ (n 1;I) 2 (n 1)S2 ] σ ; [ χ (n 1;S) 2 (n 1)S2 χ (n 1;I) 2 (n 1)S2 ] χ (n 1;I) 2 χ (n 1;S) 2 Estimación por Intervalos de Confianza - Estadística II 27 EJEMPLO 4.7: DISPERSIÓN DE RENTABILIDADES FINANCIERAS Un analista financiero busca examinar la dispersión del rendimiento de los títulos gestionados por la sociedad INVEST S.A. Para ello, toma una muestra aleatoria de n = 25 productos financieros, obteniendo una desviación típica muestral de S = 0,047 (4,7 %). Suponiendo que la rentabilidad sigue una distribución normal, se desea estimar el intervalo de confianza al 95 % para la desviación típica poblacional .

Paso 1: Identificación de parámetros y cuantiles Tamaño muestral: , con grados de libertad: . Nivel de confianza: ( ). Valores críticos de la distribución : y . Paso 2: Cálculo del intervalo para la varianza poblacional Se sustituyen los datos en la expresión analítica correspondiente: Evaluando numéricamente cada término: Paso 3: Cálculo del intervalo para la desviación típica Se aplica la raíz cuadrada sobre los extremos del intervalo de la varianza: Conclusión: Con un nivel de confianza del 95 %, se estima que la dispersión (desviación típica) en la rentabilidad de los activos financieros gestionados oscila entre el 3,67 % y el 6,54 %.

Parámetro estimado Límite inferior del intervalo Límite superior del intervalo Expresión numérica (Ejemplo 4.7) Varianza ( ) Desviación típica ( ) COMPRUEBA 33 ¿Cómo se traslada el resultado obtenido para la varianza poblacional a la desviación típica poblacional?

σ n = 25 n 1 = 24 1 α = 0,95 α = 0,05 χ (24) 2 χ = (24;I) 2 12,40 χ = (24;S) 2 39,36 P < σ < = ( 39,36 24 (0,047)2 2 12,40 24 (0,047)2 ) 0,95 P (0,001347 < σ < 2 0,00428) = 0,95 0,001347 0,0367 y 0,00428 0,0654 P (0,0367 < σ < 0,0654) = 0,95 σ2 χ (n 1;S) 2 (n 1)S2 χ (n 1;I) 2 (n 1)S2 (0,001347 ; 0,00428) σ χ (n 1;S) 2 (n 1)S2 χ (n 1;I) 2 (n 1)S2 (0,0367 ; 0,0654) Estimación por Intervalos de Confianza - Estadística II 28 IDEAS CLAVE La estimación por intervalos para la varianza se fundamenta en el estadístico , que sigue una distribución Chi-cuadrado con grados de libertad.

La curva Chi-cuadrado es asimétrica y no negativa, por lo que requiere cuantiles críticos específicos e independientes para la cola inferior y para la cola superior. Al invertir algebraicamente las inecuaciones para despejar , el valor crítico mayor pasa a formar parte del denominador del límite inferior. El intervalo para la desviación típica poblacional se obtiene aplicando la raíz cuadrada a ambos extremos del intervalo de la varianza. COMPRUEBA LO QUE HAS APRENDIDO 34. ¿Qué distribución teórica describe el comportamiento del estadístico bajo el supuesto de normalidad? 35. ¿Por qué el cuantil crítico de la cola superior se ubica en el denominador del límite inferior del intervalo?

Test Rodea la respuesta correcta. Las soluciones están al final. 36. ¿Qué distribución sigue el estadístico utilizado para acotar la varianza poblacional en poblaciones normales? 37. ¿Cómo se estructuran los límites del intervalo de confianza para la varianza poblacional? 38. ¿Cómo se obtiene el intervalo de confianza para la desviación típica a partir del de la varianza? 39. En el Ejemplo 4.7 con n = 25 y S = 0,047, ¿cuál es el intervalo al 95 % para la desviación típica?

(n 1)S /σ 2 2 n 1 σ2 χ (n 1;S) 2 σ (n 1)S /σ 2 2 Chi-cuadrado con n - 1 grados a) t de Student con n - 1 grados b) Snedecor con n grados c) Normal estándar z d) Cuantil superior en límite inferior a) Mismo cuantil con signo opuesto b) Suma y resta de un margen c) Cuantil inferior en límite inferior d) Dividiendo entre la media muestral a) Multiplicando por los grados de libertad b) Calculando la raíz de cada límite c) Elevando al cuadrado ambos extremos d) (0,0367 ; 0,0654) a) (0,0470 ; 0,0950) b) (0,001347 ; 0,00428) c) (0,0124 ; 0,0393) d) Estimación por Intervalos de Confianza - Estadística II 29 5 Intervalos de Confianza para Proporciones y Diferencia de Proporciones AL ACABAR SABRÁS Construir intervalos de confianza para una proporción poblacional a partir de la aproximación asintótica normal.

Calcular e interpretar intervalos de confianza para la diferencia de proporciones en muestras independientes. Deducir el grado de confianza asociado a un intervalo conociendo sus límites numéricos y el error estándar. PIÉNSALO ANTES DE LEER 40 ¿Por qué es posible emplear la distribución normal para una variable que solo toma dos respuestas posibles como sí o no? Inferencia sobre una Proporción Poblacional En múltiples situaciones del ámbito empresarial, económico y social, el objeto de estudio consiste en determinar qué fracción de una población posee un atributo concreto.

Este planteamiento surge de variables cualitativas dicotómicas que se modelizan a partir de sucesos independientes de Bernoulli, donde cada observación solo admite dos desenlaces posibles: éxito (presentar el atributo) o fracaso (no presentarlo). Son ejemplos habituales evaluar si una empresa es solvente o insolvente, si exporta al extranjero o no, si cumple los objetivos fijados o pertenece a un determinado sector de actividad. De igual modo, en estudios sobre población universitaria o laboral interesa conocer si una persona trabaja o está desempleada, o si dispone de determinados medios financieros de pago.

DEFINICIÓN La proporción muestral representa el cociente entre el número de observaciones que poseen la característica analizada ( ) y el volumen total de elementos observados ( ): donde se comporta como una variable binomial con parámetros y . Cuando el tamaño de la muestra es suficientemente grande ( ), el Teorema Central del Límite asegura que la distribución del estimador sigue de manera asintótica una distribución normal.

Sus parámetros característicos son la media poblacional y la desviación estándar asociada: p ^ X n = p ^ n X X n p n 30 p ^ p p ^ N p, ( n p(1 p) ) Estimación por Intervalos de Confianza - Estadística II 30 Definiendo , la variable tipificada resultante adopta la estructura clásica de la normal estándar : Para construir el intervalo de estimación con un nivel de confianza (véase «Fundamentos de la Estimación por Intervalos y Concepto de Confianza»), se plantea la condición de probabilidad simétrica: Al despejar el parámetro poblacional en el centro de las desigualdades, los extremos teóricos quedan delimitados por: Como el valor real de es desconocido en el error estándar, se reemplaza por el propio estimador puntual (y consecuentemente ).

La expresión definitiva del intervalo de confianza para la proporción poblacional se calcula mediante: Este intervalo se encuentra estrictamente centrado en la proporción calculada sobre la muestra. COMPRUEBA 41 ¿Por qué se sustituye el parámetro p por p̂ dentro de la raíz del error estándar? Aplicación Práctica: Renovación de un Producto Financiero (Ejemplo 4.8) La dirección de una oficina bancaria desea conocer el nivel de fidelidad de sus clientes respecto a un producto de inversión. Se toma una muestra de usuarios que contrataron el activo y se observa que 220 de ellos lo renovaron al llegar su fecha de vencimiento.

Se busca determinar el intervalo de confianza al 90 % para la proporción poblacional de renovación. q = 1 p N(0, 1) Z = n pq p p ^ N(0, 1) 1 α P z < < z = ( α/2 n pq p p ^ α/2) 1 α p P z < p < + z = (p ^ α/2 n pq p ^ α/2 n pq ) 1 α p p ^ = q ^ 1 p ^ ± p ^ z α/2 n p ^q ^ n = 500 Identificación de parámetros y estimación muestral: El tamaño de la muestra es y el número de renovaciones es . 1 n = 500 X = 220 = p ^ = 500 220 0,44 = q ^ 1 0,44 = 0,56 Determinación del cuantil crítico: Para un nivel de confianza del 90 % ( , por lo que ), el valor crítico correspondiente en las tablas normales es z_{0,05} = 1,64.

2 1 α = 0,90 α = 0,10 Cálculo del error estándar estimado: 3 EE = = 500 0,44 0,56 500 0,2464 0,0222 Estimación por Intervalos de Confianza - Estadística II 31 Con una confianza del 90 %, la proporción de usuarios que renuevan el activo se ubica entre el 40,36 % y el 47,64 %. ERROR FRECUENTE Aplicar las fórmulas basadas en la distribución normal tipificada cuando el tamaño de la muestra no alcanza el criterio asintótico ( ). En proporciones, la validez del método requiere muestras de dimensión suficiente para garantizar la aplicabilidad del Teorema Central del Límite.

COMPRUEBA 42 Si en el Ejemplo 4.8 se exigiera un nivel de confianza del 95 % en lugar del 90 %, ¿cómo afectaría esto a la amplitud del intervalo? Comparación de Dos Proporciones Independientes Al contrastar dos colectivos o tratamientos independientes (denominados e ), se extrae una muestra aleatoria de cada uno con tamaños y respectivamente. En cada grupo se evalúa la proporción de individuos que poseen una característica particular, generando los estimadores puntuales y .

Siempre que las dos muestras cuenten con al menos 30 observaciones ( y ), la variable aleatoria definida por la diferencia de proporciones muestrales sigue una distribución normal aproximada: La tipificación de la diferencia conduce a la siguiente expresión en el modelo : Dado que las varianzas poblacionales exactas no están disponibles, se sustituyen por sus estimaciones muestrales, formulando el intervalo de confianza bilateral al nivel : Construcción de los límites del intervalo: Obteniéndose el intervalo numérico (0,4036 \; ; \; 0,4764).

4 0,44 ± 1,64 0,0222 = 0,44 ± 0,0364 z n < 30 X Y n x n y p ^x p ^y n x 30 n y 30 ( p ^x ) p ^y N p p , ( x y + n x p q x x n y p q y y ) N(0, 1) Z = + n x p q x x n y p q y y ( ) (p p ) p ^x p ^y x y N(0, 1) 1 α ( p ^x ) ± p ^y z α/2 + n x p ^xq ^x n y p ^yq ^y Estimación por Intervalos de Confianza - Estadística II 32 PROCESO Procedimiento de estimación de proporciones Parámetro estimado Estimador puntual Error estándar estimado Distribución de referencia Proporción poblacional ( ) con Diferencia de proporciones ( ) con Resolución de Diferencia y Deducción Inversa del Grado de Confianza (Ejemplo 4.9) Una multinacional analiza dos modelos de organización del trabajo para evaluar el absentismo y el rendimiento: Modelo tradicional (grupo Y): organizativa de perfil fordista con alta supervisión.

Muestra de trabajadores, de los cuales 75 declaran estar motivados. Modelo nuevo (grupo X): basado en autonomía y polivalencia operativa. Muestra de trabajadores, de los cuales 96 afirman sentirse motivados. Apartado a: Intervalo al 99 % de confianza ( ) Muestreo dicotómico Extracción de n observaciones independientes de tipo Bernoulli. 1 Estimación puntual Cálculo de la proporción muestral como cociente X/n. 2 Condición asintótica Verificación de tamaño muestral grande con n 30. 3 Error estándar Sustitución de parámetros desconocidos por estimaciones muestrales. 4 Intervalo bilateral Ponderación por valor crítico z según la confianza deseada.

5 p = p ^ n X n p ^q ^ N(0, 1) n 30 p x p y p ^x p ^y + n x p ^xq ^x n y p ^yq ^y N(0, 1) n , n x y 30 n = y 250 n = x 150 α = 0,01 Cálculo de proporciones muestrales: La diferencia muestral observada es . 1 = p ^x = 150 96 0,64 = q ^x 0,36 = p ^y = 250 75 0,30 = q ^y 0,70 p ^x = p ^y 0,64 0,30 = 0,34 Estimación por Intervalos de Confianza - Estadística II 33 PARA RECORDARLO Como los extremos del intervalo para la diferencia de proporciones son ambos positivos (0,2142 y 0,4658), se deduce con un 99 % de confianza que la proporción de trabajadores motivados con el nuevo método organizativo supera a la del método tradicional.

Apartado b: Deducción del nivel de confianza a partir de extremos conocidos Bajo las mismas condiciones muestrales, se informa de que un nuevo intervalo calculado es . Para hallar el grado de confianza asociado: COMPRUEBA 43 ¿Cómo se puede verificar la coherencia del procedimiento inverso empleando el límite inferior del intervalo? Valor crítico y error de la estimación: Para un nivel del 99 %, el valor crítico es z_{0,005} = 2,58. 2 EE = = + 150 0,64 0,36 250 0,30 0,70 = 0,001536 + 0,00084 0,002376 0,04874 Obtención de extremos numéricos: El intervalo resultante es (0,2142 \; ; \; 0,4658).

3 0,34 ± 2,58 0,04874 = 0,34 ± 0,1258 (0,2446 ; 0,4356) Planteamiento a partir del límite superior: 1 0,4356 = ( p ^x ) + p ^y z α/2 EE 0,4356 = 0,34 + z α/2 0,04874 Aislamiento de la constante crítica : 2 z α/2 z = α/2 = 0,04874 0,4356 0,34 = 0,04874 0,0956 1,96 Identificación del nivel de confianza: El valor crítico corresponde en la tabla normal a . Por consiguiente, y el grado de confianza es 1 - = 0,95 (95 %). 3 z = α/2 1,96 α/2 = 0,025 α = 0,05 α Estimación por Intervalos de Confianza - Estadística II 34 IDEAS CLAVE La proporción muestral modeliza variables dicotómicas mediante repeticiones independientes de experimentos de Bernoulli.

El Teorema Central del Límite permite emplear la distribución normal tipificada cuando el tamaño muestral cumple . Al no conocerse la proporción poblacional dentro del error estándar, se sustituye por la estimación muestral , dando lugar a un error estándar estimado de . Para dos colectivos independientes, la varianza de la diferencia de proporciones muestrales equivale a la suma de las varianzas muestrales individuales. A partir de los extremos numéricos de un intervalo es posible recuperar el valor crítico igualando el margen de error y despejando el nivel de confianza . COMPRUEBA LO QUE HAS APRENDIDO 44.

¿Qué condición fundamental deben cumplir las muestras para validar la aproximación asintótica normal en la estimación de proporciones? 45. En el cálculo de la diferencia de proporciones, ¿por qué se suman los términos de varianza en el denominador? Test Rodea la respuesta correcta. Las soluciones están al final. 46. ¿Cuál es la expresión del error estándar estimado para una proporción muestral p̂? 47. ¿Qué valor crítico z se utiliza en la distribución normal para un nivel de confianza del 99 %? 48. Si el límite superior de un intervalo de diferencia de proporciones es 0,4356 y el centro es 0,34, con EE = 0,04874, ¿cuánto vale z? 49.

¿Qué indica que el intervalo para px - py contenga exclusivamente valores positivos? = p ^ X/n N(0, 1) n 30 p ^ ( )/n p ^q ^ z α/2 1 α (p̂ · q̂) / n a) (p̂ · q̂) / n b) (p̂ / n) · q̂ c) ((p̂ · q̂) / n) d) 2,58 a) 1,64 b) 2,33 c) 1,96 d) 1,64 a) 1,96 b) 1,28 c) 2,58 d) Que el tamaño muestral fue insuficiente a) Que la proporción px es superior a py b) Que ambas poblaciones son completamente idénticas c) Que la proporción py es superior a px d) Estimación por Intervalos de Confianza - Estadística II 35 6 Determinación y Control del Tamaño Muestral AL ACABAR SABRÁS Calcular el tamaño muestral necesario para estimar medias y proporciones en poblaciones finitas e infinitas.

Aplicar el método de máxima holgura en el cálculo de muestras cuando la proporción es desconocida. Determinar el tamaño de muestra con varianza desconocida mediante muestras piloto y la distribución t de Student. PIÉNSALO ANTES DE LEER 50 ¿Por qué para reducir a la mitad el margen de error de un estudio estadístico no basta con duplicar el número de encuestas? Mecanismos de control del intervalo de confianza Al construir un intervalo de confianza para estimar parámetros poblacionales, el objetivo analítico reside en lograr la máxima precisión posible sin sacrificar la fiabilidad.

La precisión se traduce de forma directa en la amplitud total del intervalo: cuanto más estrecho sea, menor será la incertidumbre en torno al parámetro. Existen dos vías complementarias para incidir sobre esta amplitud: Ajuste del nivel de confianza: Si se disminuye el nivel de confianza , el valor crítico asociado desciende y la amplitud se…