Apuntes de Contrastes Paramétricos | Estadística II UB

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APUNTES ESTADÍSTICA II Grado en Administración y Dirección de Empresas Universidad de Barcelona AprenAI 2026-2027 Guía completa de contrastes paramétricos para Estadística II de ADE: pruebas para medias, varianzas y proporciones, estadísticos t, Z, chi- cuadrado y F. APREN.AI Índice 1 Fundamentos de la contrastación — Hipótesis, errores y potencia Naturaleza del contraste estadístico Formulación de hipótesis: nula y alternativa Estadístico de prueba, región crítica y puntos críticos Matriz de decisión y tipos de error Compromiso entre riesgos, tamaño muestral y función de potencia Casos ilustrativos de contraste y cálculo de potencia Contrastes sobre una población 2 Media poblacional 1.

Planteamiento de hipótesis para la media poblacional 2. Método 1: Criterio de decisión mediante el estadístico t 3. Método 2: Decisión en la escala directa de la media muestral 4. Método 3: Conexión formal con el intervalo de confianza 5. Método 4: Enfoque probabilístico mediante el valor-p 6.

Contraste de la media con varianza poblacional conocida 3 Varianza poblacional Fundamento del contraste de la varianza poblacional Planteamiento de las hipótesis Estadístico de prueba y distribución en el muestreo Región crítica y asimetría de los cuantiles Ejemplo resuelto: control de variabilidad en envasado 4 Proporción poblacional Marco teórico y formulación de hipótesis Criterios de resolución del contraste Incompatibilidad con el intervalo de confianza clásico Ejemplo práctico resuelto: fuga de depósitos ante intervención estatal Comparación de dos poblaciones 5 Diferencia de medias e igualdad de varianzas Contraste de homocedasticidad mediante el test F de Snedecor Contraste de diferencia de medias independientes con varianzas iguales Aplicación integrada e interpretación de salidas de software 6 Igualdad de proporciones Planteamiento del contraste de dos proporciones independientes Estimador de la proporción común y estadístico de contraste Apuntes de Contrastes Paramétricos " Estadística II UB 1 Criterios de decisión para el estadístico Z Ejemplo resuelto: opinión sobre gestión gubernamental según nivel educativo Cuadro recapitulativo de contrastes paramétricos 7 Formulario Fundamentos, errores y potencia Contrastes sobre la media de una población Contrastes sobre la varianza de una población Contrastes sobre una proporción de una población Comparación de dos poblaciones independientes Errores típicos en examen Soluciones de las preguntas de repaso Estos apuntes pueden contener errores u omisiones.

Son un material de apoyo y no sustituyen al temario oficial ni al profesorado: contrasta la información importante. Apuntes de Contrastes Paramétricos " Estadística II UB 2 1 Fundamentos de la contrastación — Hipótesis, errores y potencia AL ACABAR SABRÁS Diferenciar los objetivos de la contrastación de hipótesis frente a la estimación paramétrica. Formular rigurosamente hipótesis nulas y alternativas clasificando contrastes bilaterales y unilaterales. Calcular e interpretar las probabilidades de error tipo I, error tipo II y la potencia de una prueba estadística. Analizar el efecto del tamaño muestral y del nivel de significación sobre la capacidad resolutiva del contraste.

PIÉNSALO ANTES DE LEER 1 ¿Por qué un resultado en una prueba estadística que no contradice la conjetura inicial no demuestra matemáticamente que sea verdadera? En la inferencia estadística, la contrastación de hipótesis aborda el problema de desconocer las características poblacionales desde una postura activa. A diferencia de la estimación, donde se busca calcular un parámetro desconocido mediante intervalos o estimadores puntuales, en un contraste estadístico el investigador formula una conjetura inicial previa y la somete al veredicto de la información empírica obtenida de una muestra aleatoria.

Apuntes de Contrastes Paramétricos " Estadística II UB 3 ESQUEMA Estructura del tema de contrastes paramétricos Naturaleza del contraste estadístico Un contraste de hipótesis es un procedimiento que compara probabilísticamente la concordancia entre los datos de una muestra y una afirmación teórica previa. Si la discrepancia observada entre la hipótesis y la evidencia muestral es sustancial, se rechaza la afirmación de partida. Por el contrario, si las diferencias son leves, se atribuyen a la simple variabilidad aleatoria del muestreo y la conjetura inicial se mantiene vigente por falta de pruebas concluyentes en su contra.

Dentro de la inferencia existen pruebas de naturaleza no paramétrica y de carácter paramétrico. Los contrastes paramétricos evalúan parámetros desconocidos de distribuciones cuya familia funcional es conocida, como la media ( ), la varianza ( ) o una proporción dicotómica ( ). DEFINICIÓN Un contraste estadístico es una técnica de inferencia que evalúa si la información empírica contenida en una muestra aleatoria aporta evidencia suficiente para contradecir una afirmación previa formulada sobre una población.

Formulación de hipótesis: nula y alternativa Todo procedimiento de contraste requiere plantear de forma explícita un par de afirmaciones contrapuestas y exhaustivas: Hipótesis nula ( ): Es la conjetura que se somete a prueba directa contra la muestra y se asume inicialmente como verdadera.

Suele encarnar la situación de normalidad o continuidad (el status Fundamentos metodológicos Hipótesis, errores alfa y beta, potencia Contrastes de una población Pruebas sobre media, varianza y proporción Media poblacional Estadísticos Z y t según varianza Varianza poblacional Estadístico chi-cuadrado Proporción poblacional Aproximación normal asintótica Comparación de dos poblaciones Diferencia de parámetros entre poblaciones Dos medias y homocedasticidad Pruebas t y estadístico F Dos proporciones Comparación de frecuencias relativas μ σ2 p H 0 Apuntes de Contrastes Paramétricos " Estadística II UB 4 quo).

Para operar analíticamente, la metodología exige que sea una hipótesis simple con valor único fijado para el parámetro (por ejemplo, ). Solo se descartará si la evidencia en su contra resulta estadísticamente abrumadora. Hipótesis alternativa ( o ): Recoge la conjetura o sospecha de cambio del investigador frente a la situación previa. No se contrasta de manera directa; se adopta exclusivamente cuando los datos fuerzan el rechazo de la hipótesis nula. Suele ser una conjetura compuesta, pues abarca un rango continuo de valores posibles. ERROR FRECUENTE Nunca debe concluirse que «se acepta ».

La inferencia no demuestra que la hipótesis nula sea una verdad absoluta, sino que la muestra no aporta indicios bastantes para descartarla. La expresión correcta e inexcusable en los exámenes es «no rechazar ».

Según la orientación definida en la hipótesis alternativa, el contraste adopta una de tres tipologías estructurales: Tipo de contraste Formulación analítica Disposición de la zona de rechazo Bilateral (dos colas) frente a Repartida equitativamente entre ambos extremos de la distribución Unilateral superior (cola derecha) frente a Concentrada únicamente en el extremo superior Unilateral inferior (cola izquierda) frente a Concentrada únicamente en el extremo inferior COMPRUEBA 2 ¿Por qué la hipótesis nula debe formularse como una igualdad simple en los contrastes paramétricos?

Estadístico de prueba, región crítica y puntos críticos Para tomar una decisión cuantitativa, se define un estadístico de prueba, que es una función de las variables muestrales cuya distribución en el muestreo queda perfectamente especificada asumiendo que es cierta.

Antes de recopilar la muestra, el espacio muestral del estadístico se divide en dos zonas complementarias mediante uno o dos puntos críticos: En las pruebas bilaterales, la región crítica se divide en dos colas simétricas con un área de probabilidad de cada una, acotadas por un valor crítico inferior y otro superior: H : 0 μ = μ 0 H 1 H a H 0 H 0 H : 0 θ = θ 0 H : 1 θ = θ 0 H : 0 θ = θ 0 H : 1 θ > θ 0 H : 0 θ = θ 0 H : 1 θ < θ 0 H 0 Región de no rechazo: Conjunto de valores del estadístico compatibles con , cuya probabilidad acumulada bajo el supuesto de certeza nula equivale a . 1 H 0 1 α Región crítica o de rechazo: Rango de valores extremos e improbables si fuese verídica.

Si el estadístico muestral cae dentro de estos límites, se descarta formalmente la hipótesis nula. 2 H 0 α/2 Apuntes de Contrastes Paramétricos " Estadística II UB 5 Esquema de distribución bilateral con región crítica dividida en ambas colas. Por su parte, cuando la hipótesis alternativa indica una dirección exclusiva inferior, el área de rechazo se concentra en el margen izquierdo, acumulando el nivel a partir de un único punto crítico inferior: Gráfica de contraste unilateral con región crítica concentrada en cola inferior.

En el caso simétrico de un contraste unilateral a una cola superior, la región crítica acumula el área de forma exclusiva en el extremo derecho, delimitada por un punto crítico superior. α α Apuntes de Contrastes Paramétricos " Estadística II UB 6 COMPRUEBA 3 ¿En qué se diferencian conceptualmente el punto crítico y la región crítica de una prueba estadística? Matriz de decisión y tipos de error Al tomar una decisión basada en una muestra, el investigador nunca conoce la realidad poblacional de forma definitiva. Por tanto, se asume un riesgo controlado de equivocación.

El cruce entre la decisión adoptada y el estado real de la hipótesis da lugar a una matriz de cuatro desenlaces posibles: Decisión tomada es efectivamente cierta es efectivamente falsa Rechazar Error tipo I Probabilidad = (nivel de significación) Decisión correcta Probabilidad = 1 - (potencia) No rechazar Decisión correcta Probabilidad = (confianza) Error tipo II Probabilidad = El error tipo I consiste en rechazar siendo cierta. Su probabilidad se denomina nivel de significación ( ). Este valor lo fija de antemano el analista antes de observar los datos (el estándar común es del 5 %, aunque se restringe al 1 % si cometer esta equivocación resulta crítico).

Por otro lado, el error tipo II radica en no rechazar siendo falsa, con probabilidad . La probabilidad complementaria, , se define como la potencia del contraste: mide la capacidad empírica de la prueba para detectar que la hipótesis nula es errónea y rechazarla conforme corresponde. Distribuciones de contraste ilustrando solapamiento de regiones alfa, beta y potencia. Compromiso entre riesgos, tamaño muestral y función de potencia Para un tamaño muestral prefijado, es matemáticamente imposible minimizar de forma simultánea y .

Existe un intercambio forzoso: si se exige un más bajo (haciendo más estricta la región de rechazo), los puntos críticos se desplazan hacia los extremos, lo que inevitablemente expande el área de no rechazo bajo la distribución alternativa, restando potencia al contraste. H 0 H 0 H 0 α β H 0 1 α β H 0 α H 0 β 1 β α β α β Apuntes de Contrastes Paramétricos " Estadística II UB 7 El único mecanismo metodológico que permite reducir simultáneamente ambos errores es elevar el tamaño de la muestra. Al aumentar , el error estándar del estadístico disminuye, las curvas de densidad se vuelven más estrechas y se diferencian mejor las distribuciones bajo y bajo .

Cuando la hipótesis alternativa es compuesta, no existe una única distribución alternativa fija. En tales circunstancias, cada valor hipotético factible del parámetro genera un valor de potencia distinto. La relación funcional entre cada parámetro alternativo y su correspondiente probabilidad de rechazo recibe el nombre de función de potencia. COMPRUEBA 4 ¿Qué ocurre con la potencia de una prueba si se reduce el nivel de significación de 0,05 a 0,01 manteniendo la misma muestra? Casos ilustrativos de contraste y cálculo de potencia Caso 1: Contraste discreto exacto (sospecha de moneda trucada) Se evalúa si una moneda está desequilibrada en favor de las caras mediante un modelo Bernoulli .

Se postulan las hipótesis: Se arroja la moneda veces y se define como estadístico de contraste la suma total de caras . Bajo , dicho estadístico sigue una distribución . Si la muestra registra 9 caras, se evalúa la probabilidad acumulada de observar un resultado tan o más extremo: Como una probabilidad próxima al 1 % es altamente improbable bajo una moneda equilibrada, se concluye que la evidencia muestral es incompatible con , rechazándose la hipótesis nula en favor de la hipótesis de que la moneda está cargada. Si la moneda fuese legal, este desenlace correspondería al riesgo de error tipo I (que ocurre en 1 de cada 100 repeticiones de la serie).

Caso 2: Contraste normal unilateral y potencia (visitas a un comercio) Un comercio recibe una media de visitantes diarios con desviación típica conocida . Se contrasta frente a la alternativa simple mediante una muestra de días al nivel . Las distribuciones muestrales de la media son: Al ser unilateral superior, la región crítica acumula el 5 % superior bajo usando el percentil : La regla de decisión dicta rechazar si .

Con este punto crítico, se evalúa el error tipo II ( ) y la potencia calculando el comportamiento bajo : n H 0 H 1 X {0, 1} H : 0 p = 0,5 frente a H : 1 p > 0,5 n = 10 X H 0 Binomial(n = 10; p = 0,5) P X 9 H = ( 0) P (X = 9) + P (X = 10) 0,01 H 0 μ σ = 100 H : 0 μ = 500 H : 1 μ = 550 n = 25 α = 0,05 X ˉ H 0 N 500; = 20 , ( 25 100 ) X ˉ H 1 N 550; 20 ( ) H 0 z = 0,05 1,645 c = μ + 0 z σ = 0,05 X ˉ 500 + 1,645 20 = 500 + 33 = 533 H 0 > X ˉ 533 β H 1 Apuntes de Contrastes Paramétricos " Estadística II UB 8 Si se fijase , el punto crítico aumentaría a , haciendo más difícil rechazar tanto si es cierta como si es falsa, incrementando y perdiendo potencia.

En cambio, si se eleva la muestra a con , la desviación se reduce a y el punto crítico baja a , lo que reduce y eleva la potencia. Caso 3: Región crítica y potencia para una proporción (cuota de mercado) Se evalúa si la penetración de una operadora ha descendido respecto al 25 % de cuota ( frente a ) analizando usuarios con una significación de . La desviación estándar bajo es: Para un contraste unilateral inferior con percentil , el umbral crítico se sitúa en: Se rechazará si la proporción muestral cae por debajo del 19,46 % (por ejemplo, con un 19 % se rechaza; con un 20 % no se puede rechazar).

La potencia de detección se analiza ante distintas realidades: Si la cuota real fuese ( ): Si la cuota real cayese a ( ): Esto demuestra que cuanto mayor es la separación empírica entre el valor nulo original y el parámetro alternativo, mayor resulta la potencia del contraste para rechazar de forma certera. COMPRUEBA 5 En el cálculo de potencia, ¿por qué la probabilidad de rechazo pasa del 50 % al 90,3 % cuando la proporción real pasa de 0,20 a 0,15?

β = P ( X ˉ 533 H ) = 1 P Z = ( 20 533 550 ) P (Z 0,85) = 1 P (Z 0,85) = 1 0,80 = 0,20 Potencia = 1 β = 1 0,20 = 0,80 (80 %) α = 0,01 c = 500 + 2,33 20 = 546,6 H 0 β n = 100 α = 0,05 σ = X ˉ 10 c = 500 + 1,645 10 = 516,45 β H : 0 p = 0,25 H : 1 p < 0,25 n = 100 α = 0,10 H 0 σ = p ^ = 100 0,25 0,75 0,0433 z = 0,10 1,28 c = p 0 z σ = 0,10 p ^ 0,25 1,28 0,0433 = 0,1946 H 0 p = 0,20 σ = p ^ = 0,20 0,80/100 0,04 1 β = P Z ( 0,04 0,1946 0,20 ) P (Z 0) = 0,50 (50 %) p = 0,15 σ = p ^ = 0,15 0,85/100 0,0357 1 β = P Z ( 0,0357 0,1946 0,15 ) P (Z 1,30) = 0,903 (90,3 %) H 0 Apuntes de Contrastes Paramétricos " Estadística II UB 9 IDEAS CLAVE Un contraste estadístico confronta una afirmación a priori con los datos muestrales para tomar una decisión fundamentada.

La hipótesis nula ( ) se asume cierta de partida y requiere formularse como hipótesis simple para determinar su distribución. El error tipo I consiste en rechazar siendo verdadera (probabilidad ), mientras que el error tipo II consiste en no rechazarla siendo falsa (probabilidad ). La potencia de una prueba ( ) representa la probabilidad de rechazar adecuadamente una hipótesis nula falsa. Para una muestra fija existe un arbitraje opuesto entre y ; la única vía para reducir ambos a la vez es incrementar el tamaño muestral. COMPRUEBA LO QUE HAS APRENDIDO 6. ¿Por qué es un error metodológico grave afirmar que «se acepta la hipótesis nula» al concluir una prueba estadística? 7.

¿Cómo se reparte el nivel de significación en la región crítica de un contraste bilateral simétrico? 8. ¿Qué efecto produce sobre los errores y un incremento en el tamaño muestral? Test Rodea la respuesta correcta. Las soluciones están al final. 9. ¿Qué representa el nivel de significación alfa en un contraste? 10. ¿Cómo se define la potencia de un contraste estadístico? 11. ¿Qué ocurre si se reduce alfa manteniendo constante la muestra?

H 0 H 0 α β 1 β α β α α β Confianza asignada a la hipótesis alternativa a) Probabilidad de no rechazar una nula falsa b) Probabilidad de cometer un error tipo I c) Capacidad de detección del contraste estadístico d) El complementario del nivel alfa a) La probabilidad de rechazar una nula falsa b) El área de la región de aceptación c) La probabilidad de no rechazar H0 cierta d) El error beta disminuye de inmediato a) Ambos errores disminuyen a la vez b) El error beta aumenta y pierde potencia c) La potencia del contraste se incrementa d) Apuntes de Contrastes Paramétricos " Estadística II UB 10 12. ¿Cuál es la única forma de reducir alfa y beta simultáneamente?

Cambiar de contraste bilateral a unilateral a) Modificar el parámetro de la hipótesis nula b) Eliminar la región crítica de prueba c) Incrementar el tamaño de la muestra d) Apuntes de Contrastes Paramétricos " Estadística II UB 11 2 Media poblacional AL ACABAR SABRÁS Plantear contrastes de hipótesis bilaterales y unilaterales para la media poblacional. Aplicar los cuatro procedimientos equivalentes de decisión inferencial y comprobar su coincidencia. Calcular e interpretar el valor-p en distribuciones simétricas según la dirección del contraste. Distinguir el empleo de la distribución t de Student y la normal estándar Z según el conocimiento de la varianza.

PIÉNSALO ANTES DE LEER 13 ¿Por qué cuatro métodos aparentemente distintos conducen siempre al mismo resultado en un contraste sobre la media? El contraste de hipótesis sobre la media de una población permite evaluar si un valor de referencia fijado de antemano resulta admisible a la luz de los datos observados en una muestra aleatoria. En esta sección se analiza cómo contrastar dicho parámetro tanto con varianza poblacional desconocida como conocida, integrando las distintas vías formales de resolución que conducen exactamente al mismo veredicto inferencial.

Contrastes sobre una población 2 Media poblacional 3 Varianza poblacional 4 Proporción poblacional Apuntes de Contrastes Paramétricos " Estadística II UB 12 ESQUEMA Estructura del tema: Contrastes de una media 1. Planteamiento de hipótesis para la media poblacional Cuando el valor medio poblacional no se conoce, se contrasta si coincide con un valor concreto fijado de antemano . La hipótesis nula establece siempre la igualdad con este valor base: (véase «Fundamentos de la contrastación — Hipótesis, errores y potencia»). En función de la dirección en la que se sospecha que se aleja el parámetro, surgen tres estructuras formales posibles: Contraste bilateral (dos colas): frente a .

Se rechaza si la media observada difiere notablemente por exceso o por defecto. Contraste unilateral a una cola superior: frente a . Se busca evidenciar incrementos respecto a la referencia. Contraste unilateral a una cola inferior: frente a . Se busca probar descensos frente a la referencia. Cualquiera de estos problemas se puede resolver a través de cuatro metodologías equivalentes: la comparación del estadístico de prueba con los puntos críticos, la construcción de la región de aceptación en la escala de la media muestral, la verificación mediante intervalos de confianza o el cálculo del valor-p.

COMPRUEBA 14 ¿En qué se diferencian las hipótesis alternativas bilaterales y unilaterales al evaluar la media? Tipo de varianza Condición del parámetro de dispersión Varianza desconocida Uso de t de Student con n-1 g.l.

Varianza conocida Uso de distribución normal Z Metodologías de resolución Cuatro vías de decisión equivalentes Estadístico de prueba Comparación con puntos críticos t o z Escala de la media muestral Región de no rechazo sobre X barra Intervalo de confianza Pertenencia de mu_0 al intervalo Valor-p Credibilidad de H0 frente a alfa μ μ 0 H : 0 μ = μ 0 H : 0 μ = μ 0 H : 1 μ = μ 0 H : 0 μ = μ 0 H : 1 μ > μ 0 H : 0 μ = μ 0 H : 1 μ < μ 0 Apuntes de Contrastes Paramétricos " Estadística II UB 13 2. Método 1: Criterio de decisión mediante el estadístico t Supongamos una población normal donde tanto la media como la varianza son desconocidas.

A partir de una muestra aleatoria de tamaño , se obtiene la media muestral y la desviación estándar muestral . El error estándar estimado de la media es . Bajo la suposición de que es verdadera, el estadístico t de Student se define como: Este estadístico sigue una distribución t de Student con grados de libertad. Fijado un nivel de significación (véase «Fundamentos de la contrastación — Hipótesis, errores y potencia»), las reglas de decisión son: Tipo de prueba Hipótesis alternativa Regla de rechazo de Bilateral Cola superior Cola inferior EJEMPLO: COMISIONES DE TARJETAS DE CRÉDITO Una muestra de clientes bancarios presenta un coste medio anual por tarjeta de euros con euros.

Se desea contrastar si la comisión media poblacional es de 30 euros ( frente a ) al 5% y al 1%. Calculamos el error estándar y el estadístico: El valor absoluto es . Comparamos con los cuantiles de : Para : el cuantil crítico es . Como , se rechaza . Para : el cuantil crítico es . Como , no se puede rechazar .

X N(μ, σ) μ σ2 n X ˉ S S = X ˉ n S H 0 t = = S X ˉ μ X ˉ 0 S/ n μ X ˉ 0 t n 1 n 1 α H 0 H : 1 μ = μ 0 t > t(n 1) α/2 H : 1 μ > μ 0 t > t(n 1) α H : 1 μ < μ 0 t < t(n 1) α n = 16 = X ˉ 27 S = 5 H : 0 μ = 30 H : 1 μ = 30 S = X ˉ = 16 5 1,25 t = = 1,25 27 30 2,40 t = 2,40 t 15 α = 0,05 t(15) = 0,025 2,13 2,40 > 2,13 H 0 α = 0,01 t(15) = 0,005 2,95 2,40 < 2,95 H 0 Apuntes de Contrastes Paramétricos " Estadística II UB 14 EJEMPLO: VALOR CATASTRAL En una muestra de viviendas, la media observada es miles de euros con miles de euros. Se contrasta al . Bilateral ( ): punto crítico . Al ser , no se rechaza . Cola superior ( ): punto crítico . Al ser , se rechaza .

COMPRUEBA 15 ¿Por qué el mismo valor muestral t = 1,87 lleva a no rechazar en prueba bilateral pero sí en prueba de cola superior al 5%? 3. Método 2: Decisión en la escala directa de la media muestral En lugar de tipificar la muestra para calcular , se pueden trasladar los puntos críticos directamente a las unidades de la variable original calculando la región de no rechazo de . Despejando de la desigualdad , los límites críticos para un contraste bilateral quedan delimitados por: Se rechaza la hipótesis nula si la media muestral cae fuera de este intervalo: Para los contrastes unilaterales, las fronteras son: Cola superior: rechazar si . Cola inferior: rechazar si .

n = 49 = X ˉ 104 S = 15 H : 0 μ = 100 α = 0,05 S = X ˉ = 49 15 2,143 t = = 2,143 104 100 1,87 H : 1 μ = 100 t(48) = 0,025 2,00 1,87 = 1,87 < 2,00 H 0 H : 1 μ > 100 t(48) = 0,05 1,68 1,87 > 1,68 H 0 t X ˉ X ˉ t(n 1) α/2 S X ˉ μ X ˉ 0 t(n 1) α/2 μ ± 0 t(n 1) S α/2 X ˉ X ˉ / μ t(n 1) S ; μ + t(n 1) S [ 0 α/2 X ˉ 0 α/2 X ˉ ] Rechazar H 0 H 0 > X ˉ μ + 0 t(n 1) S α X ˉ H 0 < X ˉ μ 0 t(n 1) S α X ˉ Apuntes de Contrastes Paramétricos " Estadística II UB 15 COMPROBACIÓN CON COMISIONES Y VALOR CATASTRAL Comisiones bancarias ( , ): Al 5%: . Como , se rechaza . Al 1%: . Como , no se rechaza . Valor catastral ( , ): Bilateral al 5%: . Dado que , no se rechaza . Cola superior al 5%: límite crítico .

Como , se rechaza . COMPRUEBA 16 ¿En qué punto central se sitúa la región de no rechazo sobre la media muestral frente al intervalo de confianza? 4. Método 3: Conexión formal con el intervalo de confianza Existe una correspondencia matemática exacta entre el contraste de hipótesis bilateral al nivel de significación y el intervalo de confianza al nivel . El intervalo de estimación para se construye sumando y restando a la media muestral el margen de error: El criterio de decisión equivale a comprobar si el valor nulo postulado se encuentra entre los valores admisibles del intervalo: EQUIVALENCIA NUMÉRICA MEDIANTE INTERVALOS DE CONFIANZA Comisiones bancarias ( , ): Al 95% de confianza: .

Dado que , se rechaza . Al 99% de confianza: . Dado que , no se rechaza . Valor catastral bilateral ( , ): Al 95% de confianza: . Como , no se puede rechazar .

μ = 0 30 S = X ˉ 1,25 30 ± 2,13(1,25) = 30 ± 2,66 = [27,34; 32,66] = X ˉ 27 / [27,34; 32,66] H 0 30 ± 2,95(1,25) = 30 ± 3,69 = [26,31; 33,69] = X ˉ 27 [26,31; 33,69] H 0 μ = 0 100 S = X ˉ 2,143 100 ± 2,00(2,143) = [95,71; 104,29] = X ˉ 104 [95,71; 104,29] H 0 100 + 1,68(2,143) = 103,60 = X ˉ 104 > 103,60 H 0 α 1 α μ P t(n 1) S μ + t(n 1) S = (X ˉ α/2 X ˉ X ˉ α/2 X ˉ ) 1 α μ 0 / t(n 1) S ; + t(n 1) S [X ˉ α/2 X ˉ X ˉ α/2 X ˉ ] Rechazar H 0 = X ˉ 27 S = X ˉ 1,25 27 ± 2,13(1,25) = [24,34; 29,66] μ = 0 30 / [24,34; 29,66] H 0 27 ± 2,95(1,25) = [23,31; 30,69] μ = 0 30 [23,31; 30,69] H 0 = X ˉ 104 S = X ˉ 2,143 104 ± 2,00(2,143) = [99,71; 108,29] μ = 0 100 [99,71; 108,29] H 0 Apuntes de Contrastes Paramétricos " Estadística II UB 16 COMPRUEBA 17 ¿Por qué rechazar H0 al nivel de significación alfa implica que el intervalo al (1 - alfa) no contiene a mu_0?

5. Método 4: Enfoque probabilístico mediante el valor-p El valor-p cuantifica la compatibilidad entre los datos muestrales y la hipótesis nula. Representa la probabilidad, calculada asumiendo que es verdadera, de obtener un valor muestral tan discrepante o más extremo que el observado. Funciona como un índice directo de credibilidad de : Si el valor-p es alto (cercano a 1), los datos son compatibles con la distribución bajo y no hay base para descartarla. Si el valor-p es bajo (cercano a 0), la muestra observada es muy improbable bajo , lo que conduce a su rechazo. La regla de decisión universal es: .

El cálculo de la cola depende de la estructura del contraste en la distribución : Bilateral: . Cola superior: . Cola inferior: . Esquema de no rechazo bilateral cuando el valor-p supera a alfa. H 0 H 0 H 0 H 0 Rechazar H 0 valor-p < α t n 1 valor-p = 2 P (t > n 1 t ) obs valor-p = P (t > n 1 t ) obs valor-p = P (t < n 1 t ) obs Apuntes de Contrastes Paramétricos " Estadística II UB 17 Esquema de rechazo en cola superior al ser valor-p inferior a alfa. CÁLCULO DEL VALOR-P EN LOS EJEMPLOS Comisiones bancarias ( en ): Al ser bilateral: (3%). Frente a : se rechaza . Frente a : no se puede rechazar . Valor catastral ( en ): Bilateral: . Como , no se rechaza . Cola superior: . Como , se rechaza .

ERROR FRECUENTE Duplicar por error la probabilidad de cola al calcular el valor-p en un contraste unilateral. El factor 2 se aplica únicamente en contrastes bilaterales para sumar la masa probabilística de ambos extremos simétricos. Si en una prueba a una cola superior con se calcula , se concluiría falsamente que no se rechaza al 5%, cuando el valor-p unilateral real es (se rechaza ).

t = obs 2,40 t 15 valor-p = 2 P (t > 15 2,40) = 2 0,015 = 0,03 α = 0,05 0,03 < 0,05 H 0 α = 0,01 0,03 > 0,01 H 0 t = obs 1,87 t 48 valor-p = 2 P (t > 48 1,87) = 2 0,034 = 0,068 0,068 > 0,05 H 0 valor-p = P (t > 48 1,87) = 0,034 0,034 < 0,05 H 0 t = obs 1,87 2 0,034 = 0,068 0,034 < 0,05 H 0 Apuntes de Contrastes Paramétricos " Estadística II UB 18 Método Magnitud calculada Criterio de rechazo ( bilateral) Estadístico t Escala de Límites Intervalo confianza Límites Valor-p Probabilidad de cola acumulada COMPRUEBA 18 ¿Qué significa que el valor-p sea igual a 0,03 en el contraste de comisiones? 6.

Contraste de la media con varianza poblacional conocida Si se conoce la desviación estándar poblacional , no es necesario estimar la dispersión con . La dispersión exacta de la media muestral es y el estadístico se tipifica directamente con la normal estándar: Las reglas decisorias sustituyen los cuantiles de la t de Student por los de la distribución normal : Bilateral: rechazar si . Cola superior: rechazar si . Cola inferior: rechazar si . EJEMPLO: TIEMPOS DE ESPERA HOSPITALARIOS Una muestra de pacientes no urgentes presenta un tiempo medio de espera de días. Se conoce que la desviación estándar poblacional es días.

Se quiere contrastar si la espera media supera los tres meses (90 días), con frente a al nivel (1%). El error estándar poblacional y el estadístico tipificado son: El punto crítico normal para una cola superior al 1% es . Puesto que , se rechaza la hipótesis nula y se concluye que la espera media supera significativamente los 90 días.

H 0 t = ( X ˉ μ )/S 0 X ˉ t > t(n 1) α/2 X ˉ μ ± 0 t(n 1) S α/2 X ˉ X ˉ / [μ 0 t S ; μ + α/2 X ˉ 0 t S ] α/2 X ˉ ± X ˉ t(n 1) S α/2 X ˉ μ 0 / [ X ˉ t S ; + α/2 X ˉ X ˉ t S ] α/2 X ˉ valor-p < α σ S σ = X ˉ n σ Z = σ/ n μ X ˉ 0 N(0, 1) Z H 0 Z > z α/2 H 0 Z > z α H 0 Z < z α n = 50 = X ˉ 95 σ = 8 H : 0 μ = 90 H : 1 μ > 90 α = 0,01 σ = X ˉ 50 8 1,13 Z = = 1,13 95 90 4,4 z = 0,01 2,33 Z = 4,4 > 2,33 Apuntes de Contrastes Paramétricos " Estadística II UB 19 IDEAS CLAVE El contraste de la media con varianza desconocida se apoya en el estadístico con grados de libertad.

Los cuatro procedimientos (estadístico crítico, región en , intervalo de confianza y valor-p) son formalmente equivalentes y conducen siempre a la misma decisión. El valor-p cuantifica el soporte empírico que la muestra otorga a , rechazándose la hipótesis nula si . En los contrastes simétricos bilaterales el valor-p duplica la probabilidad de la cola observada, mientras que en contrastes unilaterales considera una única cola. Cuando la varianza poblacional es conocida, el estadístico se tipifica mediante la distribución normal estándar . COMPRUEBA LO QUE HAS APRENDIDO 19.

¿Por qué un contraste unilateral a una cola superior puede rechazar H0 mientras que uno bilateral con los mismos datos no lo hace? 20. ¿Qué relación existe entre el valor-p y el nivel de significación al tomar una decisión? CONTRASTES SOBRE UNA POBLACIÓN 3 Varianza poblacional AL ACABAR SABRÁS Formular contrastes de hipótesis bilaterales y unilaterales para la varianza en poblaciones normales. Calcular el estadístico de prueba chi-cuadrado a partir de la varianza muestral. Determinar las regiones de rechazo empleando los cuantiles no simétricos de la distribución chi- cuadrado.

PIÉNSALO ANTES DE LEER 21 Si una distribución continua no puede tomar valores negativos, ¿por qué no es posible calcular sus valores críticos como ± un mismo número? Fundamento del contraste de la varianza poblacional Cuando se desconoce la dispersión de una característica en una población, interesa someter a prueba si su varianza alcanza o no un determinado estándar de referencia. Para verificar afirmaciones sobre el parámetro poblacional , es indispensable asumir que la variable analizada sigue una distribución normal.

t = ( X ˉ μ )/(S/ ) 0 n n 1 X ˉ H 0 valor-p < α σ2 Z σ2 Apuntes de Contrastes Paramétricos " Estadística II UB 20 A diferencia de los contrastes sobre la media fundamentados en el teorema central del límite (véase «Contrastes sobre una población — Media poblacional»), la inferencia sobre la varianza no es robusta frente a desviaciones de la normalidad. La muestra aleatoria de tamaño suministra la varianza muestral , la cual actúa como base para evaluar la discrepancia con el valor conjeturado.

Planteamiento de las hipótesis El contraste estadístico (véase «Fundamentos de la contrastación — Hipótesis, errores y potencia») confronta una hipótesis nula puntual frente a tres posibles hipótesis alternativas: Contraste bilateral: frente a . Se rechaza si la dispersión muestral es notablemente mayor o menor que la esperada. Contraste unilateral de cola superior: frente a . Se emplea cuando existe la sospecha de un incremento indeseado en la dispersión. Contraste unilateral de cola inferior: frente a . Se utiliza cuando se desea comprobar una reducción significativa en la variabilidad del proceso.

COMPRUEBA 22 ¿Por qué el contraste sobre la varianza requiere estrictamente que la población sea normal, a diferencia del contraste sobre la media con muestras grandes? Estadístico de prueba y distribución en el muestreo Bajo la asunción de normalidad, la combinación lineal de desviaciones cuadráticas estandarizadas define el estadístico de contraste chi-cuadrado: Cuando la hipótesis nula es verdadera, el estadístico se calcula sustituyendo la varianza desconocida por el valor hipotético : Esta variable sigue exactamente una distribución chi-cuadrado con n-1 grados de libertad.

Su dominio abarca exclusivamente valores positivos, y su densidad presenta asimetría positiva a la derecha, concentrando su masa en valores bajos y extendiendo una cola larga hacia la derecha. n S2 H : 0 σ = 2 σ 0 2 H : 1 σ = 2 σ 0 2 H : 0 σ = 2 σ 0 2 H : 1 σ > 2 σ 0 2 H : 0 σ = 2 σ 0 2 H : 1 σ < 2 σ 0 2 χ = 2 σ2 (n 1)S2 H : 0 σ = 2 σ 0 2 σ 0 2 χ = 2 σ 0 2 (n 1)S2 χ n 1 2 Apuntes de Contrastes Paramétricos " Estadística II UB 21 PROCESO Procedimiento del contraste de varianza poblacional Región crítica y asimetría de los cuantiles La distribución chi-cuadrado no es simétrica respecto al origen ni respecto a su media.

Por tanto, no es posible calcular un único cuantil y cambiarle el signo, como ocurre con la distribución normal o la t de Student.

Para fijar un nivel de significación , correspondiente a la probabilidad del error de tipo I (véase «Fundamentos de la contrastación — Hipótesis, errores y potencia»), es necesario obtener los cuantiles inferior y superior de forma independiente: Tipo de contraste Hipótesis alternativa ( ) Región crítica (Rechazo de ) Región de aceptación Bilateral o Cola superior Cola inferior En el contraste bilateral, el intervalo de no rechazo concentra una probabilidad de , dejando un área de en cada cola extrema: Verificar normalidad Comprobar que la muestra proviene de una población estrictamente normal 1 Formular hipótesis Definir H0 frente a la alternativa bilateral o unilateral 2 Calcular estadístico Obtener chi-cuadrado escalando la varianza muestral S² con σ ² 3 Buscar cuantiles Localizar los puntos críticos en la chi-cuadrado con n-1 grados 4 Decidir y concluir Rechazar H0 si el estadístico cae dentro de la región crítica 5 α H 1 H 0 σ = 2 σ 0 2 χ < 2 χ n 1;1 α/2 2 χ > 2 χ n 1;α/2 2 [χ , χ ] n 1;1 α/2 2 n 1;α/2 2 σ > 2 σ 0 2 χ > 2 χ n 1;α 2 χ 2 χ n 1;α 2 σ < 2 σ 0 2 χ < 2 χ n 1;1 α 2 χ 2 χ n 1;1 α 2 1 α α/2 P χ χ = ( n 1;1 α/2 2 σ 0 2 (n 1)S2 n 1;α/2 2 ) 1 α Apuntes de Contrastes Paramétricos " Estadística II UB 22 ERROR FRECUENTE Asumir que el punto crítico izquierdo de la chi-cuadrado es el negativo del derecho ( ).

La distribución chi-cuadrado solo toma valores no negativos ( ). El punto crítico inferior es estrictamente positivo y debe buscarse explícitamente en la tabla o función de distribución acumulada. COMPRUEBA 23 En un contraste bilateral para la varianza con nivel de significación del 5 %, ¿qué área de probabilidad delimita el cuantil de la cola inferior? Ejemplo resuelto: control de variabilidad en envasado EJEMPLO Una máquina llena bolsas de frutos secos según una distribución normal de media 525 g y desviación típica especificada en 10 g, lo que equivale a una varianza teórica de .

Para verificar si el proceso mantiene la variabilidad requerida, se toma una muestra de n = 20 bolsas, obteniéndose una media de 522 g y una varianza muestral de S^2 = 163 g². Se efectúa el análisis con un nivel de significación del 5 % ( ). χ α/2 2 [0, ) χ n 1;1 α/2 2 σ = 0 2 10 = 2 100 α = 0,05 Cálculo del estadístico de prueba: 1 χ = 2 = σ 0 2 (n 1)S2 = 100 (20 1) 163 = 100 19 163 30,97 Evaluación del contraste bilateral: Las hipótesis son frente a . Con grados de libertad y , el cuantil crítico superior deja un área de a su derecha: . Dado que (y superior al cuantil izquierdo), el estadístico cae en la región de aceptación. Por tanto, no se rechaza H_0 en el contraste bilateral.

2 H : 0 σ = 2 100 H : 1 σ = 2 100 n 1 = 19 α = 0,05 α/2 = 0,025 χ = 19;0,025 2 32,85 χ = 2 30,97 < 32,85 Evaluación del contraste unilateral a la cola superior: Las hipótesis ante la sospecha de incremento de variabilidad son frente a . El punto crítico con en la cola derecha es . Como , el estadístico se sitúa en la región crítica. En consecuencia, se rechaza H_0 a favor de H_1 en el contraste unilateral superior. 3 H : 0 σ = 2 100 H : 1 σ > 2 100 α = 0,05 χ = 19;0,05 2 30,14 χ = 2 30,97 > 30,14 Apuntes de Contrastes Paramétricos " Estadística II UB 23 PARA RECORDARLO Un mismo estadístico de prueba puede no rechazar en un test bilateral y sí rechazarla en uno unilateral.

Esto ocurre porque el test unilateral concentra todo el nivel de significación en un único extremo, reduciendo el umbral crítico exigido. COMPRUEBA 24 ¿Por qué el resultado del envasado fue distinto entre el contraste bilateral y el unilateral superior usando la misma muestra? IDEAS CLAVE El contraste de la varianza poblacional exige como supuesto indispensable la normalidad estricta de la variable analizada. Bajo la hipótesis nula, el estadístico de prueba sigue una distribución chi- cuadrado con grados de libertad. La distribución chi-cuadrado es asimétrica y no negativa, impidiendo determinar los cuantiles mediante un simple cambio de signo.

En contrastes unilaterales superiores, valores muestrales de muy por encima de elevan el estadístico y conducen al rechazo de . Un contraste unilateral superior tiene mayor capacidad de rechazar valores elevados que un contraste bilateral al concentrar todo el nivel en un solo extremo. COMPRUEBA LO QUE HAS APRENDIDO 25. ¿Cuál es la expresión del estadístico de contraste para la varianza poblacional y qué distribución sigue bajo la hipótesis nula? 26. ¿Cómo se define la región de rechazo para un contraste de varianza unilateral de cola inferior con nivel de significación ?

H 0 α ((n 1)S )/σ 2 0 2 n 1 S2 σ 0 2 H 0 α α Apuntes de Contrastes Paramétricos " Estadística II UB 24 CONTRASTES SOBRE UNA POBLACIÓN 4 Proporción poblacional AL ACABAR SABRÁS Plantear contrastes de hipótesis sobre una proporción poblacional tanto bilaterales como unilaterales. Calcular el estadístico de prueba tipificado Z y delimitar las regiones críticas según los tres métodos de resolución. Explicar la discrepancia conceptual y de cálculo entre el contraste de hipótesis y el intervalo de confianza clásico para una proporción.

PIÉNSALO ANTES DE LEER 27 ¿Por qué un contraste de hipótesis sobre una proporción no coincide con comprobar si el valor p0 está dentro del intervalo de confianza clásico? Marco teórico y formulación de hipótesis El estudio de atributos cualitativos conduce al análisis de variables dicotómicas. En estas poblaciones, cada individuo se clasifica según la presencia o ausencia de un rasgo determinado (codificado habitualmente como 1 para éxito y 0 para fracaso). La variable aleatoria subyacente sigue una distribución de Bernoulli con parámetro p = P(X = 1), que representa la proporción poblacional de interés.

Para evaluar afirmaciones sobre este parámetro desconocido frente a un valor de referencia , se recurre a los contrastes de hipótesis (véase «Fundamentos de la contrastación — Hipótesis, errores y potencia»). Según la sospecha del investigador, se configuran tres estructuras de contraste posibles: Bilateral: frente a . Unilateral superior: frente a . Unilateral inferior: frente a . A partir de una muestra aleatoria simple de tamaño , el estimador natural es la proporción muestral .

La dispersión teórica de este estimador viene dada por su error estándar poblacional: Bajo muestras suficientemente extensas, el Teorema Central del Límite garantiza una distribución aproximadamente normal para el estimador. Para considerar válida esta aproximación asintótica a la normal estándar, debe cumplirse la condición: p 0 H : 0 p = p 0 H : 1 p = p 0 H : 0 p = p 0 H : 1 p > p 0 H : 0 p = p 0 H : 1 p < p 0 n p ˉ σ = p ^ n p(1 p) n (1 p ^ ) p ^ 5 Apuntes de Contrastes Paramétricos " Estadística II UB 25 COMPRUEBA 28 ¿Por qué se evalúa la condición de normalidad mediante el producto n·p̂·(1-p̂)?

Criterios de resolución del contraste Disponemos de tres vías metodológicas cuantitativas para dictaminar sobre la hipótesis nula, todas ellas coherentes entre sí. PROCESO Procedimiento de decisión en contrastes de proporción 1 Verificar condición Comprobar que n·p̂·(1-p̂) 5 para ase gurar normalidad 2 Calcular estadístico Z Obtener Z usando el error estándar bajo H0 con p0 3 Definir cri terio Elegir entre puntos críticos Z, límites de p̂ o valor-p 4 Dictamen estadístico Rechazar H0 si cae en región crítica o si va lor-p < α 1.

Decisión mediante el estadístico tipificado Z Al asumir provisionalmente cierta la hipótesis nula ( ), el error estándar queda determinado de forma exacta por el parámetro bajo prueba. El estadístico Z para contrastar una proporción poblacional se define como: Las regiones de rechazo ( ) se delimitan mediante los cuantiles de la distribución normal estándar para un nivel de significación dado: Bilateral: Rechazar si . Unilateral superior: Rechazar si . Unilateral inferior: Rechazar si . 2. Decisión en la escala directa de la proporción muestral En lugar de estandarizar los datos, es posible proyectar la región crítica sobre las unidades originales del estimador .

Se rechaza la hipótesis nula si la proporción observada en la muestra difiere sustancialmente de superando el margen de tolerancia crítico: Tipo de contraste Región crítica (Rechazo de H ) Bilateral Unilateral superior Unilateral inferior p = p 0 Z = n p (1 p ) 0 0 p p ^ 0 N(0, 1) RH 0 z α α H 0 Z > z ρ/2 H 0 Z > z ρ H 0 Z < z ρ p ˉ p 0 p ^ / p z , p + z [ 0 α/2 n p (1 p ) 0 0 0 α/2 n p (1 p ) 0 0 ] > p ˉ p + 0 z ρ n p (1 p ) 0 0 < p ˉ p 0 z ρ n p (1 p ) 0 0 Apuntes de Contrastes Paramétricos " Estadística II UB 26 3.

Decisión mediante el valor-p El valor-p cuantifica la probabilidad de obtener un estadístico tan o más discrepante con que el observado (véase «Contrastes sobre una población — Media poblacional»). Para la distribución normal estándar se calcula como: Bilateral: . Unilateral superior: . Unilateral inferior: . El criterio de decisión universal dicta rechazar siempre que el valor-p sea estrictamente menor que . COMPRUEBA 29 Si obtenemos un valor Z = -2,10 en un contraste bilateral, ¿cómo se plantea el valor-p?

Incompatibilidad con el intervalo de confianza clásico En inferencia sobre medias con varianza conocida, el intervalo de confianza clásico y el contraste bilateral son estrictamente equivalentes. Sin embargo, en el contraste de una proporción poblacional se produce una incompatibilidad metodológica entre contraste e intervalo de confianza tradicional originada por la definición del error estándar: ERROR FRECUENTE No utilices el intervalo de confianza habitual para resolver un contraste sobre una proporción. El intervalo de confianza clásico estima la varianza mediante la muestra ( ), mientras que el contraste de hipótesis calcula el error estándar imponiendo la certeza de ( ).

Como ambos márgenes difieren, sus conclusiones pueden contradecirse en valores limítrofes. Herramienta inferencial Error estándar utilizado Margen de error respecto al centro Intervalo de confianza clásico Región de aceptación del contraste Ambas formulaciones solo convergerían si , circunstancia donde el contraste carece de incertidumbre muestral frente a la nula. COMPRUEBA 30 ¿A qué se debe que el error estándar del contraste no dependa de la proporción observada en la muestra?

H 0 valor-p = 2P (Z > z ) valor-p = P (Z > z) valor-p = P (Z < z) H 0 α (1 p ˉ ) p ˉ H 0 p (1 0 p ) 0 n (1 ) p ˉ p ˉ z ρ/2 n (1 ) p ˉ p ˉ n p (1 p ) 0 0 z ρ/2 n p (1 p ) 0 0 = p ˉ p 0 Apuntes de Contrastes Paramétricos " Estadística II UB 27 Ejemplo práctico resuelto: fuga de depósitos ante intervención estatal Se realiza una encuesta sobre una muestra de n = 100 clientes bancarios. De ellos, 35 afirman que retirarían sus fondos en caso de rescate estatal. Se desea contrastar la hipótesis de que 1 de cada 4 clientes sacaría su capital frente a la alternativa de que la proporción es distinta. Se evalúa el test al 5 % y al 1 % de significación.

EJEMPLO Paso 1: Planteamiento de hipótesis y datos Proporción hipotética: . Proporción muestral observada: . Hipótesis del contraste: frente a . Condición de normalidad: (se valida la aproximación). Paso 2: Resolución por estadístico tipificado Z Error estándar bajo : Cálculo del estadístico experimental: Puntos críticos y decisión: Para : . Como , se rechaza H . Para : . Como , no se rechaza H . Paso 3: Resolución en la escala de proporción muestral p̂ Intervalos de no rechazo centrados en : A nivel 5 %: . Dado que , se rechaza H . A nivel 1 %: . Dado que , no se rechaza H .

Paso 4: Resolución mediante el valor-p Con (aproximado a 2,3): Decisión comparando con cada nivel de significación: Frente a : como , se rechaza H . Frente a : como , no se rechaza H .

p = 0 = 4 1 0,25 = p ˉ = 100 35 0,35 H : 0 p = 0,25 H : 1 p = 0,25 n (1 p ˉ ) = p ˉ 100 × 0,35 × 0,65 = 22,75 = 5 H 0 σ = p ^ = 100 0,25 × 0,75 100 0,1875 0,0433 Z = = 0,043 0,35 0,25 = 0,043 0,10 2,3 ρ = 0,05 z = 0,025 1,96 Z = 2,3 > 1,96 ρ = 0,01 z = 0,005 2,58 Z = 2,3 < 2,58 p 0 0,25 = 1,96 × 0,043 = 0,25 = 0,085 = [0,165; 0,285] = p ˉ 0,35 / [0,165; 0,285] 0,25 = 2,58 × 0,043 = 0,25 = 0,11 = [0,14; 0,36] = p ^ 0,35 [0,14; 0,36] z = 2,31 valor-p = 2 (Z > p ˉ 2,31) = 2 × 0,0104 = 0,02 ρ = 0,05 0,02 < 0,05 ρ = 0,01 0,02 > 0,01 Apuntes de Contrastes Paramétricos " Estadística II UB 28 PARA RECORDARLO Al pasar del 5 % al 1 % de significación, el nivel de exigencia para rechazar aumenta: se amplía la zona de no rechazo y el contraste se vuelve más conservador con la hipótesis inicial.

IDEAS CLAVE El contraste de una proporción modeliza variables dicotómicas mediante aproximación asintótica normal si se verifica que . El estadístico estandarizado Z = (\bar{p} - p_0)/\frac{p_0(1-p_0)/n} utiliza la desviación teórica bajo el supuesto de que es verdadera. Existen tres métodos de resolución totalmente equivalentes: estadístico Z frente a cuantiles , límites de la proporción muestral y comparación del valor-p con . El contraste de proporciones y el intervalo de confianza clásico no son idénticos porque el primero calcula el error estándar con y el segundo con . COMPRUEBA LO QUE HAS APRENDIDO 31.

¿Por qué difieren el margen del intervalo de confianza tradicional y la región de aceptación de un contraste para p? 32. En un contraste bilateral con estadístico z = 2,3 y valor-p 0,02, ¿cuál es la decisión a niveles de significación del 5 % y del 1 %? Test Rodea la respuesta correcta. Las soluciones están al final. 33. ¿Qué distribución sigue el estadístico de la media cuando la varianza poblacional se desconoce? 34. En un contraste bilateral, ¿cuándo se rechaza H0 utilizando un intervalo de confianza al (1- alfa)? 35. ¿Cómo se calcula el valor-p en una prueba unilateral a la cola superior?

H 0 n (1 p ^ ) p ^ 5 H 0 z ρ p ˉ ρ p 0 p ˉ t de Student con n-1 grados a) F de Snedecor con n grados b) Chi-cuadrado con n grados c) Normal estándar Z d) Si el intervalo contiene a cero a) Si está dentro del intervalo b) mu 0 Si la media muestral es nula c) Si queda fuera del intervalo d) mu 0 2 · P(T > "t_obs") a) P(T < t_obs) b) P(T > t_obs) c) 1 - 2 · P(T > t_obs) d) Apuntes de Contrastes Paramétricos " Estadística II UB 29 36. ¿Qué estadístico se emplea para contrastar la media si la varianza poblacional es conocida? 37. ¿Qué distribución sigue el estadístico ((n-1)S²)/σ ² bajo H si la población es normal? 38.

¿Por qué no se puede obtener el punto crítico inferior de la chi-cuadrado cambiando el signo del superior? 39. En el ejemplo de envasado (n=20, S²=163, σ ²=100), ¿cuánto vale el estadístico de contraste? 40. Si el estadístico es 30,97 y los valores críticos al 5% son 30,14 (unilateral) y 32,85 (bilateral), ¿qué ocurre? 41. ¿Qué condición básica asegura la aproximación normal para contrastar una proporción? 42. ¿Qué error estándar emplea el estadístico Z en el contraste de una proporción? 43. En un contraste unilateral superior de proporción, ¿cuándo se rechaza la hipótesis nula? 44. ¿Cómo se calcula el valor-p en un contraste bilateral para una proporción con estadístico z?

Estadístico t con n grados a) Estadístico Z normal estándar b) Estadístico chi-cuadrado c) Estadístico de Poisson d) Chi-cuadrado con n-1 grados a) t de Student con n-1 grados b) Normal estándar Z c) F de Snedecor con n grados d) Porque depende del tamaño de muestra a) Porque su media es siempre cero b) Porque tiene grados de libertad pares c) Porque es asimétrica y no negativa d) 19,00 a) 16,30 b) 32,85 c) 30,97 d) Se rechaza solo el unilateral a) No se rechaza en ninguno b) Se rechaza el bilateral únicamente c) Se rechaza en ambos contrastes d) p̂ > 0,5 en la muestra a) n 30 sin importar p̂ b) n·p0 30 estrictamente c) n·p̂·(1-p̂) 5 d) [p̂(1-p̂)/n] a) [p̂(1-p0)/n] b) p0(1-p0)/ n c) [p0(1-p0)/n] d) Si valor-p > α a) Si Z < -zα b) Si "Z" > zα/2 c) Si Z > zα d) P(Z < -"z") a) 1 - P(Z > "z") b) P(Z > z) c) 2·P(Z > "z") d) Apuntes de Contrastes Paramétricos " Estadística II UB 30 5 Diferencia de medias e igualdad de varianzas AL ACABAR SABRÁS Contrastar la igualdad de dos varianzas poblacionales mediante el estadístico F de Snedecor.

Calcular la varianza agrupada y el error estándar de la diferencia de medias independientes. Evaluar hipótesis bilaterales y unilaterales sobre dos medias con la distribución t de Student. Interpretar correctamente los resultados y valores-p de una salida informática de prueba t. PIÉNSALO ANTES DE LEER 45 ¿Por qué es obligatorio comprobar la igualdad de varianzas antes de contrastar las medias de dos poblaciones independientes? Al comparar dos grupos independientes, el objetivo habitual consiste en determinar si sus promedios poblacionales difieren de forma estadísticamente significativa.

Para abordar este problema bajo normalidad y varianzas desconocidas, se debe verificar en primer lugar si ambas poblaciones comparten la misma dispersión antes de comparar sus medias. ESQUEMA Comparación de dos poblaciones normales independientes Comparación de dos poblaciones 5 Diferencia de medias e igualdad de varianzas 6 Igualdad de proporciones 1. Test de varianzas Comprobar homocedasticidad con F de Snedecor 2. Varianza agrupada Cálculo de Sp² ponderada por grados de libertad 3.

Test de medias Estadístico t con nX + nY - 2 grados de libertad Decisión bilateral Compara "t" frente a t crítico con alfa/2 Decisión unilateral Compara t frente a t crítico con alfa Apuntes de Contrastes Paramétricos " Estadística II UB 31 Contraste de homocedasticidad mediante el test F de Snedecor Antes de comparar medias poblacionales con varianzas desconocidas, es indispensable verificar el supuesto de homocedasticidad o igualdad de varianzas. Si dos poblaciones normales e independientes poseen la misma varianza ( ), se puede aplicar un procedimiento agrupado más potente.

Para contrastar si dos varianzas poblacionales son idénticas frente a la alternativa bilateral, las hipótesis estadísticas se definen como: El punto de partida teórico es el estadístico de razón general: Bajo la hipótesis nula ( ), este cociente se simplifica al estadístico F de Snedecor: donde son los grados de libertad del numerador y los grados de libertad del denominador. PARA RECORDARLO Las tablas impresas de la distribución solo suelen recoger cuantiles superiores. Por convenio práctico, se coloca en el numerador la muestra con mayor cuasivarianza ( ). De este modo, el estadístico calculado siempre resulta mayor o igual a 1 y se compara directamente contra el punto crítico superior .

La regla de decisión para un contraste bilateral con este criterio práctico consiste en rechazar si: COMPRUEBA 46 ¿Por qué se evalúa el cociente de cuasivarianzas frente a F(α/2) y no frente a F(α) en la regla simplificada de las tablas? Contraste de diferencia de medias independientes con varianzas iguales Una vez confirmada la homocedasticidad, se evalúa si la diferencia entre las medias toma un valor concreto .

Cuando dicho valor hipotético es cero, el problema se convierte en el contraste de igualdad de medias: Este contraste puede plantearse frente a tres hipótesis alternativas (véase «Fundamentos de la contrastación — Hipótesis, errores y potencia»): σ = X 2 σ Y 2 H : 0 σ = X 2 σ frente a H : Y 2 1 σ = X 2 σ Y 2 S /σ Y 2 Y 2 S /σ X 2 X 2 σ = X 2 σ Y 2 F = S Y 2 S X 2 F (n X 1, n Y 1) n X 1 n Y 1 F S X 2 S Y 2 F (n X 1, n Y 1) α/2 H 0 F = > S Y 2 S X 2 F (n X 1, n Y 1) α/2 (μ X μ ) Y 0 H : 0 μ X μ = Y 0 H : 0 μ = X μ Y Apuntes de Contrastes Paramétricos " Estadística II UB 32 Bilateral: Unilateral cola superior: Unilateral cola inferior: Dado que la varianza poblacional común es desconocida, se sintetizan las dos dispersiones muestrales en una única varianza agrupada o mancomunada ( ), que pondera cada cuasivarianza por sus grados de libertad: A partir de ella, el error estándar estimado de la diferencia de medias se define como: El estadístico resultante sigue una distribución de Student con grados de libertad: Tipo de contraste Hipótesis alternativa Regla de rechazo de H (estadístico t) Regla por valor- p Bilateral Cola superior Cola inferior ERROR FRECUENTE Un fallo habitual consiste en restar 1 al total de observaciones ( ) o aplicar los grados de libertad de una sola muestra.

Al estimar dos medias muestrales independientes para calcular , se pierden dos grados de libertad: los correctos son . Usar un valor erróneo altera los puntos críticos y el valor-p. COMPRUEBA 47 ¿Qué magnitud representa la varianza agrupada S_p² dentro del contraste de medias? Aplicación integrada e interpretación de salidas de software Se evalúa el impacto de una campaña institucional de recogida selectiva calificada de 0 a 10 puntos. Se dispone de una muestra de mujeres con media y cuasivarianza , y una muestra de hombres con media y cuasivarianza . Se fija un nivel de significación .

H : 1 μ = X μ Y H : 1 μ > X μ Y H : 1 μ < X μ Y S p 2 S = p 2 n + n 2 X Y (n 1)S + (n 1)S X X 2 Y Y 2 S = X ˉ Y ˉ S p + n X 1 n Y 1 t n + X n Y 2 t = = S X ˉ Y ˉ ( ) (μ μ ) X ˉ Y ˉ X Y 0 S p + n X 1 n Y 1 X ˉ Y ˉ t n +n 2 X Y μ = X μ Y t > t(n + X n Y 2) α/2 valor-p < α μ > X μ Y t > t(n + X n Y 2) α valor-p < α μ < X μ Y t < t(n + X n Y 2) α valor-p < α n + X n Y 1 S p 2 n + X n Y 2 n = X 15 = X ˉ 6,60 S = X 2 1,54 n = Y 18 = Y ˉ 5,83 S = Y 2 1,32 α = 0,05 Apuntes de Contrastes Paramétricos " Estadística II UB 33 La herramienta de análisis de datos de Excel genera un informe completo con estas magnitudes: Salida de Excel de la prueba t para dos muestras suponiendo varianzas iguales En la salida de cálculo se localizan directamente los grados de libertad (31), la varianza agrupada (1,42), el estadístico (1,84) y las probabilidades asociadas.

Conforme a la regla universal, el valor-p bilateral (0,08) duplica al unilateral (0,04) por la simetría de la distribución. Comprobación previa de homocedasticidad: Se sitúa la mayor varianza en el numerador: . El cuantil crítico de la distribución para es 2,75. Como , no se rechaza la igualdad de varianzas. 1 F = = 1,32 1,54 1,17 F (14, 17) α/2 = 0,025 1,17 < 2,75 Cálculo de la varianza agrupada: 2 S = p 2 = 15 + 18 2 (15 1) 1,54 + (18 1) 1,32 = 31 14 1,54 + 17 1,32 1,42 Cálculo del error estándar y estadístico t: 3 S = X ˉ Y ˉ 1,42 = + 15 1 18 1 0,41 t = = 0,41 6,60 5,83 = 0,41 0,77 1,84 Decisión estadística: Test bilateral: El punto crítico con 31 grados de libertad es .

Como (y ), no se rechaza la igualdad de medias. Test unilateral cola superior: El punto crítico es . Como (y ), se rechaza a favor de una valoración media femenina superior. 4 t(31) = 0,025 2,04 1,84 < 2,04 valor-p = 0,08 > 0,05 t(31) = 0,05 1,70 1,84 > 1,70 valor-p = 0,04 < 0,05 H 0 t Apuntes de Contrastes Paramétricos " Estadística II UB 34 COMPRUEBA 48 ¿Por qué con los mismos datos muestrales se rechaza H en el contraste unilateral pero no en el bilateral al 5 %? IDEAS CLAVE La comparación de medias con varianzas desconocidas exige comprobar primero la hipótesis de homocedasticidad mediante el test F de Snedecor.

El estadístico F bajo la hipótesis nula se calcula como el cociente de las dos cuasivarianzas muestrales: . Bajo homocedasticidad, la varianza agrupada pondera ambas varianzas según sus grados de libertad: . El estadístico t para dos muestras independientes sigue una distribución de Student con grados de libertad. En distribuciones simétricas, el valor-p bilateral duplica exactamente al valor-p unilateral para el mismo valor observado del estadístico. COMPRUEBA LO QUE HAS APRENDIDO 49. ¿Cuál es la expresión formal de la varianza agrupada ( ²) y qué representa su denominador? 50. ¿Cómo se adapta el contraste F de igualdad de varianzas para usar tablas que solo contienen cuantiles superiores?

COMPARACIÓN DE DOS POBLACIONES 6 Igualdad de proporciones AL ACABAR SABRÁS Plantear las hipótesis bilateral y unilaterales para contrastar dos proporciones independientes. Calcular la proporción común agrupada y el error estándar correspondiente bajo la hipótesis nula. Evaluar el estadístico de contraste Z frente a los puntos críticos normales para tomar una decisión estadística. PIÉNSALO ANTES DE LEER 51 Si se desea contrastar si dos grupos tienen el mismo porcentaje de éxito, ¿por qué no se usan las varianzas individuales de cada grupo?

F = S /S X 2 Y 2 S p 2 n + X n Y 2 t n + X n Y 2 S p Apuntes de Contrastes Paramétricos " Estadística II UB 35 Planteamiento del contraste de dos proporciones independientes Este procedimiento compara la presencia de un atributo cualitativo binario en dos poblaciones independientes, denotadas por e . Cada individuo presenta o no la característica analizada, lo que se modela como variables dicotómicas con probabilidades de éxito y . Para formular la prueba (véase «Fundamentos de la contrastación — Hipótesis, errores y potencia»), la hipótesis nula asume que ambas proporciones poblacionales coinciden en un valor común .

La hipótesis alternativa refleja la sospecha del investigador: Bilateral: frente a . Unilateral a la derecha: frente a . Unilateral a la izquierda: frente a . Para aplicar el contraste se extraen dos muestras aleatorias simples de tamaños y , no necesariamente iguales. La validez del test descansa en la aproximación asintótica de la distribución binomial a la distribución normal mediante el teorema central del límite. Por esta razón, se requiere trabajar con muestras suficientemente grandes. COMPRUEBA 52 ¿Por qué se exige un tamaño muestral grande en el contraste de igualdad de proporciones?

Estimador de la proporción común y estadístico de contraste A partir de los datos muestrales, se calculan las proporciones observadas y . La diferencia sirve como punto de partida para la inferencia. En general, la diferencia de proporciones muestrales estandarizada sigue una distribución normal estándar: Bajo la hipótesis nula, al suponerse , la expresión del denominador se simplifica extrayendo factor común: Sin embargo, el parámetro es desconocido. La solución consiste en estimarlo mediante la muestra combinada.

DEFINICIÓN La proporción común agrupada es la proporción ponderada de éxitos calculada sobre la totalidad de los datos recogidos en ambos grupos: X Y p = X P (X = 1) p = Y P (Y = 1) p H : 0 p = X p = Y p H : 1 p = X p Y H : 0 p = X p = Y p H : 1 p > X p Y H : 0 p = X p = Y p H : 1 p < X p Y n X n Y = p ^X n X X i = p ^Y n Y Y i p ^X p ^Y Z = + n X p (1 p ) X X n Y p (1 p ) Y Y p ^X p ^Y N(0, 1) p = X p = Y p p(1 p) + ( n X 1 n Y 1 ) p = p ^ n + n X Y X + Y i i Apuntes de Contrastes Paramétricos " Estadística II UB 36 Sustituyendo en la varianza combinada, obtenemos el error estándar de la diferencia bajo : Por lo tanto, el estadístico de contraste definitivo es: PROCESO Procedimiento del contraste de igualdad de proporciones COMPRUEBA 53 ¿En qué se diferencia el denominador de este contraste del usado al construir un intervalo de confianza para dos…