Álgebra Lineal: Matrices, Sistemas y Espacios Vectoriales

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APUNTES ÁLGEBRA LINEAL Grado en Ingeniería Informática Universidad Rovira i Virgili AprenAI 2026-2027 Apuntes de Álgebra Lineal: tipos de matrices, operaciones, método de Gauss, Teorema de Rouché-Frobenius y axiomas de espacios vectoriales.

APREN.AI Índice 1 Matrices: Clasificación y Tipologías Dimensiones particulares y traza Matrices triangulares, diagonales y escalares Matrices escalonadas Trasposición, simetría y antisimetría 2 Operaciones Matriciales y Relaciones de Equivalencia Suma de matrices y álgebra de sumas Multiplicación por un escalar Multiplicación de matrices 3 Sistemas de Ecuaciones Lineales y Resolución por Gauss Identificación de ecuaciones lineales y dependencias El rango y el método de eliminación de Gauss Teorema de Rouché-Frobenius y grados de libertad Sistemas homogéneos 4 Introducción a los Espacios Vectoriales Axiomas aditivos fundamentales 5 Formulario Álgebra matricial y operaciones Eliminación de Gauss y rango Teorema de Rouché-Frobenius Axiomas de la adición en espacios vectoriales Errores típicos Soluciones de las preguntas de repaso Estos apuntes pueden contener errores u omisiones.

Son un material de apoyo y no sustituyen al temario oficial ni al profesorado: contrasta la información importante. Álgebra Lineal: Matrices, Sistemas y Espacios Vectoriales 1 1 Matrices: Clasificación y Tipologías AL ACABAR SABRÁS Reconocer y clasificar los diferentes tipos de matrices cuadradas. Calcular la traza y la traspuesta de una matriz. Distinguir formalmente entre matrices escalonadas, simétricas y antisimétricas. PIÉNSALO ANTES DE LEER 1 ¿Por qué no tiene sentido hablar de traza en una matriz de 2 filas y 3 columnas? Una matriz es una disposición rectangular de elementos organizados en filas y columnas.

La posición de cada elemento se designa habitualmente mediante subíndices , donde indica la fila concreta y señala la columna. Dimensiones particulares y traza Existen matrices con estructuras básicas determinadas por sus dimensiones: Matriz fila (o vector fila): dispone de una única fila y múltiples columnas ( ). Matriz columna (o vector columna): dispone de una sola columna distribuida a lo largo de varias filas ( ). Matriz nula: estructura en la cual todos sus elementos son iguales a cero. Matriz cuadrada: contiene el mismo número de filas que de columnas ( ). En toda matriz cuadrada se diferencian dos diagonales fundamentales.

La diagonal principal reúne las posiciones con índices idénticos ( ). Por su parte, la diagonal secundaria recorre la dirección opuesta. Esquema de las diagonales principal y secundaria en una matriz. La traza de una matriz cuadrada corresponde a la suma de los componentes que integran su diagonal principal: n m a ij i j 1 × n m × 1 n = m a , a , … , a 11 22 nn tr(A) = a + 11 a + 22 + a nn Álgebra Lineal: Matrices, Sistemas y Espacios Vectoriales 2 Diagrama del cálculo de la traza sumando la diagonal. COMPRUEBA 2 ¿Cómo se obtiene la traza de una matriz cuadrada de orden 3?

Matrices triangulares, diagonales y escalares A partir de la posición de los ceros respecto a la diagonal principal, las matrices cuadradas adoptan distintas clasificaciones: Tipo de matriz Definición estructural Condición analítica Triangular superior Valores nulos por debajo de la diagonal para todo Triangular inferior Valores nulos por encima de la diagonal para todo Diagonal Nula fuera de la diagonal principal si Escalar Matriz diagonal con valores idénticos en la diagonal Identidad ( ) Matriz diagonal con valor 1 en toda la diagonal principal y ( ) Esquema de matrices identidad ordenadas según su dimensión.

a = ij 0 i > j a = ij 0 i < j a = ij 0 i = j a = 11 a = 22 = k I n a = ii 1 a = ij 0 i = j Álgebra Lineal: Matrices, Sistemas y Espacios Vectoriales 3 Matrices escalonadas Una matriz escalonada presenta una disposición en peldaños decrecientes. Sus propiedades principales exigen que: Diagrama de estructuras escalonadas delimitando las posiciones de pivotes. Ejemplo de matriz escalonada con fila nula inferior. Contraejemplo de disposición que incumple la definición escalonada. Trasposición, simetría y antisimetría La matriz traspuesta ( ) se construye transformando ordenadamente las filas de en columnas. Las filas nulas, si existen, se ubiquen en la base inferior de la matriz.

1 En cada fila no nula, el primer elemento no nulo (llamado pivote) se sitúa estrictamente a la derecha del pivote de la fila previa. 2 Debajo de cada pivote, todos los elementos de su misma columna deben ser estrictamente cero. 3 AT A Álgebra Lineal: Matrices, Sistemas y Espacios Vectoriales 4 Esquema de trasposición intercambiando ordenadamente filas por columnas. Al contrastar una matriz con su traspuesta se derivan dos propiedades cardinales: Matriz simétrica: coincide exactamente con su traspuesta, verificándose A = A^T. Sus coeficientes opuestos respecto a la diagonal resultan iguales. Matriz antisimétrica: cumple que A = -A^T.

Los coeficientes simétricos presentan signos opuestos y los componentes de la diagonal principal son obligatoriamente cero. Esquema comparativo de una matriz simétrica frente a traspuesta. Esquema de matriz antisimétrica con ceros en diagonal. Álgebra Lineal: Matrices, Sistemas y Espacios Vectoriales 5 ESQUEMA Clasificación de matrices cuadradas ERROR FRECUENTE Confundir matriz simétrica con antisimétrica. En la matriz antisimétrica, además de que los elementos simétricos tienen signo opuesto ( ), los valores de la diagonal principal deben ser siempre nulos porque implica . COMPRUEBA 3 ¿Por qué la diagonal principal de cualquier matriz antisimétrica está compuesta exclusivamente por ceros?

IDEAS CLAVE La traza de una matriz cuadrada corresponde a la suma directa de las posiciones de su diagonal principal. Una matriz escalar es una matriz diagonal cuyos componentes en la diagonal son iguales a una constante dada. La transposición intercambia las filas por columnas, permitiendo caracterizar matrices simétricas ( ) y antisimétricas ( ). En una matriz escalonada, cada pivote se sitúa a la derecha del pivote de la fila superior, y las filas totalmente nulas ocupan la parte inferior. COMPRUEBA LO QUE HAS APRENDIDO 4. ¿Qué rasgo diferencia una matriz diagonal de una matriz escalar? 5. ¿En qué consiste la matriz traspuesta de una matriz dada?

Matriz Cuadrada Filas iguales a columnas Triangular Superior Ceros bajo la diagonal Triangular Inferior Ceros sobre la diagonal Diagonal Ceros fuera de diagonal Escalar Diagonal constante Identidad Diagonal de unos a = ij a ji a = ii a ii 2a = ii 0 A = AT A = AT Álgebra Lineal: Matrices, Sistemas y Espacios Vectoriales 6 Test Rodea la respuesta correcta. Las soluciones están al final. 6. ¿Cuál es la traza de una matriz identidad de orden 3? 7. ¿Qué condición geométrica define a una matriz triangular inferior? 8. En una matriz antisimétrica, ¿qué valor toman los coeficientes de la diagonal principal? 9. ¿Qué requisito debe cumplir una fila de ceros en una matriz escalonada?

2 Operaciones Matriciales y Relaciones de Equivalencia AL ACABAR SABRÁS Verificar las propiedades axiomáticas de la suma de matrices. Calcular la multiplicación de matrices por escalares. Evaluar la compatibilidad dimensional en la multiplicación matricial. PIÉNSALO ANTES DE LEER 10 ¿Se puede calcular el producto A · B siempre que se pueda calcular B · A? Dos matrices son equivalentes o iguales cuando poseen exactamente las mismas dimensiones ( filas y columnas) y todos sus elementos en posiciones correspondientes coinciden. Esta relación matemática respeta tres propiedades formales: Reflexiva: toda matriz es igual a sí misma ( ). Simétrica: si , entonces . Transitiva: si y , se deduce que .

9 a) 1 b) 0 c) 3 d) Ceros sobre la diagonal principal a) Ceros bajo la diagonal principal b) Ceros en la diagonal secundaria c) Pivotes unitarios obligatorios d) Todos deben ser uno a) Valores alternados no nulos b) Cualquier valor simétrico positivo c) Todos deben ser cero d) Situarse en la última fila a) Estar en la diagonal principal b) Tener pivote unitario c) Ocupar la primera posición d) n m A = A A = B B = A A = B B = C A = C Álgebra Lineal: Matrices, Sistemas y Espacios Vectoriales 7 Suma de matrices y álgebra de sumas La adición matricial exige que los operandos posean estrictamente las mismas dimensiones.

El procedimiento consiste en sumar los coeficientes situados en idéntica posición: Esquema paso a paso de suma término a término de matrices. La operación suma satisface un conjunto estructurado de axiomas: Propiedad Enunciado algebraico Significado operativo Conmutativa El orden de los sumandos no altera el resultado. Asociativa La agrupación de sumas produce idéntica matriz. Elemento neutro (identidad) Existe una matriz nula única que deja invariable a . Elemento opuesto (inverso) Toda matriz posee un opuesto simétrico que anula la suma. Cerradura La suma conserva inalteradas las dimensiones. Fórmula de suma simétrica conducente a la matriz nula.

COMPRUEBA 11 ¿Se pueden sumar una matriz de 2x3 y una matriz de 3x2? (A + B) = ij a + ij b ij A + B = B + A (A + B) + C = A + (B + C) A + O = A A A + ( A) = O A, B M m×n A + B M m×n Álgebra Lineal: Matrices, Sistemas y Espacios Vectoriales 8 Multiplicación por un escalar El producto de una matriz por un escalar se ejecuta multiplicando individualmente cada entrada por dicho valor numérico: Diagrama de multiplicación de una matriz completa por un escalar. Multiplicación de matrices Para poder efectuar la multiplicación entre dos matrices y , resulta imperativo que el número de columnas de la primera coincida con el número de filas de la segunda.

Regla de compatibilidad de dimensiones para el producto de matrices. Si la matriz tiene tamaño y la matriz presenta orden , el producto resultante tendrá dimensiones . ERROR FRECUENTE Intentar multiplicar matrices de igual dimensión sin comprobar la compatibilidad de filas y columnas. Para multiplicar , las dimensiones deben ser encadenadas: por . Dos matrices cuadradas del mismo orden se pueden multiplicar, pero dos matrices rectangulares de igual orden general no.

PROCESO Verificación para el producto de matrices 1 Identificar dimen siones Determinar orden de A (m x k) y B (r x p) 2 Comprobar coinci dencia Verificar si columnas de A igua lan a filas de B (k = r) 3 Efectuar producto Multiplicar filas por columnas obteniendo matriz m x p k R k A = (k a ) ij A B A m × k B k × p C = A B m × p A B (m × k) (k × p) Álgebra Lineal: Matrices, Sistemas y Espacios Vectoriales 9 IDEAS CLAVE La igualdad de matrices requiere idénticas dimensiones y coincidencia término a término bajo equivalencia reflexiva, simétrica y transitiva.

La suma matricial exige dimensiones idénticas y se realiza componente a componente, gozando de propiedades conmutativa, asociativa y elemento neutro. El producto escalar distribuye el factor real multiplicando cada una de las posiciones de la matriz. Para multiplicar matrices es indispensable que las columnas del primer factor igualen en cantidad a las filas del segundo factor. COMPRUEBA LO QUE HAS APRENDIDO 12. ¿Cuál es el resultado de sumar una matriz con su matriz opuesta ? 13. Si una matriz tiene dimensiones y otra , ¿se pueden multiplicar y cuál es la dimensión resultante? Test Rodea la respuesta correcta. Las soluciones están al final. 14. ¿Qué condición hace posible sumar dos matrices?

15. ¿Qué propiedad describe la expresión A + (B + C) = (A + B) + C? 16. Si A es 3x4 y B es 4x2, ¿cuál es el tamaño de A·B? 17. ¿Qué ocurre al multiplicar un escalar por una matriz?

A A 4 × 2 2 × 5 Filas proporcionales a columnas a) Que ambas sean cuadradas b) Mismo determinante positivo c) Mismo número de filas y columnas d) Propiedad conmutativa a) Propiedad de cerradura b) Propiedad asociativa c) Propiedad distributiva d) 4x4 a) 3x4 b) 3x2 c) No se pueden multiplicar d) Se multiplica toda la matriz a) Se afecta solo a la primera fila b) Se multiplica solo la diagonal c) Se multiplica solo la primera columna d) Álgebra Lineal: Matrices, Sistemas y Espacios Vectoriales 10 3 Sistemas de Ecuaciones Lineales y Resolución por Gauss AL ACABAR SABRÁS Distinguir formalmente ecuaciones lineales y dependencias algebraicas.

Calcular el rango matricial utilizando el escalonamiento de Gauss. Clasificar sistemas de ecuaciones lineales mediante el Teorema de Rouché-Frobenius. PIÉNSALO ANTES DE LEER 18 ¿Puede un sistema de ecuaciones con más incógnitas que ecuaciones tener solución única? Una ecuación representa una igualdad entre dos expresiones algebraicas vinculadas por el signo igual. En un sistema algebraico diferenciamos sus partes estructurales esenciales: Miembros: expresiones situadas a cada lado de la igualdad. Términos: elementos separados mediante operadores de suma o resta. Constantes: números fijos carentes de incógnita. Incógnita o variable: letras que designan valores no determinados.

Coeficiente: factor multiplicador asociado directamente a la incógnita. Diagrama de los elementos que integran una ecuación matemática. Álgebra Lineal: Matrices, Sistemas y Espacios Vectoriales 11 Pizarra explicativa con miembros, términos, coeficientes y constantes. Identificación de ecuaciones lineales y dependencias Una ecuación es estrictamente lineal si todas sus incógnitas aparecen con exponente unitario (no elevadas a ninguna potencia) y no existen multiplicaciones cruzadas entre incógnitas distintas. Dentro de un conjunto de ecuaciones encontramos dos naturalezas: Ecuaciones dependientes: se obtienen por combinación (suma, resta o multiplicación escalar) de otras del sistema.

Pueden suprimirse sin alterar las soluciones. Ecuaciones independientes: aportan restricciones genuinas y no pueden eliminarse del conjunto. Esquema de cancelación de ecuaciones dependientes en un sistema. El rango y el método de eliminación de Gauss El método de Gauss transforma el sistema en una matriz escalonada mediante tres operaciones que conservan las soluciones (sistemas equivalentes): Intercambiar el orden relativo de dos filas cualesquiera. 1 Multiplicar todos los términos de una fila por un número real no nulo. 2 Álgebra Lineal: Matrices, Sistemas y Espacios Vectoriales 12 Diagrama de intercambio de filas en el método de Gauss.

El proceso comienza buscando un coeficiente no nulo (preferentemente 1) en la primera columna para fijarlo como pivote en la fila superior, generando ceros sistemáticos en todas las filas inferiores. DEFINICIÓN El rango de una matriz corresponde al número de filas no nulas tras haber completado la reducción escalonada por el método de Gauss. Equivale al total de filas linealmente independientes. COMPRUEBA 19 ¿Cómo varía el rango si multiplicamos una fila entera por un escalar distinto de cero?

Teorema de Rouché-Frobenius y grados de libertad El análisis de compatibilidad se efectúa contrastando el rango de la matriz de coeficientes frente al de la matriz ampliada y el número total de incógnitas : Clasificación del sistema Relación de rangos Número de soluciones Sistema Incompatible (SI) Sin solución Sistema Compatible Determinado (SCD) Solución única Sistema Compatible Indeterminado (SCI) Infinitas soluciones En los sistemas compatibles indeterminados surgen variables libres. Los grados de libertad miden el número de parámetros independientes y se calculan como: donde es el total de variables y es el rango. Sumar o restar a una fila otra fila multiplicada por un escalar.

3 rang(A) rang(Ab) n rang(A) < rang(Ab) rang(A) = rang(Ab) = n rang(A) = rang(Ab) < n Grados de libertad = n r n r Álgebra Lineal: Matrices, Sistemas y Espacios Vectoriales 13 Esquema conceptual de grados de libertad en sistemas escalonados. Sistemas homogéneos Un sistema homogéneo tiene nulos todos sus términos independientes. La columna anexa de la matriz ampliada contiene solo ceros, garantizando siempre que . Por tanto, un sistema homogéneo siempre es compatible: admite solución trivial única (SCD) o infinitas soluciones (SCI). ERROR FRECUENTE Calificar un sistema homogéneo como incompatible (SI).

Un sistema homogéneo jamás puede carecer de solución, ya que la asignación de cero a todas las incógnitas (solución trivial) satisface siempre todas las igualdades.

rang(A) = rang(Ab) Álgebra Lineal: Matrices, Sistemas y Espacios Vectoriales 14 CAUSAS Y CONSECUENCIAS rang(A) < rang(Ab) Inconsistencia entre coeficientes e independientes rang(A) = rang(Ab) = n Mismo rango que número de incógnitas rang(A) = rang(Ab) < n Rango inferior al número de variables Resolución por Rouché- Frobenius Sistema Incompatible Sin solución posible Compatible Determinado Solución única determinada Compatible Indeterminado Infinitas soluciones con grados de libertad IDEAS CLAVE Las ecuaciones lineales prohíben variables elevadas a exponentes distintos de uno y productos entre incógnitas. El rango equivale al número de filas no nulas obtenidas tras la eliminación de Gauss.

El Teorema de Rouché-Frobenius establece la compatibilidad comparando el rango de la matriz simple con el de la matriz ampliada. Los sistemas homogéneos nunca son incompatibles, pues siempre aceptan al menos la solución trivial cero. COMPRUEBA LO QUE HAS APRENDIDO 20. ¿Cuándo se considera incompatible un sistema según el Teorema de Rouché-Frobenius? 21. ¿Cómo se calculan los grados de libertad en un sistema compatible indeterminado? Test Rodea la respuesta correcta. Las soluciones están al final. 22. ¿Por qué la expresión 3xy + z = 2 no es una ecuación lineal? 23. ¿Qué describe el rango de una matriz escalonada? 24.

Si rang(A) = rang(Ab) = 2 con 3 incógnitas, el sistema es: Por el producto entre variables x e y a) Por tener tres incógnitas b) Por poseer constante no nula c) Por carecer de término cuadrático d) Cantidad de columnas nulas a) Número de filas no nulas b) Número total de incógnitas c) Suma de los pivotes d) Homogéneo nulo a) Incompatible b) Compatible Indeterminado c) Compatible Determinado d) Álgebra Lineal: Matrices, Sistemas y Espacios Vectoriales 15 25. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones describe a los sistemas homogéneos? 4 Introducción a los Espacios Vectoriales AL ACABAR SABRÁS Identificar los axiomas aditivos que definen la estructura de espacio vectorial.

Diferenciar analíticamente el vector nulo del escalar cero. PIÉNSALO ANTES DE LEER 26 ¿Es posible construir un espacio vectorial que carezca de un elemento neutro aditivo? Un espacio vectorial es una estructura algebraica provista de dos operaciones fundamentales: la adición de vectores y la multiplicación por escalares.

Para que el conjunto califique como espacio vectorial, su operación suma interna debe satisfacer rigurosamente cuatro propiedades elementales: Axiomas aditivos fundamentales Tienen términos no nulos a) Pueden ser incompatibles b) Carecen de solución trivial c) Siempre son compatibles d) E Propiedad conmutativa: para cualquier par de elementos , el orden de sumandos resulta indiferente: 1 v, w E v + w = w + v Propiedad asociativa: la agrupación de varios vectores no altera el resultado final: 2 (u + v) + w = u + (v + w) = u + v + w Existencia de elemento neutro: existe un elemento específico denominado cero vectorial (0) tal que no altera al vector evaluado: 3 v + 0 = v, v E Existencia de elemento inverso (opuesto): todo elemento posee un correspondiente capaz de anular la suma: 4 v E v E v + ( v) = 0 Álgebra Lineal: Matrices, Sistemas y Espacios Vectoriales 16 Esquema de los cuatro axiomas de la adición en espacios vectoriales.

COMPRUEBA 27 ¿Qué ocurriría en un espacio vectorial si un elemento no tuviera vector inverso aditivo? ERROR FRECUENTE Confundir el escalar numérico 0 con el elemento neutro vectorial 0. El elemento neutro es un vector integrante del conjunto con la dimensión requerida por el espacio, mientras que el escalar es un número real ordinario.

ESQUEMA Axiomas de la adición vectorial E Suma en Espacio Vectorial Condiciones aditivas en el conjunto E Conmutativa v + w = w + v Asociativa (u + v) + w = u + (v + w) Elemento Neutro v + 0 = v Elemento Inverso v + (-v) = 0 Álgebra Lineal: Matrices, Sistemas y Espacios Vectoriales 17 IDEAS CLAVE Un espacio vectorial requiere que la suma de sus elementos respete cuatro propiedades algebraicas esenciales. La conmutatividad y asociatividad garantizan invariabilidad frente a cambios de orden y agrupación. Todo espacio vectorial cuenta con un vector neutro único y un elemento opuesto para cada vector. COMPRUEBA LO QUE HAS APRENDIDO 28.

¿Cuáles son las cuatro propiedades que debe cumplir la suma en un espacio vectorial? 29. ¿Cuál es la expresión formal de la propiedad del elemento inverso en un espacio vectorial? Test Rodea la respuesta correcta. Las soluciones están al final. 30. ¿Cuál de las siguientes relaciones expresa la conmutatividad en un espacio vectorial? 31. ¿Qué propiedad asegura la igualdad v + 0 = v para todo vector v? 32. ¿Qué vector permite satisfacer v + (-v) = 0 en un espacio vectorial? 33. En la suma de vectores (u + v) + w = u + (v + w), ¿qué propiedad se cumple?

v + 0 = v a) (u + v) + w = u + (v + w) b) v + (-v) = 0 c) v + w = w + v d) Elemento neutro a) Asociatividad b) Cerradura escalar c) Elemento inverso d) El vector generador a) El vector inverso u opuesto b) El vector idéntico c) Cualquier vector unitario d) Conmutativa a) Distributiva cruzada b) Asociativa c) Inversa aditiva d) Álgebra Lineal: Matrices, Sistemas y Espacios Vectoriales 18 5 Formulario Álgebra matricial y operaciones Fórmula o procedimiento Qué significa cada símbolo Cuándo se usa : elementos de la diagonal principal Cálculo de la traza en matrices cuadradas. Intercambio de filas por columnas Trasposición, comprobación de simetría ( ) y antisimetría ( ).

de idéntica dimensión Suma elemento a elemento de dos matrices del mismo orden. , escalar multiplicador Producto de un escalar por una matriz. Suma de productos de fila por columna Multiplicación matricial (solo si columnas de coinciden con filas de ). Eliminación de Gauss y rango Fórmula o procedimiento Qué significa cada símbolo Cuándo se usa Elegir pivote no nulo en primera columna Intercambiar filas si procede Anular elementos inferiores mediante Repetir en submatrices Operaciones elementales de fila Escalonar una matriz o resolver sistemas lineales conservando equivalencia. Número de filas no nulas tras Gauss Determinar el número de ecuaciones o filas linealmente independientes.

: incógnitas, Cálculo de parámetros libres en sistemas indeterminados. Teorema de Rouché-Frobenius Condición analítica Clasificación del sistema Tipo de solución Sistema Incompatible (SI) Sin solución. Sistema Compatible Determinado (SCD) Solución única. tr(A) = a i=1 n ii a ii A = T (a ) ji A = AT A = AT (A + B) = ij a + ij b ij A, B m × n k A = (k a ) ij k R A m×k B = k×p C m×p A B F i F i c F j rang(A) Grados de libertad = n r n r = rang(A) rang(A) < rang(Ab) rang(A) = rang(Ab) = n Álgebra Lineal: Matrices, Sistemas y Espacios Vectoriales 19 Condición analítica Clasificación del sistema Tipo de solución Sistema Compatible Indeterminado (SCI) Infinitas soluciones dependientes de parámetros.

Términos independientes nulos ( ) Sistema Homogéneo Siempre compatible ( ); admite solución trivial. Axiomas de la adición en espacios vectoriales Propiedad Expresión algebraica Ámbito de aplicación Conmutativa Invariabilidad del orden en la suma vectorial. Asociativa Agrupación de vectores en adición sucesiva. Elemento neutro Existencia del vector nulo en el espacio . Elemento opuesto Existencia del inverso aditivo para todo vector. Errores típicos Intentar multiplicar matrices cuadrando solo el número total de elementos en vez de verificar . Olvidar que los coeficientes de la diagonal principal de cualquier matriz antisimétrica deben ser estrictamente cero.

Calificar un sistema homogéneo como incompatible; al tener términos independientes nulos, la solución trivial garantiza compatibilidad siempre. Confundir el escalar real cero ( ) con el vector nulo neutro ( ). rang(A) = rang(Ab) < n n r b = 0 rang(A) = rang(Ab) v + w = w + v (u + v) + w = u + (v + w) v + 0 = v E v + ( v) = 0 columnas(A) = filas(B) 0 R 0 E Álgebra Lineal: Matrices, Sistemas y Espacios Vectoriales 20 Soluciones de las preguntas de repaso 1. Porque la traza está definida exclusivamente para matrices cuadradas, en las que el número de filas coincide con el de columnas. 2. Se calcula sumando exclusivamente los tres elementos de su diagonal principal: a + a + a . 3.

Porque la relación de antisimetría impone que a_{ii} = -a_{ii}. El único número real idéntico a su opuesto es el cero. 4. La matriz diagonal solo exige que los valores fuera de la diagonal principal sean cero, mientras que la escalar exige adicionalmente que todos los valores de la diagonal principal sean idénticos. 5. Consiste en la reordenación matricial donde cada fila pasa a ocupar la posición de su respectiva columna. 6. d) 3. La matriz identidad de orden 3 tiene unos en su diagonal principal; sumando 1 + 1 + 1 se obtiene 3. 7. a) Ceros sobre la diagonal principal. Es triangular inferior si todos los coeficientes situados por encima de la diagonal principal son cero. 8.

d) Todos deben ser cero. La igualdad entre un elemento y su opuesto negativo solo se satisface con el valor numérico cero. 9. a) Situarse en la última fila. En una matriz escalonada, las filas cuyos componentes son todos cero deben situarse en la parte inferior. 10. No, porque las dimensiones de filas y columnas deben coincidir en el orden respectivo de multiplicación. 11. No, la suma solo está definida para matrices que comparten idéntico número de filas e idéntico número de columnas. 12. Se obtiene la matriz nula de las mismas dimensiones, donde todas las componentes valen cero. 13. Sí se pueden multiplicar porque las columnas de la primera (2) coinciden con las filas de la segunda (2).

El producto da una matriz de dimensión . 14. d) Mismo número de filas y columnas. La adición matricial exige rigurosamente que ambas compartan el mismo orden o dimensión. 15. c) Propiedad asociativa. La libre agrupación de factores aditivos define a la propiedad asociativa. 16. c) 3x2. El producto hereda el número de filas de la primera matriz (3) y de columnas de la segunda (2). 17. a) Se multiplica toda la matriz. El escalar multiplica uno por uno a todos los componentes de la matriz. 18. No, porque el rango máximo no puede superar el número de ecuaciones, impidiendo alcanzar el número de incógnitas para ser determinado. 19.

No varía en absoluto, porque es una operación elemental de Gauss que conserva las soluciones y el número de filas independientes. 20. Cuando el rango de la matriz de coeficientes es estrictamente menor que el rango de la matriz ampliada ( ). 21. Restando el rango del sistema al número total de incógnitas ( ). 22. a) Por el producto entre variables x e y. El producto cruzado de incógnitas rompe estrictamente la linealidad de la ecuación. O 4 × 5 rang(A) < rang(Ab) n r Álgebra Lineal: Matrices, Sistemas y Espacios Vectoriales 21 23. b) Número de filas no nulas. El rango se define operacionalmente como el cómputo de filas con elementos distintos de cero. 24. c) Compatible Indeterminado.

Al coincidir los rangos pero ser inferiores al número de variables, existen infinitas soluciones. 25. d) Siempre son compatibles. Al tener términos independientes iguales a cero, la solución nula siempre satisface el sistema. 26. No, la existencia del elemento neutro es un axioma fundamental obligatorio para todo espacio vectorial. 27. El conjunto dejaría de considerarse espacio vectorial, pues la existencia de inverso es un axioma indispensable. 28. Conmutativa, asociativa, existencia de elemento neutro y existencia de elemento opuesto o inverso. 29. Para todo existe tal que . 30. d) v + w = w + v.

La propiedad conmutativa postula que la adición entre vectores no depende del orden en que se sumen. 31. a) Elemento neutro. El axioma del elemento neutro establece la invariabilidad aditiva frente al vector cero. 32. b) El vector inverso u opuesto. El opuesto o inverso aditivo produce como resultado directo el vector nulo del espacio. 33. c) Asociativa. Agrupar términos diferentes sin alterar el resultado corresponde a la ley asociativa. v E v E v + ( v) = 0 Álgebra Lineal: Matrices, Sistemas y Espacios Vectoriales 22