Álgebra Lineal: Matrices, Sistemas y Espacios

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APUNTES ÁLGEBRA LINEAL Grado en Ingeniería Informática Universidad Rovira i Virgili AprenAI 2026-2027 Apuntes completos de Álgebra Lineal: matrices, determinantes, sistemas con Rouché-Frobenius, espacios vectoriales, producto escalar y aplicaciones lineales. APREN.AI Índice 1 Matrices y Determinantes 1. Tipos de matrices y operaciones básicas 2. Trasposición y simetría 3. Matriz inversa y métodos de resolución 4.

Determinantes: fundamentos y propiedades 2 Sistemas de Ecuaciones Lineales Definición y representación matricial Tipología de los sistemas de ecuaciones lineales Métodos de resolución: Gauss y Gauss-Jordan Regla de Cramer Criterio de compatibilidad: Teorema de Rouché-Frobenius Sistemas homogéneos 3 Espacios Vectoriales y Subespacios Estructura de Espacio Vectorial Combinación Lineal e Independencia Lineal Subespacios Vectoriales y Operaciones Bases, Dimensión y Fórmula de Grassmann Ecuaciones de Subespacios y Cambio de Base 4 Espacio Vectorial Euclídeo y Aplicaciones Lineales 1. Espacio vectorial euclídeo: producto escalar, norma y ortogonalidad 2.

Matriz de Gram y cálculo matricial del producto escalar 3. Aplicaciones lineales: definición, propiedades y clasificación 4. Representación matricial y fórmulas de cambio de base 5. Núcleo e imagen de una aplicación lineal 5 Formulario Matrices y determinantes Sistemas de ecuaciones lineales Espacios y subespacios vectoriales Espacio euclídeo y aplicaciones lineales Errores típicos Soluciones de las preguntas de repaso Estos apuntes pueden contener errores u omisiones. Son un material de apoyo y no sustituyen al temario oficial ni al profesorado: contrasta la información importante.

Álgebra Lineal: Matrices, Sistemas y Espacios 1 1 Matrices y Determinantes AL ACABAR SABRÁS Operar matrices mediante suma, producto escalar, producto matricial y trasposición. Descomponer cualquier matriz cuadrada en sus componentes simétrica y antisimétrica. Obtener la inversa de una matriz mediante transformaciones de Gauss o mediante la matriz adjunta. Evaluar determinantes aplicando permutaciones, la regla de Sarrus y operaciones elementales. PIÉNSALO ANTES DE LEER 1 ¿Por qué el producto de matrices no cumple en general la propiedad conmutativa?

Una matriz es una disposición rectangular de elementos organizados en filas y columnas sobre un cuerpo , como los números reales o los números complejos . El par de valores determina su dimensión u orden. ESQUEMA Estructura general de Matrices y Determinantes 1. Tipos de matrices y operaciones básicas Si el número de filas coincide con el de columnas ( ), se denomina matriz cuadrada. Los elementos de la forma constituyen la diagonal principal. Esquema de la diagonal principal en una matriz cuadrada.

m n K R C m × n Tipos de matrices Clasificación según forma y simetría Operaciones básicas Suma, producto escalar y matricial Inversión matricial Métodos de Gauss y matriz adjunta Cálculo de determinantes Permutaciones, Sarrus y transformaciones m = n a ii Álgebra Lineal: Matrices, Sistemas y Espacios 2 La suma de los coeficientes situados en dicha diagonal define la traza, expresada como . Tipo de matriz Condición matemática Descripción estructural Triangular superior para todo Ceros estrictos por debajo de la diagonal principal. Triangular inferior para todo Ceros estrictos por encima de la diagonal principal. Diagonal cuando Elementos nulos fuera de la diagonal principal.

Escalar , con ( ) Matriz diagonal con valor idéntico en su diagonal. Unidad (Identidad) , con ( ) Elemento neutro del producto de matrices cuadradas. Entre las operaciones fundamentales destacan: Suma matricial: se realiza término a término entre matrices de idénticas dimensiones: . Es conmutativa, asociativa y posee elemento neutro (matriz nula). Producto por escalar: multiplica cada coeficiente por : . Producto matricial: para que esté definido, las columnas del primer factor deben igualar las filas del segundo. El término resultante se calcula como . 2.

Trasposición y simetría La matriz traspuesta se construye intercambiando ordenadamente las filas por columnas: la entrada pasa a ocupar la posición . Cumple las identidades y . ERROR FRECUENTE Al trasponer un producto de matrices suele olvidarse alterar la secuencia de multiplicación. La regla canónica invierte estrictamente los términos: (AB)^t = B^t A^t, y no . Atendiendo a su relación con la traspuesta, una matriz cuadrada clasifica en: Simétrica: cuando verifica exactamente A = A^t (es decir, ). Antisimétrica: cuando satisface A = -A^t (o sea, ). Esta exigencia implica que su diagonal principal consta únicamente de ceros, ya que .

Toda matriz cuadrada admite una partición canónica única: donde la primera fracción representa su componente simétrica y la segunda su componente antisimétrica. COMPRUEBA 2 ¿Por qué los términos de la diagonal principal de una matriz antisimétrica son siempre cero? Tr(A) = a i=1 n ii a = ij 0 i > j a = ij 0 i < j a = ij 0 i = j a = ii λ a = ij 0 i = j a = ii 1 a = ij 0 i = j A + B = (a + ij b ) ij λ K λA = (λa ) ij C = AB c = ij a b k=1 p ik kj At (i, j) (j, i) (A ) = t t A (A + B) = t A + t Bt A B t t a = ij a ji a = ij a ji a = ii a ii 2a = ii 0 A = (A + 2 1 A ) + t (A 2 1 A ) t Álgebra Lineal: Matrices, Sistemas y Espacios 3 3.

Matriz inversa y métodos de resolución Una matriz cuadrada es invertible o regular si existe una matriz tal que . Dicha matriz es única y se denota . Posee las propiedades , y . El cálculo de la matriz inversa puede desarrollarse mediante dos procedimientos formales: 4. Determinantes: fundamentos y propiedades El determinante de una matriz cuadrada de orden es la suma escalar extendida a todas las permutaciones del conjunto de columnas: donde indica la cantidad de inversiones de la permutación, asignando un factor positivo a las permutaciones pares y negativo a las impares.

Para matrices de tamaño se aplica de forma directa la regla de Sarrus: Esquema de la regla de Sarrus para términos positivos y negativos. Para dimensiones superiores, se emplean el menor complementario (determinante de la submatriz de orden que resulta tras suprimir la fila y la columna ) y el adjunto . El determinante equivale al desarrollo por los elementos de cualquier línea multiplicados por sus respectivos adjuntos. Operación elemental o condición Efecto sobre el determinante Intercambio de dos filas o columnas ( ) Cambia de signo: pasa a ser . Multiplicación de una línea por un escalar Queda multiplicado por dicho escalar: .

A B AB = BA = I A 1 (A ) = 1 1 A (AB) = 1 B A 1 1 (A ) = t 1 (A ) 1 t Método de Gauss-Jordan: se dispone la matriz ampliada o bien y se aplican transformaciones elementales por filas hasta transformar la parte de en la identidad , obteniendo en el bloque restante. Si surge una fila completa de ceros, el rango es menor que y no existe inversa. 1 (I A) (A I) A I A 1 n Método de la matriz adjunta: utiliza la expresión cerrada , requiriendo que . 2 A = 1 (Adj(A)) A 1 t A = 0 A n (j , j , …

, j ) 1 2 n A = ( 1) a a a P n α 1j 1 2j 2 nj n α 3 × 3 M ij n 1 i j α = ij ( 1) M i+j ij A F i F j A λ λ A Álgebra Lineal: Matrices, Sistemas y Espacios 4 Operación elemental o condición Efecto sobre el determinante Sumar a una línea una combinación lineal de paralelas El valor del determinante no varía. Presencia de línea nula, líneas iguales o proporcionales El determinante es nulo: . Trasposición de la matriz completa Permanece invariante: . Determinante del producto matricial Satisface la factorización "AB" = "A" "B". COMPRUEBA 3 ¿Cómo influye multiplicar todos los coeficientes de una matriz cuadrada de orden 3 por un escalar k en su determinante?

IDEAS CLAVE La trasposición invierte el orden del producto matricial: . Una matriz cuadrada descompone de forma única en suma de una componente simétrica y otra antisimétrica mediante . La matriz inversa existe únicamente si y se obtiene mediante . El intercambio de dos filas o columnas consecutivas o alternas en un determinante altera su signo. El determinante de un producto matricial equivale al producto de sus determinantes: . COMPRUEBA LO QUE HAS APRENDIDO 4. ¿Cuál es la condición para que una matriz sea clasificada como antisimétrica? 5. ¿Por qué sumar a una línea de una matriz una combinación lineal de otras líneas paralelas no altera el determinante? Test Rodea la respuesta correcta.

Las soluciones están al final. 6. ¿Cuál es la expresión correcta para la traspuesta del producto de dos matrices? 7. ¿Qué valor toman necesariamente los elementos de la diagonal principal de una matriz antisimétrica? A A = 0 A = t A (AB) = t B A t t (A + 2 1 A ) + t (A 2 1 A ) t A = 0 A = 1 (Adj(A)) A 1 t AB = A B a) (A + B)t b) Bt At c) At Bt - d) (AB)t Cero a) Uno b) Cualquier número real c) Valores negativos arbitrarios d) Álgebra Lineal: Matrices, Sistemas y Espacios 5 8. ¿Cómo se calcula la matriz inversa utilizando determinantes y adjuntos? 9. ¿Qué le ocurre al determinante de una matriz si se intercambian dos de sus filas?

2 Sistemas de Ecuaciones Lineales AL ACABAR SABRÁS Expresar matricialmente un sistema lineal mediante la formulación AX = B y su matriz ampliada. Clasificar la compatibilidad de un sistema aplicando el Teorema de Rouché-Frobenius. Determinar las soluciones de sistemas lineales empleando Gauss-Jordan y la regla de Cramer. Caracterizar y resolver sistemas lineales homogéneos analizando la presencia de soluciones no triviales. PIÉNSALO ANTES DE LEER 10 ¿Es posible que un sistema de ecuaciones lineales tenga exactamente dos soluciones distintas?

Definición y representación matricial Una ecuación lineal sobre un cuerpo (como o ) presenta la estructura , donde los coeficientes y el término independiente pertenecen a dicho cuerpo. Un sistema de ecuaciones lineales agrupa ecuaciones con incógnitas: De forma compacta, el conjunto completo se representa mediante la ecuación matricial AX = B: Aquí, es la matriz de coeficientes de dimensión , es la columna de incógnitas de orden y recoge los términos independientes con orden . Al concatenar el vector a la derecha de se obtiene la matriz ampliada, denotada por .

"A" · (Adj(A))^t a) (Adj(A))^t / "A"² b) (1 / "A") · (Adj(A))^t c) (1 / "A") · Adj(A) d) No varía a) Se hace cero b) Se multiplica por dos c) Cambia de signo d) K R C a x + 1 1 a x + 2 2 + a x = n n b a i b m n a x + a x + + a x = b 11 1 12 2 1n n 1 a x + a x + + a x = b 21 1 22 2 2n n 2 a x + a x + + a x = b m1 1 m2 2 mn n m = a 11 a 21 a m1 a 12 a 22 a m2 a 1n a 2n a mn x 1 x 2 x n b 1 b 2 b m A m × n X n × 1 B m × 1 B A (A B) Álgebra Lineal: Matrices, Sistemas y Espacios 6 Dos sistemas son sistemas equivalentes si comparten exactamente el mismo conjunto de soluciones.

Estas transformaciones equivalentes se logran operando por filas: multiplicando una fila por un escalar no nulo o sumándole a una ecuación otra multiplicada por una constante. Tipología de los sistemas de ecuaciones lineales La existencia y multiplicidad de soluciones permite clasificar cualquier sistema en tres categorías excluyentes: Esquema de clasificación general de sistemas de ecuaciones lineales.

Tipo de sistema Acrónimo Número de soluciones Condición con matriz reducida Compatible determinado SCD Solución única Mismo número de ecuaciones no nulas que de incógnitas Compatible indeterminado SCI Infinitas soluciones Menor número de ecuaciones no nulas que de incógnitas Incompatible SI Ninguna solución Aparece una contradicción del tipo con COMPRUEBA 11 ¿Por qué una fila reducida de la forma (0 0 ... 0 " 5) hace incompatible un sistema?

Métodos de resolución: Gauss y Gauss-Jordan Para resolver un sistema matricial se aplican operaciones elementales por filas sobre la matriz ampliada : 0x + 1 + 0x = n c c = 0 (A B) Planteamiento matricial: se construye la matriz ampliada reuniendo coeficientes y términos independientes. 1 (A B) Eliminación gaussiana: se aplican transformaciones elementales para transformar en una matriz escalonada por filas. A partir de aquí se resuelve despejando hacia atrás.

2 (A B) Método de Gauss-Jordan: se prosigue con las operaciones por filas hasta alcanzar la matriz escalonada reducida, donde los pivotes son 1 y los demás elementos de sus columnas son nulos, permitiendo la lectura directa de las soluciones. 3 Álgebra Lineal: Matrices, Sistemas y Espacios 7 ERROR FRECUENTE Al estudiar sistemas con parámetros dependientes de una constante , nunca dividas una fila entre expresiones que puedan anularse sin estudiar previamente ese caso de forma aislada.

Si realizas operaciones elementales dividiendo por una expresión que dependa de , debes suponer que es no nula y analizar aparte el caso en que se anula, pues de lo contrario perderás soluciones o clasificarás incorrectamente el sistema. Regla de Cramer La regla de Cramer se aplica a sistemas cuadrados regulares ( ecuaciones con incógnitas) donde el determinante de coeficientes no se anula, es decir, (véase «Matrices y Determinantes»).

Al cumplirse esta condición, existe la matriz invertible y el sistema es necesariamente compatible determinado: Cada incógnita se obtiene calculando el cociente entre el determinante de la matriz resultante al sustituir la columna de por el vector columna y el determinante : Criterio de compatibilidad: Teorema de Rouché-Frobenius El Teorema de Rouché-Frobenius establece la condición necesaria y suficiente para analizar la consistencia de un sistema lineal a partir de los rangos de y de la matriz ampliada : TEOREMA DE ROUCHÉ-FROBENIUS Un sistema es compatible si y solo si . Por contraposición lógica, es incompatible si y solo si .

ESQUEMA Criterio de Rouché- Frobenius Siendo el número de incógnitas: Si : el sistema es compatible determinado (solución única). a a n n A = 0 A 1 X = A B = 1 (Adj(A)) B A 1 t x j j A B A x = j A det(A ) j A (A B) AX = B rg(A) = rg(A B) rg(A) = rg(A B) rg(A) = rg(A"B) Sistema compatible Rango = n incógnitas Compatible determinado (SCD) Rango < n incógnitas Compatible indeterminado (SCI) rg(A) rg(A"B) Sistema incompatible (SI) n rg(A) = rg(A B) = n Álgebra Lineal: Matrices, Sistemas y Espacios 8 Si : el sistema es compatible indeterminado (infinitas soluciones parametrizadas). Si : el sistema es incompatible (carece de solución).

COMPRUEBA 12 ¿Puede ocurrir que rg(A) sea estrictamente mayor que rg(A"B)? Sistemas homogéneos Un sistema es homogéneo cuando todos sus términos independientes son cero ( ). Como el vector nulo no aporta columnas linealmente independientes a la matriz ampliada, se cumple siempre la igualdad . En consecuencia, según el teorema de Rouché-Frobenius, un sistema homogéneo siempre es compatible y admite al menos la solución trivial (es decir, ): Si : es compatible determinado y la solución trivial es su única solución. Si : es compatible indeterminado y admite infinitas soluciones expresables en función de parámetros libres.

IDEAS CLAVE Un sistema de ecuaciones lineales se formula matricialmente como . El Teorema de Rouché-Frobenius establece que un sistema es compatible si y solo si . Un sistema compatible es determinado si el rango iguala al número de incógnitas, e indeterminado si el rango es estrictamente menor. La regla de Cramer permite resolver sistemas cuadrados con determinante de coeficientes no nulo. Un sistema homogéneo siempre es compatible al contar como mínimo con la solución trivial. COMPRUEBA LO QUE HAS APRENDIDO 13. ¿En qué circunstancias un sistema homogéneo presenta soluciones distintas de la solución trivial? 14. ¿Qué requisitos son indispensables para poder aplicar la regla de Cramer?

rg(A) = rg(A B) < n rg(A) < rg(A B) AX = 0 rg(A) = rg(A 0) X = 0 x = 1 x = 2 = x = n 0 rg(A) = n rg(A) < n AX = B rg(A) = rg(A B) AX = 0 Álgebra Lineal: Matrices, Sistemas y Espacios 9 Test Rodea la respuesta correcta. Las soluciones están al final. 15. ¿Qué condición caracteriza a un sistema lineal incompatible según Rouché-Frobenius? 16. ¿Por qué un sistema homogéneo AX = 0 nunca puede ser incompatible? 17. En un sistema con 4 incógnitas, si rg(A) = rg(A"B) = 3, ¿qué tipo de sistema es? 18. ¿Qué transformación elemental por filas no preserva la equivalencia del sistema?

3 Espacios Vectoriales y Subespacios AL ACABAR SABRÁS Verificar si un subconjunto cumple los axiomas de subespacio vectorial Calcular bases y dimensiones mediante sistemas generadores y eliminación de dependencia lineal Aplicar la fórmula de Grassmann para determinar dimensiones de sumas e intersecciones Transformar subespacios entre sus representaciones paramétricas e implícitas PIÉNSALO ANTES DE LEER 19 ¿Por qué un plano que no pasa por el origen de coordenadas nunca puede considerarse un subespacio vectorial?

rg(A) supera al número de incógnitas a) El determinante "A" es no nulo b) rg(A) es menor que rg(A"B) c) rg(A) coincide con rg(A"B) d) Porque siempre admite la solución trivial a) Porque la matriz reducida es identidad b) Porque tiene más ecuaciones que incógnitas c) Porque su determinante siempre vale cero d) Compatible indeterminado a) Sistema incompatible b) Compatible determinado c) Sistema homogéneo trivial d) Intercambiar dos filas de posición a) Multiplicar una fila por el escalar 0 b) Sumar a una fila un múltiplo de otra c) Multiplicar una fila por un número negativo d) Álgebra Lineal: Matrices, Sistemas y Espacios 10 Estructura de Espacio Vectorial Un espacio vectorial sobre un cuerpo (típicamente los números reales o complejos ) es una terna formada por un conjunto no vacío de vectores y dos operaciones cerradas que cumplen un catálogo axiomático preciso.

La primera operación es la suma interna , dotando a de estructura de grupo abeliano: Ley interna: si , entonces . Asociativa: para todo . Conmutativa: . Elemento neutro: existe un único vector nulo tal que . Elemento simétrico: para cada existe su vector opuesto tal que . La segunda operación es el producto por escalares , que satisface cuatro propiedades para todo y todo : Distributividad respecto a la suma escalar: . Distributividad respecto a la suma vectorial: . Asociatividad escalar: . Elemento unidad: , donde 1 es la unidad multiplicativa en . PROPIEDADES DEDUCIDAS DE LOS AXIOMAS A partir de estos axiomas se demuestran identidades fundamentales: , deduciéndose de . , pues . . .

Entre los modelos habituales se encuentran las -tuplas con la suma y producto coordenada a coordenada, el espacio de polinomios con coeficientes reales de grado a lo sumo , y el espacio de matrices de orden fijado (véase «Matrices y Determinantes»). COMPRUEBA 20 ¿Por qué la igualdad α · x = 0 implica que α = 0 o bien x = 0?

Combinación Lineal e Independencia Lineal Un vector es combinación lineal del conjunto si existen escalares que permiten formularlo mediante la suma ponderada: K R C (V , +, ) + : V × V V V , x y V + x y V + x ( + y ) = z ( + x ) + y z , , x y z V + x = y + y x 0 V + x = 0 x x V x V + x ( ) = x 0 : K × V V α, β K , x y V (α + β) = x α + x β x α ( + x ) = y α + x α y α (β ) = x (αβ) x 1 = x x K 0 = x 0 0 = x (0 + 0) = x 0 + x 0 x α = 0 0 α = 0 α ( + 0 ) = 0 α + 0 α 0 α = x 0 α = 0 o = x 0 α ( ) = x (α ) = x ( α) x n Rn R [t] n n v V { , , … , } v1 v2 vk α , …

, α 1 k K = v α = i=1 k ivi α + 1v1 α + 2v2 + α kvk Álgebra Lineal: Matrices, Sistemas y Espacios 11 Determinar la existencia de dichos coeficientes equivale algebraicamente a la resolución de un sistema compatible (véase «Sistemas de Ecuaciones Lineales»). La relación entre vectores conduce a clasificar los conjuntos según su dependencia: Linealmente dependientes (L.D.): existen escalares no todos nulos tales que . Es condición necesaria y suficiente que al menos uno de ellos sea combinación lineal de los demás. Todo conjunto que contiene al vector nulo es dependiente por defecto, ya que . Linealmente independientes (L.I.): la única solución de la igualdad es la combinación trivial .

El sistema homogéneo asociado es determinado. Si a una colección linealmente independiente se le adjunta un vector de modo que resulta linealmente dependiente, entonces es forzosamente combinación lineal de los elementos de . COMPRUEBA 21 ¿Por qué cualquier colección de vectores que contenga al vector nulo es automáticamente dependiente? Subespacios Vectoriales y Operaciones Un subconjunto no vacío es un subespacio vectorial si conserva la estructura lineal bajo las operaciones heredadas de . Su verificación exige comprobar el cierre simultáneo ante la suma y la multiplicación escalar: De forma equivalente, basta constatar que y que .

El conjunto de todas las combinaciones lineales posibles de un grupo de vectores conforma el subespacio generado o variedad lineal . Dadas dos estructuras y contenidas en , se definen sus operaciones fundamentales: Intersección: , la cual constituye siempre un subespacio vectorial. Suma: el conjunto , equivalente a la variedad lineal generada por su unión: . Suma directa: la suma es directa ( ) si la descomposición de cualquier vector en sumandos de ambos espacios es única. Dos subespacios W_1 y W_2 están en suma directa si y solo si W_1 W_2 = \{ \}. Equivalentemente, la única manera de lograr con y es que ambos sean el vector nulo.

Cuando se verifica que , se dice que y son subespacios suplementarios. x = i=1 k ivi 0 1 + 0 0 + v1 = 0 x = i=1 k ivi 0 x = 1 x = 2 = x = k 0 A v A { } v v A W V V , x y W, α, β K α + x β y W x y W α x W L(A) W 1 W 2 V W 1 W = 2 { x V : x W 1 x W } 2 W + 1 W = 2 { + u1 : u2 u1 W , 1 u2 W } 2 L(W 1 W ) 2 W 1 W 2 0 + u1 = u2 0 u1 W 1 u2 W 2 W 1 W = 2 V W 1 W 2 Álgebra Lineal: Matrices, Sistemas y Espacios 12 Diagrama de descomposición en subespacios suplementarios de un espacio vectorial COMPRUEBA 22 ¿Qué condición necesaria y suficiente garantiza que la suma de dos subespacios sea una suma directa?

Bases, Dimensión y Fórmula de Grassmann Un espacio vectorial es de tipo finito si está generado por una cantidad finita de vectores. Una base es un sistema generador que a la vez es linealmente independiente. En ella, cada vector del espacio admite una única representación por combinación lineal, denominándose a los coeficientes coordenadas del vector. Todo espacio finito posee bases, y todas comparten la misma cardinalidad. Dicho número cardinal invariante recibe el nombre de dimensión ( ). Como consecuencias estructurales: En un espacio de dimensión , el número máximo de vectores linealmente independientes es .

Cualquier familia de vectores linealmente independientes constituye automáticamente una base. Teorema de la base incompleta: cualquier conjunto independiente de vectores con puede completarse incorporando vectores adecuados de la base canónica para erigir una base de . Para subespacios vectoriales, la relación métrica entre dimensiones queda gobernada por la fórmula de Grassmann: Si los subespacios conforman una suma directa, , reduciéndose la expresión a .

dim V n n n k k < n n k V dim(W + 1 W ) = 2 dim W + 1 dim W 2 dim(W 1 W ) 2 dim(W 1 W ) = 2 0 dim(W 1 W ) = 2 dim W + 1 dim W 2 Álgebra Lineal: Matrices, Sistemas y Espacios 13 ESQUEMA Estructuras de espacios vectoriales y subespacios COMPRUEBA 23 Si dos subespacios de dimensión 3 en suman todo el espacio, ¿cuál es la dimensión de su intersección? Ecuaciones de Subespacios y Cambio de Base Los subespacios vectoriales admiten dos representaciones algebraicas duales: Tipo de Representación Estructura Matemática Procedimiento de Paso Ecuaciones Paramétricas Coordenadas expresadas en función de parámetros libres asociados a los generadores ( ).

Se iguala el vector genérico a los generadores y se iguala el rango de la matriz ampliada: . Ecuaciones Implícitas (Cartesianas) Restricciones lineales homogéneas entre coordenadas que fijan la pertenencia al subespacio. Se resuelve el sistema lineal homogéneo para parametrizar las incógnitas en función de variables libres. ERROR FRECUENTE Un error muy común es suponer que un subespacio de dimensión en un espacio de dimensión requiere ecuaciones implícitas. La cantidad de ecuaciones implícitas linealmente independientes necesarias viene dada por (la codimensión), mientras que los parámetros libres corresponden a .

Espacio vectorial Conjunto con operaciones linealmente cerradas Subespacio vectorial Subconjunto cerrado bajo combinaciones lineales Intersección Vectores compartidos por subespacios Suma de subespacios Espacio generado por la unión Suma directa Intersección reducida al vector nulo Suplementarios Suma directa que reconstruye el espacio p p = dim W rg(V ) = rg(V X) p n p n p p Álgebra Lineal: Matrices, Sistemas y Espacios 14 Por último, dadas dos bases y , las coordenadas de un vector en la base se relacionan con las coordenadas en la base mediante la matriz de cambio de base , cuyas columnas son las coordenadas de los vectores de expresados en la base : Dado que las bases están constituidas por vectores independientes, la matriz de paso es estrictamente invertible (véase «Matrices y Determinantes»).

IDEAS CLAVE Un espacio vectorial requiere una suma con estructura de grupo abeliano y un producto por escalares distributivo y unitario. Un conjunto es linealmente dependiente si al menos uno de sus vectores puede obtenerse como combinación lineal de los restantes. Una suma de subespacios es directa si y solo si su intersección es exclusivamente el vector nulo: . La fórmula de Grassmann relaciona las dimensiones de la suma y la intersección: . Las coordenadas de un vector respecto a una base son únicas y se transforman mediante una matriz invertible de cambio de base. COMPRUEBA LO QUE HAS APRENDIDO 24. ¿Qué propiedades debe verificar un subconjunto para ser considerado subespacio vectorial?

25. ¿Cómo se define la base de un espacio vectorial de tipo finito? 26. ¿Cómo se calcula el número de ecuaciones implícitas independientes que caracterizan a un subespacio? Test Rodea la respuesta correcta. Las soluciones están al final. 27. ¿Cuál es la condición necesaria y suficiente para que W + W sea suma directa? 28. En un espacio de dimensión n, ¿cuál es el número máximo de vectores linealmente independientes? B = 1 { , … , } u1 un B = 2 { , …

, } v1 vn X B 1 X B 2 P B 1 B 2 X = P X X = P X 1 P W 1 W = 2 { } 0 dim(W + 1 W ) = 2 dim W + 1 dim W 2 dim(W 1 W ) 2 W Que W W sea igual a {0} a) Que W y W sumen todo el espacio b) Que posean igual dimensión c) Que ningún vector sea nulo d) Depende del cuerpo escalar a) Infinitos vectores b) Exactamente n - 1 vectores c) Exactamente n vectores d) Álgebra Lineal: Matrices, Sistemas y Espacios 15 29. Si dim(W ) = 3, dim(W ) = 2 y dim(W W ) = 1, ¿cuál es dim(W + W )? 30. ¿Cómo se construye la matriz de cambio de base de B a B ? 4 Espacio Vectorial Euclídeo y Aplicaciones Lineales AL ACABAR SABRÁS Calcular el producto escalar, la norma y la matriz de Gram en un espacio vectorial euclídeo.

Identificar aplicaciones lineales y clasificarlas en monomorfismos, epimorfismos, isomorfismos y endomorfismos. Determinar el núcleo y la imagen de una aplicación lineal para caracterizar su inyectividad. Aplicar las fórmulas de cambio de base sobre la matriz asociada a una aplicación lineal. PIÉNSALO ANTES DE LEER 31 ¿Por qué comprobar la inyectividad de una aplicación lineal requiere únicamente analizar qué vectores van a parar al cero? 1. Espacio vectorial euclídeo: producto escalar, norma y ortogonalidad Un espacio vectorial euclídeo es un espacio vectorial real dotado de una operación interna denominada producto escalar (véase «Espacios Vectoriales y Subespacios»).

Esta operación asigna a cada par de vectores un número real, denotado usualmente por , o , y satisface cuatro propiedades fundamentales: Conmutatividad: . Distributividad respecto de la suma: . Homogeneidad con escalares: para cualquier . Carácter definido positivo: siempre que , y . En el espacio , el producto escalar usual entre dos elementos e se define mediante la suma de productos coordinados: . Además, el producto escalar del vector nulo con cualquier vector resulta siempre en el escalar cero: .

6 a) 5 b) 3 c) 4 d) Transponiendo los coeficientes implícitos a) Colocando en columnas los vectores de B en B b) Mediante el producto de determinantes c) Por los vectores canónicos d) , x y V x y x y , x y x = y y x x ( + y ) = z x + y x z x (α ) = y α( x ) y α R x > x 0 = x 0 x = x 0 = x 0 Rn = x (x , … , x ) 1 n = y (y , … , y ) 1 n x = y x y i=1 n i i x = 0 0 Álgebra Lineal: Matrices, Sistemas y Espacios 16 DEFINICIÓN La norma de un vector , denotada por , es la raíz cuadrada no negativa del producto escalar de dicho vector consigo mismo: . Si , el vector se denomina unitario. La distancia euclídea entre dos vectores se define mediante la norma de su diferencia: .

La norma verifica además la homogeneidad absoluta , la desigualdad de Cauchy- Schwarz y la desigualdad triangular . Dos vectores son ortogonales ( ) si y solo si su producto escalar es nulo: . Dos vectores cumplen la relación ortogonal si y solo si satisfacen el teorema de Pitágoras: . Un conjunto de vectores es ortogonal si para todo . Si además cada vector es unitario, el conjunto conforma una base ortonormal. COMPRUEBA 32 ¿Por qué cualquier conjunto de vectores ortogonales no nulos es necesariamente linealmente independiente? 2.

Matriz de Gram y cálculo matricial del producto escalar Dada una base arbitraria de un espacio vectorial euclídeo, el producto escalar de dos vectores cualesquiera descompuestos en dicha base puede expresarse de forma matricial: donde e son los vectores columna de coordenadas de e , y la matriz cuadrada A es la matriz de Gram, compuesta por los productos escalares de los elementos de la base: Si la base de referencia es ortogonal, los elementos situados fuera de la diagonal principal son nulos. Si además la base es ortonormal, la matriz de Gram coincide exactamente con la matriz identidad . 3.

Aplicaciones lineales: definición, propiedades y clasificación Sean y dos espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo. Una función es una aplicación lineal si preserva las operaciones del espacio vectorial: Ambas condiciones equivalen a la propiedad condensada: . Toda aplicación lineal transforma necesariamente el vector nulo del espacio de partida en el vector nulo del espacio de llegada: . x x = x x x = x 1 d( , ) = x y x y λ = x λ x x y x y + x y + x y x y x = y 0 + x = y 2 + x 2 y 2 { , … , } v1 vn vi = vj 0 i = j B = { , … , } u1 un x = y X AY t X Y x y A = u1 u1 u2 u1 un u1 u1 u2 u2 u2 un u2 … … … u1 un u2 un un un I n U V f : U V Aditividad: para cualesquiera .

1 f( + x ) = y f( ) + x f( ) y , x y U Homogeneidad: para todo escalar y todo . 2 f(α ) = x αf( ) x α x U f(α + x β ) = y αf( ) + x βf( ) y f( ) = 0U 0V Álgebra Lineal: Matrices, Sistemas y Espacios 17 Las aplicaciones lineales transforman subespacios en subespacios: si es un subespacio de , su conjunto imagen es subespacio de . Análogamente, si es un subespacio de , su imagen inversa es subespacio de . Asimismo, la imagen de un sistema de generadores de un subespacio conforma un sistema de generadores del subespacio transformado. Si un conjunto de vectores es linealmente dependiente, sus imágenes mediante resultan linealmente dependientes.

Denominación Condición funcional Propiedad estructural Monomorfismo Inyectiva Elementos distintos tienen imágenes distintas ( ). Epimorfismo Sobreyectiva Todo vector del espacio de llegada es imagen de al menos un vector de origen. Isomorfismo Biyectiva Inyectiva y sobreyectiva a la vez; establece equivalencia entre espacios. Endomorfismo Espacio idéntico La aplicación lineal opera sobre sí misma: . Automorfismo Endomorfismo biyectivo Endomorfismo que constituye simultáneamente un isomorfismo. La inyectividad en aplicaciones lineales garantiza además que vectores linealmente independientes se transformen en imágenes linealmente independientes.

Diagrama de correspondencia entre conjuntos para una aplicación lineal inyectiva. F U f(F ) V G V f (G) 1 U f f( ) = x f( ) y = x y f : V V Álgebra Lineal: Matrices, Sistemas y Espacios 18 ESQUEMA Clasificación de aplicaciones lineales COMPRUEBA 33 Si una aplicación lineal preserva la independencia lineal de cualquier conjunto libre, ¿qué tipo de morfismo es necesariamente? 4. Representación matricial y fórmulas de cambio de base Sean una base de y una base de . La imagen de cualquier vector viene determinada por las imágenes de la base: .

Expresando cada imagen en coordenadas respecto a mediante coeficientes : se obtiene la ecuación matricial de la aplicación lineal: , donde es la matriz asociada respecto a las bases y , cuyas columnas contienen las coordenadas de las imágenes de los vectores de respecto de . Ante modificaciones en las bases empleadas, las coordenadas se transforman mediante matrices de cambio de base y (véase «Espacios Vectoriales y Subespacios»). La relación matricial global se transforma de acuerdo con: Por consiguiente, la nueva matriz asociada a la aplicación lineal tras los cambios de base en partida y llegada es A' = Q^{-1} A P. 5.

Núcleo e imagen de una aplicación lineal Toda aplicación lineal induce dos subespacios vectoriales fundamentales: Aplicación lineal Conserva suma y producto escalar Monomorfismo Inyectiva, ker(f)={0} Epimorfismo Sobreyectiva, Im(f)=V Isomorfismo Biyectiva (monomorfismo y epimorfismo) Endomorfismo Espacio inicial y final coinciden Automorfismo Endomorfismo e isomorfismo simultáneo B = U { , … , } u1 un U B = V { , …

, } v1 vm V = x x j=1 n j uj f( ) = x x f( ) j=1 n j uj f( ) uj B V a ij f( ) = uj a i=1 m ij vi Y = AX A B U B V B U B V X = P X Y = QY Y = Q AP X 1 f : U V Álgebra Lineal: Matrices, Sistemas y Espacios 19 DEFINICIÓN El núcleo o kernel de es el conjunto de todos los vectores de partida transformados en el vector nulo de llegada: La imagen de es el conjunto de vectores de llegada que admiten antiimagen en : Tanto como constituyen subespacios vectoriales de y respectivamente.

La inyectividad queda unívocamente caracterizada por el tamaño de su núcleo: ERROR FRECUENTE Confundir los espacios a los que pertenecen núcleo e imagen: es siempre un subespacio del espacio de origen , mientras que es un subespacio del espacio de destino . Identificarlos al revés invalida por completo el cálculo de dimensiones y las ecuaciones paramétricas o implícitas. IDEAS CLAVE Un espacio vectorial euclídeo incorpora un producto escalar conmutativo, distributivo, homogéneo y definido positivo. La norma euclídea satisface la desigualdad de Cauchy-Schwarz: . Un conjunto de vectores ortogonales no nulos es necesariamente linealmente independiente.

La relación matricial de una aplicación lineal ante cambios de base se transforma mediante la expresión . Una aplicación lineal es inyectiva (monomorfismo) si y solo si . COMPRUEBA LO QUE HAS APRENDIDO 34. ¿Qué forma toma la matriz de Gram si los vectores de la base de referencia forman un sistema ortonormal? 35. ¿Cuál es la condición necesaria y suficiente sobre el núcleo para garantizar que una aplicación lineal sea monomorfismo?

f ker(f) = { u U : f( ) = u } = 0V f ({ }) 1 0V f U Im(f) = { v V : u U, f( ) = u } v ker(f) Im(f) U V f es inyectiva (monomorfismo) ker(f) = { } 0U ker(f) U Im(f) V = x x x x y x y Y = Q AP X 1 ker(f) = { } 0 Álgebra Lineal: Matrices, Sistemas y Espacios 20 Test Rodea la respuesta correcta. Las soluciones están al final. 36. ¿Qué condición define que dos vectores sean ortogonales en un espacio euclídeo? 37. ¿Cómo se define un monomorfismo en álgebra lineal? 38. Si f: U V es inyectiva, ¿cuál es su núcleo ker(f)? 39. ¿Cómo cambia la matriz asociada A si X = PX' e Y = QY'?

5 Formulario Matrices y determinantes Fórmula o procedimiento Significado de los símbolos Cuándo se usa : matriz cuadrada; : matriz traspuesta Descomposición canónica única en suma de matriz simétrica y antisimétrica : matriz regular; : matriz identidad Cálculo de la matriz inversa por transformaciones elementales de Gauss- Jordan : determinante; : matriz de adjuntos Cálculo analítico de la matriz inversa cuando : elemento; : menor complementario Desarrollo de un determinante por los elementos de la fila y : matrices compatibles Propiedades del determinante y la traspuesta respecto al producto matricial Tienen la misma norma a) Su producto escalar es nulo b) Son linealmente dependientes c) Su suma vectorial es unitaria d) Aplicación lineal biyectiva a) Endomorfismo con determinante nulo b) Aplicación lineal inyectiva c) Aplicación lineal sobreyectiva d) El subespacio imagen Im(f) a) Todo el espacio U b) Únicamente el vector nulo {0} c) Todo el espacio V d) A' = Q A P a) A' = Q ¹ A P b) A' = P A Q c) A' = P ¹ A Q d) A = (A + 2 1 A ) + t (A 2 1 A ) t A At (A I) (I A ) 1 A I A = 1 (Adj(A)) A 1 t A Adj(A) A = 0 A = a ( 1) M j=1 n ij i+j ij a ij M ij i AB = A B (AB) = t B A t t A, B Álgebra Lineal: Matrices, Sistemas y Espacios 21 Sistemas de ecuaciones lineales Fórmula o procedimiento Significado de los símbolos Cuándo se usa : coeficientes; : ampliada; : incógnitas Teorema de Rouché-Frobenius: compatibilidad con solución única : número de parámetros libres Teorema de Rouché-Frobenius: compatibilidad con infinitas soluciones : rango matricial Teorema de Rouché-Frobenius: sistema incompatible (sin solución) : matriz sustituyendo columna por términos independientes Regla de Cramer en sistemas cuadrados con Espacios y subespacios vectoriales Fórmula o procedimiento Significado de los símbolos Cuándo se usa : subespacios vectoriales Fórmula de Grassmann para relacionar dimensiones de suma e intersección : suma directa de subespacios Comprobación de suma directa y unicidad de descomposición : espacio ambiente; : subespacio Determinación del número de restricciones lineales independientes de un subespacio : matriz de paso; : coordenadas Transformación de coordenadas entre dos bases distintas Espacio euclídeo y aplicaciones lineales Fórmula o procedimiento Significado de los símbolos Cuándo se usa y : norma euclídea; : distancia Cálculo de longitudes y distancias en un espacio vectorial euclídeo : producto escalar Desigualdad de Cauchy-Schwarz : relación de ortogonalidad Condición necesaria y suficiente de perpendicularidad entre vectores : matriz de Gram Expresión matricial del producto escalar respecto a una base arbitraria rg(A) = rg(A B) = n SCD A (A B) n rg(A) = rg(A B) < n SCI n rg(A) rg(A) < rg(A B) SI rg x = j A det(A ) j A j j A = 0 dim(W + 1 W ) = 2 dim W + 1 dim W 2 dim(W 1 W ) 2 W , W 1 2 W 1 W = 2 { } 0 W 1 W 2 N.º ec.

impl citas = ı ˊ dim V dim W V W X = P X X = P X 1 P X, X = x x x d( , ) = x y x y x d x y x y x y x y x = y 0 x = y X AY t A = ( ui ) uj Álgebra Lineal: Matrices, Sistemas y Espacios 22 Fórmula o procedimiento Significado de los símbolos Cuándo se usa : matrices de cambio en partida y llegada Cambio de bases en la matriz asociada a una aplicación lineal : núcleo de la aplicación lineal Caracterización de monomorfismos Errores típicos Olvidar invertir el orden de los factores al trasponer o invertir un producto: y . Dividir filas entre parámetros algebraicos sin estudiar de forma independiente los valores que anulan el divisor.

Confundir los subespacios de una aplicación lineal: (espacio inicial) y (espacio final). Asumir que un subespacio de dimensión en requiere ecuaciones implícitas en lugar de . A = Q AP 1 P , Q ker(f) = { } 0 f es inyectiva ker(f) (AB) = t B A t t (AB) = 1 B A 1 1 ker(f) U Im(f) V p Rn p n p Álgebra Lineal: Matrices, Sistemas y Espacios 23 Soluciones de las preguntas de repaso 1. Porque las dimensiones de las matrices condicionan la posibilidad de multiplicarlas y la multiplicación combina filas y columnas en un orden estricto. 2. Porque la relación de antisimetría impone que . Al despejar la ecuación se concluye de forma obligada que , es decir, . 3.

Como el escalar multiplica a cada una de sus 3 líneas de manera independiente, se extrae como factor común en cada una, obteniéndose . 4. Debe verificar la identidad , lo que exige que todos los elementos de su diagonal principal sean iguales a cero. 5. Porque la linealidad del determinante permite descomponerlo en la suma del determinante original más determinantes que contienen líneas proporcionales, los cuales resultan nulos. 6. b) . La transposición de un producto exige invertir el orden de los factores para mantener la compatibilidad de dimensiones. 7. a) Cero. La relación canónica exige a_ii = -a_ii, lo cual solo se satisface si a_ii = 0. 8. c) (1 / "A") · (Adj(A))^t.

La fórmula canónica establece que la inversa es la traspuesta de la matriz adjunta multiplicada por el inverso del determinante. 9. d) Cambia de signo. El intercambio de dos líneas introduce una trasposición en las permutaciones, multiplicando el resultado global por -1. 10. No. En los sistemas lineales, si existen dos soluciones distintas, cualquier combinación afín de ellas también es solución, produciendo infinitas soluciones. 11. Porque equivale a la igualdad 0 = 5, una contradicción que ningún valor de las incógnitas puede satisfacer. 12. No, la matriz ampliada contiene todas las columnas de A más una columna adicional, por lo que su rango siempre es mayor o igual que el de A. 13.

Cuando es compatible indeterminado, lo cual sucede cuando el rango de la matriz de coeficientes es estrictamente menor que el número de incógnitas ( ). 14. El sistema debe ser cuadrado (mismo número de ecuaciones que de incógnitas) y su matriz de coeficientes debe tener determinante no nulo ( ). 15. c) rg(A) es menor que rg(A"B). Un sistema carece de solución si y solo si el rango de la matriz ampliada es estrictamente mayor que el de la matriz de coeficientes. 16. a) Porque siempre admite la solución trivial. El vector nulo siempre satisface el sistema, garantizando la existencia de al menos la solución trivial X = 0. 17. a) Compatible indeterminado.

Al ser compatible y tener un rango estrictamente menor que el número de incógnitas, el sistema admite infinitas soluciones. 18. b) Multiplicar una fila por el escalar 0. Multiplicar una fila por cero destruye la información de la ecuación original y altera el conjunto de soluciones. 19. Porque todo subespacio vectorial debe contener obligatoriamente el elemento neutro (el vector nulo), el cual coincide geométricamente con el origen. 20. Si el escalar α es no nulo, posee inverso multiplicativo α ¹. Multiplicando a ambos lados de la ecuación se obtiene x = α ¹ · (α · x) = α ¹ · 0 = 0.

a = ii a ii 2a = ii 0 a = ii 0 k A 3 A = At Bt At rg(A) < n A = 0 Álgebra Lineal: Matrices, Sistemas y Espacios 24 21. Porque asignando al vector nulo un coeficiente no nulo (como 1) y a todos los demás el escalar cero, se anula la suma sin que todos los coeficientes sean nulos. 22. Que su intersección contenga únicamente al vector nulo, garantizando una representación única para los vectores de la suma. 23. Aplicando la fórmula de Grassmann: dim(W W ) = 3 + 3 - 4 = 2. 24. Debe ser cerrado bajo la suma y el producto por escalares, lo que equivale a garantizar que para cualesquiera y escalares , se cumple . 25.

Se define como un conjunto de vectores que es simultáneamente sistema generador del espacio e independiente linealmente. 26. Restando la dimensión del subespacio a la dimensión total del espacio vectorial de partida: . 27. a) Que W W sea igual a {0}. La unicidad de la descomposición exige que no compartan vectores no nulos, es decir, W W = {0}. 28. d) Exactamente n vectores. Por el teorema de la base, ningún conjunto independiente puede superar la cantidad de vectores de una base. 29. d) 4. Aplicando la fórmula de Grassmann: 3 + 2 - 1 = 4. 30. b) Colocando en columnas los vectores de B en B .

Las columnas de la matriz de cambio de base recogen las coordenadas de los elementos de B descompuestos en la base B . 31. Porque la linealidad implica que f(x) = f(y) equivale a f(x - y) = 0, de modo que la inyectividad global depende únicamente de que solo el vector nulo tenga imagen nula. 32. Si se plantea la combinación lineal nula y se multiplica escalarmente por cada , todos los sumandos se anulan excepto . Al ser , se deduce obligatoriamente . 33. Es un monomorfismo (aplicación inyectiva), ya que preserva la independencia lineal sin colapsar combinaciones no triviales a cero. 34. Coincide exactamente con la matriz identidad , pues los elementos diagonales valen 1 y los no diagonales 0.

35. La aplicación es un monomorfismo si y solo si su núcleo está formado exclusivamente por el vector nulo: . 36. b) Su producto escalar es nulo. Dos vectores son ortogonales por definición si y solo si su producto escalar es igual a cero. 37. c) Aplicación lineal inyectiva. Un monomorfismo es toda aplicación lineal que cumple la propiedad de inyectividad. 38. c) Únicamente el vector nulo {0}. Una aplicación lineal es inyectiva si y solo si ningún vector no nulo se transforma en el vector nulo. 39. b) A' = Q ¹ A P. Al sustituir Y = AX se tiene QY' = APX', por lo que despejando queda Y' = Q ¹APX'.

, x y W α, β α + x β y W dim V dim W α = ivi 0 vj α ( j vj ) = vj 0 = vj 0 α = j 0 I n ker(f) = { } 0 Álgebra Lineal: Matrices, Sistemas y Espacios 25