Optimització sense restriccions: punts crítics i aplicacions econòmiques

Exercici 20. Òptims de funcions multivariables

Trobeu i classifiqueu els punts crítics (extrems relatius i punts de sella) de les següents funcions:

a)

$f(x, y) = x^3 + x^2y + y^2 + 2y + 1$

b)

$f(x, y) = y^4 + 4x^2 - 4xy$

c)

$f(x, y) = x + y + xy - 2\ln x - 2\ln y$

d)

$f(x, y) = 3xy - (x^3 + y^3)$

e)

$f(x, y) = x^3 + 3xy^2 - 15x - 12y$

f)

$f(x, y) = xye^{x+2y}$

g)

$f(x, y) = 4x^2 - 3xy + 9y^2 + 5x + 15y + 16$

Exercici 22. Maximització del benefici amb tres béns

Una empresa produeix tres béns els preus de mercat dels quals són 16, 12 i 20 unitats monetàries respectivament. La seva funció de costos és:

$$C(x, y, z) = x^2 + 2y^2 + 3z^2 + 2xz + 25$$

on $x, y, z$ representen les quantitats produïdes de cadascun dels tres béns. Obtingueu els valors de $x, y, z$ que maximitzen el benefici de l'empresa.

Exercici 23. Maximització del benefici en competència perfecta

Una empresa produeix dos béns en competència perfecta, els preus de venda dels quals són $p_1 = 42$ i $p_2 = 51$. La funció de costos és:

$$C(q_1, q_2) = 1{,}5q_1^2 + 3q_1q_2 + 2q_2^2 + 34{,}5$$

on $q_1$ i $q_2$ són les quantitats produïdes d'aquests béns. Calculeu els nivells de producció que proporcionen el benefici màxim.