Apunts de Matemàtiques II: Formes quadràtiques i optimització

I 0 flashcards i 3 preguntes més al document.

Text del document

APUNTS MATEMÀTIQUES II Grau en Administració i Direcció d'Empreses Universitat Rovira i Virgili AprenAI 2026-2027 Guia de repàs de Matemàtiques II (ADE - URV): formes quadràtiques, càlcul multivariable (gradient, hessiana, jacobiana) i optimització d'extrems lliures.

APREN.AI Índex 1 Formes quadràtiques i signe de matrius Càlcul de valors propis i matriu simètrica associada Classificació del signe d'una forma quadràtica 2 Funcions de diverses variables: domini, continuïtat i derivació Domini i continuïtat en diverses variables Derivades parcials, gradient, hessiana i jacobiana Elasticitat parcial 3 Optimització sense restriccions Metodologia per a l'optimització lliure Classificació dels punts crítics 4 Formulari Formes quadràtiques i valors propis Càlcul diferencial en diverses variables Optimització sense restriccions Errors típics Solucions de les preguntes de repàs Aquests apunts poden contenir errors o omissions.

Són un material de suport i no substitueixen el temari oficial ni el professorat: contrasta la informació important. Apunts de Matemàtiques II: Formes quadràtiques i optimització 1 1 Formes quadràtiques i signe de matrius EN ACABAR SABRÀS Construir la matriu simètrica associada a una forma quadràtica i a la inversa. Calcular els valors propis mitjançant el polinomi característic. Classificar el signe d'una forma quadràtica a partir dels valors propis o dels menors. PENSA-HI ABANS DE LLEGIR 1 Com podem saber immediatament si una funció quadràtica pren valors positius per a qualsevol punt diferent de l'origen?

Càlcul de valors propis i matriu simètrica associada Una forma quadràtica és una funció polinòmica homogènia de segon grau. Tota forma quadràtica té associada una matriu simètrica que compleix . Els coeficients dels termes quadràtics ( ) ocupen la diagonal principal, mentre que els coeficients creuats ( ) es divideixen entre dos per omplir les posicions simètriques de la matriu. DEFINICIÓ Les propietats clau de qualsevol forma quadràtica inclouen que i l'homogeneïtat de segon grau: . Els valors propis ( ) d'una matriu s'obtenen igualant a zero el determinant de la matriu característica, és a dir, resolent el polinomi característic: EXEMPLE Per a la matriu , el determinant és .

Resolent l'equació quadràtica obtenim els valors propis i .

Classificació del signe d'una forma quadràtica El signe d'una forma quadràtica es classifica segons el signe dels seus valors propis o mitjançant l'estudi de menors en dimensió 2: Classificació Criteri de valors propis Criteri de menors (matrius ) Definida positiva Tots els i Definida negativa Tots els i A A = AT x , y , z 2 2 2 xy, xz, yz q( ) u q( ) = 0 0 q(α ) = u α 2 q( ) u λ A A λI = 0 A = ( 2 5 4 3 ) (2 λ)(3 λ) 20 = λ 2 5λ 14 = 0 λ = 1 7 λ = 2 2 2 × 2 λ > i 0 A > 0 a > 11 0 λ < i 0 A > 0 a < 11 0 Apunts de Matemàtiques II: Formes quadràtiques i optimització 2 Classificació Criteri de valors propis Criteri de menors (matrius ) Semidefinida positiva Tots els (almenys un ) (i termes diagonals ) Semidefinida negativa Tots els (almenys un ) (i termes diagonals ) Indefinida Signes oposats (algun i algun ) PER RECORDAR-HO Segons la regla de Descartes, el nombre de valors propis positius coincideix amb el nombre de canvis de signe dels coeficients de l'equació característica.

ERROR FREQÜENT Un determinant positiu en una matriu no implica directament que sigui definida positiva. Cal mirar el signe de l'element : si és negatiu, la matriu és definida negativa. COMPROVA-HO 2 Si una matriu 2x2 té determinant estrictament negatiu, quin és el seu signe?

ESQUEMA Classificació de formes quadràtiques 2 × 2 λ i 0 λ = i 0 A = 0 0 λ i 0 λ = i 0 A = 0 0 λ > 0 λ < 0 A < 0 A > 0 2 × 2 a 11 Definides Valors propis no nuls del mateix signe Definida Positiva Tots els valors propis estrictament positius Definida Negativa Tots els valors propis estrictament negatius Semidefinides Almenys un valor propi igual a zero Indefinides Valors propis positius i negatius alhora Apunts de Matemàtiques II: Formes quadràtiques i optimització 3 IDEES CLAU Els elements creuats de la matriu simètrica s'obtenen dividint entre 2 els coeficients dels termes mixtos. Els valors propis s'extreuen resolent l'equació característica .

Una matriu és definida positiva si tots els seus valors propis són estrictament positius. En matrius , un determinant negatiu determina automàticament que la forma és indefinida. COMPROVA EL QUE HAS APRÈS 3. Com es reparteix el terme a la matriu simètrica associada? 4. Quina condició sobre els valors propis fa que una matriu sigui semidefinida positiva? Test Encercla la resposta correcta. Les solucions són al final. 5. Què indica un determinant "A" estrictament negatiu en una matriu simètrica 2x2? 6. Si "A" > 0 i el primer element a11 és negatiu en dimensió 2, la forma és: 7. Com es defineix la propietat d'homogeneïtat per a una forma quadràtica q(αu)? 8.

Què utilitza la regla de Descartes per saber el nombre d'arrels positives?

A λI = 0 2 × 2 4xy És semidefinida positiva a) És definida negativa b) És semidefinida negativa c) La forma quadràtica és indefinida d) Definida positiva a) Definida negativa b) Indefinida c) Semidefinida d) És igual a α² · q(u) a) És nul·la b) És igual a q(u) / α c) És igual a α · q(u) d) La traça de la matriu a) El valor del determinant b) La dimensió del vector c) Els canvis de signe dels coeficients d) Apunts de Matemàtiques II: Formes quadràtiques i optimització 4 2 Funcions de diverses variables: domini, continuïtat i derivació EN ACABAR SABRÀS Determinar i representar gràficament el domini d'una funció de dues variables.

Analitzar la continuïtat calculant límits mitjançant coordenades polars. Calcular vectors gradients, matrius hessianes, jacobianes i elasticitats parcials. PENSA-HI ABANS DE LLEGIR 9 Per què cal analitzar les derivades des de múltiples direccions quan tenim més d'una variable independent? Domini i continuïtat en diverses variables El domini d'una funció de dues variables és el conjunt de punts del pla on l'expressió analítica té sentit. Quan hi ha denominadors amb arrels quadrades, l'interior del radical ha de ser estrictament positiu per evitar divisions per zero i arrels d'índex parell de nombres negatius. Gràfica del domini de la funció acotat per la paràbola.

Per comprovar la regió del domini, com per exemple en , es dibuixa la frontera amb línia discontínua (en ser desigualtat estricta) i s'avalua un punt de prova com l'origen . Una funció és contínua en un punt si existeix el límit i coincideix amb el valor de la funció: . Per calcular límits en el punt origen , s'empren sovint les coordenades polars: f(x, y) R2 D = {(x, y) R 2 1 x 2 y > 0} y = 1 x2 (0,0) f(x, y) (x , y ) 0 0 lim f(x, y) = (x,y) (x ,y ) 0 0 f(x , y ) 0 0 (0,0) Apunts de Matemàtiques II: Formes quadràtiques i optimització 5 Si el resultat del límit en polars depèn de l'angle , el límit no existeix i la funció és discontínua en aquest punt.

Derivades parcials, gradient, hessiana i jacobiana El vector gradient agrupa les derivades parcials de primer ordre: La matriu hessiana conté les segones derivades parcials i és sempre simètrica segons el teorema de Schwarz ( ): Per a funcions vectorials , la matriu jacobiana conté els gradients de cada funció component col·locats per files: Elasticitat parcial L'elasticitat parcial mesura la resposta percentual de la funció davant d'una variació percentual d'una variable independent concreta, mantenint les altres constants: ERROR FREQÜENT Quan s'apliquen coordenades polars per avaluar la continuïtat, si l'expressió final conserva alguna dependència respecte de l'angle , el límit no existeix.

No s'ha de confondre una expressió afitada com multiplicada per (que dóna límit 0) amb un límit que depengui de la direcció. COMPROVA-HO 10 Què significa matemàticament que el vector gradient sigui nul en un punt? x = r cos(α), y = r sin(α), r 0 α f f(x, y) = f , f = ( x y) , ( x f y f ) H(x, y) f = xy f yx H(x, y) = ( f xx f yx f xy f yy ) = f (f , f , …

, f ) 1 2 m J J = = f 1 f 2 f 1x f 2x f 3x f 1y f 2y f 3y E (x , y ) = f x 0 0 x 0 , E (x , y ) = f(x , y ) 0 0 f (x , y ) x 0 0 f y 0 0 y 0 f(x , y ) 0 0 f (x , y ) y 0 0 α (cos α + 3 cos α sin α) 2 r 0 Apunts de Matemàtiques II: Formes quadràtiques i optimització 6 PROCÉS Comprovació de continuïtat a l'origen 1 Avaluar f(0,0) Determinar si la funció està definida en el punt 2 Canvi a polars Substituir x i y per r i l'angle α 3 Límit quan r tendeix a 0 Comprovar si el resultat depèn de α 4 Comparació final Verificar si el límit coincideix amb f(0,0) IDEES CLAU El domini requereix estudiar les restriccions algebraiques com arrels i denominadors nuls.

El canvi a coordenades polars simplifica l'estudi de límits al voltant de l'origen. La matriu hessiana està formada per les segones derivades parcials i és simètrica si les creuades coincideixen. L'elasticitat parcial relaciona el producte de la variable i la seva derivada parcial dividit pel valor de la funció. COMPROVA EL QUE HAS APRÈS 11. Com es formula l'elasticitat parcial de la funció respecte a en un punt ? 12. Quina estructura presenta la matriu jacobiana d'un camp vectorial? Test Encercla la resposta correcta. Les solucions són al final. 13. Com és la matriu hessiana si les derivades creuades f_xy i f_yx són iguals? 14.

Què concloem si un límit en polars cap a l'origen depèn de l'angle α? 15. Quina informació recull el vector gradient d'una funció escalar? 16. Quin és el signe necessari de l'interior d'una arrel situada a un denominador?

y (x , y ) 0 0 És una matriu simètrica a) Té determinant nul b) És una matriu diagonal c) És antisimètrica d) Que el límit val zero a) Que val infinit b) Que la funció és derivable c) Que el límit no existeix d) Les derivades parcials primeres a) El domini de la funció b) Les derivades de segon ordre c) L'elasticitat global d) Menor o igual que zero a) Major o igual que zero b) Estrictament negatiu c) Estrictament positiu d) Apunts de Matemàtiques II: Formes quadràtiques i optimització 7 3 Optimització sense restriccions EN ACABAR SABRÀS Plantejar la condició necessària d'extrem igualant el vector gradient a zero. Calcular i avaluar la matriu hessiana en els punts crítics obtinguts.

Classificar els extrems com a màxims relatius, mínims relatius o punts de sella. PENSA-HI ABANS DE LLEGIR 17 Com podem assegurar si un pendent nul en dues dimensions és un cim, una vall o un coll d'ampolla?

Metodologia per a l'optimització lliure Per optimitzar una funció multivariable sense restriccions, es segueix un procediment seqüencial basat en condicions necessàries i suficients: Classificació dels punts crítics Per a una funció de dues variables amb hessiana avaluada al punt crític: Condició matemàtica Caràcter del punt crític i (o valors propis ) Mínim relatiu (hessiana definida positiva) i (o valors propis ) Màxim relatiu (hessiana definida negativa) (valors propis amb signes contraris) Punt de sella (hessiana indefinida) (almenys un ) Cas dubtós / No es pot determinar (semidefinida) Primer pas (Condició necessària): S'anul·la el vector gradient, igualant totes les derivades parcials primeres a zero: .

Les solucions del sistema d'equacions obtingut són els punts crítics. 1 f(x, y) = (0,0) Segon pas (Condició suficient): S'avalua la matriu hessiana en cadascun dels punts crítics i es determina el seu signe mitjançant el determinant o els valors propis. 2 H(x, y) H H > 0 f > xx 0 λ > i 0 H > 0 f < xx 0 λ < i 0 H < 0 H = 0 λ = i 0 Apunts de Matemàtiques II: Formes quadràtiques i optimització 8 EXEMPLE En la maximització del benefici empresarial on , la condició de primer ordre genera el sistema: Aquest sistema proporciona com a punt crític . La matriu hessiana resulta ser , amb i . Per tant, la hessiana és definida negativa i el punt correspon a un màxim relatiu.

ERROR FREQÜENT No oblidis comprovar el domini de la funció abans de confirmar els punts crítics. Si un punt crític anul·la un argument d'un logaritme o un denominador de la funció de partida, queda directament descartat. COMPROVA-HO 18 Quin tipus de punt crític tenim si el determinant de la matriu hessiana avaluada és negatiu?

PROCÉS Procediment d'optimització lliure 1 Gradient nul Resoldre les derivades primeres igualades a 0 2 Punts crítics Identificar les coordenades candidates 3 Avaluar la Hessiana Calcular la matriu de segones derivades al punt 4 Classificació Determinar màxim, mínim o sella segons el signe IDEES CLAU Els punts crítics s'obtenen resolent el sistema de derivades primeres igualades a zero. La condició suficient requereix avaluar la matriu hessiana en cada punt crític trobat. Un punt és mínim si la hessiana és definida positiva, i màxim si és definida negativa. Si el determinant de la hessiana és negatiu, el punt crític és un punt de sella. COMPROVA EL QUE HAS APRÈS 19.

Quin és el criteri de la hessiana per classificar un màxim relatiu en dues variables? 20. Què passa amb la classificació si el determinant de la matriu hessiana és igual a zero? B(x, y) = I(x, y) C(x, y) B(x, y) = x 2 2y + 2 2xy 4x + 12y 5 B = x 2x + 2y 4 = 0, B = y 4y + 2x + 12 = 0 (2, 4) H = ( 2 2 2 4 ) H = 8 4 = 4 > 0 f = xx 2 < 0 (2,4) Apunts de Matemàtiques II: Formes quadràtiques i optimització 9 Test Encercla la resposta correcta. Les solucions són al final. 21. Quin és el primer pas per resoldre un problema d'optimització sense restriccions? 22. Si "H" > 0 i f_xx > 0 en un punt crític, aquest s'identifica com a: 23.

Com es defineix la funció de benefici B(x,y) en termes d'ingressos i costos? 24. Què representa geomètricament un punt crític on la matriu hessiana és indefinida? 4 Formulari Formes quadràtiques i valors propis Fórmula o procediment Significat dels símbols Quan s'utilitza : matriu quadrada simètrica; : valors propis; : matriu identitat Càlcul dels valors propis a partir del polinomi característic : forma quadràtica; : escalar; : vector Propietat d'homogeneïtat de segon grau Termes quadràtics a la diagonal termes creuats dividits entre 2 a posicions simètriques : coeficients de ; : meitat del coeficient de Construcció de la matriu simètrica d'una forma quadràtica (def. pos.); (def.

neg.); (indefinida); (semidefinida) : determinant de la matriu; : primer element diagonal Classificació del signe d'una matriu simètrica per menors Igualar el gradient a zero a) Calcular la matriu hessiana b) Calcular els valors propis c) Multiplicar per les restriccions d) Cas indefinit a) Punt de sella b) Màxim relatiu c) Mínim relatiu d) B(x,y) = I(x,y) / C(x,y) a) B(x,y) = C(x,y) - I(x,y) b) B(x,y) = I(x,y) - C(x,y) c) B(x,y) = I(x,y) · C(x,y) d) Un punt discontinu a) Un mínim local b) Un punt de sella c) Un màxim absolut d) A λI = 0 A λ I q(α ) = u α 2 q( ) u q α u a ii x i 2 a = ij a ji x x i j A > 0, a > 11 0 A > 0, a < 11 0 A < 0 A = 0 A a 11 2 × 2 Apunts de Matemàtiques II: Formes quadràtiques i optimització 10 Càlcul diferencial en diverses variables Fórmula o procediment Significat dels símbols Quan s'utilitza : distància radial a l'origen; : angle polar Càlcul de límits i anàlisi de continuïtat al punt : derivades parcials primeres Determinació del vector gradient d'una funció escalar : derivades segones pures; : derivades creuades Construcció de la matriu hessiana (simètrica pel teorema de Schwarz) : vector gradient de la funció component -èsima Matriu jacobiana d'un camp vectorial : valor de la variable; : derivada parcial; : valor de la funció Càlcul de la sensibilitat o elasticitat parcial respecte a Optimització sense restriccions Fórmula o procediment Significat dels símbols Quan s'utilitza Punts crítics Avaluar Classificar extrem : gradient; : matriu hessiana Metodologia completa per a l'optimització lliure (mínim); (màxim); (punt de sella); (dubtós) : determinant hessià; : derivada segona respecte a Classificació de punts crítics en dues variables : benefici; : ingressos totals; : costos totals Modelització de problemes d'optimització de beneficis Errors típics Oblit de dividir per 2: En passar d'una expressió quadràtica a la matriu simètrica, no dividir el coeficient del terme creuat ( ) entre 2 per a les posicions fora de la diagonal.

Confondre determinant positiu amb matriu definida positiva: Si però , la matriu és definida negativa. Límit depenent de l'angle: Si en coordenades polars el límit quan conserva l'angle , el límit no existeix i la funció no és contínua a l'origen. Validació del domini en punts crítics: Cal comprovar sempre que els punts crítics obtinguts pertanyin al domini de definició de la funció original (com arguments de logaritmes o denominadors).

x = r cos α, y = r sin α (r 0) r α (0,0) f = , ( x f y f ) , x f y f H(x, y) = ( f xx f yx f xy f yy ) f , f xx yy f = xy f yx J = f 1 f 2 f i i E (x , y ) = f x 0 0 x 0 f(x ,y ) 0 0 f (x ,y ) x 0 0 x 0 f x f x f(x, y) = (0,0) H(x, y) f H H > 0, f > xx 0 H > 0, f < xx 0 H < 0 H = 0 H f xx x B(x, y) = I(x, y) C(x, y) B I C xy A > 0 a < 11 0 r 0 α Apunts de Matemàtiques II: Formes quadràtiques i optimització 11 Solucions de les preguntes de repàs 1. Determinant el signe de la seva matriu associada: si és definida positiva, la funció sempre serà estrictament positiva fora de l'origen. 2. És indefinida de manera immediata, ja que implica que els seus dos valors propis tenen signes diferents. 3.

Es divideix el coeficient entre dos, col·locant un -2 a la posició i un -2 a la posició . 4. Tots els valors propis han de ser majors o iguals a zero, havent-n'hi com a mínim un d'exactament igual a zero. 5. d) La forma quadràtica és indefinida. Quan el determinant 2x2 és negatiu, els dos valors propis tenen signe contrari, indicant caràcter indefinit. 6. b) Definida negativa. Amb determinant positiu i primer menor negatiu, tots els valors propis són estrictament negatius. 7. a) És igual a α² · q(u). En ser polinomis homogenis de segon grau, en escalar el vector per α el resultat queda multiplicat per α². 8. d) Els canvis de signe dels coeficients.

La regla de Descartes relaciona els canvis de signe de l'equació característica amb el nombre de valors propis positius. 9. Perquè en el pla podem aproximar-nos a un punt a través d'infinits camins diferents, requerint derivades parcials i gradients. 10. Significa que totes les derivades parcials de primer ordre de la funció s'anul·len simultàniament en aquest punt. 11. Es calcula mitjançant l'expressió . 12. Està formada per files, on cada fila correspon al vector gradient d'una de les funcions components. 13. a) És una matriu simètrica. Quan les derivades parcials creuades coincideixen, la matriu hessiana és igual a la seva transposada. 14. d) Que el límit no existeix.

El límit d'una funció ha de ser únic; si canvia segons la trajectòria determinada per α, el límit no existeix. 15. a) Les derivades parcials primeres. El gradient és un vector format per les primeres derivades parcials respecte de cada variable independent. 16. d) Estrictament positiu. L'interior ha de ser major que zero per existir l'arrel real i evitar al mateix temps dividir per zero. 17. Utilitzant la matriu hessiana i el seu signe: un cim és un màxim (definida negativa), una vall és un mínim (definida positiva) i un coll és un punt de sella (indefinida). 18.

Es tracta d'un punt de sella, ja que la matriu hessiana és indefinida i la funció creix en unes direccions i decreix en unes altres. 19. El determinant ha de ser estrictament positiu ( ) i el primer element ha de ser negatiu ( ). 20. La matriu és semidefinida i el criteri no permet concloure el caràcter del punt crític sense informació addicional. 21. a) Igualar el gradient a zero. La condició necessària de primer ordre exigeix anul·lar el vector gradient per localitzar punts crítics. a 12 a 21 E (x , y ) = f y 0 0 y 0 f(x ,y ) 0 0 f (x ,y ) y 0 0 H > 0 f < xx 0 Apunts de Matemàtiques II: Formes quadràtiques i optimització 12 22. d) Mínim relatiu.

Aquestes condicions indiquen que la matriu hessiana és definida positiva, corresponent a un mínim relatiu. 23. c) B(x,y) = I(x,y) - C(x,y). El benefici s'obté restant la funció de costos a la funció d'ingressos totals. 24. c) Un punt de sella. Una matriu hessiana indefinida genera un punt de sella, on la curvatura té signes oposats segons la direcció. Apunts de Matemàtiques II: Formes quadràtiques i optimització 13