Anàlisi Descriptiu Unidimensional | Estadística I

I 0 flashcards i 8 preguntes més al document.

Text del document

APUNTS ESTADÍSTICA I Grau en Administració i Direcció d'Empreses Universitat Rovira i Virgili AprenAI 2026-2027 Apunts d'Estadística I: taules de freqüències, histogrames, mitjanes, moda, mediana, quantils i variància amb procediments pas a pas i formulari d'examen.

APREN.AI Índex 1 Introducció, notació de sumatoris i taules de freqüències bàsiques Notació bàsica d'una mostra Àlgebra de sumatoris Distribució de freqüències: absolutes i relatives Freqüències acumulades: absolutes i relatives Construcció sistemàtica de la taula de freqüències 2 Agrupació de dades en intervals i densitat de freqüència Necessitat de l'agrupació en intervals Criteris de construcció i notació bàsica Procediment sistemàtic d'agrupació i taula de freqüències Densitat de freqüència en intervals d'amplitud desigual Reconstrucció de taules de freqüències incompletes 3 Representacions gràfiques unidimensionals Diagrama de sectors i pictogrames Diagrama de barres per a dades no agrupades Histograma per a dades agrupades en intervals Polígon de freqüències i ogiva 4 Mesures de posició central — Mitjana aritmètica 1.

Concepte d'estadístic de centre i definició de mitjana aritmètica 2. Càlcul mitjançant taules de freqüències simples i agrupades 3. Mitjana aritmètica ponderada i mitjana total de submostres 4. Propietats algebraiques i transformacions lineals 5.

Limitacions de la mitjana aritmètica 5 Mitjanes específiques — Quocients, taxes de creixement, harmònica i geomètrica El problema dels quocients i la taula de components Variacions acumulatives percentuals i taxes compostes Mitjanes específiques: Harmònica i Geomètrica 6 Mesures de posició central — Moda i Mediana bàsica Definició i determinació de la moda ( ) La moda en taules de freqüències simples i agrupades Propietats, avantatges i transformacions lineals de la moda Concepte i càlcul bàsic de la mediana ( ) Comparativa entre les mesures de tendència central M o X M e Anàlisi Descriptiu Unidimensional " Estadística I 1 7 Quantils — Quartils, decils i percentils en dades simples i agrupades Definició i equivalència formal entre quantils Interpretacions d'un percentil d'ordre P Metodologia general de càlcul: posició de referència Càlcul en dades brutes no agrupades Càlcul en taules de freqüències simples Càlcul per interpolació en dades agrupades en intervals Aplicació pràctica: resolució de quartils i decils en dades agrupades 8 Mesures de dispersió absoluta i variància La necessitat d'avaluar la variabilitat: el concepte de risc Classificació general dels estadístics de dispersió Mesures de dispersió basades en intervals de valors Desviacions respecte a la mitjana i desviació absoluta mitjana Variància mostral: definició i deducció operativa Càlcul de la variància amb taules de freqüències Desviació estàndard o típica 9 Formulari Taules de freqüències i agrupació en intervals Gràfics estadístics Mesures de posició central Quantils i percentils Mesures de dispersió absoluta Errors típics Solucions de les preguntes de repàs Aquests apunts poden contenir errors o omissions.

Són un material de suport i no substitueixen el temari oficial ni el professorat: contrasta la informació important. Anàlisi Descriptiu Unidimensional " Estadística I 2 1 Introducció, notació de sumatoris i taules de freqüències bàsiques EN ACABAR SABRÀS Distingir entre mida mostral N, categories xk i nombre de modalitats K en una distribució. Aplicar les propietats de l'operador sumatori i evitar els errors habituals de càlcul algebraic. Calcular i relacionar les freqüències absolutes, relatives i acumulades d'una mostra. Construir la taula de freqüències completa per a dades no agrupades identificant quan no és aplicable l'acumulació.

PENSA-HI ABANS DE LLEGIR 1 Té sentit calcular el percentatge acumulat de ciutadans segons el seu estat civil (solter, casat, divorciat, vidu)? L'estadística descriptiva unidimensional sintetitza i organitza conjunts d'observacions d'un sol caràcter per extreure'n informació útil i comprensible. ESQUEMA Estructura de l'anàlisi descriptiu unidimensional Notació bàsica d'una mostra Quan s'analitza un conjunt de dades, es designa la característica observada amb una lletra majúscula com . Si es recullen dades sobre una col·lecció d'individus, el nombre global d'elements observats s'anomena grandària mostral i es representa amb .

La col·lecció d'observacions individuals s'escriu Organització de dades Tabulació i agrupació bàsica Taula de freqüències Recomptes absoluts, relatius i acumulats Agrupació en intervals Agrupació per a contínues Gràfics i representacions Barres, sectors i histogrames Mesures estadístiques Paràmetres per resumir la mostra Posició central Mitjana, mediana i moda Posició no central Quartils i percentils Dispersió i forma Variància, desviació i asimetria X N Anàlisi Descriptiu Unidimensional " Estadística I 3 com el conjunt , on cada identifica el resultat obtingut en la unitat d'observació concreta . Sovint, molts d'aquests valors es repeteixen al llarg de la mostra.

Els valors diferents i exclusius que pot manifestar la variable s'anomenen categories o classes. El nombre total de valors o modalitats diferents s'expressa amb la lletra majúscula . La modalitat o categoria específica que ocupa la posició s'indica mitjançant , complint-se habitualment que . DEFINICIÓ Una variable estadística és una propietat mesurada en una mostra de mida . Les seves categories corresponen als valors diferents que pot prendre aquesta característica. Segons la naturalesa de les dades, les variables poden presentar escales diferents: Qualitatives ordinals: expressen qualitats o estats jeràrquics que es poden ordenar (com ara la dimensió d'un municipi o el nivell acadèmic).

Quantitatives discretes: prenen valors numèrics aïllats fruit d'un recompte (com el nombre de membres d'una llar). Quantitatives contínues: prenen valors reals dins d'un interval de mesura (com la superfície en metres quadrats o els ingressos mensuals en euros). Si cal agrupar-les en intervals, vegeu «Agrupació de dades en intervals i densitat de freqüència». COMPROVA-HO 2 Quina diferència conceptual hi ha entre la notació de subíndex a x_i i a x_k? Àlgebra de sumatoris L'anàlisi de dades requereix sumar grans llistes de valors. Per evitar escriure sumes llargues, s'utilitza l'operador sumatori ( ).

Per a una seqüència de valors , la suma completa s'expressa de forma compacta: Aquest operador compleix unes propietats aritmètiques estrictes que permeten simplificar càlculs posteriors: {x , … , x , … , x } 1 i N x i i K k x k K N X N x k K K x , x , …

, x 1 2 K x = k=1 K k x + 1 x + 2 + x K Suma d'una constant: sumar una quantitat fixa durant vegades equival a multiplicar el nombre de termes per dita constant: 1 a K a = k=1 K = K vegades a + a + + a K a Anàlisi Descriptiu Unidimensional " Estadística I 4 EXEMPLE Si es disposa de observacions per a dues variables tals que i , la suma de la combinació amb constant resulta: De manera semblant, la suma lineal de les dues sèries dóna: Aquest resultat coincideix amb la suma per separat: i , de manera que . ERROR FREQÜENT L'operador sumatori NO és distributiu respecte a la multiplicació, la divisió o les potències. Aquests errors alteren greument els resultats: Producte: .

Seguint l'exemple anterior: , valor que no equival a . Quocient: . En l'exemple: , que dista de . Potència: . En les mateixes dades: , mentre que el quadrat del sumatori és . COMPROVA-HO 3 Si tenim 4 categories i la constant c = 3, quant val la suma d'aquesta constant sobre tots els k?

Extracció d'escalars: una constant multiplicativa que afecta tots els termes de la suma pot sortir fora com a factor comú: 2 a k=1 K x = k a x k=1 K k Additivitat: el sumatori d'una addició terme a terme entre dues seqüències és igual a la suma dels seus sumatoris individuals: 3 (x + k=1 K k y ) = k x + k=1 K k y k=1 K k K = 3 X = (3, 2, 5) Y = (1, 7, 1) a = 10 10x = k=1 3 k 10(3) + 10(2) + 10(5) = 30 + 20 + 50 = 100 = 10 x = k=1 3 k 10(10) = 100 (x + k=1 3 k y ) = k (3 + 1) + (2 + 7) + (5 + 1) = 4 + 9 + 6 = 19 x = k 10 y = k 9 10 + 9 = 19 (x k=1 K k y ) = k x ( k=1 K k) y ( k=1 K k) 3(1) + 2(7) + 5(1) = 22 10 9 = 90 = k=1 K y k x k y k=1 K k x k=1 K k + 1 3 + 7 2 1 5 8,28 9 10 1,11 (x ) = k=1 K k 2 x ( k=1 K k) 2 3 + 2 2 + 2 5 = 2 9 + 4 + 25 = 38 10 = 2 100 Anàlisi Descriptiu Unidimensional " Estadística I 5 Distribució de freqüències: absolutes i relatives Quan es gestiona un conjunt extens de dades, resulta ineficient treballar amb el registre desglossat de totes les entrades individuals.

Per tabular la informació, es compta quantes vegades es manifesta cadascuna de les modalitats. La freqüència absoluta ( ) és el nombre total d'ocasions en què la categoria apareix registrada a la mostra analitzada. Aquest paràmetre compleix dues propietats essencials: La freqüència relativa ( ) mesura la proporció d'observacions que corresponen a la categoria respecte del volum mostral global: Aquesta mesura expressa la participació en tant per u de cada classe. Es pot transformar immediatament en un percentatge multiplicant el resultat per 100 ( ). Les seves propietats formals són: Cada proporció està fitada estrictament a l'interval unitari: .

: la totalitat de les proporcions associades a les categories suma exactament 1 (o el 100% en cas d'expressió percentual). PER RECORDAR-HO Mentre que la freqüència absoluta indica recomptes de subjectes (amb suma igual a ), la freqüència relativa descriu pesos relatius o proporcions (amb suma igual a 1). Freqüències acumulades: absolutes i relatives Quan les categories admeten un ordre, resulta informatiu analitzar quants subjectes queden per sota o assoleixen un determinat nivell. La freqüència absoluta acumulada ( ) indica el nombre d'individus de la mostra que presenten un valor igual o inferior a la classe .

El seu càlcul s'obté sumant les freqüències absolutes fins a arribar a la posició considerada: Com a conseqüència d'aquesta definició recursiva, la freqüència acumulada de l'última categoria és sempre igual a la mida mostral total: N_K = N. La freqüència relativa acumulada ( ) reflecteix la proporció d'observacions (en tant per u) amb un valor menor o igual a : n k x k El valor d'un recompte mai no és negatiu ni pot sobrepassar el total de la mostra: per a tot índex . 1 0 n k N k : l'agrupació per categories compta tots els individus, per la qual cosa la suma de totes les freqüències absolutes dóna exactament la grandària mostral.

2 n = k=1 K k N f k x k f = k N n k f k 100% 0 f k 1 f = k=1 K k 1 n k N f k N k x k N = k n = i=1 k i N + k 1 n k F k x k Anàlisi Descriptiu Unidimensional " Estadística I 6 Igualment, per a l'última categoria de la distribució, s'obté la totalitat de la mostra acumulada: F_K = 1 (equivalent al 100%). ERROR FREQÜENT Les freqüències acumulades ( i ) NO tenen cap sentit matemàtic ni pràctic en variables qualitatives nominals (com ara l'estat civil, la nacionalitat o el sector d'activitat). L'acumulació pressuposa que les categories mantenen una relació d'ordre jeràrquic natural ( ).

En absència d'aquest criteri intrínsec, acumular valors dependria purament de l'ordre arbitrari en què s'escriuen les files de la taula. COMPROVA-HO 4 Per què no es poden calcular freqüències acumulades per a la variable «província de naixement»? Construcció sistemàtica de la taula de freqüències La taula de freqüències unifica en una sola estructura tabular totes les mètriques d'ordenació d'una variable discreta o qualitativa ordenada. Els passos per confeccionar-la són: Considerem una mostra de N = 75 llars procedents d'un estudi de pressupostos familiars on s'analitza el nivell d'estudis del cap de família ( ).

Aquesta variable qualitativa ordinal s'ha codificat de l'1 al 6 segons les etapes formatives. Descripció de la classe Categoria ( ) Freqüència absoluta ( ) Freqüència relativa ( ) Freqüència absoluta acumulada ( ) Freqüència relativa acumulada ( ) Sense Estudis 1 5 0,07 5 0,07 Primària 2 13 0,17 18 0,24 F = k f = i=1 k i = N N k F + k 1 f k N k F k x < 1 x < 2 < x K Identificar els valors diferents observats i ordenar-los de forma creixent en la primera columna ( ). 1 K x k Efectuar el recompte dels individus de cada categoria per obtenir les freqüències absolutes ( ) i verificar que la seva suma és .

2 n k N Dividir cada entre per determinar la columna de freqüències relatives ( ), comprovant que la suma sumi exactament 1. 3 n k N f k Obtenir sumant progressivament els valors de ; la darrera fila ha de coincidir amb . 4 N k n k N Determinar acumulant els valors de o dividint directament ; la darrera posició ha de resultar 1.

5 F k f k N /N k X = EDUC x k n k f k N k F k Anàlisi Descriptiu Unidimensional " Estadística I 7 Descripció de la classe Categoria ( ) Freqüència absoluta ( ) Freqüència relativa ( ) Freqüència absoluta acumulada ( ) Freqüència relativa acumulada ( ) Secundària obligatòria 3 48 0,64 66 0,88 Batxillerat 4 3 0,04 69 0,92 Formació Professional 5 1 0,01 70 0,93 Terciària 6 5 0,07 75 1,00 SUMA — 75 1,00 — — La interpretació concreta de les dades mostra que hi ha 48 famílies amb cap de llar amb secundària obligatòria ( ), la qual cosa representa un pes del 64% sobre el conjunt ( ).

Paral·lelament, la lectura acumulada indica que 66 de les 75 famílies ( ) tenen com a màxim el nivell d'estudis de secundària obligatòria, xifra que suposa un 88% de la mostra ( ). COMPROVA-HO 5 A partir de la taula anterior, quina proporció de famílies té estudis que superen la secundària obligatòria? IDEES CLAU La mida mostral és el nombre total d'observacions, mentre que és el nombre de modalitats o categories diferents que pren la variable. L'operador sumatori compleix la propietat distributiva respecte a la suma i extreu constants, però no és distributiu en productes, quocients ni potències.

La suma de les freqüències absolutes és igual a la grandària mostral ( ) i la suma de les relatives equival sempre exactament a 1 ( ). Les freqüències acumulades ( i ) proporcionen el volum o percentatge d'observacions fins a un determinat llindar, assolint els valors finals i . Les freqüències acumulades només són aplicables a variables que permeten una ordenació lògica de les categories i mai a variables qualitatives nominals. COMPROVA EL QUE HAS APRÈS 6. Quines condicions i valors extrems assoleixen sempre les freqüències relatives i les relatives acumulades ? 7. Per quina raó algebraica l'expressió no coincideix amb ?

x k n k f k N k F k n = 3 48 f = 3 0,64 N = 3 66 F = 3 0,88 N K n = k N f = k 1 N k F k N = K N F = K 1 f k F k (x ) k=1 K k 2 x ( k=1 K k) 2 Anàlisi Descriptiu Unidimensional " Estadística I 8 Test Encercla la resposta correcta. Les solucions són al final. 8. Quin és el valor de la suma de totes les freqüències relatives d'una distribució? 9. En quin tipus de variable manca de sentit calcular freqüències acumulades? 10. Com es defineix la relació recurrent de la freqüència absoluta acumulada? 11. Quant val la suma d'una constant c sumada K vegades mitjançant un sumatori?

2 Agrupació de dades en intervals i densitat de freqüència EN ACABAR SABRÀS Construir intervals disjunts cobrint la totalitat de les observacions d'una mostra Calcular la marca de classe i l'amplitud de qualsevol interval Determinar la densitat de freqüència per comparar intervals d'amplitud desigual Reconstruir taules de freqüències agrupades incompletes mitjançant relacions algebraiques PENSA-HI ABANS DE LLEGIR 12 Si un interval conté el doble d'observacions que un altre, podem concloure que les dades hi estan més concentrades?

Necessitat de l'agrupació en intervals Quan treballem amb variables quantitatives contínues o amb variables que prenen un ventall molt ampli de valors diferents, la taula de freqüències simples perd tota la seva utilitat sintètica. Si gairebé cada dada observada apareix una sola vegada, la taula tindrà gairebé tantes files com observacions i no permetrà extreure cap patró ni resum global.

Sempre equival a 100 a) Sempre és igual a 1 b) Sempre és igual a N c) Depèn del nombre de categories d) Qualitativa nominal a) Qualitativa ordinal b) Quantitativa discreta c) Quantitativa contínua d) = · N a) N k n k = / N b) N k n k = + c) N k N k 1 n k = + d) N k N k 1 f k c elevat a K a) c b) K multiplicat per c c) K dividit per c d) Anàlisi Descriptiu Unidimensional " Estadística I 9 Davant d'aquesta situació s'aplica l'agrupació en intervals, un procediment que consisteix a partir el camp de variació de la variable en classes o subconjunts disjunts. D'aquesta manera, cada valor observat queda assignat de forma unívoca a un sol interval.

Tot i que aquest procediment facilita la lectura de la distribució, comporta una conseqüència metodològica directa: la pèrdua d'informació individual. Mentre que una taula sense agrupar conté exactament la mateixa informació que la mostra original, la taula agrupada només manté el recompte d'elements dins de cada rang. Com més amplis siguin els intervals (és a dir, com menor sigui el seu nombre total), més gran serà la pèrdua d'informació sobre la posició exacta de cada dada. COMPROVA-HO 13 Quina conseqüència directa té escollir un nombre molt reduït d'intervals molt amples en comptes d'intervals més estrets?

Criteris de construcció i notació bàsica Per construir els intervals cal determinar primer el nombre total d'intervals . Si es defineixen massa intervals, la distribució continuarà sent poc clara; si se'n defineixen massa pocs, es perd informació rellevant. A la pràctica, se sol recomanar fixar entre 5 i 15 intervals, depenent sempre de les característiques de la mostra. Cada interval -èssim es denota convencionalment com un conjunt semiobert per l'esquerra: , on és el límit inferior i és el límit superior.

Aquesta convenció implica que l'extrem esquerre no forma part de l'interval, mentre que l'extrem dret sí que s'hi inclou (tret que s'indiqui expressament una altra regla per a casos concrets). L'amplitud de l'interval es defineix com la distància que separa els dos extrems: Si tots els intervals tenen la mateixa amplada constant, tenim , la qual cosa simplifica els càlculs i la interpretació visual de les dades. No obstant això, quan es donen valors extrems o concentracions anòmales, resulta habitual definir intervals d'amplitud desigual.

Per calcular estadístics descriptius a partir d'intervals es necessita un únic valor representatiu per a tota la classe: la marca de classe , que coincideix amb el punt central de l'interval: PROCÉS Passos per a l'agrupació de dades en intervals 1 Localitzar extrems Identificar el valor mínim i el màxim de la mostra 2 Determinar K i amplituds Fixar entre 5 i 15 intervals i triar amplituds ck senzilles 3 Verificar cobertura Assegurar que cap observació quedi fora del rang 4 Comptar i derivar estadístics Calcular marques de classe, freqüències i densitats si cal K k I = k (L , L ] k 1 k L k 1 L k c k c = k L k L k 1 c = 1 c = 2 ...

= c = K c mc k mc = k 2 L + L k k 1 Anàlisi Descriptiu Unidimensional " Estadística I 10 COMPROVA-HO 14 Quin valor pren la marca de classe d'un interval definit com (40, 70]? Procediment sistemàtic d'agrupació i taula de freqüències La construcció d'una distribució agrupada segueix un procés pautat pas a pas: EXEMPLE Volem agrupar una variable d'ingressos que només pren valors positius, començant pel límit , amb una amplitud constant euros. Si l'observació més gran de la mostra és 4806, cal determinar quantes classes calen: Es defineixen així 5 intervals consecutius d'amplada 1000: (0, 1000], (1000, 2000], (2000, 3000], (3000, 4000] i (4000, 5000].

Per a una mostra de mida total , la taula completa resultant és la següent: 1 0 1000 500 21 0,28 21 0,28 1000 2 1000 2000 1500 34 0,45 55 0,73 1000 3 2000 3000 2500 12 0,16 67 0,89 1000 4 3000 4000 3500 6 0,08 73 0,97 1000 5 4000 5000 4500 2 0,03 75 1,00 1000 Total 75 1,00 Localitzar els extrems: identificar l'observació mínima i la màxima de la mostra per establir el recorregut que caldrà cobrir. 1 x m n ı ˊ x m x a ˋ Fixar el nombre d'intervals i la seva amplitud: escollir un valor de representatiu i assignar les amplituds , procurant emprar valors rodons i senzills com a límits. 2 K c k Garantir la cobertura total: assegurar que i que , de manera que cap valor quedi fora dels marges.

3 x m n ı ˊ I 1 x m x a ˋ I K Comptabilitzar les freqüències: calcular per a cada classe les freqüències absolutes ( ), relatives ( ), absolutes acumulades ( ) i relatives acumulades ( ). (Per a la definició formal d'aquests conceptes, vegeu «Introducció, notació de sumatoris i taules de freqüències bàsiques»). 4 n k f k N k F k L = 0 0 c = 1000 K × 1000 4806 K = 1000 4806 4,806 K = 5 N = 75 k L k 1 L k mc k n k f k N k F k c k Anàlisi Descriptiu Unidimensional " Estadística I 11 COMPROVA-HO 15 Si el valor màxim observat és 324 i es defineixen intervals d'amplitud 50 començant en 0, quants intervals es necessiten com a mínim?

Densitat de freqüència en intervals d'amplitud desigual Quan els intervals no tenen la mateixa amplada, la freqüència absoluta deixa de ser un indicador directe de la concentració de les dades. Un interval molt ampli pot contenir moltes observacions simplement perquè recull un tram extens de l'escala, i no pas perquè les dades hi estiguin particularment concentrades. Per comparar adequadament la concentració d'observacions entre classes de diferent longitud, es defineix la densitat de freqüència com el quocient entre la freqüència absoluta i l'amplitud corresponent: La densitat mesura exactament el nombre d'observacions contingudes a l'interval per cada unitat de longitud.

És la magnitud fonamental que s'utilitza com a altura a l'hora de dibuixar histogrames correctes (vegeu «Representacions gràfiques unidimensionals»). EXEMPLE Considerem dos intervals consecutius amb les dades següents: Interval 1 0 100 5 100 0,05 2 100 1100 40 1000 0,04 Tot i que el segon interval acumula 40 observacions davant de les 5 del primer, la seva amplitud és deu vegades més gran ( enfront de ). La densitat revela que el primer interval està més densament poblat ( ) que el segon ( ). Quan tots els intervals presenten exactament la mateixa amplitud , la densitat resulta directament proporcional a .

En aquest context, la densitat no afegeix informació comparativa addicional i se sol ometre a les taules bàsiques. ERROR FREQÜENT Comparar la freqüència absoluta o relativa de dos intervals amb amplituds diferents per determinar quin té més concentració de valors és un error molt greu. Sense dividir entre l'amplitud s'ignora l'efecte de l'amplada de la classe, atribuint falsament una major concentració a l'interval simplement més llarg.

n k d k d = k c k n k L k 1 L k n k c k d = k n /c k k c = 2 1000 c = 1 100 d = 1 0,05 d = 2 0,04 c d = k n /c k n k n k f k c k Anàlisi Descriptiu Unidimensional " Estadística I 12 COMPROVA-HO 16 Un interval (20, 50] conté 15 dades i un interval (50, 60] en conté 8. Quin dels dos presenta una concentració més alta? Reconstrucció de taules de freqüències incompletes A les proves d'avaluació és molt comú haver de completar una taula de dades agrupades a partir de relacions creuades entre límits, freqüències acumulades i densitats. El mètode de resolució es basa a aprofitar les propietats de continuïtat dels límits i les equivalències bàsiques de la taula.

Anàlisi Descriptiu Unidimensional " Estadística I 13 EXEMPLE Resolució del problema de reconstrucció per a una variable contínua amb les dades inicials proporcionades a l'examen: Interval 1: Límit inferior = 10, , . Interval 3: Límit inferior = 80, , , . Procedim a deduir cada valor pas a pas: La distribució completada adopta aquesta configuració final: Límit inf. Límit sup. Marca classe Amplitud ( ) Densitat ( ) 10 50 30 60 60 0,20 0,20 40 1,50 50 80 65 135 195 0,45 0,65 30 4,50 80 90 85 105 300 0,35 1,00 10 10,50 Total 300 1,00 mc = 1 30 n = 1 60 N = 3 300 f = 3 0,35 c = 3 10 Extrems i amplituds dels intervals: A partir de la marca de classe del primer interval: . L'amplitud és .

Per continuïtat de classes contigües, l'extrem inferior del segon interval és el superior del primer ( ), i el límit superior del segon interval coincideix amb l'inferior del tercer ( ). Així, el segon interval és (50, 80], amb amplitud i marca de classe . Al tercer interval, com que el límit inferior és 80 i l'amplitud és 10, el límit superior és , i la seva marca de classe és . 1 mc = 1 = 2 10+L 1 30 L = 1 60 10 = 50 c = 1 50 10 = 40 L = 1 50 L = 2 80 c = 2 80 50 = 30 mc = 2 = 2 50+80 65 L = 3 80 + 10 = 90 mc = 3 = 2 80+90 85 Freqüències totals i absolutes: Com que hi ha 3 intervals, l'última freqüència acumulada indica la mida total de la mostra: .

Amb la freqüència relativa del tercer interval calculem la seva freqüència absoluta: . Com que la suma de freqüències absolutes és , la freqüència del segon interval s'obté per diferència: . 2 N = N = 3 300 n = 3 f × 3 N = 0,35 × 300 = 105 N n = 2 N n 1 n = 3 300 60 105 = 135 Freqüències acumulades i relatives restants: ; ; . ; ; . Finalment, . 3 f = 1 = 300 60 0,20 N = 1 60 F = 1 0,20 f = 2 = 300 135 0,45 N = 2 60 + 135 = 195 F = 2 0,20 + 0,45 = 0,65 F = 3 0,65 + 0,35 = 1,00 n i N i f i F i c i d i Anàlisi Descriptiu Unidimensional " Estadística I 14 IDEES CLAU L'agrupació en intervals és imprescindible per resumir variables contínues o distribucions amb una dispersió de valors molt elevada.

Cada interval se sol definir semiobert per l'esquerra: , amb amplitud . La marca de classe actua com a únic valor numèric representant de tot l'interval en els càlculs. L'agrupació comporta necessàriament una pèrdua d'informació respecte a les observacions originals, que s'accentua com més amples són les classes. Quan els intervals tenen amplituds desiguals, cal emprar la densitat de freqüència per comparar adequadament la concentració. COMPROVA EL QUE HAS APRÈS 17. Com es defineix la marca de classe i quin paper té en la taula de freqüències agrupades? 18. Per què no es pot utilitzar directament la freqüència absoluta per comparar la concentració entre intervals d'amplitud diferent?

Test Encercla la resposta correcta. Les solucions són al final. 19. Quin és el límit superior d'un interval amb límit inferior 20 i marca de classe 35? 20. Què mesura exactament la densitat de freqüència d'un interval? 21. Com varia la pèrdua d'informació en augmentar l'amplitud dels intervals? 22. Si l'interval (10, 30] té 40 observacions, quina és la seva densitat de freqüència?

I = k (L , L ] k 1 k c = k L k L k 1 mc = k (L + k L )/2 k 1 d = k n /c k k 45 a) 55 b) 50 c) 40 d) El total d'observacions acumulades a) La diferència entre els límits b) El nombre d'observacions per unitat d'amplitud c) El percentatge respecte a la mostra d) Es manté exactament igual a) Augmenta com més amples siguin b) Es redueix notablement c) Depèn només de la mida mostral d) 2,0 a) 4,0 b) 0,5 c) 1,33 d) Anàlisi Descriptiu Unidimensional " Estadística I 15 3 Representacions gràfiques unidimensionals EN ACABAR SABRÀS Calcular l'angle corresponent a cada categoria en un diagrama de sectors. Distingir les condicions d'ús d'un diagrama de barres enfront d'un histograma.

Calcular la densitat de freqüència per construir un histograma d'amplitud variable. Construir i interpretar el polígon de freqüències i l'ogiva acumulada. PENSA-HI ABANS DE LLEGIR 23 Si doblem l'amplitud d'un interval mantenint el mateix nombre d'observacions, com ha de variar l'alçada de la seva barra a l'histograma? Les representacions gràfiques permeten sintetitzar visualment la informació continguda en una distribució unidimensional. Partint de les taules estadístiques (vegeu «Introducció, notació de sumatoris i taules de freqüències bàsiques»), el gràfic ha de conservar sempre les relacions de proporcionalitat respecte a les observacions recollides.

La tria del model gràfic depèn del nivell de mesura i de si la variable es presenta de manera aïllada o mitjançant agrupació en intervals (vegeu «Agrupació de dades en intervals i densitat de freqüència»). ESQUEMA Gràfics segons el nivell d'agrupació Diagrama de sectors i pictogrames El diagrama de sectors (o circular) consisteix en un cercle seccionat en tantes parts com modalitats o categories presenta la variable d'estudi. L'àrea de cada sector és directament proporcional a la freqüència observada, ja sigui absoluta o relativa.

Per determinar l'obertura de cada porció, es calcula l'angle central mitjançant una regla de tres directa sobre el total de la circumferència: Dades no agrupades Valors individuals o categories Diagrama de barres Barres separades proporcionals a nk Diagrama de sectors Angles proporcionals a fk Dades agrupades Intervals de classe continus Histograma Rectangles contigus basats en ck Ogiva Poligonal d'extrems acumulats Anàlisi Descriptiu Unidimensional " Estadística I 16 DEFINICIÓ L'angle associat a la categoria o interval es defineix com: on representa la freqüència relativa d'aquella categoria. Aquest recurs visual resulta especialment clar quan el nombre de categories és reduït.

Un nombre excessiu de divisions fa perdre la capacitat d'interpretació immediata. Diagrama de sectors circular amb proporcions angulars per categoria. Els pictogrames representen les dades mitjançant figures al·lusives a la variable analitzada (com ara siluetes humanes per a habitants, o arbres per a repoblacions forestals). La mida o la quantitat d'aquestes figures es manté proporcional a la freqüència absoluta o relativa que es vol transmetre. COMPROVA-HO 24 Si una categoria concentra el 25 % de les observacions totals, quin angle central li correspon exactament en un diagrama de sectors?

Diagrama de barres per a dades no agrupades El diagrama de barres s'utilitza amb variables que presenten valors sense agrupar. En l'eix d'abscisses (horitzontal) s'ubiquen les diferents categories o valors discrets, separats entre si per espais buits. En l'eix d'ordenades (vertical) s'aixeca una barra vertical per a cada valor. En aquest tipus de representació, l'alçada de la barra és directament proporcional a la freqüència, sigui absoluta ( ) o relativa ( ). La forma i les proporcions del diagrama són idèntiques emprant o ; únicament s'altera l'escala numèrica de l'eix d'ordenades. Així mateix, és possible representar les freqüències acumulades ( o ).

En aquest cas, cada barra presenta una alçada superior o igual a l'anterior, mostrant el volum acumulat fins a aquesta modalitat. COMPROVA-HO 25 Com es pot recuperar la freqüència absoluta ordinària a partir d'un diagrama de barres de freqüències acumulades? α k k α = k 360 × fk f k K n k f k n k f k N k F k Anàlisi Descriptiu Unidimensional " Estadística I 17 Histograma per a dades agrupades en intervals L'histograma és la representació específica per a variables agrupades en intervals. A diferència del diagrama de barres, les barres d'un histograma estan completament unides, sense espais intermedis, transmetent la continuïtat del domini de la variable.

La base de cada rectangle es recolza sobre l'eix horitzontal cobrint l'amplitud de l'interval corresponent, . La regla geomètrica essencial de l'histograma és que l'àrea de cada barra ha de ser proporcional a la freqüència. Per tant, l'alçada no sempre reflecteix directament : Intervals d'amplitud constant ( ): Com que totes les bases tenen la mateixa mida, l'alçada és directament proporcional a la freqüència ( o ). Sovint es retola l'eix vertical amb les freqüències mateixes. Intervals d'amplitud variable ( ): L'alçada ha de ser necessàriament la densitat de freqüència ( ). D'aquesta manera, l'àrea del rectangle (base per alçada) recupera exactament la freqüència absoluta: .

Histogrames de freqüència absoluta ordinària i acumulada amb amplitud constant. ERROR FREQÜENT Quan els intervals tenen diferent amplitud, utilitzar la freqüència absoluta directa com a alçada de la barra distorsiona greument el gràfic. L'àrea visual resultant sobrevalora els intervals més amples. En intervals desiguals, l'alçada ha de ser sempre la densitat de freqüència .

Considerem el procés de construcció d'un histograma quan les amplituds dels intervals són diferents: Interval Amplitud ( ) Freqüència ( ) Densitat ( ) (0, 100000] 100000 14 0,00014 c = k L k L k 1 n k c = 1 c = 2 = c = K c n k f k c = k c j d = k n /c k k rea = A ˋ k c × k d = k c × k = c k n k n k d = k n /c k k Calcular l'amplitud de cada classe: . 1 c = k L k L k 1 Calcular la densitat de freqüència: . 2 d = k c k n k Dibuixar a l'eix horitzontal la base de cada rectangle coincidint amb els límits reals de l'interval. 3 Aixecar cada rectangle fins a una cota igual a la seva densitat a l'eix d'ordenades.

4 d k c k n k d = k n /c k k Anàlisi Descriptiu Unidimensional " Estadística I 18 Interval Amplitud ( ) Freqüència ( ) Densitat ( ) (100000, 175000] 75000 17 0,00022 (175000, 250000] 75000 17 0,00022 (250000, 400000] 150000 18 0,00012 (400000, 800000] 400000 9 0,00002 COMPROVA-HO 26 En un histograma amb intervals desiguals, quina magnitud física del dibuix representa la freqüència absoluta de l'interval? Polígon de freqüències i ogiva El polígon de freqüències proporciona un perfil continu de la distribució.

Es construeix unint mitjançant segments rectes els punts mitjans de la part superior de cada barra (associats a les marques de classe en dades agrupades, o als valors puntuals en el diagrama de barres). El seu propòsit és oferir una representació més suau del perfil distributiu. Quan aquest procediment de traçat lineal s'aplica a un histograma de freqüències acumulades, s'obté l'ogiva. A diferència del polígon ordinari, l'ogiva uneix directament els vèrtexs superiors drets dels rectangles: connecta les freqüències acumulades que corresponen als extrems superiors dels intervals ( ), donant lloc a una línia poligonal monòtona no decreixent.

Ogiva traçada sobre un histograma de freqüències acumulades.

c k n k d = k n /c k k L k Anàlisi Descriptiu Unidimensional " Estadística I 19 Gràfic Tipus de dades Eix d'abscisses (X) Alçada / Criteri vertical (Y) Unió entre barres Diagrama de barres Dades no agrupades Categories o valors aïllats Freqüència ( o ) Separades per espais Histograma Dades agrupades Amplitud de l'interval ( ) Densitat ( ) o freqüència si constant Contigües sense separació Polígon de freqüències No agrupades o agrupades Valors o marques de classe Línia que uneix els punts mitjans superiors Perfil lineal continu Ogiva Agrupades acumulades Extrems superiors ( ) Línia d'acumulació ( o ) Poligonal creixent COMPROVA-HO 27 Quins punts s'uneixen exactament per traçar l'ogiva en una distribució agrupada en intervals?

IDEES CLAU En el diagrama de sectors, l'angle de cada modalitat és proporcional a la seva freqüència relativa mitjançant l'expressió . El diagrama de barres s'empra per a dades no agrupades i presenta barres separades amb alçada directament proporcional a la freqüència. L'histograma requereix barres contigües recolzades sobre els intervals de classe. Si els intervals tenen diferent amplitud, l'alçada de l'histograma ha de ser la densitat de freqüència ( ) per preservar la proporcionalitat de l'àrea. El polígon de freqüències uneix els punts mitjans superiors de les barres, mentre que l'ogiva uneix les freqüències acumulades en els extrems superiors dels intervals.

COMPROVA EL QUE HAS APRÈS 28. Per què no s'ha d'utilitzar la freqüència absoluta com a alçada en un histograma amb intervals d'amplitud desigual? 29. En què es diferencia el traçat del polígon de freqüències ordinari del traçat de l'ogiva? n k f k c k d k c k L k N k F k α = k 360 × f k d = k n /c k k Anàlisi Descriptiu Unidimensional " Estadística I 20 Test Encercla la resposta correcta. Les solucions són al final. 30. Quin angle correspon en un diagrama de sectors a una categoria amb freqüència relativa igual a 0,40? 31. Com s'obté la densitat de freqüència d'un interval en un histograma? 32. Quina característica visual distingeix clarament l'histograma del diagrama de barres? 33.

Què representa l'àrea de cada barra en un histograma amb densitats de freqüència a l'eix vertical? 4 Mesures de posició central — Mitjana aritmètica EN ACABAR SABRÀS Calcular la mitjana aritmètica a partir de dades individuals, taules simples i dades agrupades en intervals. Calcular la mitjana aritmètica ponderada i la mitjana total combinant diverses submostres disjuntes. Demostrar i aplicar la propietat de suma nul·la de desviacions respecte a la mitjana. Determinar l'efecte de transformacions lineals (canvis d'origen i d'escala) sobre el valor de la mitjana.

PENSA-HI ABANS DE LLEGIR 34 Si tots els estudiants d'un grup augmenten la seva nota d'examen en un punt i mig, cal tornar a sumar totes les notes per saber la nova mitjana?

144° a) 40° b) 72° c) 100° d) Restant els límits superior i inferior a) Dividint la freqüència per l'amplitud b) Multiplicant la freqüència per l'amplitud c) Sumant la marca de classe i la freqüència d) L'orientació circular de les dades a) L'absència d'eix vertical b) L'ús exclusiu d'angles c) Les barres unides sense espai d) La freqüència acumulada total a) La marca de classe b) La freqüència absoluta de l'interval c) L'amplitud de l'interval d) Anàlisi Descriptiu Unidimensional " Estadística I 21 Els estadístics mostrals són funcions numèriques calculades a partir de les observacions d'una mostra que resumeixen la informació sobre com es distribueix una variable.

Dins de la descripció numèrica d'una variable unidimensional, s'acostumen a distingir tres grans blocs d'estadístics: de centre i posició, de dispersió i de forma. ESQUEMA Classificació dels estadístics mostrals d'una distribució 1. Concepte d'estadístic de centre i definició de mitjana aritmètica Un estadístic de centre té com a propòsit condensar tota la distribució de dades en un únic valor representatiu al voltant del qual s'ubiquen les observacions.

Entre les mesures de centre principals trobem la mitjana aritmètica, la mediana i la moda (vegeu «Mesures de posició central — Moda i Mediana bàsica»), a més de la mitjana geomètrica i l'harmònica (vegeu «Mitjanes específiques — Quocients, taxes de creixement, harmònica i geomètrica»). La discrepància bàsica entre aquestes mesures rau en el criteri utilitzat per definir què s'entén per «centre». DEFINICIÓ: MITJANA ARITMÈTICA La mitjana aritmètica d'una variable quantitativa és el seu centre de gravetat: el valor numèric respecte al qual la suma de totes les distàncies o desviacions de les observacions és exactament igual a zero.

Si disposem d'un conjunt de dades individuals desglossades d'una variable , representades com , la mitjana aritmètica (notada habitualment per ) es calcula sumant totes les observacions i dividint pel nombre total d'elements (vegeu l'operador sumatori a «Introducció, notació de sumatoris i taules de freqüències bàsiques»): Estadístics mostrals Resums numèrics de la informació mostral Centre i posició Mesures de centre i quantils Estadístics de centre Mitjanes, mediana i moda Estadístics de posició Quartils, decils i percentils Dispersió o variabilitat Mesures com la variància i el rang Forma Asimetria i curtosi de la distribució N X x , x , …, x 1 2 N X ˉ = X ˉ x N 1 i=1 N i Anàlisi Descriptiu Unidimensional " Estadística I 22 EXEMPLE DE CÀLCUL DIRECTE AMB DADES INDIVIDUALS Considerem una mostra de mida amb els valors següents: 1, 2, 2, 1, 3, 1, 2, 2.

Apliquem directament la definició sumant cadascun dels valors i dividint pel total: COMPROVA-HO 35 Què significa físicament que la mitjana aritmètica sigui el centre de gravetat de les dades? 2. Càlcul mitjançant taules de freqüències simples i agrupades Quan disposem de taules amb dades resumides, no cal sumar les observacions una a una.

Podem emprar tant la freqüència absoluta ( ) com la freqüència relativa ( ) de cadascun dels valors diferents (vegeu «Introducció, notació de sumatoris i taules de freqüències bàsiques»): Valor distint ( ) Freqüència absoluta ( ) Freqüència relativa ( ) Producte 1 3 3 2 4 8 3 1 3 Total 1 El càlcul a través de freqüències relatives ofereix exactament el mateix resultat: Càlcul amb dades agrupades en intervals Si la variable es troba estructurada en classes o intervals (vegeu «Agrupació de dades en intervals i densitat de freqüència»), desconeixem els valors originals exactes.

Per resoldre-ho, s'utilitza la marca de classe ( ) com a representant de l'interval : L'expressió per calcular la mitjana aritmètica sobre la taula agrupada és: N = 8 = X ˉ x = 8 1 i=1 8 i = 8 1 + 2 + 2 + 1 + 3 + 1 + 2 + 2 = 8 14 1,75 1,7 n k f = k n /N k K = X ˉ x n = N 1 k=1 K k k x f k=1 K k k x k n k f k x k n k 3/8 4/8 1/8 N = 8 x n = k k 14 = X ˉ 1 + 8 3 2 + 8 4 3 = 8 1 = 8 3 + 8 + 3 1,75 mc k (L , L ] k 1 k mc = k 2 L + L k 1 k = X ˉ mc N 1 k=1 K k n = k mc k=1 K k f k Anàlisi Descriptiu Unidimensional " Estadística I 23 Classe ( ) Límit inf. ( ) Límit sup. ( ) Marca de classe ( ) Freq. absoluta ( ) Freq.

relativa ( ) Producte 1 0 1000 500 21 0,28 10.500 2 1000 2000 1500 34 0,45 51.000 3 2000 3000 2500 12 0,16 30.000 4 3000 4000 3500 6 0,08 21.000 5 4000 5000 4500 2 0,03 9.000 Total — — — 75 1,00 121.500 A partir d'aquestes dades, la mitjana aritmètica agrupada s'obté com: PER RECORDAR-HO Quan les dades no estan agrupades, calcular la mitjana sobre les observacions soltes o a partir de la taula de freqüències dona un resultat estrictament idèntic. En canvi, en dades agrupades en intervals es produeix una pèrdua d'informació, ja que s'assumeix que totes les observacions coincideixen amb el punt mitjà de l'interval.

Per tant, sempre que sigui possible, els estadístics s'han de calcular amb les dades brutes originals. COMPROVA-HO 36 Per què la mitjana calculada amb intervals pot diferir de la mitjana real de les dades originals? 3. Mitjana aritmètica ponderada i mitjana total de submostres En el còmput estàndard de la mitjana, cada observació té la mateixa rellevància. Tanmateix, hi ha situacions en què determinats elements han de contribuir amb una importància relativa diferent a la suma final.

DEFINICIÓ: MITJANA PONDERADA Associant a cada observació un pes o coeficient de ponderació positiu , la mitjana aritmètica ponderada es defineix com: Si tots els pesos fossin iguals ( per a tot ), el denominador esdevindria i la mitjana ponderada coincidiria plenament amb l'aritmètica simple.

k L k 1 L k mck n k f k mc k n k = X ˉ 75 1 121.500 = 1620 (o b mc e ˊ k f k 1610 amb els arrodoniments de f ) k x i w i = X ˉw w i=1 N i w x i=1 N i i w = i 1 i N Anàlisi Descriptiu Unidimensional " Estadística I 24 EXEMPLE: PONDERACIÓ DE QUALIFICACIONS Un examen s'estructura en quatre proves amb notes individuals de 5, 4, 2 i 9 punts: Si totes tenen la mateixa rellevància: Si la segona prova té el doble de pes que la resta ( ): Mitjana total a partir de submostres disjuntes Suposem una mostra global de grandària particionada en submostres independents i disjuntes, amb mides respectives (on ), de les quals es coneixen les mitjanes respectives .

La mitjana total ( ) és la mitjana aritmètica ponderada de les mitjanes de cada grup, on els pesos són precisament els efectius de cada submostra: EXEMPLE: ALÇADES PER SUBMOSTRES En un col·lectiu de persones format per homes i dones, la mitjana d'alçada dels homes és i la de les dones és . L'alçada mitjana global s'obté fent: ERROR FREQÜENT Calcular la mitjana global fent la mitjana directa de les mitjanes parcials ( ) és un error greu quan els subgrups no tenen exactament la mateixa mida. Només es pot aplicar la mitjana simple de les submostres si .

COMPROVA-HO 37 Quan coincideix la mitjana aritmètica total de diverses submostres amb la mitjana aritmètica simple de les seves mitjanes individuals? 4. Propietats algebraiques i transformacions lineals La mitjana aritmètica presenta propietats analítiques estrictes que faciliten tant el càlcul algebraic com l'anàlisi de canvis en la mesura de les dades. a) Propietat del centre de gravetat: suma de desviacions nul·la La suma algebraica de les desviacions respecte a la mitjana és sempre zero: = X ˉ = 4 5+4+2+9 5 w = 1 1, w = 2 2, w = 3 1, w = 4 1 = X ˉw = 1 + 2 + 1 + 1 1 5 + 2 4 + 1 2 + 1 9 = 5 5 + 8 + 2 + 9 = 5 24 4,8 N K N , N , … , N 1 2 K N = k N , , …

, X ˉ1 X ˉ2 X ˉK X ˉT = X ˉT = N k=1 K k N k=1 K k X ˉk N N k=1 K k X ˉk N = T 300 N = H 200 N = D 100 = X ˉH 174 cm = X ˉD 168 cm = X ˉT = N T N + N H X ˉH D X ˉD = 300 200 174 + 100 168 = 300 34.800 + 16.800 = 300 51.600 172 cm = 2 174+168 171 N = 1 N = 2 = N K (x i=1 N i ) = X ˉ 0 Anàlisi Descriptiu Unidimensional " Estadística I 25 1. Desglossem el sumatori del binomi: . 2. Com que és constant respecte a l'índex : . 3. Substituïm la definició de mitjana ( ), de manera que . 4. Restem ambdues expressions equivalents: .

Si comprovem aquest resultat amb les dades , on : b) Comportament davant transformacions lineals Quan sotmetem les dades originals a un canvi d'escala i d'origen mitjançant la transformació lineal (amb ), la mitjana aritmètica queda afectada de manera idèntica: Tipus de canvi Model lineal Efecte sobre la nova mitjana Exemple ( ) Canvi d'origen Si , llavors Canvi d'escala Si , llavors Complet (escala i origen) Si , llavors La demostració formal de la transformació completa procedeix de manera directa aplicant les propietats dels sumatoris: 5.

Limitacions de la mitjana aritmètica Malgrat ser l'estadístic de posició central més emprat, té dos punts febles substancials: Sensibilitat als valors atípics o extrems: Com que incorpora directament la magnitud absoluta de totes les dades en la suma, un únic valor desmesuradament gran o reduït desplaça el centre de gravetat de forma severa, fent perdre representativitat sobre la majoria de la mostra (en aquestes circumstàncies és preferible utilitzar la mediana; vegeu «Mesures de posició central — Moda i Mediana bàsica»).

Inaplicabilitat a variables qualitatives: Exigeix operacions de suma i quocient numèric, per la qual cosa no té cap mena de sentit calcular-la sobre dades nominals ni ordinals.

(x i=1 N i ) = X ˉ x i=1 N i i=1 N X ˉ X ˉ i = i=1 N X ˉ NX ˉ = X ˉ x N 1 i=1 N i N = X ˉ x i=1 N i x i=1 N i x = i=1 N i 0 {4, 6, 4, 10} = X ˉ 6 d = 1 4 6 = 2; d = 2 6 6 = 0; d = 3 4 6 = 2; d = 4 10 6 = +4 d = i=1 4 i ( 2) + 0 + ( 2) + 4 = 0 y = i a x + i b a, b R = Y ˉ a + X ˉ b = X ˉ 6 y = i x + i b = Y ˉ + X ˉ b y = i x + i 10 = Y ˉ 6 + 10 = 16 y = i a x i = Y ˉ aX ˉ y = i 2x i = Y ˉ 2 6 = 12 y = i a x + i b = Y ˉ a + X ˉ b y = i 2x + i 10 = Y ˉ 2(6) + 10 = 22 = Y ˉ (ax + N 1 i=1 N i b) = x + N a i=1 N i b = N 1 i=1 N a + X ˉ = N Nb a + X ˉ b Anàlisi Descriptiu Unidimensional " Estadística I 26 COMPROVA-HO 38 Si un conjunt de dades en euros es converteix a dòlars multiplicant per 1,10 i posteriorment s'hi afegeix una taxa fixa de 5 dòlars a cada observació, com canvia la mitjana?

IDEES CLAU La mitjana aritmètica actua com el centre de gravetat físic d'un conjunt d'observacions. La suma de les distàncies o desviacions de totes les observacions respecte a la seva mitjana és nul·la: . En dades agrupades per intervals, el càlcul es fa mitjançant les marques de classe ( ) i pot discrepar lleugerament de la mitjana real per la pèrdua d'informació. La mitjana conjunta de diverses submostres disjuntes equival a la mitjana ponderada dels seus valors mitjans utilitzant com a pesos les mides mostrals. Davant transformacions lineals del tipus , la nova mitjana adopta l'expressió . La mitjana és extremadament sensible a valors atípics i no resulta aplicable a dades qualitatives.

COMPROVA EL QUE HAS APRÈS 39. Com es defineix la marca de classe d'un interval i quin paper té en el càlcul de la mitjana agrupada? 40. Si tenim dues submostres amb mitjanes de 10 i 20 i efectius de 30 i 70 individus respectivament, quina és la mitjana global? 41. Demostreu breument per què la suma de desviacions respecte a la mitjana dona zero. Test Encercla la resposta correcta. Les solucions són al final. 42. Què expressa conceptualment la propietat de suma de desviacions respecte a la mitjana? 43. Si apliquem la transformació y = 3x - 5 a una variable amb mitjana 10, quina és la nova mitjana?

(x i ) = X ˉ 0 mc k y = i ax + i b = Y ˉ a + X ˉ b Que no hi ha dispersió en la mostra a) Que la variància sempre és nul·la b) Que totes les dades són simètriques c) Que la mitjana és el centre de gravetat d) 35 a) 20 b) 30 c) 25 d) Anàlisi Descriptiu Unidimensional " Estadística I 27 44. Quan coincideix la mitjana d'una mostra amb la calculada a través d'intervals? 45. Quin és el principal inconvenient de la mitjana aritmètica davant d'altres mesures de centre? 5 Mitjanes específiques — Quocients, taxes de creixement, harmònica i geomètrica EN ACABAR SABRÀS Evitar l'error d'aplicar la mitjana aritmètica directa a quocients i taxes de variació percentual.

Calcular el valor mitjà de quocients mitjançant la taula de components de numeradors i denominadors. Deduir la taxa mitjana constant de creixement compost a partir del producte acumulat de factors. Identificar i aplicar la mitjana harmònica i la mitjana geomètrica segons les condicions de cada problema. PENSA-HI ABANS DE LLEGIR 46 Si viatges a 80 km/h a l'anada i tornes pel mateix camí a 120 km/h, per què la velocitat mitjana del viatge sencer no és de 100 km/h? La mitjana aritmètica ordinària és una eina bàsica per resumir dades quantitatives (vegeu «Mesures de posició central — Mitjana aritmètica»).

No obstant això, presenta limitacions importants: a més de ser molt sensible a observacions extremes atípiques o errors de mesura, el seu ús directe condueix a càlculs enganyosos quan treballem amb determinades tipologies de variables. Això passa principalment amb magnituds expressades com a quocients (ràtios, velocitats, productivitats) i amb valors que reflecteixen variacions acumulatives percentuals al llarg del temps (inflació, rendiments financers, taxes de creixement).

Quan la variable és purament qualitativa a) Sempre coincideixen de manera exacta b) Només si les freqüències són unitàries c) Gairebé mai per la pèrdua d'informació d) La seva forta sensibilitat als valors extrems a) Que no admet canvis d'escala lineals b) La complexitat del seu càlcul analític c) Que necessita mostres de mida infinita d) Anàlisi Descriptiu Unidimensional " Estadística I 28 El problema dels quocients i la taula de components Quan una variable s'obté mitjançant la divisió de dues magnituds primàries, és a dir, , la mitjana simple d'aquests valors no representa el veritable comportament global del conjunt.

Per trobar el valor mitjà global, cal computar la quantitat acumulada del numerador i dividir-la entre la quantitat acumulada del denominador: L'estratègia operativa més clara per calcular aquest valor consisteix a construir una taula que desglossi de manera explícita els components de cada observació abans de realitzar cap divisió de totals. EXEMPLE Imaginem un trajecte d'anada i tornada entre dues ciutats separades per 100 km. L'anada es realitza a 80 km/h i la tornada a 120 km/h. La mitjana aritmètica de les velocitats seria . Tanmateix, 100 km/h és la mitjana de les xifres de velocitat, no pas la velocitat mitjana real.

Per determinar la velocitat mitjana real, cal relacionar l'espai total amb el temps total emprat ( ): Trajecte Espai (E) Temps (T) Velocitat (E/T) Anada 100 km (1 h 15 min) 80 km/h Tornada 100 km (50 min) 120 km/h TOTAL 200 km 2,0833 h (~2 h 5 min) — La velocitat mitjana global és: X = Denom Num = X ˉ Denom i=1 N i Num i=1 N i = 2 80+120 100 km/h T = V E = 80 100 1,25 h 120 100 0,8333 h V = mitjana = T i E i = 2,0833 200 96 km/h Anàlisi Descriptiu Unidimensional " Estadística I 29 EXEMPLE Considerem tres empreses d'un mateix sector amb les següents xifres de producció i productivitat per treballador.

La productivitat és el quocient , d'on el nombre d'empleats es dedueix com a : Empresa Producció (P) Empleats (E) Productivitat (P/E) A 200 0,5 B 350 0,7 C 400 0,8 TOTAL 950 1400 — La mitjana aritmètica simple de les productivitats és . En canvi, la productivitat mitjana del sector requereix sumar la producció agregada i dividir-la pel total de treballadors: COMPROVA-HO 47 Per què la velocitat mitjana d'un viatge d'anada a 80 km/h i tornada a 120 km/h és menor que 100 km/h?

Variacions acumulatives percentuals i taxes compostes Quan avaluem rendiments d'actius financers, inflació o increments percentuals que s'encadenen en períodes successius, els canvis no s'afegeixen pas sumant-se sobre la quantitat base original, sinó que es componen multiplicativament sobre el saldo resultant del període previ.

Si un preu inicial experimenta una successió de taxes de variació durant períodes, el valor final acumulat ve donat per: El propòsit de calcular una taxa mitjana de creixement compost és trobar un percentatge teòric constant per període que produeixi exactament el mateix saldo final que la successió de variacions reals: Igualant totes dues expressions, el valor inicial se simplifica, obtenint la relació fonamental: Aïllant la taxa mitjana constant , deduïm: Empleats Produccio ˊ Productivitat Produccio ˊ = 0,5 200 400 = 0,7 350 500 = 0,8 400 500 = 3 0,5+0,7+0,8 0,666 Productivitat global = 1400 950 0,678 P 0 r , r , …

, r 1 2 K K P = K P (1 + 0 r )(1 + 1 r ) (1 + 2 r ) = K P (1 + 0 k=1 K r ) k π P = K P (1 + 0 π)K P 0 P (1 + 0 π) = K P (1 + 0 k=1 K r ) k (1 + π) = K (1 + k=1 K r ) k π Anàlisi Descriptiu Unidimensional " Estadística I 30 EXEMPLE Una acció que val 10 € augmenta un 8 % el primer mes, un 10 % el segon i un 3 % el tercer. La mitjana aritmètica dels percentatges seria , però aquesta xifra no té en compte la capitalització composta. El creixement real acumulat al final dels tres mesos és: El canvi relatiu total ha estat del 22,3 %.

Per trobar la taxa mensual constant que assoleix aquest resultat, plantegem: COMPROVA-HO 48 Quina relació guarda la taxa mitjana de creixement compost π amb la mitjana aritmètica dels creixements? Mitjanes específiques: Harmònica i Geomètrica Els dos problemes anteriors condueixen directament a dues mitjanes clàssiques de l'estadística descriptiva: la mitjana harmònica i la mitjana geomètrica.

ESQUEMA Mitjanes específiques per a situacions no lineals π = K (1 + r ) k=1 K k 1 = 3 8+10+3 7% P = 3 10 (1 + 0,08)(1 + 0,10)(1 + 0,03) = 10 1,223 = 12,23 € π (1 + π) = 3 (1 + 0,08)(1 + 0,10)(1 + 0,03) = 1,223 1 + π = 3 1,223 1,0695 π = 1,0695 1 = 0,0695 = 6,95% Magnituds quocient Ràtios, velocitats, productivitats Taula de components Suma numeradors / suma denominadors Mitjana harmònica Vàlida si el numerador és constant Variacions percentuals Taxes, inflació, rendiments compostos Mitjana geomètrica Arrel K-èsima del producte de factors Taxa mitjana Deduïda com a pi = G - 1 Anàlisi Descriptiu Unidimensional " Estadística I 31 Mitjana harmònica ( ) La mitjana harmònica es defineix com l'invers de la mitjana aritmètica dels inversos dels valors positius de la variable: Aquesta mesura és directament aplicable al càlcul de la mitjana de variables quocient (com velocitats o productivitats) sempre que el numerador de tots els termes sigui constant.

Si els numeradors varien d'un terme a un altre (com en l'exemple de les tres empreses, on la producció era diferent), la mitjana harmònica simple no s'hi pot aplicar i cal recórrer obligatòriament a la suma de numeradors dividida per la suma de denominadors.

EXEMPLE En el problema del trajecte d'anada i tornada, com que la distància d'anada és idèntica a la de tornada (100 km cadascun, és a dir, numeradors iguals), la velocitat mitjana coincideix amb la mitjana harmònica de 80 km/h i 120 km/h: Mitjana geomètrica ( ) La mitjana geomètrica d' observacions estrictament positives és l'arrel enèsima del producte de totes elles: La seva aplicació fonamental és la determinació del factor mitjà en canvis acumulatius percentuals (taxes d'interès, rendiments, taxes d'inflació).

Aplicada als factors de multiplicació , la mitjana geomètrica d'aquests factors proporciona directament el factor de creixement mitjà: En l'exemple anterior de l'acció financera, la mitjana geomètrica dels factors mensuals , i és , de manera que el rendiment mitjà és .

H x H = x i=1 N x i 1 N H = x = + 80 1 120 1 2 = + 240 3 240 2 2 = 240 5 2 = 5 480 96 km/h G x N G = x = N x i=1 N i (x 1 x x ) 2 N N 1 1 + r k G G = K (1 + r ) k=1 K k π = G 1 (1,08) (1,10) (1,03) G = = 3 1,08 1,10 1,03 1,0695 π = 1,0695 1 = 6,95% Anàlisi Descriptiu Unidimensional " Estadística I 32 ERROR FREQÜENT Aplicar la mitjana aritmètica directa als percentatges o als quocients és un dels errors més habituals en els exàmens. Recorda dues regles fonamentals per no fallar: Per a magnituds quocient: mai sumis els quocients per fer una mitjana simple.

Si els numeradors no són estrictament idèntics, no pots fer servir la mitjana harmònica senzilla; construeix la taula de components i calcula . Per a taxes i variacions percentuals: no sumis els percentatges. Transforma cada taxa en el seu factor , calcula la mitjana geomètrica d'aquests factors i resta 1 al final. COMPROVA-HO 49 Quan és vàlid utilitzar directament la mitjana harmònica per calcular una velocitat mitjana? IDEES CLAU Per a variables que són un quocient, el valor mitjà és el quocient entre la suma total dels numeradors i la suma total dels denominadors. La mitjana harmònica és aplicable a variables quocient només si els numeradors són constants en totes les observacions.

En variacions percentuals acumulades, la taxa mitjana constant satisfà . La mitjana geomètrica dels factors de creixement permet obtenir la taxa mitjana com a . COMPROVA EL QUE HAS APRÈS 50. Com es calcula correctament el valor mitjà d'una ràtio si els termes del numerador varien entre observacions? 51. Per què el rendiment mitjà d'una inversió amb creixements del 8 %, 10 % i 3 % no és el 7 %? Test Encercla la resposta correcta. Les solucions són al final. 52. Quin procediment troba el valor mitjà d'una variable obtinguda com a quocient?

Denom Num r k 1 + r k H = x (1/x ) i N π (1 + π) = K (1 + k=1 K r ) k G = x N x i (1 + r ) k π = G 1 Suma dels denominadors dividida per suma de numeradors a) Mitjana aritmètica directa dels quocients b) Producte dels quocients elevat a la inversa c) Suma de numeradors dividida per suma de denominadors d) Anàlisi Descriptiu Unidimensional " Estadística I 33 53. En quina circumstància coincideix la mitjana harmònica amb la velocitat mitjana global? 54. Com es formula la taxa de creixement mitjà compost π al llarg de K períodes? 55. Com es defineix formalment la mitjana harmònica Hx d'un conjunt de dades positives?

6 Mesures de posició central — Moda i Mediana bàsica EN ACABAR SABRÀS Identificar la moda en mostres aïllades i taules simples, distingint distribucions unimodals i multimodals. Localitzar l'interval modal en taules amb intervals d'amplitud desigual emprant la densitat de freqüència. Calcular directament la mediana en mostres ordenades petites de mida senar i parella. Comparar mitjana, mediana i moda en termes de robustesa estadística davant valors atípics. PENSA-HI ABANS DE LLEGIR 56 Si en un grup de 5 treballadors que cobren 1.500 € s'incorpora un directiu que en cobra 50.000 €, quina mesura central descriu millor el sou típic del grup?

Definició i determinació de la moda ( ) La moda és el valor d'una variable que es presenta amb la freqüència absoluta més gran en una mostra determinada. Representa el valor més comú entre totes les observacions registrades.

Sempre que les velocitats siguin positives a) Quan els temps emprats són idèntics b) Únicament si les velocitats són múltiples c) Quan les distàncies recorregudes són exactament iguals d) Suma de les taxes dividida per K a) Arrel K-èsima del producte de les taxes simples b) Producte de (1 + rk) dividit per K c) Arrel K-èsima del producte de (1 + rk), menys 1 d) Mitjana aritmètica ponderada dels valors inversos a) Arrel enèsima del producte de les observacions b) Invers de la mitjana aritmètica dels inversos c) Quocient entre la variància i la mitjana d) Mo X Anàlisi Descriptiu Unidimensional " Estadística I 34 DEFINICIÓ La moda és el valor més repetit d'una distribució de dades, és a dir, l'observació associada a la freqüència…