Problemes de Seminari 1: Valors i vectors propis i diagonalització

Donada la matriu quadrat d'ordre 3:

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 6 \\ 4 & 4 & 1 \end{pmatrix}$$

Determineu raonadament si cadascun dels vectors següents és un vector propi de la matriu $A$. En cas afirmatiu, indiqueu el seu valor propi associat:

$$v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}, \quad v_2 = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad v_3 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$

a)

És $v_1$ vector propi de la matriu $A$?

Sí

No

b)

És $v_2$ vector propi de la matriu $A$?

Sí

No

c)

És $v_3$ vector propi de la matriu $A$?

Sí

No

Exercici 2. Comprovació de valor propi

Considereu la matriu real:$$A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ -3 & -1 & 3 \\ 3 & 3 & -1 \end{pmatrix}$$Esbrineu si el nombre real $\lambda = 2$ és un valor propi d'$A$.

Sí

No

Calculeu els valors propis i els vectors propis associats a cadascuna de les matrius següents. Estudieu si són diagonalitzables i, en els casos que ho siguin, doneu una matriu invertible $P$ i una matriu diagonal $D$ tals que $P^{-1} M P = D$:

a)

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -2 \\ 1 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$$

Sí

No

b)

$$B = \begin{pmatrix} -11 & -4 & 8 \\ 0 & 1 & 0 \\ -12 & -4 & 9 \end{pmatrix}$$

Sí

No

c)

$$C = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & 1 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}$$

Sí

No

Exercici 4. Paràmetre, vector propi i potències

Es considera la família de matrius depenent del paràmetre real $a$:

$$A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & a \\ 0 & -1 & 0 \\ 2 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

a)

Determineu el valor del paràmetre $a$ de manera que el vector $v = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}$ sigui un vector propi d'$A$, i trobeu el valor propi associat.

b)

Per al cas concret $a = 0$, trobeu l'expressió explícita de les potències $A^{50}$ i $A^{51}$.