Matemàtiques III: apunts i formulari (UPF Economia)

I 0 flashcards i 15 preguntes més al document.

Text del document

APUNTS MATEMÀTIQUES III Grau en Economia Universitat Pompeu Fabra AprenAI 2026-2027 Apunts complets de Matemàtiques III per a Economia a la UPF: diagonalització, optimització (Lagrange i Kuhn-Tucker), integració, EDF i EDOs amb formulari d'examen.

APREN.AI Índex Diagonalització de matrius 1 Valors i vectors propis Definició de valor propi i vector propi Polinomi característic i equació característica Càlcul sistemàtic d'autovalors i autovectors Multiplicitat algebraica i subespais propis 2 Matriu de pas i potències Definició i condicions de diagonalitzabilitat Construcció de la matriu diagonal i de la matriu de pas Estudi de la no diagonalitzabilitat: casos típics Càlcul de potències d'una matriu diagonalitzable 3 Teorema espectral per a matrius simètriques Propietats fonamentals de les matrius simètriques El teorema espectral Exemples resolts de representació espectral 4 Formes quadràtiques — Classificació i signe Definició i classificació pel signe Criteri dels valors propis Menors principals i mètode de Sylvester Exemples d'aplicació dels menors 5 Concavitat i convexitat — Funcions de diverses variables Definició geomètrica i tipus de curvatura Propietats algebraiques de la curvatura La matriu hessiana i el teorema de Schwarz Criteri del signe de la hessiana Classificació mitjançant menors i autovalors: casos pràctics 6 Optimització clàssica — Optimització lliure Definicions fonamentals d'òptims Condicions de primer i segon ordre Condicions suficients globals: concavitat i convexitat Existència d'extrems: Teorema de Weierstrass i conjunts compactes Optimització amb restriccions 7 Igualtats i multiplicadors de Lagrange Formulació del problema i funció lagrangiana Matemàtiques III: apunts i formulari (UPF Economia) 1 Condicions necessàries de primer ordre: el sistema de Lagrange Condicions suficients globals: concavitat i convexitat Interpretació econòmica dels multiplicadors: preus ombra 8 Desigualtats i condicions de Kuhn-Tucker Formulació del problema i condicions necessàries de Kuhn-Tucker Estratègia de resolució per bifurcació de casos Condicions suficients d'òptim global mitjançant la lagrangiana Exemples resolts d'optimització amb restriccions de desigualtat Resolució simultània amb múltiples restriccions Eines matemàtiques 9 Funcions trigonomètriques i derivació 1.

Mesura d'angles: graus i radians 2. Raons trigonomètriques i la circumferència goniomètrica 3. Propietats i representació de les funcions bàsiques 4. Transformacions geomètriques de funcions oscil·latòries 5.

Derivació de funcions trigonomètriques 10 Tècniques d'integració indefinida Fonaments de la integració indefinida Integrals immediates bàsiques Integració per canvi de variable o substitució Integració per parts Integració per parts reiterada i estratègies alternatives 11 Equacions en diferències — Fonaments i classificació Successions temporals i concepte d'equació en diferències Classificació de les equacions en diferències Existència, unicitat i tipus de solucions Comportament asimptòtic i punts d'equilibri 12 Equacions en diferències d'ordre 1 — Resolució, estabilitat i amortització Resolució de l'EDF lineal de primer ordre Equacions autònomes i punt d'equilibri Anàlisi qualitativa i estabilitat asimptòtica Model d'amortització de préstecs per quotes constants 13 Equacions en diferències d'ordre 2 — Equació característica i estabilitat Estructura d'una equació en diferències d'ordre 2 Resolució de l'equació homogènia Cerca de la solució particular: coeficients indeterminats Estabilitat i comportament asimptòtic 14 Equacions diferencials ordinàries — Resolució d'ordre 1 Matemàtiques III: apunts i formulari (UPF Economia) 2 1.

Conceptes fonamentals d'una EDO 2. EDOs d'integració directa 3. EDOs de variables separables 4. EDOs lineals de primer ordre 15 Equacions diferencials lineals d'ordre 2 — Coeficients constants Formulació general i equació característica Estructura de la solució homogènia segons les arrels Mètode de coeficients indeterminats per a la solució particular 16 Formulari 1. Diagonalització i formes quadràtiques 2. Optimització lliure i condicionada 3. Equacions en diferències finites (EDF) 4. Equacions diferencials ordinàries (EDO) 5. Errors típics d'examen Solucions de les preguntes de repàs Aquests apunts poden contenir errors o omissions.

Són un material de suport i no substitueixen el temari oficial ni el professorat: contrasta la informació important. Matemàtiques III: apunts i formulari (UPF Economia) 3 1 Valors i vectors propis EN ACABAR SABRÀS Identificar i verificar si un escalar i un vector són valor i vector propi d'una matriu Calcular el polinomi característic i trobar els valors propis d'una matriu quadrada Resoldre el sistema homogeni associat per obtenir els vectors propis d'un autovalor PENSA-HI ABANS DE LLEGIR 1 Què tenen d'especial aquells vectors que en multiplicar-se per una matriu mantenen exactament la seva direcció inicial?

L'estudi dels valors i vectors propis constitueix el punt de partida per simplificar aplicacions lineals i resoldre sistemes dinàmics complexos. ESQUEMA Estructura del Bloc de Diagonalització Definició de valor propi i vector propi Considerem una matriu quadrada d'ordre amb coeficients reals. L'acció de multiplicar per un vector columna generalment canvia tant el seu mòdul com la seva direcció.

Diagonalització de matrius 1 Valors i vectors propis 2 Matriu de pas i potències 3 Teorema espectral per a matrius simètriques Valors i vectors propis Definició i equació característica Diagonalització i potències Matriu de pas i càlcul de potències Teorema espectral Diagonalització ortogonal de simètriques A n A Matemàtiques III: apunts i formulari (UPF Economia) 4 Tot i això, existeixen certes direccions especials que no pateixen cap desviació espacial en transformar-se mitjançant la matriu.

DEFINICIÓ D'AUTOVALOR I AUTOVECTOR Diem que un escalar real és un valor propi (o autovalor, vap) de la matriu si existeix almenys un vector columna no nul de tal que: En aquesta situació, el vector s'anomena vector propi (o autovector, vep) associat al valor propi . COMPROVACIÓ D'UN VECTOR PROPI EN DIMENSIÓ 2 Considerem la matriu i el vector columna . Efectuem el producte matricial directe: Com que el resultat és exactament , concloem que és un valor propi d'aquesta matriu, i és un vector propi associat a aquest autovalor.

En canvi, si un vector compleix que l'equació porta a una contradicció (un sistema incompatible per a qualsevol valor escalar de ), aquest vector no és un vector propi de la matriu. ERROR FREQÜENT Un dels errors més estesos consisteix a considerar el vector nul com a vector propi. Per conveni i definició formal, un vector propi mai no pot ser el vector nul ( ), ja que l'expressió es compliria de manera trivial per a qualsevol valor de sense aportar informació sobre l'espai. No obstant això, el valor propi sí que pot ser zero ( ). COMPROVA-HO 2 Pot ser l'escalar 0 un valor propi d'una matriu quadrada? I pot ser el vector nul un vector propi?

Polinomi característic i equació característica Per determinar quins escalars satisfan la igualtat fonamental, reorganitzem l'equació restant el terme de la dreta: on representa la matriu identitat d'ordre . Aquesta expressió defineix un sistema homogeni d'equacions lineals amb matriu de coeficients .

λ A v = 0 Rn Av = λv v λ A = ( 2 1 1 2 ) v = = ( 1 1 ) 0 Av = = ( 2 1 1 2 ) ( 1 1 ) = ( 3 3 ) 3 = ( 1 1 ) 3v 3v λ = 3 v = (1, 1)T u Au = λu λ 0 v = 0 A = 0 λ0 λ λ = 0 Av = λv Av λv = 0 (A λI )v = n 0 I n n (A λI ) n Matemàtiques III: apunts i formulari (UPF Economia) 5 Un sistema lineal homogeni admet solucions diferents de la trivial ( ) si i només si és un sistema compatible indeterminat, condició que exigeix que el seu determinant sigui nul. POLINOMI I EQUACIÓ CARACTERÍSTICA S'anomena polinomi característic de la matriu al determinant: Aquest determinant genera un polinomi de grau en la variable .

La igualtat rep el nom d'equació característica, i les seves arrels reals són precisament els valors propis de . Propietats essencials de les arrels de l'equació característica: Una matriu d'ordre té com a màxim valors propis reals comptant la seva multiplicitat. Una matriu pot tenir valors propis repetits o fins i tot no tenir-ne cap en el conjunt dels nombres reals (arrels complexes). COMPROVA-HO 3 Quina condició sobre el determinant garanteix que existeixin vectors propis no nuls per a un escalar determinat?

Càlcul sistemàtic d'autovalors i autovectors La determinació de tots els valors i vectors propis s'estructura de manera seqüencial en dues fases principals: Element Formulació matemàtica Significat pràctic Polinomi característic Polinomi de grau en la variable Valors propis Arrels reals del polinomi característic Vectors propis Direccions invariants associades a cada arrel v = 0 A p(λ) = det(A λI ) n n λ det(A λI ) = n 0 A n n Construcció i resolució del polinomi característic: Plantegem i trobem totes les seves arrels reals per obtenir el conjunt d'autovalors.

1 det(A λI) = 0 Determinació dels vectors propis per a cada autovalor: Per a cada arrel trobada , substituïm el seu valor a la matriu i resolem el sistema homogeni per trobar tots els vectors solució no nuls. 2 λ i (A λ I) i (A λ I)v = i 0 p(λ) = det(A λI) n λ p(λ) = 0 (A λI)v = , v = 0 0 Matemàtiques III: apunts i formulari (UPF Economia) 6 CÀLCUL COMPLET EN UNA MATRIU 2X2 Sigui la matriu . 1. Calculem el seu polinomi característic: Les arrels de donen un únic valor propi doble: . 2. Busquem els vectors propis resolent : Tots els vectors propis associats a tenen la forma amb .

Multiplicitat algebraica i subespais propis Quan factoritzem el polinomi característic , el nombre de vegades que apareix una mateixa arrel s'anomena multiplicitat algebraica d'aquell autovalor. Per a cada valor propi amb multiplicitat algebraica , el sistema homogeni associat genera un conjunt de solucions (anomenat subespai propi). Aquest subespai contindrà un cert nombre de vectors propis linealment independents, situat sempre entre 1 i . Quan la matriu admet tants vectors linealment independents com la seva dimensió total, esdevé possible la seva diagonalització (vegeu «Diagonalització de matrius — Matriu de pas i potències»).

COMPROVA-HO 4 Si un valor propi té multiplicitat algebraica k = 2, quants vectors propis linealment independents pot aportar com a màxim? IDEES CLAU Un vector propi mai no pot ser el vector nul ( ), mentre que el valor propi sí que pot ser zero. Els valors propis d'una matriu quadrada són les arrels reals de la seva equació característica . El polinomi característic d'una matriu d'ordre té com a màxim arrels reals comptant les seves multiplicitats. Els vectors propis associats a un autovalor es troben resolent el sistema d'equacions lineals homogeni .

A = ( 1 0 2 1 ) p(λ) = det(A λI) = = 1 λ 0 2 1 λ (1 λ)2 (1 λ) = 2 0 λ = 1 (A 1 I)v = 0 = ( 0 0 2 0 ) ( x y ) ( 0 0 ) 2y = 0 y = 0, x R λ = 1 v = ( x 0 ) x = 0 p(λ) λ k k v v = 0 λ det(A λI) = 0 n n (A λI)v = 0 Matemàtiques III: apunts i formulari (UPF Economia) 7 COMPROVA EL QUE HAS APRÈS 5. Com es defineix formalment que un escalar λ sigui valor propi d'una matriu A? 6. Per què cal que det(A - λI) sigui igual a zero per determinar els valors propis? DIAGONALITZACIÓ DE MATRIUS 2 Matriu de pas i potències EN ACABAR SABRÀS Comprovar si una matriu és diagonalitzable analitzant la independència dels seus vectors propis.

Construir correctament la matriu diagonal D i la matriu de pas P mantenint la correspondència d'ordre. Calcular potències k-èsimes de matrius diagonalitzables mitjançant l'expressió = P . PENSA-HI ABANS DE LLEGIR 7 Com podem calcular una potència com A¹ sense haver de multiplicar la matriu per si mateixa cent vegades? Multiplicar una matriu per si mateixa desenes o centenars de vegades representa un cost de càlcul prohibitiu. En canvi, elevar una matriu diagonal a qualsevol potència només requereix elevar cadascun dels elements de la seva diagonal principal.

La tècnica de la diagonalització permet traslladar aquesta simplicitat operativa a qualsevol matriu que admeti una base completa de vectors propis. Definició i condicions de diagonalitzabilitat Considerem una matriu quadrada d'ordre . Diem que és una matriu diagonalitzable si és semblant a una matriu diagonal . Això vol dir que existeix una matriu invertible , anomenada matriu de pas, tal que compleix la relació: De forma equivalent, podem aïllar la matriu original com . En aquesta expressió, les matrius i comparteixen exactament els mateixos valors propis (per als conceptes de valor propi i vector propi, vegeu «Diagonalització de matrius — Valors i vectors propis»).

DEFINICIÓ Una matriu d'ordre és diagonalitzable si i només si admet n vectors propis linealment independents. Aquest resultat fonamental es concreta en dues exigències que han de complir-se simultàniament: Ak Dk P 1 A n A D P P AP = 1 DAP = P D (o b ) e ˊ A = P DP 1 A D A n Matemàtiques III: apunts i formulari (UPF Economia) 8 Com a conseqüència directa, si A té n valors propis reals diferents, la matriu és automàticament diagonalitzable, ja que els vectors propis associats a valors propis diferents són sempre linealment independents. COMPROVA-HO 8 Una matriu d'ordre 3 té com a valors propis reals únicament λ = 5 amb multiplicitat algebraica 3. És necessàriament diagonalitzable?

Construcció de la matriu diagonal i de la matriu de pas Quan comprovem que la matriu és diagonalitzable, construïm la matriu diagonal col·locant els seus valors propis a la diagonal principal. Al mateix temps, formem la matriu de pas situant els vectors propis linealment independents corresponents en forma de columnes: Esquema de correspondència entre els valors propis de D i les columnes de P. La igualtat es dedueix columna a columna a partir de la pròpia definició de vector propi: si la columna -èsima de és , aleshores la columna -èsima de és , mentre que la de és , complint-se .

ERROR FREQÜENT Les matrius i no són úniques, però l'ordre de les columnes de P ha de coincidir rigorosament amb l'ordre dels valors propis a la diagonal de D. Si col·loques el vector propi a la primera columna de , el seu valor propi associat ha d'ocupar obligatòriament la posició de . Canviar l'ordre d'un costat sense canviar-lo de l'altre invalida la igualtat . Totes les arrels del polinomi característic han de ser reals (comptant la seva multiplicitat algebraica). Si apareixen valors propis complexos no reals, la matriu no es pot diagonalitzar en els reals.

1 p(λ) = det(A λI) Per a cada valor propi , la quantitat de vectors propis linealment independents associats (és a dir, la dimensió del subespai propi associat o multiplicitat geomètrica) ha de coincidir exactament amb la multiplicitat algebraica de com a arrel de . 2 λ λ p(λ) A D λ , …

, λ 1 n P n AP = P D i P v i i AP Av i P D λ v i i Av = i λ v i i D P v 1 P λ 1 (1,1) D P AP = 1 D Matemàtiques III: apunts i formulari (UPF Economia) 9 EXEMPLE: MATRIU 2X2 AMB VALORS PROPIS DIFERENTS Analitzem la matriu d'ordre 2: Estudi de la no diagonalitzabilitat: casos típics Una matriu pot fallar en la diagonalitzabilitat per dos motius principals, tal com mostren els següents casos d'estudi: Matriu d'exemple Valors propis Motiu pel qual no diagonalitza El polinomi no té arrels reals. Manca de valors propis reals suficients. (doble) El sistema dóna . Tots els vectors propis són de la forma (múltiples de ). No hi ha 2 vectors propis linealment independents.

Quan un valor propi múltiple no aporta tants vectors independents com la seva multiplicitat algebraica, la matriu no disposa d'una base completa d'autovectors i, per tant, resulta defectiva o no diagonalitzable. COMPROVA-HO 9 Quina diferència essencial hi ha entre una matriu triangular que té tots els elements de la diagonal iguals i la matriu identitat respecte a la diagonalització? Càlcul de potències d'una matriu diagonalitzable Per a una matriu diagonal , elevar a una potència entera és immediat: A = ( 1 2 2 1 ) Càlcul de valors propis: resolent el determinant , obtenim , d'on sorgeixen dues arrels reals diferents: i .

Com que són dos valors propis diferents per a un ordre , diagonalitza de forma immediata. 1 p(λ) = (1 λ) 2 4 = 0 (1 λ) = ±2 λ = 1 λ = 3 n = 2 A Càlcul dels vectors propis: per a , el sistema dóna , generant el vector . Per a , el sistema dóna , generant el vector . 2 λ = 1 (A ( 1)I)v = 0 2x + 2y = 0 y = x v = 1 ( 1 1 ) λ = 3 (A 3I)v = 0 2x + 2y = 0 y = x v = 2 ( 1 1 ) Escriptura de D i P: fixant l'ordre , tenim i . Si haguéssim triat l'ordre , la matriu diagonal seria i la de pas . Ambdues opcions són plenament vàlides.

3 ( 1, 3) D = ( 1 0 0 3 ) P = ( 1 1 1 1 ) (3, 1) D = ( 3 0 0 1 ) P = ( 1 1 1 1 ) A = ( 1 1 1 1 ) λ = 1 ± i p(λ) = (1 λ) + 2 1 = 0 A = ( 1 0 2 1 ) λ = 1 (A I)v = 0 2y = 0 y = 0 ( x 0 ) ( 1 0 ) D k Matemàtiques III: apunts i formulari (UPF Economia) 10 Si la matriu és diagonalitzable, escrivim .

Quan calculem el quadrat de la matriu: Generalitzant de manera recurrent per a qualsevol exponent natural , obtenim la fórmula clau: PROCÉS Càlcul de la potència k-èsima d'una matriu 1 Diagonalitzar A Trobar D i P tals que A = P D P^(-1) 2 Elevar D a k Elevar els elements diagonals a la potència k 3 Invertir P Calcular la matriu inversa P^(-1) 4 Multiplicar matrius Obtenir el producte final A^k = P D^k P^(-1) D = λ 1 0 0 0 λ 2 0 … … … 0 0 λ n D = k λ 1 k 0 0 0 λ 2 k 0 … … …

0 0 λ n k A A = P DP 1 A = 2 A A = (P DP )(P DP ) = 1 1 P D(P P )DP = 1 1 P DIDP = 1 P D P 2 1 k A = k P D P k 1 Matemàtiques III: apunts i formulari (UPF Economia) 11 EXEMPLE COMPLET: POTÈNCIA K-ÈSIMA D'ORDRE 3 Considerem la matriu . COMPROVA-HO 10 Per què a l'expressió (P D P^(-1))^k es cancel·len totes les matrius de pas intermèdies excepte la primera i l'última? A = 2 1 1 0 2 0 0 1 1 Valors propis: desenvolupant pel determinant, . Obtenim (arrel doble) i (arrel simple). 1 p(λ) = (2 λ) (1 2 λ) = 0 λ = 2 λ = 1 Vectors propis de : plantegem , que dóna l'equació única , quedant la variable lliure. Assignant valors lliures obtenim 2 vectors independents: per a tenim , i per a tenim .

Com que l'arrel doble aporta 2 vectors independents, la matriu diagonalitza. 2 λ = 2 (A 2I)v = 0 x + z = 0 z = x y x = 1, y = 0 1 0 1 x = 0, y = 1 0 1 0 Vector propi de : el sistema dóna i , generant el vector . 3 λ = 1 (A I)v = 0 x = 0 y + z = 0 z = y 0 1 1 Matrius de pas i diagonal: 4 D = , P = 2 0 0 0 2 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 Inversa de P: calculant la inversa obtenim .

5 P = 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 Potència : amb , calculem el producte : 6 Ak D = k 2k 0 0 0 2k 0 0 0 1k A = k P D P k 1 A = k 2k 2 1 k 1 2k 0 2k 0 0 2 1 k 1 Matemàtiques III: apunts i formulari (UPF Economia) 12 IDEES CLAU Una matriu quadrada d'ordre és diagonalitzable si i només si posseeix vectors propis linealment independents. Si una matriu d'ordre té valors propis reals diferents, és immediatament diagonalitzable. La matriu diagonal conté els valors propis i la matriu de pas conté els vectors propis col·locats com a columnes en el mateix ordre exacte.

Una matriu no diagonalitza quan el polinomi característic té arrels complexes no reals o quan un valor propi múltiple no aporta suficients vectors propis independents. La potència -èsima d'una matriu diagonalitzable es calcula eficaçment com gràcies a la cancel·lació dels factors interns. COMPROVA EL QUE HAS APRÈS 11. Quina condició sobre la multiplicitat dels valors propis garanteix que una matriu sigui diagonalitzable? 12. Com s'expressa el càlcul d' a partir de la seva forma diagonal?

DIAGONALITZACIÓ DE MATRIUS 3 Teorema espectral per a matrius simètriques EN ACABAR SABRÀS Enunciar i aplicar el teorema espectral a matrius simètriques reals Ortonormalitzar bases de vectors propis per construir una matriu ortogonal U Calcular la representació espectral de matrius amb arrels múltiples o paràmetres Verificar la condició d'ortogonalitat U = I per evitar errors de càlcul PENSA-HI ABANS DE LLEGIR 13 Per què calcular la inversa d'una matriu de pas P pot ser immediat si la matriu original és simètrica? En l'estudi de la diagonalització (vegeu «Diagonalització de matrius — Matriu de pas i potències»), calcular la matriu inversa pot ser costós algebraicament.

Les matrius que coincideixen amb la seva transposada tenen una estructura interna especialment rica que simplifica aquest càlcul de forma radical. n n n n D P k A = k P D P k 1 Ak UT P 1 Matemàtiques III: apunts i formulari (UPF Economia) 13 Propietats fonamentals de les matrius simètriques Recordem que una matriu quadrada real és una matriu simètrica si compleix la condició . Els coeficients situats de manera simètrica respecte de la diagonal principal coincideixen. DEFINICIÓ Una matriu real quadrada és simètrica si per a tot índex es verifica que , és a dir, A = A^T.

Les matrius simètriques tenen dues propietats geomètriques i algebraiques cabdals: Tots els seus valors propis són nombres reals (el polinomi característic té exactament arrels reals, comptant multiplicitats). Els vectors propis associats a valors propis diferents són ortogonals dos a dos. Recordem que dos vectors i són ortogonals quan el seu producte escalar és nul: . A més, la norma d'un vector ve donada per . La normalització consisteix a dividir el vector per la seva norma per obtenir un vector unitari: . COMPROVA-HO 14 Quina és la propietat fonamental dels vectors propis de dos valors propis diferents d'una matriu simètrica?

El teorema espectral Aquest resultat garanteix que tota matriu simètrica es pot descompondre usant una base ortonormal de l'espai. DEFINICIÓ Una matriu quadrada és una matriu ortogonal si la seva inversa coincideix amb la seva transposada: U^{-1} = U^T, la qual cosa equival a . Això significa que les seves columnes formen una base ortonormal. L'enunciat formal del teorema espectral estableix: Sigui una matriu simètrica d'ordre . Aleshores, és diagonalitzable i existeix una matriu ortogonal tal que , on és una matriu diagonal amb els valors propis d'A i cada columna -èsima d' és un vector propi unitari associat a . El parell de matrius i rep el nom de representació espectral de la matriu .

A A = AT A Rn×n i, j a = ij a ji n u v u = v 0 = v (v , … , v ) 1 n T = v v + + v 1 2 n 2 = u v 1 v U U U = T I n A n A U U AU = T D D i U λ i U D A Matemàtiques III: apunts i formulari (UPF Economia) 14 PROCÉS Procés de diagonalització ortogonal ERROR FREQÜENT Oblidar normalitzar els vectors o oblidar comprovar que les columnes associades a un mateix valor propi múltiple siguin ortogonals. Si les columnes no són ortonormals entre si, la matriu resultant no complirà i no serà una matriu ortogonal. COMPROVA-HO 15 Quina condició matricial senzilla permet verificar que una matriu U és efectivament ortogonal?

Exemples resolts de representació espectral Exemple 1: Matriu simètrica 2x2 amb valors propis simples Considerem la matriu simètrica: Trobem els seus valors propis: i . Valors propis Obtenir les arrels reals del polinomi característic 1 Bases de subespais Trobar vectors propis per a cada valor propi 2 Ortogonalització interna Assegurar ortogonalitat si hi ha arrels múltiples 3 Normalització Dividir cada vector per la seva norma euclidiana 4 Matrius U i D Muntar la matriu ortogonal U i la diagonal D 5 Calcular els valors propis de la matriu resolent . 1 A det(A λI) = 0 Determinar una base de vectors propis per a cada subespai propi associat.

2 Comprovar l'ortogonalitat entre vectors propis del mateix valor propi múltiple (si no ho són, forçar l'ortogonalitat). 3 Normalitzar cadascun dels vectors dividint-los per la seva norma per obtenir vectors unitaris. 4 Construir la matriu situant els vectors ortonormals com a columnes, i construir col·locant els valors propis en el mateix ordre. 5 U D U U = T I n A = ( 1 2 2 1 ) λ = 1 1 λ = 2 3 Matemàtiques III: apunts i formulari (UPF Economia) 15 Per a : resolent el sistema , obtenim . Un vector propi és . La seva norma és . El vector normalitzat és . Per a : el sistema és , d'on . Un vector propi és , amb norma . El vector normalitzat és . Els vectors són clarament ortogonals ( ).

La representació espectral és: Exemple 2: Matriu 3x3 amb valor propi múltiple i vectors ja ortogonals Sigui la matriu: El polinomi característic és , el qual dóna els valors propis (simple) i (doble). Per a : el sistema dóna i . El vector propi és . Com que té norma , el vector normalitzat és . Per a : el sistema associat és i . Triant paràmetres independents, trobem (per a ) i (per a ). Comprovem si i són ortogonals: . Com que ja ho són, només cal normalitzar-los: , de manera que , mentre que ja té norma 1 ( ). Exemple 3: Arrel múltiple on cal forçar l'ortogonalitat interna Considerem la matriu de rang 1 formada per uns: El polinomi característic és , amb valors propis (doble) i (simple).

Per al valor propi múltiple , l'equació del subespai és , és a dir, . Si triem dues solucions qualssevol, com ara i , veiem que no són ortogonals ( ).

λ = 1 1 = ( 2 2 2 2 ) ( x y ) ( 0 0 ) 2x + 2y = 0 y = x = v1 ( 1 1 ) = v1 = 1 + ( 1) 2 2 2 = u1 ( 1/ 2 1/ 2 ) λ = 2 3 = ( 2 2 2 2 ) ( x y ) ( 0 0 ) y = x = v2 ( 1 1 ) = v2 2 = u2 ( 1/ 2 1/ 2 ) 1 1 + ( 1) 1 = 0 U = , D = ( 1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2 ) ( 1 0 0 3 ) A = 1 1 0 1 1 0 0 0 2 p(λ) = (2 λ)[(1 λ) 2 1] λ = 1 0 λ = 2 2 λ = 0 x + y = 0 y = x 2z = 0 z = 0 = v1 (1, 1, 0)T 2 = u1 (1/ , 1/ , 0) 2 2 T λ = 2 x + y = 0 y = x 0z = 0 z R = v2 (1, 1, 0)T x = 1, z = 0 = v3 (0, 0, 1)T x = 0, z = 1 v2 v3 v2 = v3 1 0 + 1 0 + 0 1 = 0 = v2 2 = u2 (1/ , 1/ , 0) 2 2 T v3 = u3 (0, 0, 1)T U = , D = 1/ 2 1/ 2 0 1/ 2 1/ 2 0 0 0 1 0 0 0 0 2 0 0 0 2 A = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 p(λ) = λ + 3 3λ2 λ = 0 λ = 3 λ = 0 x + y + z = 0 z = x y = v1 (1, 0, 1)T = v2 (0, 1, 1)T v1 = v2 1 = 0 Matemàtiques III: apunts i formulari (UPF Economia) 16 Per resoldre-ho, fixem el primer vector i busquem un segon vector del subespai que compleixi la condició d'ortogonalitat amb el primer: Escollint , tenim i , obtenint així el vector ortogonal .

Exemple 4: Matriu simètrica amb paràmetres Analitzem la família de matrius que depèn del paràmetre real : L'equació característica és , que té com a solucions . Els dos valors propis són i . Distingim dos casos segons el valor del paràmetre: Si : els dos valors propis coincideixen ( ). La matriu és la matriu nul·la . En aquest cas trivial, podem triar qualsevol base ortonormal, per exemple la canònica, amb i . Si : els valors propis són diferents. Trobant els vectors propis i normalitzant-los, obtenim una representació espectral vàlida: COMPROVA-HO 16 Quan cal aplicar un procediment específic per assegurar l'ortogonalitat entre vectors propis en una matriu simètrica?

IDEES CLAU Tota matriu simètrica real té valors propis exclusivament reals i és sempre diagonalitzable. Els vectors propis associats a valors propis diferents d'una matriu simètrica són sempre ortogonals entre si. El teorema espectral garanteix l'existència d'una matriu ortogonal tal que . Una matriu és ortogonal si i només si les seves columnes són ortonormals dues a dues, complint . Davant de valors propis múltiples, cal forçar que els vectors del mateix subespai siguin ortogonals abans de normalitzar-los.

= v1 (1, 0, 1)T = v2 (x, y, x y)T v1 = v2 1(x) + 0(y) + ( 1)( x y) = x + x + y = 2x + y = 0 y = 2x x = 1 y = 2 z = 1 ( 2) = 1 = v2 (1, 2, 1)T a A = ( 0 a + 1 a + 1 0 ) det(A λI) = λ 2 (a + 1) = 2 0 λ = ±(a + 1) λ = 1 a + 1 λ = 2 (a + 1) a = 1 λ = 1 λ = 2 0 A = ( 0 0 0 0 ) U = ( 1 0 0 1 ) D = ( 0 0 0 0 ) a = 1 U = , D = ( 1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2 ) ( a + 1 0 0 (a + 1) ) U U AU = T D U U = T I Matemàtiques III: apunts i formulari (UPF Economia) 17 COMPROVA EL QUE HAS APRÈS 17. Quina propietat fonamental tenen els valors propis d'una matriu simètrica real? 18. Com es calcula la inversa d'una matriu ortogonal ? 19. Com s'aconsegueix que les columnes de la matriu de pas tinguin norma 1?

Test Encercla la resposta correcta. Les solucions són al final. 20. Com es defineix un vector propi associat a un valor propi λ? 21. D'on s'obtenen els valors propis d'una matriu quadrada A? 22. Pot ser el número 0 un valor propi d'una matriu quadrada? 23. Quin procediment permet calcular els vectors propis un cop conegut λ? 24. Quina condició necessària i suficient defineix que una matriu d'ordre n sigui diagonalitzable? 25. Què succeeix si canviem l'ordre de les columnes de P sense alterar la matriu diagonal D?

U El vector nul quan verifica Av = λv a) Qualsevol vector que compleixi Av = 0 b) Un vector no nul que compleix Av = λv c) Un escalar que anul·la el determinant característic d) De la traça multiplicada pel determinant a) De les arrels reals de det(A - λI) = 0 b) Dels coeficients de la primera columna c) Dels valors que anul·len el vector propi d) Només si la matriu té inversa a) Només en matrius d'ordre 1x1 b) Sí, si existeix un v no nul amb Av = 0 c) No, els autovalors han de ser no nuls d) Calcular la matriu inversa de (A - λI) a) Trobar el polinomi característic de grau n b) Resoldre el sistema homogeni (A - λI)v = 0 c) Multiplicar la matriu A pel seu determinant d) Ser una matriu simètrica invertible a) Tenir tots els valors propis idèntics b) Tenir un determinant estrictament positiu c) Tenir n vectors propis linealment independents d) La igualtat P^(-1)AP = D deixa de complir-se a) Els valors propis de la matriu es tornen complexos b) La matriu resultant continua sent vàlida c) El determinant de la matriu A canvia de signe d) Matemàtiques III: apunts i formulari (UPF Economia) 18 26.

Per quin motiu la matriu [1, 2; 0, 1] no és diagonalitzable? 27. Com es calcula si D té els elements λ_1 i λ_2 a la seva diagonal? 28. Quina relació satisfà una matriu ortogonal U? 29. Què garanteix el teorema espectral per a matrius simètriques reals? 30. Què passa amb els vectors propis associats a dos valors propis diferents? 31. Per a quin valor de a la matriu amb zeros a la diagonal i a+1 fora té valor propi únic? 4 Formes quadràtiques — Classificació i signe EN ACABAR SABRÀS Expressar una forma quadràtica en notació matricial associada a una matriu simètrica. Classificar el signe d'una matriu simètrica mitjançant el càlcul dels seus valors propis.

Aplicar el criteri de Sylvester utilitzant els menors principals dominants per a matrius definides. Comprovar tots els menors principals per a determinar el caràcter semidefinit sense cometre errors.

Té valor propi doble amb un sol vector propi independent a) El seu determinant és nul b) Té valors propis complexos no reals c) No admet cap vector propi associat d) Dk Elevant cada element λ_i a la potència k a) Sumant k vegades la matriu identitat b) Multiplicant la traça de D pel valor k c) Calculant el determinant elevat a la potència k d) El seu determinant és sempre nul a) U transposada multiplicada per U és la identitat b) La seva traça és igual a 1 c) U és igual a la matriu oposada d) Només tenen valors propis simples a) Tenen determinant estrictament positiu b) Es poden diagonalitzar mitjançant una matriu ortogonal c) Tots els seus valors propis són positius d) Sumen el vector nul a) Són linealment dependents b) El seu producte escalar és sempre zero c) Tenen la mateixa norma d) a = 2 a) a = -1 b) a = 1 c) a = 0 d) Matemàtiques III: apunts i formulari (UPF Economia) 19 PENSA-HI ABANS DE LLEGIR 32 Com podem saber si una expressió com ax² + 2bxy + cy² és sempre positiva sense haver de provar infinits punts?

Una matriu simètrica defineix una relació quadràtica fonamental que apareix de forma recurrent en l'estudi de funcions i la seva optimització. ESQUEMA Estructura del bloc d'optimització i formes quadràtiques Definició i classificació pel signe Considerem una matriu quadrada d'ordre , denominada , i un vector columna . Quan és una matriu simètrica (vegeu «Diagonalització de matrius — Teorema espectral per a matrius simètriques»), l'expressió polinòmica rep el nom de forma quadràtica. DEFINICIÓ El signe d'una matriu quadrada o de la seva forma quadràtica associada es classifica segons els valors que pren per als diferents vectors : Semidefinida positiva (SDP): si per a tot vector .

Semidefinida negativa (SDN): si per a tot vector . Definida positiva (DP): si per a tot vector no nul . Definida negativa (DN): si per a tot vector no nul . Indefinida: si pren valors positius per a certs vectors i negatius per a d'altres (és a dir, si no és semidefinida).

Formes quadràtiques Classificació i estudi del signe Criteri d'autovalors Signe segons valors propis Criteri de Sylvester Menors dominants i principals Concavitat i convexitat Hessiana i funcions multivariables Optimització clàssica Punts estacionaris i òptims lliures Optimització condicionada Restriccions d'igualtat i desigualtat Lagrange Multiplicadors i restriccions d'igualtat Kuhn-Tucker Condicions amb desigualtats n A x Rn A q(x) = x Ax T A x Ax T x x Ax T 0 x x Ax T 0 x x Ax > T 0 x = 0 x Ax < T 0 x = 0 Matemàtiques III: apunts i formulari (UPF Economia) 20 EXEMPLE Considerem la matriu diagonal: La forma quadràtica corresponent s'obté calculant el producte: Com que tant com són no negatius, tenim per a tot vector, la qual cosa implica que és SDP.

Ara bé, si prenem el vector no nul , obtenim . Per tant, no pot ser definida positiva. COMPROVA-HO 33 Què diferencia una matriu semidefinida positiva d'una matriu definida positiva? Criteri dels valors propis Una de les maneres més directes de determinar el signe d'una matriu simètrica és analitzar els seus autovalors (vegeu «Diagonalització de matrius — Valors i vectors propis»).

El signe de la matriu queda completament establert pel signe dels seus valors propis: Classificació Condició sobre els valors propis ( ) Definida positiva (DP) Tots els valors propis són estrictament positius: Definida negativa (DN) Tots els valors propis són estrictament negatius: Semidefinida positiva (SDP) Tots els valors propis són més grans o iguals que zero: Semidefinida negativa (SDN) Tots els valors propis són menors o iguals que zero: Indefinida Existeix almenys un valor propi estrictament positiu ( ) i almenys un altre d'estrictament negatiu ( ) A = 1 0 0 0 2 0 0 0 0 q(x, y, z) = = (x y z) 1 0 0 0 2 0 0 0 0 x y z = (x y z) x 2y 0 x + 2 2y2 x2 2y2 x + 2 2y 2 0 A (x, y, z) = (0, 0, 1) = T 0 q(0, 0, 1) = 0 A λi λ > i 0 λ < i 0 λ i 0 λ i 0 λ > i 0 λ < j 0 Matemàtiques III: apunts i formulari (UPF Economia) 21 EXEMPLE Estudiem el signe de la matriu: La forma quadràtica associada és .

Si calculem els seus valors propis trobem: Com que tots els autovalors compleixen i n'hi ha un d'igual a zero, deduïm directament que la matriu és SDP (però no pas DP). COMPROVA-HO 34 Si una matriu simètrica té per valors propis 3, 0 i -1, quina és la seva classificació? Menors principals i mètode de Sylvester El càlcul d'autovalors pot ser llarg en dimensions superiors. Per evitar-ho, utilitzem determinants de submatrius quadrades anomenats menors. Per a una matriu quadrada d'ordre definim dos conceptes fonamentals: Menors principals d'ordre (MP ): són els determinants de les submatrius d'ordre obtingudes eliminant files i les mateixes columnes (mateixos índexs).

Per exemple, els menors principals d'ordre 1 són precisament els elements de la diagonal principal. Menors principals dominants d'ordre ( ): és el menor principal format per les primeres files i les primeres columnes de la matriu. Vegem com s'obtenen tots els menors principals d'ordre 1 eliminant 2 files i 2 columnes idèntiques: Esquema dels tres menors principals d'ordre 1 d'una matriu 3x3.

De manera semblant, per als menors principals d'ordre 2 eliminem una fila i la seva mateixa columna: A = 1 1 0 1 1 0 0 0 2 q(x, y, z) = x + 2 2xy + y + 2 2z2 λ = 1 0 ( 0), λ = 2,3 2 (doble) (> 0) λ i 0 n k k k n k n k k D k k k Matemàtiques III: apunts i formulari (UPF Economia) 22 Esquema dels menors principals d'ordre 2 obtinguts eliminant files i columnes. PER RECORDAR-HO El criteri de Sylvester només requereix analitzar els menors principals dominants ( ) per comprovar si una matriu és definida: Definida positiva (DP): tots els dominants són estrictament positius ( per a tot ). Definida negativa (DN): els dominants alternen signe començant per negatiu, seguint la regla ( ).

Per a caracteritzar matrius semidefinides, en canvi, cal comprovar la totalitat dels menors principals: Semidefinida positiva (SDP): tots els menors principals són més grans o iguals que zero (són 0 o per a tot ordre). Semidefinida negativa (SDN): els menors principals d'ordre són zero o tenen el signe de (és a dir: ordre 1 negatiu o zero, ordre 2 positiu o zero, ordre 3 negatiu o zero, etc.). Tipus de caràcter MP1 MP2 MP3 MP4 SDP SDN Per a una matriu simètrica de la forma , el caràcter definit és senzill d'avaluar: Si i , aleshores és DP. Si i , aleshores és DN.

ERROR FREQÜENT Un dels errors més estesos a l'examen és afirmar que una matriu és semidefinida positiva mirant només els menors principals dominants (per exemple observant ). Això és incorrecte: el mètode dels menors dominants només serveix per a classificar matrius definides. Si algun menor dominant és zero, és absolutament obligatori avaluar tots els menors principals de tots els ordres o recórrer als valors propis. Exemples d'aplicació dels menors Reprenguem la matriu de l'apartat anterior: D , D , … , D 1 2 n D > k 0 k ( 1) D > k k 0 D < 1 0, D > 2 0, D < 3 0, …

+ k ( 1)k 0/+ 0/+ 0/+ 0/+ 0/ 0/+ 0/ 0/+ 2 × 2 A = ( a b b c ) A > 0 a > 0 A > 0 a < 0 D > 1 0, D > 2 0, D = 3 0 A = 1 1 0 1 1 0 0 0 2 Matemàtiques III: apunts i formulari (UPF Economia) 23 Com que absolutament tots els menors principals són més grans o iguals que zero i , concloem amb certesa que és SDP (no DP). Considerem ara un altre cas: Calculem els menors principals dominants: Els dominants segueixen la seqüència . En ser estrictament alternats començant per negatiu, el criteri de Sylvester confirma directament que és definida negativa (DN). Finalment, examinem la matriu simètrica: Esquema d'una matriu simètrica d'ordre 3 per a avaluar menors.

Avaluem els seus primers menors dominants: Tenim i . Una matriu que comença amb hauria de mantenir tots els seus menors dominants estrictament positius per a ser definida positiva. A més a més, un menor principal d'ordre 2 negatiu ( ) impedeix que sigui semidefinida positiva o semidefinida negativa (on tots els MP2 Menors principals d'ordre 1: són els coeficients de la diagonal principal, 1, 1, 2 (tots ). 1 0 Menors principals d'ordre 2: en tenim tres eliminant fila i columna corresponents: 2 = 1 1 1 1 0, = 1 0 0 2 2, = 1 0 0 2 2 (tots 0) Menor principal d'ordre 3: és el determinant de la matriu completa, .

3 D = 3 A = 0 0 D = 3 0 A B = 4 2 0 2 2 0 0 0 6 D = 1 4 < 0 D = 2 = 4 2 2 2 8 4 = 4 > 0 D = 3 B = 6 D = 2 24 < 0 , +, B C = 1 2 0 2 1 3 0 3 2 D = 1 1 > 0 D = 2 = 1 2 2 1 1 4 = 3 < 0 D > 1 0 D < 2 0 D > 1 0 3 < 0 Matemàtiques III: apunts i formulari (UPF Economia) 24 han de ser ). Com que no segueix cap dels patrons establerts, és indefinida. COMPROVA-HO 35 Si una matriu d'ordre 3 presenta D = -2, D = 3 i D = 5, quin és el seu caràcter? IDEES CLAU Una forma quadràtica associada a una matriu simètrica s'expressa com . El criteri dels autovalors permet classificar completament el signe: DP si tots són , DN si tots són , i indefinida si n'hi ha de positius i de negatius.

El criteri de Sylvester utilitza els menors dominants ( per a DP; alternança per a DN) exclusivament per al caràcter definit. Per a verificar caràcter semidefinit (SDP o SDN) és imprescindible comprovar tots els menors principals de tots els ordres, mai únicament els dominants. COMPROVA EL QUE HAS APRÈS 36. Quina condició sobre els valors propis determina que una matriu sigui semidefinida positiva? 37. Per què no es pot concloure que una matriu és semidefinida positiva només observant que els seus menors dominants compleixen , i ? Test Encercla la resposta correcta. Les solucions són al final. 38. Quin patró de menors dominants caracteritza una matriu definida negativa d'ordre 3? 39.

Si una matriu simètrica té autovalors λ = 5, λ = 0 i λ = 2, com es classifica? 40. Quants menors principals d'ordre 1 conté una matriu de dimensió 3x3? 41. Què succeeix si un menor principal d'ordre 2 resulta ser estrictament negatiu?

0 C A q(x) = x Ax T λ > i 0 λ < i 0 D > k 0 ( 1) D > k k 0 D > 1 0 D > 2 0 D = 3 0 D > 0, D < 0, D > 0 a) D < 0, D < 0, D < 0 b) D 0, D 0, D 0 c) D < 0, D > 0, D < 0 d) Definida positiva a) Semidefinida negativa b) Indefinida c) Semidefinida positiva d) 9 a) 1 b) 3 c) 6 d) La matriu és semidefinida positiva a) La matriu és semidefinida negativa b) La matriu és definida negativa c) La matriu no pot ser semidefinida d) Matemàtiques III: apunts i formulari (UPF Economia) 25 5 Concavitat i convexitat — Funcions de diverses variables EN ACABAR SABRÀS Distingir funcions còncaves, convexes i estrictament definides segons criteris geomètrics i analítics.

Aplicar les propietats algebraiques per identificar la curvatura sense calcular derivades. Construir la matriu hessiana i justificar la seva simetria mitjançant el teorema de Schwarz. Classificar la concavitat o convexitat a través dels autovalors i menors principals de la hessiana. PENSA-HI ABANS DE LLEGIR 42 Com pot una matriu de derivades segones determinar si la corba d'una superfície queda per sobre o per sota d'un pla? Definició geomètrica i tipus de curvatura Sigui una funció real definida sobre un conjunt convex . La concavitat i la convexitat descriuen el comportament geomètric de la gràfica respecte als segments que uneixen dos punts qualssevol.

Esquema de les posicions relatives dels segments secants segons la curvatura. Geomètricament, distingim les següents situacions fonamentals segons la posició del segment secant respecte a la superfície o corba de la funció: Funció convexa: el segment que uneix dos punts del graf queda sempre per sobre o tocant la gràfica de la funció. Funció còncava: el segment secant se situa sempre per sota o recolzat sobre la gràfica. Estricta convexitat: els punts interiors del segment queden estrictament per sobre de la gràfica, sense compartir cap tram rectilini. Estricta concavitat: els punts interiors del segment es troben estrictament per sota de la funció.

Funció lineal (còncava i convexa): els segments coincideixen exactament amb la pròpia funció, complint simultàniament ambdues definicions no estrictes. f(x , … , x ) 1 n S Rn Matemàtiques III: apunts i formulari (UPF Economia) 26 DEFINICIÓ Una funció és còncava i convexa a la vegada en tot el seu domini si i només si és afí o lineal, és a dir, de la forma , amb coeficients reals. COMPROVA-HO 43 Quina propietat geomètrica defineix una funció estrictament convexa respecte a les cordes secants?

Propietats algebraiques de la curvatura Per determinar el caràcter d'una funció composta o d'una combinació de variables, sovint podem recórrer a regles d'àlgebra sense necessitat de calcular derivades segones: EXEMPLE Analitzem la funció : L'argument intern és convex per ser suma de quadrats amb coeficients positius. L'exponencial compleix (estrictament creixent) i (convexa). Per la regla de la composició, és convexa a . COMPROVA-HO 44 Si una funció f és convexa, com és la funció -f? f f(x , … , x ) = 1 n a x + 1 1 + a x + n n b Funcions lineals: tota expressió lineal de la forma és simultàniament còncava i convexa a . Per exemple, és còncava i convexa. 1 f(x , …

, x ) = 1 n a x + 1 1 + a x + n n b Rn f(x, y, z) = 3x 4y + + 2 z e Extensió trivial de variables: si és còncava (o convexa), la funció estesa a un nombre superior de variables preserva la mateixa curvatura. Així, com que és convexa, és convexa a . 2 f(x , … , x ) 1 n m n x2 f(x, y, z) = x2 R3 Canvi de signe: si és còncava, la funció oposada és convexa, i a la inversa. Si és convexa, llavors resulta estrictament còncava. 3 f f f(x, y, z) = x2 x2 Combinació lineal amb coeficients no negatius: si i presenten la mateixa curvatura i prenem escalars , la suma ponderada manté aquesta curvatura. Per tant, sumes de termes quadràtics purs són convexes si , o còncaves si .

4 f g a, b 0 af + bg a x i i 2 a i 0 a i 0 Composició monòtona: si és convexa i la transformació d'una variable és convexa i creixent, la funció composta és convexa. De forma anàloga, si és còncava i és còncava i creixent, la composició és còncava. 5 f F (t) F (f(x , … , x )) 1 n f F g(x, y, z) = ex +y +z 2 2 2 u(x, y, z) = x + 2 y + 2 z2 F (t) = et F (t) = e > t 0 F (t) = e > t 0 g(x, y, z) R3 Matemàtiques III: apunts i formulari (UPF Economia) 27 La matriu hessiana i el teorema de Schwarz Per a funcions dues vegades contínuament diferenciables ( ), la curvatura s'analitza localment o globalment a partir de les seves derivades parcials de segon ordre.

Aquestes s'ordenen en una matriu quadrada anomenada matriu hessiana. DEFINICIÓ La matriu hessiana d'una funció , denotada per o simplement , és la matriu quadrada d'ordre formada per les derivades parcials creuades: Quan les derivades segones són contínues, el teorema de Schwarz garanteix que l'ordre de derivació no altera el resultat: . En conseqüència, la matriu hessiana és sempre una matriu simètrica (vegeu «Diagonalització de matrius — Teorema espectral per a matrius simètriques»). COMPROVA-HO 45 Per quina raó la matriu hessiana d'una funció de classe C² és simètrica?

Criteri del signe de la hessiana El caràcter de la forma quadràtica associada a la matriu hessiana (vegeu «Formes quadràtiques — Classificació i signe») determina de manera unívoca la curvatura de la funció sobre el domini convex : Signe de la matriu hessiana sobre Tipus de curvatura de la funció Condició sobre els autovalors Semidefinida positiva (SDP) Convexa a S Tots els Semidefinida negativa (SDN) Còncava a S Tots els Definida positiva (DP) Estrictament convexa a Tots els Definida negativa (DN) Estrictament còncava a Tots els Indefinida Ni còncava ni convexa a Autovalors amb signes oposats f C2 f(x , … , x ) 1 n Hf(x , … , x ) 1 n Hf n Hf(x , …

, x ) = 1 n f 11 f 21 f n1 f 12 f 22 f n2 f 1n f 2n f nn f = ij = x x j i f 2 = x x i j f 2 f ji S Hf S f λ i λ i 0 λ i 0 S λ > i 0 S λ < i 0 S Matemàtiques III: apunts i formulari (UPF Economia) 28 ESQUEMA Classificació de curvatura segons la hessiana ERROR FREQÜENT Assumir que una funció estrictament convexa ha de tenir necessàriament una matriu hessiana definida positiva. La implicació només funciona en un sentit: El recíproc és fals. Per exemple, la funció d'una variable és estrictament convexa a tot , però la seva derivada segona en l'origen val , de manera que la seva hessiana a és semidefinida positiva i no pas definida positiva.

Classificació mitjançant menors i autovalors: casos pràctics Quan la matriu hessiana presenta termes creuats o coeficients no constants, cal avaluar el signe de la forma quadràtica mitjançant els autovalors o els menors principals: Exemple 1: hessiana diagonal amb paràmetres variables Considerem . Les derivades segones són , , , i les creuades són nul·les: Com que la matriu és diagonal, els autovalors són els elements de la diagonal principal: , i . El signe de depèn de : Si , tenim ; com que hi ha valors propis positius i negatius, la hessiana és indefinida i no és còncava ni convexa a .

Si restringim el domini al semiespai convex , aleshores , fent que tots els autovalors siguin estrictament negatius. Per tant, és definida negativa a i és estrictament còncava en aquest conjunt.

Matriu Hessiana Hf Signe dels autovalors Semidefinida positiva Tots els autovalors >= 0 Funció Convexa Definida positiva implica estricta Semidefinida negativa Tots els autovalors <= 0 Funció Còncava Definida negativa implica estricta Indefinida Autovalors amb signes oposats Ni còncava ni convexa Punt de sella local Hf DP f estrictament convexa f(x) = x4 R f (0) = 0 x = 0 f(x, y, z) = x 2 e y z3 f = xx 2 f = yy e y f = zz 6z Hf(x, y, z) = 2 0 0 0 e y 0 0 0 6z λ = 1 2 < 0 λ = 2 e < y 0 λ = 3 6z λ 3 z z < 0 λ > 3 0 f R3 S = {(x, y, z) R : 3 z > 0} 6z < 0 Hf S f Matemàtiques III: apunts i formulari (UPF Economia) 29 Exemple 2: aplicació dels menors principals per a semidefinició Sigui .

La presència de termes creuats com i impedeix usar directament les regles algebraiques. Calculem la matriu hessiana constant: Els menors principals dominants són (vegeu «Formes quadràtiques — Classificació i signe»): Com que el determinant principal , la matriu no pot ser definida negativa. Per comprovar si és semidefinida negativa (SDN), cal analitzar tots els menors principals: Menors d'ordre 1: , , . Menors d'ordre 2: , , . Menor d'ordre 3: . Com que tots els menors d'ordre senar són i tots els d'ordre parell són , la matriu hessiana és semidefinida negativa a tot , per la qual cosa és una funció còncava.

COMPROVA-HO 46 Si una matriu hessiana té D < 0, D > 0 i D = 0, per què no n'hi ha prou amb aquests tres menors dominants per concloure que és semidefinida negativa? IDEES CLAU Geomètricament, una funció és convexa si els segments secants se situen per sobre de la gràfica, i còncava si queden per sota. Les funcions lineals són les úniques que resulten simultàniament còncaves i convexes a tot el seu domini. Pel teorema de Schwarz, la continuïtat de les segones derivades fa que la matriu hessiana sigui sempre simètrica. Una funció és convexa si la seva hessiana és semidefinida positiva, i còncava si és semidefinida negativa en un conjunt convex.

Si la matriu hessiana és definida positiva (o negativa), la funció és estrictament convexa (o còncava), però el recíproc no és cert. f(x, y, z) = 2x + 2 2xy + 4xz y 2 4z2 2xy 4xz Hf = 4 2 4 2 2 0 4 0 8 D = 1 4 < 0, D = 2 = 4 2 2 2 8 4 = 4 > 0, D = 3 det(Hf) = 0 D = 3 0 4 0 2 0 8 0 = 4 2 2 2 4 0 = 4 4 4 8 16 0 = 2 0 0 8 16 0 D = 3 0 0 0 0 R3 f Matemàtiques III: apunts i formulari (UPF Economia) 30 COMPROVA EL QUE HAS APRÈS 47. Com influeix una transformació F(t) que sigui convexa i creixent sobre una funció convexa g(x)? 48. Quina condició sobre els autovalors de la matriu hessiana garanteix que una funció sigui convexa en tot un conjunt convex? Test Encercla la resposta correcta.

Les solucions són al final. 49. Quina d'aquestes funcions és simultàniament còncava i convexa a tot R³? 50. Si la matriu hessiana d'una funció és semidefinida negativa a tot el domini convex, la funció és: 51. Per què la matriu hessiana d'una funció f de classe C² és sempre simètrica? 52. Què succeeix si la matriu hessiana té autovalors de signes estrictament oposats en un punt? 6 Optimització clàssica — Optimització lliure EN ACABAR SABRÀS Trobar els punts estacionaris d'una funció de diverses variables igualant el gradient a zero. Classificar punts crítics locals mitjançant el caràcter de la matriu hessiana.

Determinar la globalitat d'un extrem avaluant la convexitat o concavitat a tot el domini. Identificar conjunts compactes per justificar l'existència d'òptims absoluts segons el teorema de Weierstrass. PENSA-HI ABANS DE LLEGIR 53 És possible assegurar que una funció assoleix un valor màxim si el seu domini és infinit?

f(x, y, z) = a) ex+y+z f(x, y, z) = 3x - 4y + z/2 + e b) f(x, y, z) = -x² - y² - z² c) f(x, y, z) = x² + y² d) Còncava a) Estrictament convexa b) Indefinida c) Convexa no estricta d) Pel teorema espectral a) Pel criteri de Sylvester b) Pel teorema de Weierstrass c) Pel teorema de Schwarz d) La hessiana és indefinida a) La funció és còncava b) La funció és convexa c) La funció és estrictament plana d) Matemàtiques III: apunts i formulari (UPF Economia) 31 L'optimització lliure o sense restriccions estudia com localitzar els punts on una funció escalar de diverses variables assoleix els seus valors màxims o mínims sense cap lligam imposat.

ESQUEMA Optimització en diverses variables Definicions fonamentals d'òptims Considerem una funció definida sobre un conjunt i sigui un punt del domini. DEFINICIÓ Diem que és un màxim global de a si es compleix per a tot punt del conjunt . Anàlogament, és un mínim global de a si per a tot punt de . Un punt és un òptim global si és un màxim o un mínim absolut de la funció en tot el conjunt considerat. Si la desigualtat es compleix de manera estricta per a qualsevol punt , parlem d'un òptim estricte. EXEMPLE Per a la funció a tot , tenim . Per a qualsevol altre vector no nul es verifica clarament . Per tant, l'origen és un mínim global estricte.

Optimització lliure Sense restriccions al domini Condicions de 1r ordre Gradient nul Condicions de 2n ordre Signe de la hessiana Globalitat per convexitat Curvatura a tot el domini Teorema de Weierstrass Conjunts compactes Optimització amb igualtats Mètode de Lagrange Optimització amb desigualtats Condicions de Kuhn-Tucker f(x , … , x ) 1 n S Rn P = (x , … , x ) 1 n S P f S f(x , … , x ) 1 n f(P ) S P f S f(x , … , x ) 1 n f(P ) S (x , … , x ) = 1 n P f(x, y, z) = x + 2 y + 2 z2 R3 f(0, 0, 0) = 0 f(x, y, z) > 0 = f(0, 0, 0) (0, 0, 0) Matemàtiques III: apunts i formulari (UPF Economia) 32 COMPROVA-HO 54 Quina condició addicional es requereix perquè un mínim global sigui estricte?

Condicions de primer i segon ordre Quan la funció és diferenciable, el càlcul diferencial proporciona les eines essencials per identificar els punts candidats a extrem: DEFINICIÓ Sigui diferenciable en . Diem que és un punt estacionari o crític si totes les seves derivades parcials de primer ordre s'anul·len simultàniament: Aquesta expressió constitueix la condició necessària de primer ordre: si un punt interior és un extrem relatiu o absolut de , necessàriament ha de ser un punt estacionari. Si el domini és , tot òptim és forçosament un punt estacionari. No obstant això, el recíproc no és cert: no tot punt estacionari és un extrem.

Per determinar la naturalesa local d'un punt estacionari acudim a les condicions de segon ordre mitjançant la matriu hessiana (vegeu «Concavitat i convexitat — Funcions de diverses variables»): Si és un òptim interior de , aleshores la matriu ha de ser semidefinida (positiva per a mínim, negativa per a màxim). Si és definida positiva, el punt és un mínim local estricte. Si és definida negativa, el punt és un màxim local estricte. Si la matriu hessiana resulta ser indefinida, el punt no és un extrem: es tracta d'un punt de sella. ERROR FREQÜENT Un error greu és considerar que qualsevol solució del sistema és un òptim.

Si la matriu hessiana presenta valors propis de signe oposat (hessiana indefinida), el punt no és ni un màxim ni un mínim local, sinó un punt de sella. COMPROVA-HO 55 Què podem concloure d'un punt crític si la seva matriu hessiana té valors propis positius i negatius? Condicions suficients globals: concavitat i convexitat La classificació local no garanteix per si sola que un extrem sigui global. No obstant això, si la funció presenta propietats de curvatura a tot un domini convex , podem establir el seu caràcter absolut: f P P f (P ) = x i 0, i = 1, 2, …

, n f(P ) = 0 P f S = Rn P f Hf(P ) Hf(P ) P Hf(P ) P Hf(P ) P f(P ) = 0 S Matemàtiques III: apunts i formulari (UPF Economia) 33 Comportament de a tot el conjunt convex Caràcter del punt estacionari interior Funció convexa ( semidefinida positiva) Mínim global a Funció estrictament convexa ( definida positiva) Mínim global estricte a Funció còncava ( semidefinida negativa) Màxim global a Funció estrictament còncava ( definida negativa) Màxim global estricte a Si la funció no és ni còncava ni convexa globalment, un punt estacionari encara podria ser un òptim, però caldria utilitzar arguments addicionals per estudiar el seu comportament asimptòtic o als límits.

f S P Hf S Hf S Hf S Hf S Matemàtiques III: apunts i formulari (UPF Economia) 34 EXEMPLE Cas 1: Funció amb hessiana indefinida Sigui sobre . Cas 2: Màxim global per concavitat Sigui sobre . f(x, y, z) = x 2 2y + 2 3z + 2 4x + 12y R3 Igualem el gradient a zero: L'únic punt estacionari és . 1 f = x 2x + 4 = 0 x = 2 f = y 4y + 12 = 0 y = 3 f = z 6z = 0 z = 0 P = ( 2, 3, 0) Avaluem la matriu hessiana: Els seus valors propis són . En tenir valors de signe positiu i negatiu, la hessiana és indefinida. Per tant, no és cap extrem i la funció no té òptims globals.

2 Hf(x, y, z) = 2 0 0 0 4 0 0 0 6 2, 4, 6 P f(x, y, z) = 6x + 18y + yz 3x 2 y 2 z2 R3 Resolem el sistema del gradient: Substituint en la segona equació: , d'on . L'únic punt estacionari és . 1 f = x 6 6x = 0 x = 1 f = y 18 + z 2y = 0 f = z y 2z = 0 z = 2 y z 18 + 2 y 2y = 0 36 3y = 0 y = 12 z = 6 P = (1, 12, 6) Construïm la matriu hessiana constant: 2 Hf(x, y, z) = 6 0 0 0 2 1 0 1 2 Matemàtiques III: apunts i formulari (UPF Economia) 35 Cas 3: Domini obert convex Considerem definit sobre el conjunt obert .

Analitzem el signe mitjançant els menors principals dominants (criteri de Sylvester, vegeu «Formes quadràtiques — Classificació i signe»): Com que alternen de signe començant per negatiu ( ), és definida negativa a tot . La funció és estrictament còncava a tot l'espai, per la qual cosa és un màxim global estricte. La funció no té mínims. 3 D = 1 6 < 0 D = 2 = 6 0 0 2 12 > 0 D = 3 6 = 2 1 1 2 6(4 1) = 18 < 0 , +, Hf R3 (1, 12, 6) f(x, y, z) = x + 2 y + 2 2xy ln(x) ln(y) + ez 2z 2 S = {(x, y, z) R : 3 x > 0, y > 0} Derivades parcials primeres: 1 f = x 2x + 2y = x 1 0 (1) f = y 2y + 2x = y 1 0 (2) f = z e (2z z 2z 2 2) = 0 (3) De l'equació (3), com que l'exponencial mai s'anul·la, tenim .

Restant (1) i (2): . Substituint a l'equació (1): . Com que , prenem , d'on . La solució negativa es descarta perquè no pertany al domini. L'únic punt estacionari és . 2 2z 2 = 0 z = 1 + x 1 = y 1 0 x = y y = x 4x = x 1 0 4x = 2 1 x = 2 4 1 x > 0 x = 1/2 y = 1/2 x = 1/2 (1/2, 1/2, 1) Calculem la hessiana: 3 Hf(x, y, z) = 2 + x2 1 2 0 2 2 + y2 1 0 0 0 e ((2z 2) + 2) z 2z 2 2 Matemàtiques III: apunts i formulari (UPF Economia) 36 COMPROVA-HO 56 Per què la solució x = -1/2 no es considera candidata a òptim en el cas 3?

Existència d'extrems: Teorema de Weierstrass i conjunts compactes Quan el domini no és tot l'espai ni un obert, sinó una regió fitada per límits, el teorema dels valors extrems assegura l'existència d'òptims: DEFINICIÓ El Teorema de Weierstrass estableix que tota funció contínua definida sobre un conjunt compacte (és a dir, un conjunt que és simultàniament tancat i fitat) assoleix amb certesa tant un valor màxim absolut com un valor mínim absolut a .

Això garanteix l'existència de com a mínim dos punts tals que: Per aplicar el teorema cal distingir clarament les dues propietats geomètriques de : Tancat: inclou totes les seves fronteres (generalment definit mitjançant igualtats o desigualtats no estrictes del tipus ). Fitat: no s'estén fins a l'infinit; es pot tancar completament dins d'una bola o esfera de radi finit centrada a l'origen. Examinem a continuació tres conjunts per determinar si són compactes: 1. Circumferència a : . És un conjunt tancat (definit per una igualtat) i està contingut en el cercle unitari, de manera que està clarament fitat. En conseqüència, és un conjunt compacte.

Avaluem els menors principals dominants a : Com que tots els menors són estrictament positius a tot , la hessiana és definida positiva a tot el domini. La funció és estrictament convexa a i, per tant, el punt és un mínim global. La funció no té màxims. 4 S D = 1 2 + > x2 1 0 D = 2 2 + 2 + ( x2 1 ) ( y2 1 ) 4 = + x2 2 + y2 2 > x y 2 2 1 0 D = 3 D 2 e ((2z z 2z 2 2) + 2 2) > 0 S S (1/2, 1/2, 1) f S Rn S P , Q S f(P ) f(x , … , x ) 1 n f(Q), (x , … , x ) 1 n S S , , = R2 {(x, y) R : 2 x + 2 y = 2 1} Matemàtiques III: apunts i formulari (UPF Economia) 37 Gràfica de la circumferència unitat a ² com a conjunt compacte. 2. Cilindre infinit a : . És un conjunt tancat per la igualtat.

Tanmateix, la variable no està sotmesa a cap restricció i pot prendre valors tan grans com es vulgui cap a o . Per tant, no és fitat i no és compacte. 3. Esfera a : . La relació defineix una superfície esfèrica de centre i radi 3. És un conjunt tancat per la igualtat. Com que tots els sumands són quadrats positius, cadascun d'ells ha de ser menor o igual a 9: Gràfica d'acotació de la paràbola x² 9 a l'interval. Totes les coordenades estan acotades en intervals finits. El conjunt és tancat i fitat, de manera que és compacte. Esquema d'una superfície esfèrica tridimensional compacta. COMPROVA-HO 57 Per què…