Apunts d'Anàlisi de Dades: Descriptiva i Normal (UPF)

I 0 flashcards i 4 preguntes més al document.

Text del document

APUNTS ANÀLISI DE DADES Grau en Administració i Direcció d'Empreses Universitat Pompeu Fabra AprenAI 2026-2027 Apunts complets dels temes 1 a 4 d'Anàlisi de Dades: mostreig, resums numèrics, transformacions de variables i càlculs amb la distribució normal.

APREN.AI Índex 1 Fonaments de l'anàlisi de dades: procés, tipus de variables i mostreig Branques de l'estadística i etapes del procés d'anàlisi Dimensions, estructures temporals i atributs de qualitat Classificació de les variables Població, disseny mostral i biaixos d'estudi 2 Descripció gràfica i resums numèrics d'una variable Visualització gràfica de les dades Mesures de posició central Mesures de dispersió i variabilitat Mesures de forma de la distribució Criteris de selecció dels resums estadístics 3 Dades agrupades, transformacions de variables i estandardització Aproximació de paràmetres en dades agrupades Transformacions lineals: canvis d'origen i d'escala Transformacions no lineals per a la normalització Estandardització o tipificació 4 Distribució normal: propietats, regla empírica i càlculs de probabilitat La corba de densitat Característiques de la distribució normal La regla empírica 68-95-99,7 La distribució normal estàndard i càlcul de probabilitats Diagnosi i verificació de la normalitat 5 Formulari Mesures numèriques i de dispersió Dades agrupades i transformacions de variables Distribució normal i càlcul de probabilitats Errors típics Solucions de les preguntes de repàs Aquests apunts poden contenir errors o omissions.

Són un material de suport i no substitueixen el temari oficial ni el professorat: contrasta la informació important.

N(0,1) Apunts d'Anàlisi de Dades: Descriptiva i Normal (UPF) 1 1 Fonaments de l'anàlisi de dades: procés, tipus de variables i mostreig EN ACABAR SABRÀS Classificar correctament qualsevol variable segons la seva naturalesa qualitativa o quantitativa i la seva escala de mesura Distingir entre dissenys de tall transversal, sèrie temporal i dades de panell Identificar els biaixos mostrals principals que amenacen la validesa d'un estudi estadístic PENSA-HI ABANS DE LLEGIR 1 Per què no podem confiar plenament en les conclusions d'una enquesta si només hi han participat voluntaris entusiastes?

L'estadística és la disciplina científica dedicada a recollir, organitzar, descriure i interpretar informació numèrica o categòrica provinent d'observacions per extreure conclusions sòlides i facilitar la presa de decisions. Branques de l'estadística i etapes del procés d'anàlisi La disciplina es divideix en dues grans àrees de treball segons el seu abast: Estadística descriptiva: sintetitza i caracteritza conjunts de dades existents mitjançant taules, resums numèrics i representacions gràfiques (com ara càlculs de mitjanes, percentatges o diagrames de barres).

Estadística inferencial: estén els resultats d'un subconjunt reduït cap a una població sencera utilitzant models matemàtics i càlcul de probabilitats (per exemple, estimar la retribució salarial mitjana d'un país a partir d'una mostra). El propòsit central de l'anàlisi rau a convertir dades en brut en coneixement operatiu mitjançant un procés seqüencial estructurat: Apunts d'Anàlisi de Dades: Descriptiva i Normal (UPF) 2 PROCÉS Fases del procés d'anàlisi de dades Dimensions, estructures temporals i atributs de qualitat Les dades s'articulen al voltant d'individus (entitats analitzades com persones, empreses o regions) i variables (atributs concrets mesurats en cada individu).

Segons la seva temporalitat, els conjunts de dades presenten diferents estructures: Estructura temporal Definició organitzativa Cross-section (tall transversal) Observació de diversos individus en un sol instant temporal determinat. Sèrie temporal Seguiment continuat d'un únic individu al llarg de diferents moments. Dades de panell Seguiment d'un grup fix d'individus al llarg del temps en múltiples períodes.

Plantejament Definir preguntes i identificar dades rellevants 1 Estructuració Recollir dades i carregar-les a sistemes 2 Neteja Depurar errors, buits i atípics (80% feina) 3 Inferència Aplicar tècniques estadístiques i extreure patrons 4 Presentació Redactar informes i visualitzacions finals 5 Plantejar el problema (Fase 0): delimitar els objectius analítics i establir quines dades responen a la pregunta. 1 Estructurar i organitzar (Fase 1): recopilar les observacions i introduir-les en entorns informàtics. 2 Descriure i netejar (Fase 2): verificar la qualitat dels registres i detectar errades o observacions atípiques. Aquest pas crític consumeix aproximadament el 80 % del treball.

Inclou extreure informació de múltiples orígens, homogeneïtzar unitats i codis, gestionar valors buits i suprimir duplicitats. 3 Analitzar i inferir (Fase 3): aplicar mètodes estadístics pertinents per obtenir patrons i conclusions. 4 Presentar resultats (Fase 4): sintetitzar les troballes en informes clars i visualitzacions entenedores. 5 Apunts d'Anàlisi de Dades: Descriptiva i Normal (UPF) 3 La solidesa de qualsevol estudi depèn de criteris de qualitat indispensables: rellevància del contingut respecte a l'objectiu, validesa en la recollida, fiabilitat i coherència dels mesuraments, comparabilitat entre subjectes o estudis, cobertura representativa i absència de distorsió sistemàtica.

COMPROVA-HO 2 En quina fase del procés estadístic s'inverteix la major part del temps de treball i quina tasca principal s'hi duu a terme? Classificació de les variables La naturalesa de la informació condiciona de manera directa els mètodes numèrics i gràfics aplicables: ESQUEMA Tipologia de variables estadístiques Qualitatives (categòriques): reflecteixen atributs o categories no numèriques. Nominals: categories sense cap jerarquia ni ordre intrínsec (ex. color o gènere). Ordinals: categories que admeten una ordenació natural lògica (ex. nivell d'estudis assolit). Quantitatives (numèriques): prenen valors expressats en nombres.

Discretes: valors aïllats procedents d'un recompte (prenen nombres enters, com el nombre de fills). Contínues: valors en una escala contínua de nombres reals (com temps, massa corporal o alçada). D'interval: les distàncies entre valors són constants però el zero és arbitrari i no expressa absència (com la temperatura en graus Celsius). De raó: disposen d'un zero absolut natural que indica absència real de la magnitud (com els ingressos o l'edat).

Qualitatives Informació categòrica o atributs Nominals Sense ordenació intrínseca Ordinals Categories amb jerarquia lògica Quantitatives Informació expressada numèricament Discretes Recompte amb valors enters Contínues Escala real amb decimals Apunts d'Anàlisi de Dades: Descriptiva i Normal (UPF) 4 Població, disseny mostral i biaixos d'estudi DEFINICIÓ La població és la totalitat d'elements subjectes a recerca, mentre que la mostra constitueix un subconjunt representatiu d'aquesta població a partir del qual es desenvolupa la inferència estadística. La recollida de dades depèn del procediment de mostreig seleccionat: 1.

Mostreig aleatori simple (MAS): cadascun dels individus del cens poblacional disposa exactament de la mateixa probabilitat de selecció. 2. Mostreig estratificat: segmentació de la població en subgrups homogenis (estrats) i extracció posterior de mostres aleatòries a l'interior de cadascun. 3. Mostreig en etapes múltiples: selecció seqüencial jeràrquica (per exemple, regions en primer lloc, municipis a continuació i llars finalment). ERROR FREQÜENT Confondre el biaix de mostra amb el biaix de no resposta.

El biaix de mostra sorgeix durant la selecció inicial quan el disseny afavoreix certs perfils (com comptar únicament amb voluntaris), mentre que el biaix de no resposta passa després, quan individus ja seleccionats rebutgen participar i distorsionen el resultat. Tipus de biaix Origen de l'error Biaix de cobertura Determinats col·lectius de la població queden exclosos del marc mostral sense opció de selecció. Biaix de mesura Inexactituds en el registre degudes a eines defectuoses o imprecises. Biaix de pregunta/resposta Plantejament confús o qüestionaris redactats de manera que indueixen respostes concretes.

Finalment, segons la intervenció de l'investigador, els dissenys poden ser observacionals (es recullen fets sense alterar les condicions) o bé experimentals (es manipula activament un factor per mesurar el seu impacte causal). Quan dues variables independents es creuen i resulta impossible discernir quina provoca l'efecte final, s'origina un problema de confusió. COMPROVA-HO 3 Per què la presència de variables de confusió invalida una conclusió de causa-efecte directa? Apunts d'Anàlisi de Dades: Descriptiva i Normal (UPF) 5 IDEES CLAU L'estadística descriptiva resumeix conjunts coneguts de dades, mentre que la inferencial extrapola conclusions d'una mostra a la població sencera.

La neteja i preparació de dades és la fase més costosa del procés analític i arriba a absorbir el 80 % del treball. Les variables es distingeixen entre categòriques (nominals o ordinals) i numèriques (discretes o contínues; d'interval o de raó). El mostreig pot ser aleatori simple, estratificat o en etapes múltiples, i cal controlar els biaixos de mostra, no resposta, cobertura o mesura. COMPROVA EL QUE HAS APRÈS 4. En què es diferencia una variable d'escala d'interval d'una de raó? 5. Què distingeix un estudi purament observacional d'un disseny experimental? Test Encercla la resposta correcta. Les solucions són al final. 6.

Quin tipus de mostreig divideix la població en grups homogenis per extreure individus a l'atzar de cadascun? 7. Què caracteritza una estructura de dades de panell? 8. Quin biaix apareix quan part dels enquestats decideix no participar en un estudi? 9. Quin tipus de variable és el nombre de fills d'una unitat familiar?

Mostreig de conveniència a) Mostreig aleatori simple b) Mostreig estratificat c) Mostreig per etapes múltiples d) Observar molts individus en un únic moment a) Observar un únic individu durant anys b) Observar diversos individus repetidament en el temps c) Analitzar una mostra purament voluntària sense seguiment d) Biaix de mesura a) Biaix d'instrumentació b) Biaix de no resposta c) Biaix de cobertura d) Quantitativa discreta a) Qualitativa ordinal b) Qualitativa nominal c) Quantitativa contínua d) Apunts d'Anàlisi de Dades: Descriptiva i Normal (UPF) 6 2 Descripció gràfica i resums numèrics d'una variable EN ACABAR SABRÀS Seleccionar la representació gràfica adequada d'acord amb el tipus de variable observada Calcular i diferenciar la sensibilitat de les mesures de posició central i dispersió Determinar quines mesures estadístiques cal emprar segons la simetria o asimetria de la distribució PENSA-HI ABANS DE LLEGIR 10 Si afegim un multimilionari a una mostra de sous mitjans d'un barri, per què la mitjana puja de cop però la mediana gairebé no es mou?

La síntesi d'un conjunt de dades requereix combinar gràfics informatius i indicadors numèrics per descriure la seva forma, el seu centre i el seu grau de dispersió. Visualització gràfica de les dades La tria de la gràfica depèn directament de la tipologia de variable examinada: Gràfics per a dades categòriques: el diagrama de barres compara freqüències absolutes o percentatges entre categories individuals, mentre que el diagrama de sectors (o pastís) reflecteix la proporció relativa de cadascuna respecte al total. Gràfics per a dades numèriques: Histograma: agrupa observacions en intervals o classes continus i en reflecteix la freqüència.

Permet avaluar directament la simetria o asimetria, la posició central, l'amplitud dels valors i la presència d'observacions aïllades. Diagrama de tiges i fulles: tècnica útil per a mostres petites que combina el format de taula numèrica amb la forma d'un gràfic visual. Diagrama de caixa (boxplot): representa gràficament el resum de cinc valors clau (mínim, primer quartil , mediana, tercer quartil i màxim), assenyalant possibles valors atípics. Gràfic de sèries temporals: reflecteix l'evolució temporal d'una variable situant el temps a l'eix d'abscisses (eix X).

Mesures de posició central Aquests indicadors quantifiquen al voltant de quin valor s'agrupen les observacions: Mitjana ( ): centre de gravetat aritmètic de les dades. Té la característica de ser molt sensible a les observacions extremes o atípiques. Mediana ( ): valor situat exactament al punt mig del conjunt ordenat. És una mesura robusta, atès que no es veu distorsionada per observacions allunyades. Moda: observació amb una freqüència d'aparició més elevada. Una distribució pot presentar una única moda o ser multimodal. Q 1 Q 3 x ˉ M Apunts d'Anàlisi de Dades: Descriptiva i Normal (UPF) 7 En una distribució perfectament simètrica es compleix la igualtat teòrica fonamental: .

COMPROVA-HO 11 Si un conjunt d'ingressos salarials conté uns quants valors extremadament alts, quina mesura central descriu millor la posició típica: la mitjana o la mediana? Mesures de dispersió i variabilitat Les mesures de variabilitat avaluen com de disperses o concentrades estan les dades respecte al centre: Rang: diferència entre el valor més gran i el més petit de la mostra (màxim - mínim). Variança ( ): mitjana de les desviacions quadràtiques de cada observació respecte a la mitjana aritmètica. Desviació típica ( ): arrel quadrada positiva de la variança, expressada en les mateixes unitats físiques que la variable original.

Rang interquartílic (IQR): distància entre el tercer i el primer quartil ( ), que mesura la dispersió del 50 % central de les observacions. Coeficient de variació (CV): ràtio relativa que expressa la desviació respecte a la mitjana: Aquesta mètrica permet contrastar directament la dispersió relativa de variables que presenten mitjanes molt dispars o que estan expressades en unitats de mesura diferents. Mesures de forma de la distribució La morfologia d'una distribució s'avalua a través de dos criteris: 1. Asimetria (skewness): descriu la inclinació de la cua de la distribució.

Si la cua s'allarga cap als valors alts, l'asimetria és positiva (cua a la dreta); si s'allarga cap als valors baixos, és negativa (cua a l'esquerra). 2. Curtosi: mesura el grau d'aplanament o apuntament de la corba. Es tipifica com a leptocúrtica (picada i apuntada), mesocúrtica (corba amb apuntament similar a la normal) o platicúrtica (aplanada). PER RECORDAR-HO La cua mana en l'asimetria: allà on s'estira la cua (dreta o esquerra) és cap on es desplaça la mitjana respecte a la mediana.

mitjana = mediana = moda s2 s IQR = Q 3 Q 1 CV = × x ˉ s 100 Apunts d'Anàlisi de Dades: Descriptiva i Normal (UPF) 8 Criteris de selecció dels resums estadístics ERROR FREQÜENT Utilitzar la mitjana aritmètica i la desviació típica en distribucions clarament asimètriques o amb valors atípics severs. En aquests casos, cal utilitzar sempre la mediana i el rang interquartílic (juntament amb un boxplot) per evitar conclusions esiaixades.

Condició de la distribució Mesures estadístiques idònies Distribució simètrica sense atípics Mitjana ( ) i desviació típica ( ) Distribució asimètrica o amb atípics Mediana ( ), quartils ( , IQR) i gràfic de caixa (boxplot) COMPROVA-HO 12 Com es defineix una corba amb un perfil molt apuntat respecte a la distribució normal estàndard? ESQUEMA Classificació de les mesures d'una variable IDEES CLAU Els diagrames de barres i sectors sintetitzen dades categòriques; els histogrames, boxplots i diagrames de tiges i fulles descriuen dades numèriques. La mitjana és sensible als valors extrems, mentre que la mediana ofereix una mesura robusta de tendència central.

El coeficient de variació (CV) normalitza la desviació respecte a la mitjana i permet comparar la dispersió de variables amb unitats diferents. L'asimetria positiva presenta la cua a la dreta i la negativa a l'esquerra; la curtosi classifica les corbes en leptocúrtiques, mesocúrtiques i platicúrtiques. x ˉ s M Q , Q 1 3 Posició central On se situa el gruix de les dades Mitjana i Mediana Sensible vs robusta Dispersió Grau de variabilitat respecte al centre s, s² i IQR Desviació, variança i rang interquartílic Forma Morfologia i biaix de la distribució Asimetria i Curtosi Inclinació de cues i apuntament Apunts d'Anàlisi de Dades: Descriptiva i Normal (UPF) 9 COMPROVA EL QUE HAS APRÈS 13.

Com es calcula el coeficient de variació i per a què serveix? 14. Quins cinc valors formen l'estructura numèrica d'un diagrama de caixa (boxplot)? Test Encercla la resposta correcta. Les solucions són al final. 15. Quin gràfic és idoni per mostrar la distribució conjunta dels cinc nombres ressumits? 16. Què implica una asimetria positiva en una variable numèrica? 17. Com s'anomena la corba amb una curtosi picada i elevada? 18. Com respon la mediana davant l'aparició d'un valor atípic extrem?

3 Dades agrupades, transformacions de variables i estandardització EN ACABAR SABRÀS Aproximar els indicadors numèrics en conjunts de dades organitzats per intervals Diferenciar l'impacte d'un canvi d'origen i d'escala sobre les mesures de posició, dispersió i forma Executar l'estandardització d'una variable i interpretar les puntuacions típiques obtingudes PENSA-HI ABANS DE LLEGIR 19 Si un docent apuja la nota de tot l'alumnat en 1 punt exacte, com canvien les diferències relatives de nota entre els estudiants?

Diagrama de sectors a) Gràfic de sèries temporals b) Diagrama de barres c) Diagrama de caixa (boxplot) d) Que la cua s'allarga cap a la dreta a) Que la corba és totalment aplanada b) Que la mitjana coincideix amb la moda c) Que la cua s'allarga cap a l'esquerra d) Platicúrtica a) Mesocúrtica b) Leptocúrtica c) Simètrica d) Es manté robusta sense alterar-se substancialment a) Es desplaça més ràpidament que la mitjana b) Augmenta en proporció a l'arrel de l'atípic c) Passa a equivaler automàticament a la moda d) Apunts d'Anàlisi de Dades: Descriptiva i Normal (UPF) 10 Quan no es té accés als registres individuals complets sinó a taules de freqüència organitzades per intervals de classe, cal recórrer a mètodes d'aproximació per a les mesures descriptives fonamentals.

Aproximació de paràmetres en dades agrupades Per a dades agrupades en intervals, els càlculs numèrics es basen en hipòtesis de representativitat de classe: Mesura estadística Procediment d'aproximació Mitjana Suma ponderada del punt mitjà (marca de classe) de cada interval multiplicat per la seva freqüència corresponent. Mediana Localització de l'interval que conté l'element central acumulat i interpolació numèrica interior. Moda Punt mitjà associat a l'interval que registra la freqüència més gran. Desviació típica Càlcul de la fórmula ponderada de dispersió emprant les marques de classe com a valors representatius.

Transformacions lineals: canvis d'origen i d'escala Modificar les unitats de mesura mitjançant operacions lineals influeix de manera diferenciada en cada família d'estadístics descriptius: Canvi d'origen ( ): suma o resta una constant fixa. En termes gràfics, desplaça rígidament el perfil sense afectar l'amplada ni el perfil de la corba. Canvi d'escala ( o ): multiplica o divideix per una constant. En el gràfic, comprimeix o estira la distribució, modificant directament la dispersió de les dades.

Tipus de mesura Efecte del canvi d'origen ( ) Efecte del canvi d'escala ( o ) Posició (mitjana, mediana, moda) Queda sumada per la constant ( ) Queda multiplicada o dividida per la constant ( o ) Dispersió (variança, desviació típica) No canvia gens La desviació queda multiplicada o dividida ( o ) Forma (asimetria i curtosi) No canvien No canvien ERROR FREQÜENT Creure que afegir una bonificació fixa a tots els sous d'una empresa augmenta la dispersió dels sous. La variança i la desviació típica queden inalterades davant un canvi d'origen ( ), ja que les distàncies entre individus no varien.

Y = X + a Y = X/b Y = bX +a ×b /b +a ×b /b ×b /b a Y = X + a Apunts d'Anàlisi de Dades: Descriptiva i Normal (UPF) 11 Transformacions no lineals per a la normalització Si la distribució original és molt asimètrica, s'apliquen transformacions no lineals per estabilitzar la variància i aconseguir perfils més simètrics o normals: Transformació logarítmica ( ). Arrel quadrada ( ). Transformació inversa ( ). Transformació exponencial ( ). COMPROVA-HO 20 Què li passa a la desviació típica d'una variable si a totes les observacions els sumem 10 unitats i posteriorment les dividim entre 2?

Estandardització o tipificació DEFINICIÓ L'estandardització és una transformació lineal que converteix qualsevol variable en una escala universal amb mitjana igual a 0 i desviació típica igual a 1. La conversió d'un valor observat a la seva puntuació estandarditzada s'obté restant la mitjana poblacional i dividint pel valor de la desviació típica: Aquesta transformació manté inalterada la forma geomètrica original de les dades (l'asimetria i la curtosi no canvien). S'utilitza per a dues finalitats essencials: contrastar dades de procedències dispars sota una mateixa mètrica i permetre el càlcul directe de probabilitats mitjançant taules de referència.

COMPROVA-HO 21 Quins són els valors de la mitjana i de la desviació típica d'una variable després d'haver estat completament estandarditzada? PROCÉS Passos per estandarditzar una variable 1 Càlcul de paràmetres Obtenir la mitjana i la desviació de les dades 2 Resta d'origen Centrar la variable restant la mitjana (X - mu) 3 Divisió d'escala Dividir la desviació respecte a sigma 4 Variable tipificada Obtenir Z amb mitjana 0 i desviació 1 log(X) sqrt(X) 1/X eX X Z Z = o b Z = s X x ˉ e ˊ σ X μ Apunts d'Anàlisi de Dades: Descriptiva i Normal (UPF) 12 IDEES CLAU En dades agrupades, les mesures es calculen aproximant els valors a través de la marca de classe i de la interpolació d'intervals.

Un canvi d'origen trasllada la posició però no altera les mesures de dispersió ni la forma. Un canvi d'escala estira o contrau la distribució i afecta de manera proporcional tant la posició com la dispersió. L'estandardització fixa la mitjana a 0 i la desviació típica a 1 sense canviar la forma relativa de la distribució. COMPROVA EL QUE HAS APRÈS 22. Per què s'utilitzen transformacions com el logaritme o l'arrel quadrada en una variable? 23. Com canvia la variança d'una variable quan tots els seus valors es divideixen pel factor ? Test Encercla la resposta correcta. Les solucions són al final. 24. Quin impacte té sumar una constant fixa a totes les dades sobre la desviació típica? 25.

Com s'aproxima la mitjana en una taula amb dades agrupades per intervals? 26. Quins paràmetres caracteritzen una variable Z després de tipificar-la? 27. Quina transformació no lineal s'empra per corregir distribucions amb asimetria positiva severa?

b S'incrementa en la mateixa constant a) No produeix cap variació b) Es redueix a la meitat c) Multiplica la dispersió per la constant d) Fent la mitjana aritmètica dels límits mínim i màxim a) Multiplicant el punt mitjà de cada interval per la freqüència b) Sumant els extrems superiors dels intervals c) Calculant exclusivament el centre de l'interval modal d) Mitjana igual a la mediana i variança nul·la a) Mitjana 0 i desviació típica 1 b) Mitjana 100 i variança 15 c) Mitjana 1 i desviació típica 0 d) Estandardització simple a) Canvi d'origen rígid b) Multiplicació per una constant c) Logarítmica d) Apunts d'Anàlisi de Dades: Descriptiva i Normal (UPF) 13 4 Distribució normal: propietats, regla empírica i càlculs de probabilitat EN ACABAR SABRÀS Comprendre les propietats geomètriques i probabilístiques de les corbes de densitat Aplicar la regla empírica 68-95-99,7 per acotar intervals d'observacions típiques i atípiques Calcular probabilitats i percentils associats a la distribució normal estàndard mitjançant la Taula A Avaluar gràficament i numèricament l'ajust d'un conjunt de dades a una distribució normal PENSA-HI ABANS DE LLEGIR 28 Per què podem saber quina proporció de la població fa menys d'una alçada concreta si només en sabem la mitjana i la dispersió?

En l'anàlisi de variables contínues, els models teòrics descriuen la forma límit de les dades mitjançant models matemàtics coneguts com a corbes de densitat. La corba de densitat Una corba de densitat és un model que idealitza la distribució d'una variable contínua. Compleix unes propietats formals estrictes: L'àrea total sota la corba és exactament 1 (equivalent al 100 % de les observacions). La funció transcorre sempre per sobre o damunt de l'eix horitzontal d'abscisses (no adopta mai valors negatius). Permet avaluar la probabilitat que la variable adopti valors en un interval mitjançant el càlcul de l'àrea compresa sota el seu traçat.

Característiques de la distribució normal DEFINICIÓ La distribució normal (o campana de Gauss) és una funció de densitat contínua, unimodal i completament simètrica, determinada pels seus paràmetres de localització i escala: la mitjana i la desviació típica . Paràmetre Notació Funció a la campana Mitjana Determina el centre exacte de simetria de la distribució. Desviació típica Determina l'amplada i el grau d'obertura o dispersió de la campana. μ σ μ σ Apunts d'Anàlisi de Dades: Descriptiva i Normal (UPF) 14 Aquesta distribució resulta clau en l'estadística atès que modelitza amb precisió nombrosos fenòmens naturals i socials.

La regla empírica 68-95-99,7 En qualsevol població que segueixi de manera estricta una distribució normal, les freqüències queden concentrades en intervals coneguts al voltant de la mitjana: ESQUEMA Regla empírica 68-95-99,7 a la distribució normal En l'interval es troba aproximadament el 68 % de les observacions totals. En l'interval es troba aproximadament el 95 % de les observacions. En l'interval queda comprès el 99,7 % de les observacions totals. Aquesta regla permet distingir ràpidament entre valors considerats regulars i aquells que es poden qualificar com a observacions extremes o anòmales.

COMPROVA-HO 29 Quin percentatge d'observacions queda per sota del llindar definit per en una distribució normal? La distribució normal estàndard i càlcul de probabilitats Per calcular probabilitats de manera directa s'utilitza la normal tipificada , la qual té i .

El procés de càlcul segueix dos passos sistemàtics: Intervals de la normal Cobertura teòrica de la campana mu ± 1 sigma 68 % de les observacions mu ± 2 sigma 95 % de les observacions mu ± 3 sigma 99,7 % de les observacions μ ± 1σ μ ± 2σ μ ± 3σ μ + 2σ N(0,1) N(0,1) μ = 0 σ = 1 Tipificar la variable d'interès: transformar el llindar numèric en la puntuació estàndard mitjançant la fórmula d'estandardització: 1 X Z Z = σ X μ Localitzar el percentil a la taula: consultar a la taula de la distribució normal estàndard (Taula A) l'àrea acumulada situada a l'esquerra de , és a dir, .

1 Z P (Z < z) Apunts d'Anàlisi de Dades: Descriptiva i Normal (UPF) 15 EXEMPLE Considerem una alçada distribuïda segons el model en metres. Volem calcular la proporció d'individus que presenten una alçada inferior a 1,80 m: El resultat conclou que el 79,67 % dels individus fa menys d'1,80 m d'alçada. ERROR FREQÜENT Oblidar que les taules convencionals de la distribució normal estàndard donen l'acumulat des de menys infinit fins al valor de , és a dir, . Quan es demana la proporció de valors superiors a un determinat llindar, cal calcular el complementari restant aquest valor d'1: .

Diagnosi i verificació de la normalitat Per validar si un conjunt de dades empíriques s'ajusta de manera raonable al model de la distribució normal, s'utilitzen procediments visuals i numèrics simultanis: Criteris visuals: Histograma simètric: el perfil ha de mostrar una forma acampanada unimodal centrada en la mitjana. Diagrama de quantils normals (gràfic Q-Q): els punts mostrals han d'alinear-se estretament al voltant de la línia diagonal de referència. Desviacions sistemàtiques marquen manca de normalitat. Criteris numèrics: Els coeficients d'asimetria i curtosi han de tenir valors molt propers a 0.

L'ajust percentual ha de complir de manera aproximada la regla 68-95-99,7 en els intervals de dispersió d'una, dues i tres desviacions típiques. COMPROVA-HO 30 Quina disposició han de mostrar els punts d'un gràfic Q-Q normal per considerar que les dades s'ajusten al model gaussià? X~N(1,75, 0,06) Tipificació del valor llindar: . 1 Z = = 0,06 1,80 1,75 0,06 0,05 0,83 Consulta de l'àrea acumulada a la taula de la normal estàndard: . 2 P (Z < 0,83) = 0,7967 Z P (Z<z) P (Z>z) = 1 P (Z<z) Apunts d'Anàlisi de Dades: Descriptiva i Normal (UPF) 16 IDEES CLAU En qualsevol corba de densitat l'àrea total és igual a 1 i les probabilitats s'associen amb àrees sota la corba.

La distribució normal és simètrica i unimodal, governada pels paràmetres de mitjana (centre) i desviació típica (dispersió). Segons la regla empírica, els intervals d'1, 2 i 3 desviacions típiques al voltant de la mitjana cobreixen el 68 %, 95 % i 99,7 % de les observacions. El gràfic Q-Q i els coeficients d'asimetria i curtosi propers a 0 permeten validar empíricament si una variable segueix una distribució normal. COMPROVA EL QUE HAS APRÈS 31. Com es calcula la probabilitat que una variable sigui superior a un valor concret utilitzant la taula normal estàndard? 32. Quines dues condicions numèriques permeten comprovar que una distribució s'ajusta a la normalitat?

Test Encercla la resposta correcta. Les solucions són al final. 33. Quant val l'àrea total compresa sota qualsevol corba de densitat contínua? 34. Quin percentatge d'observacions comprèn l'interval conformat per la mitjana més o menys dues desviacions? 35. Quin comportament dels punts en un gràfic Q-Q dóna suport a la hipòtesi de normalitat? 36. Quins paràmetres determinen per complet una campana de Gauss?

Depèn de la desviació típica a) La mitjana de la mostra b) Infinit segons la regla c) Exactament 1 d) Aproximadament el 95 % a) El 50 % de les dades b) Aproximadament el 99,7 % c) Aproximadament el 68 % d) Distribució en graons horitzontals a) Alineació estricta sobre la diagonal b) Forma d'ona en ziga-zaga c) Dispersió en cercle sense patró d) La mediana i el rang interquartílic a) El valor màxim i el mínim b) La mitjana i la desviació típica c) La moda i el coeficient d'asimetria d) Apunts d'Anàlisi de Dades: Descriptiva i Normal (UPF) 17 5 Formulari Mesures numèriques i de dispersió Fórmula o procediment Què significa cada símbol Quan s'utilitza Valors extrem superior i inferior Mesura d'amplitud total bàsica : quartils primer i tercer Dispersió robusta del 50 % central de les observacions : desviació típica, : variança Mesura estàndard de dispersió en distribucions simètriques : desviació típica, : mitjana Comparar la variabilitat relativa entre variables amb mitjanes o unitats diferents Dades agrupades i transformacions de variables Fórmula o procediment Què significa cada símbol Quan s'utilitza Mitjana agrupada: Suma ponderada de punts mitjans per freqüència Punt mitjà de cada interval multiplicat per la seva freqüència Quan només es disposa d'intervals i taules de freqüència Canvi d'origen: : constant; posició , dispersió i forma sense canvis Desplaçar les dades mantenint inalterada la dispersió Canvi d'escala: : divisor; posició , dispersió , forma sense canvis Canvi d'unitats de mesura (comprimeix o estira les dades) Tipificació: : mitjana, : desviació típica Estandarditzar a per comparar o consultar la Taula A Distribució normal i càlcul de probabilitats Fórmula o procediment Què significa cada símbol Quan s'utilitza Regla 68-95-99,7: (68 %), (95 %), (99,7 %) : mitjana, : desviació típica Conèixer la distribució de probabilitat teòrica en models normals Rang = m xim a ˋ m nim ı ˊ IQR = Q 3 Q 1 Q , Q 1 3 s = s2 s s2 CV = × x ˉ s 100 s x ˉ Y = X + a a +a Y = X/b b ÷b ÷b Z = σ X μ μ σ N(0, 1) μ ± 1σ μ ± 2σ μ ± 3σ μ σ Apunts d'Anàlisi de Dades: Descriptiva i Normal (UPF) 18 Fórmula o procediment Què significa cada símbol Quan s'utilitza Càlcul acumulador: a la Taula A : valor llindar, : puntuació estàndard Calcular la proporció o probabilitat de valors inferiors a Càlcul superior: : probabilitat acumulada de la taula Calcular la proporció o probabilitat de valors superiors a Errors típics Canvi d'origen i dispersió: Sumar una constant ( ) mai modifica la variança ni la desviació típica.

Elecció d'indicadors: Amb asimetria forta o presència de valors atípics, cal fer servir sempre la mediana i l'IQR en lloc de la mitjana i la desviació típica. Cues a la taula normal: La taula estàndard ofereix l'acumulat a l'esquerra ( ); per a l'àrea dreta cal calcular el complementari restant d'1. X Z = σ X μ P (Z < z) X Z X P (Z > z) = 1 P (Z < z) P (Z < z) X Y = X + a P (Z < z) Apunts d'Anàlisi de Dades: Descriptiva i Normal (UPF) 19 Solucions de les preguntes de repàs 1. Perquè s'introdueix un biaix de mostra sistemàtic: els voluntaris solen tenir característiques i opinions diferents de la resta de la població, trencant la representativitat. 2.

En la fase 2 (descripció i neteja de dades), que absorbeix vora el 80 % del temps per corregir incoherències, tractar valors perduts i unificar formats. 3. Perquè en creuar-se diverses variables simultàniament, no es pot aïllar de manera independent quina d'elles genera l'efecte observat sobre la variable dependent. 4. La d'interval té un zero arbitrari on el valor 0 no indica absència de magnitud (com 0 °C), mentre que la de raó disposa d'un zero absolut que representa absència real (com 0 € d'ingressos). 5. En l'observacional només es registren dades sense intervenir en el context, mentre que en l'experimental l'analista modifica expressament una variable per comprovar el seu efecte causal.

6. c) Mostreig estratificat. El mostreig estratificat segmenta primer en estrats homogenis i després aplica selecció aleatòria dins de cadascun. 7. c) Observar diversos individus repetidament en el temps. El panell combina individus múltiples amb un seguiment continuat al llarg de diversos períodes temporals. 8. c) Biaix de no resposta. El biaix de no resposta es genera quan els subjectes seleccionats no contesten i distorsionen la representativitat. 9. a) Quantitativa discreta. És quantitativa discreta perquè procedeix d'un recompte directe que adopta valors enters. 10.

Perquè la mitjana suma tots els valors i es deixa arrossegar per la magnitud de l'extrem, mentre que la mediana només depèn de la posició del valor central del grup ordenat. 11. La mediana, perquè és robusta davant de valors extrems, mentre que la mitjana es veu arrossegada a l'alça i sobreestima el nivell salarial típic. 12. Es defineix com a corba leptocúrtica (o picada), la qual presenta una concentració elevada al voltant del centre. 13. Es calcula com i serveix per comparar la dispersió de conjunts de dades que tenen escales o unitats de mesura diferents. 14. El mínim, el primer quartil ( ), la mediana, el tercer quartil ( ) i el màxim. 15. d) Diagrama de caixa (boxplot).

El boxplot utilitza el mínim, Q1, mediana, Q3 i màxim per resumir la distribució visualment. 16. a) Que la cua s'allarga cap a la dreta. L'asimetria positiva o cap a la dreta significa que la cua de valors alts s'estén cap a la dreta. 17. c) Leptocúrtica. Una corba leptocúrtica és aquella que presenta una forma picada i amb gran concentració central. 18. a) Es manté robusta sense alterar-se substancialment. La mediana és una mesura robusta i amb prou feines varia davant dades allunyades o atípiques. 19. No canvien en absolut: la mitjana puja 1 punt exacte però les distàncies entre alumnes i la desviació típica romanen idèntiques. 20.

Sumar 10 no té cap impacte en la dispersió, però en dividir entre 2 la desviació típica original queda dividida exactament per 2. CV = (s/ ) × x ˉ 100 Q 1 Q 3 Apunts d'Anàlisi de Dades: Descriptiva i Normal (UPF) 20 21. Té sempre de manera exacta una mitjana i una desviació típica . 22. S'utilitzen per reduir l'asimetria forta de les dades originals i aconseguir una distribució més simètrica i propera a la normal. 23. La variança queda dividida pel quadrat de la constant, és a dir, per (mentre que la desviació típica queda dividida per ). 24. b) No produeix cap variació. El canvi d'origen només desplaça la posició i manté inalterades les mesures de dispersió. 25.

b) Multiplicant el punt mitjà de cada interval per la freqüència. S'aproxima mitjançant la mitjana ponderada de les marques de classe multiplicades per les freqüències. 26. b) Mitjana 0 i desviació típica 1. La tipificació converteix qualsevol variable en una distribució amb mitjana 0 i desviació típica 1. 27. d) Logarítmica. El logaritme comprimeix els valors alts de la cua dreta i fa la distribució més simètrica. 28. Perquè si la variable segueix un model normal, les probabilitats depenen exclusivament de la distància respecte al centre mesurada en desviacions típiques. 29. Un 97,5 %, ja que l'interval central cobreix el 95 % i la cua inferior restant aporta un 2,5 % addicional ( ). 30.

Han d'aparèixer alineats sobre la recta diagonal teòrica sense patrons de curvatura sistemàtics ni dispersió acusada a les puntes. 31. Es tipifica el valor per obtenir , es busca l'àrea acumulada a la taula i es resta d'un: . 32. Que els coeficients d'asimetria i curtosi siguin propers a 0 i que el percentatge d'observacions respecti la regla 68-95-99,7. 33. d) Exactament 1. Per definició formal, l'àrea total sota qualsevol corba de densitat equival a 1 (100 % de probabilitat). 34. a) Aproximadament el 95 %. La regla empírica 68-95-99,7 estableix que l'interval central de dues desviacions típiques conté el 95 % de les dades. 35. b) Alineació estricta sobre la diagonal.

Un ajust dels punts a la línia diagonal indica que els quantils empírics coincideixen amb els teòrics normals. 36. c) La mitjana i la desviació típica. La distribució normal queda unívocament fixada per la seva mitjana (posició central) i desviació típica (dispersió). μ = 0 σ = 1 b2 b 95 + 2,5 = 97,5 Z P (Z < z) P (Z > z) = 1 P (Z < z) Apunts d'Anàlisi de Dades: Descriptiva i Normal (UPF) 21